第2章 对称图形——圆——圆的相关性质对称性 讲义 2024—2025学年苏科版数学九年级上册

努力只能及格，拼命才能优秀 辅导课题：圆的对称性 学生姓名： 学生年级： 授课科目：数学 辅导老师： 授课日期： 授课时段： 课时数： 学管师： 本节课教学目标 1.理解圆的对称性；并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法； 教学重点 2. 通过探索、观察、归纳、类比，总结出垂径定理等概念 ，在类比中理解深刻认识圆中的圆心角、弧、弦三者之间的关系； 教学难点 3. 掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用，通过实际操作、思考、交流等过程增强学生的实践意识和应用方法 提分第一阶段：复习上节课内容和遗忘知识点 提分第二阶段：梳理本节课知识要点，查漏补缺 要点一、圆的对称性 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴． 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心． 要点诠释： 圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合． 要点二、弧、弦、圆心角的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 要点诠释： 　　(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； 　　(2)注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等. 要点三、垂径定理 1.垂径定理 　　垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.推论 　　平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 　　　　　　 要点诠释： 　(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即 　　 　(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 要点四、垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1） 平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 要点诠释： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 提分第三阶段：考试考点例题讲解，掌握解题思路 类型一、应用垂径定理进行计算与证明 1.如图，是的一条弦，直径是，若，垂足为E，， ，则的长度为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 2.如图，AB为半圆直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D，若AC=8cm，DE=2cm，求OD的长． 【变式】如图，⊙O中，弦AB⊥弦CD于E，且AE=3cm，BE=5cm，求圆心O到弦CD 距离。 4．如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为（    ）． A．5 B．4 C．3 D．2 5.如图，是一个盛有水的容器的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度为_______． 6．如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点，连接，．若，，求的面积． 7、如图所示，是的一条弦，，垂足为，交于点C、D．    (1)若，求的度数； (2)若，，求的半径长 类型二、垂径定理的综合应用 1．如图1，某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24m，拱的半径为13m，则拱高为（ ） 2.如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB=26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE：CD=5：24 （1）求CD的长； （2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？ 3.如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦上，，，，则这个花坛的半径为 ___________． 4（2023·广东珠海·珠海市文园中学校考三模）如图是某品牌的香水瓶．从正面看上去它可以近似看作割去两个弓形后余下的部分，与矩形组合而成的图形（点，在上），其中；已知的半径为25，，，，则香水瓶的高度是（    ） A．56 B．57 C．58 D．5 类型三、圆心角、弧、弦之间的关系及应用 1.如图，是半径为8的的弦，点C是优弧的中点，，则弦的长度是（    ） A．8 B．4 C． D． 2.如图，在中，，证明．    3.如图为圆O的直径，为圆O的弦，C为O上一点，，，垂足为D．    (1)连接，判断与的位置关系，并证明； (2)若，，求圆O的半径；    4.如图，已知圆内接中，，为的中点，于，求证：． 提分第四阶段：拓展延伸，本节课作业布置 1．如图，在水平放置的圆柱形排水管的截面中，圆的半径为5，弓形部分水面宽度，则该截面中水的最大深度是（    ）    A．5 B．4 C．3 D．2 2．如图，的顶点A、B、C均在上，点A是中点，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 3.已知的直径为10cm， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为（    ）． A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 4. 如图，在中，弦，点C在上移动，连接，过点C作，交于点D，则长的最大值为 ___________． 5. 如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E．若，则度数为 ___________． 6.如图，射线平分，O为射线上一点，以O为圆心，5为半径作分别与的两边相交于A、B和C、D，连接，且．    (1)求的长： (2)若弦，求的长 7.如图，点在第一象限内，与轴相切于点，与轴相交于点．连接，过点作于点．    (1)求证：四边形为矩形． (2)已知的半径为4，，求弦的长． 提分第五阶段：总结本节课内容，温故而知新 1.如图，是的直径，点C、点B在上，过点C作的切线交的延长线于点D，若，垂直于，垂直于，则__． 2.在中，交于点交于．若，则___________．    3. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，是的直径，弦，垂足为E，寸，寸．则直径的长为________寸． 4.如图，，交于点，，是半径，且于点F． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 5.如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点，连接，．若，，求的面积． 6.如图，已知扇形，请用尺规作图法在弧上找一点C，使得将扇形分成面积相等的两部分．（保留作图痕迹，不写作法）    课后记 本节课教学计划完成情况：照常完成□ 提前完成□ 延后完成□ 学生的课堂表现：很积极□ 比较积极□ 一般□ 不积极□ 学生上次作业完成情况：数量 % 完成质量 分 存在问题 1 学科网（北京）股份有限公司 $$