第6章 5 正态分布-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册(北师大版2019)

85 正态分布 白题 基础过关 限时:30 min 题组1 正态曲线及其性质 5.(2024·江西吉安高二期末)若X~N(1.}). 1.(多选)下面给出的关于正态分布密度曲线的 ) 4个叙述中,正确的有 ( 2 A. 曲线在x轴上方,且与x轴不相交 a= B. 当x时,曲线下降,当x时,曲线上升 题组3 正态分布的应用 C. 当n一定时,o越小,总体分布越分散,o越 6.(2024·陕西渭南高二期末)某高中某次高 大,总体分布越集中 二年级测试,经抽样分析,成绩X近似服从正 D. 曲线关于直线x三对称,且当x三u时,位 态分布N(90.g).且P(84<X<90)=0.3.该 于最高点 校有500人参加此次测试,估计该校数学成绩 2. 已知正态分布密度曲线的函数关系式是 不低于96分的学生人数为 ) B.80 C. 100 A.60 D. 120 o/2n 7.(2024·江西上饶高二期末)阿鑫上学有时坐 率密度曲线是函数f(x)的图象,且f(x) 公交车,有时骑自行车,若阿鑫坐公交车用时 8n X和骑自行车用时Y都服从正态分布,其密度 曲线如图所示,则以下结论错误的是( __ 与方差分别是 ( B. 10与2 A.10与4 A. Y的数据较X更集中 C.10与8 B.若有34min可用,那 D.2与10 的密度 么坐公交车不迟到的 线 概率大 ov2π 26303438 C. 若有38min可用,那么骑自行车不迟到的 or2n 概率大 法正确的是 _ D. P(X>30)+P(Y<30)=1 A.<2 8.(2024·江西景德镇一中高二月考)在某次大 B. 曲线C 与x轴相交 型人才招骋活动中,共有2000人参加笔试. C.o>o。 D. 曲线C.C.分别与x轴所夹的面积相等 笔试成绩位于区间[70,80),[80,90),[90. 题组2 正态分布的概率计算 100]的人数分别为683.272.45.已知此次笔 4.(2024·河南焦作高二期末)已知随机变量 试满分为100分,且成绩近似服从正态分布, 则笔试成绩的标准差约为 X~N(10.).且P(X<11)=0.7.则P(10 .(参考数 X<11)= 据:若x~N(,o),则P(-2o<x<+ A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 2o)~0.9544) 选择性必修第一册·BS 黑白题150 应用提优 限时:45min 5.(2024·湖南长沙一中高三月考)已知随机变量 1.下列是关于正态密度曲线f(x)= /2πo X服从正态分布Nu.g}).有下列四个命题; (xER)性质的说法; 甲:P(X>m+1)>P(X<m-2); ①曲线关于直线x三n对称,且恒位于x轴 乙.P(X>m)=0.5; 上方; 丙:P(X<m)=0.5; ②曲线关于直线x=o对称,且仅当xE[-3o, 丁.P(m-1<X<m)<P(m+1<X<m+2). 若只有一个假命题,则该命题为 _ 3g]时位于x轴上方; A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 ③曲线对应的函数是一个偶函数,因此曲线关 6.已知随机变量X服从正态分布N(0.1),若 于v轴对称 P(X<-1.96)=0.025.则P(1X1<1.96)等于 ④曲线在x从处位于最高点,由这一点向左。 ) 右两边延伸时,曲线逐渐降低; A.0.025 B. 0.050 C.0.950 D.0.975 曲线的位置由确定,曲线的形状由。 7.已知随机变量x.Y.乙满足X~V(3.g}).Y~ 确定. V(1.).z=Y-1.且P(x>4)=0.1.则P(}< ) 其中说法正确的是 1)的值为 7 ) A. ①④ B. ②④ C. ③④ D. ① C.0.8 A.0.1 B. 0.2 D.0.9 2. 下列函数是正态分布密度函数的是 ) 8.设随机变量 ~Nu.1),函数/f(x)=x{}+2x-没有 零点的概率是0.5,则P(0<<1)= ( ) A.f(x)= /2no (附:若~N(n,o}),则P(-<<+o)= 2 B.(x)2 0.6 826.P(-2o<>+2o)~0.9544 A.0.1587 B. 0.1359 C. 0.2718 D. 0.3413 9.(多选)(2024·江西南昌高二月考)冯老师教高 2/2n 二4班和5班两个班的数学,这两个班的人数相 等,某次联考中,这两个班的数学成绩均近似服 2nr 3.(2024·江西南昌高二期末)设随机变量X。 的图象如图所示,其中u是正态分布的期望,o V(.q).且 P(X<a)=3P(x=a).则P(x ) 是正态分布的标准差,且P(u-g<X<u+o) a)= 0.682 6.P-2o<X<+2or)~0.9544.P-3 A.0.75 B.0.5 C.0.3 D.0.25 X<u+3o)~0.9974.关于这次数学考试成绩.下 4.若随机变量X的分布密度函数为/(x)= ( 列结论错误的是 ) 2π 4 概率分别为p,p,则p,p。的关系为( ) 5班 A. p>P B. p.<P C. p:=P D. 不确定 第六章 黑白题151 A. 4班的平均分比5班的平均分高 (2)若该品种水稻的亩产量x近似服从正态 B. 相对于5班,4班学生的数学成绩更分散 分布N(u.g).其中n为(1)中平均亩 C. 4班108分以上的人数约占该班总人数的 产量的估计值,g~0.15.若该县共种植 4.55% 10万亩该品种水稻,试用正态分布估计 D. 5班112分以上的人数与4班108分以上 亩产量不低于0.6t的亩数; 的人数大致相等 (3)以直方图中的频率估计概率,在所有田 10.(2024·江西上饶高二月考)某工厂生产一 地中随机抽取4亩,设这4亩中亩产量 批零件(单位:cm),其尺寸X服从正态分 不低于1.0;的亩数为5.求随机变量 布V(.}).且 P(t<20)=0.2.P(<26)= 的期望. 0.8,则= 附:若随机变量X服从正态分布V(.). 11.(2023·山东聊城高三期中)某市统计高中 则P(-<$ +)=~0.6826.P(-2 $ 生身体素质的状况,规定身体素质指标值不 $X<+2o)~0.9544,P-3o<X<+3o)= 小于60就认为身体素质合格,现从全市随机 0.9974. 抽取100名高中生的身体素质指标值x(i 100×(72{+36).若该市高中生的身体素质指 标值服从正态分布N(n.g).则估计该市高 中生身体素质的合格率为 .(用百分 数作答,精确到0.1%) 参考数据:若随机变量X服从正态分布N( ).则P(-<$<j+)~0.6826. P-2o<$<+2o)~0.9544.P$(-3$ X<u+3or)~0.9974. 12.(2023·江西景德镇一中高二期中)为了解 某新品种水稻的产量情况,现从种植该新品 种水稻的不同自然条件的田地中随机抽取 100亩,统计其亩产量x(单位:t),并以此为 样本绘制了如图所示的频率分布直方图 7 +频率/纽距 ............... -......... 0.75 0 0.4.0.5 0.60.7 0.8 0.9 10 1.1 x (1)求这100亩水稻平均亩产量的估计值 (同一组中的数据用该组区间的中点值 进阶突破 代表,精确到小数点后两位); 拨高练扫14 选择性必修第一册·BS 黑白题152S5正态分布 2B解折：对照正态分布密度商数上」。罗：eR,指数 2r0 白题 基础过关 中的口和分母中的要一致，且指数部分是一个负数故选B. 1.ABD解析：由正态分布密度曲线的几何特点可知： 3.D解析：随机变量X-N(4,),显然P(X<a)+P(X≥a)=1.面 曲线在x轴上方，且与x轴不相交，故A正确. P(X<a)=3P(X≥a）,所以P(X≥a)▣0.25.故选D. 曲线关于直线=u对称，当x=:时，曲线处于最高点，当向左右远离 4.C解析：由正态曲线的对称性及题意知4=0，=1，所以曲线关于 时，曲线不断降低，是现出“中间高，两边低”的钟形曲线，故D正确. 直线x=0对称，所以P1= 当x<4时.曲线上升，当x>μ时.曲线下降，并且当曲线向左向右无 5.D解析：因为只有一个似命题，且乙、丙只要有一个错，另一个一 限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限靠近，故B正确 定错，所以乙，丙一定都正确.则4=m,P(X>m+1)=P(X<m一1)> 当μ一定时，曲线的形状由σ确定：σ越小，曲线越“搜高”，总体分布 P(X<m-2),故甲正确，根据正态曲线的对称性可得P(m-1<X<m)= 越集中，口越大，曲线越“矮雕”，总体分布越分散，故C错误故 P(m<X<m+1)>P(m+1<X<m+2),故丁箭.故达D. 选ABD. 6.C解析：由随机变量X服从正态分布N(0,1),得P(X<1.96)=1 1-0 0 2.A解析：fx)= e,.平均数u=10,方 P(X写-L.96).所以P(1X1<1.96)=P(-1.96<X<1.96)=P(X< √8 22m 1.96)-P(X≤-1.96)=1-2P(X≤-1.96)=1-2×0.025=0.950 差2■4，故选A 7.C解析：因为随机变量X,Y满足X-N(3,2),Y-N(1,2),则随机 3.D解析：由正态曲线的特点易知：41>4,1<2，曲线与x轴不相 变量X和Y所对的正态密度曲线的形状相同，它们的对称轴分别为 交，曲线C,C2分别与x轴所夹面积相等，故选D. x=3和x=1,因此，P(Y>2)=P(X>4)=0,1.而Z=-1.则P(Z>1)= 山方法总结 P(y-1>1)=P(Y>2)=0.1.于是得P(Z2<1)=P(-1<Z<1)=1 1.正态曲线关于直线x=以对称，呈”中间高，两头低”的趋势。 01×2=0.8.所以P(Z<1)的值为08.放选C 2正态分布由参数4，r唯一确定，随机变登X-N(4,2),其中：= 8.B解析：函数f八x)=x2+2x-E没有零点，即方程x2+2x-=0无实根 EX o=DX. ∴△=4+4花<0，即<-1.又，函数f八x)=x2+2x-5没有零点的概率是 3.P(X<a)=1-P(Xa),P(X<μ-a)=P(X>μ+a), 05,,P（E<-1)=05,由正态曲线的对称性可知4=-1.E-N(-1,1), 4.正态曲战的对称轴为直践x=以，所以正态面线是一个轴对称图形， p4=-1,0=1,∴4-0=-24+0=0,4-20=-34+20=1， 限多关于正态分布的概率问题，都是根据其对称性求解的， PK0<5≤1)=2[P(-3<6≤1)-P(-2<6≤0)] 4.B解析：根据正态分布曲线的对称性，可得P(0≤X<11)=P(X< 11)-P(X<10)=0,7-0.5=0.2.故选B 0.9544-0.6826=0.1359,故选B. 2 互号解析：由题意可知，正态害度尚线的对称编为直线：=1，曲正态 9.AC解析：选项A:4班的平均分为98分，5班的平均分为100分， 圳4班的平均分比5班的平均分低，故A错误：选项B:5班的图象比 曲线的对称性可得。2.解得。一兰故答案为 5 4班的图象更“矮胖”，则相对于4班，5班学生的数学成绩更分散，故 6.C解析：由题意知P(X≤84)=P(X≤90)-P(84<X≤90)=0.5 B错误：选项C:4班八x)= 一。罗的最大值为 ,则 √2r 2后 0.3=0.2,P(X≥96)=P(X≤84)=0.2，则学生人数为500×0.2= 100(人).故选C 5,则P(X>108)=7[1-P(88<I≤108)]=2(1-09544)= 7.D解析：观察图象知，X~N(30,),Y~N(34,),对于A,Y的密 度曲线瘦高，X的密度曲线矮胖，即随机变量了的标准差小于X的标 0.0228≠4.55%.故C错误：远项D:5班f八x)= 。罗的最大 to 准差，即1>0，因此y的数据较X更集中，A正确：对于B,显然 P(x≤34)>2 值为1 ,则=6，则P(X112)= -[1-P(88<X≤112)]= =P(Y≤34).则当有34mn可用时，坐公交车不迟到 6/2 2 的概率大，B正确：对于C,显然P(X≤38)<P(Y38).则当有 38mn可用时.骑自行车不迟到的概率大，C正确：对于D,显然 21-0.9544)=Q.0228,又4班和5班两个班的人数相等，则5班 P30)=2,PV≤30)<P<34)= 1 112分以上的人数与4班108分以上的人数大致相等，故D正确.故 ,因此P(X>30)+P(Y 选ABC. 30)<1,D错误，故选D 10.23解析：因为X服从正态分布N(4.2),且P(X≤20)=0.2. 8.10解析：由题意知，设笔试成绩X~N(4.2),由70分及以上的人 P(X<26)=0.8.则P(X≥26)=1-P(X<26)=1-0.8=0.2= 数为683+272+45=100，得P(X≥70)=}00 20+26 P(X≤20).所以a= ■23.故答案为23 20002 =P(Xμ)，故从 2 的值可估计为70，由参考数据知P(X>u+2r= 1-Pu-20<X≤+22=0.0228.而P(X≥90)=2000 11.97.7%解析：因为100个数据1,2，，”，1m的平均值= 45 100 0.0225= Q0228,故u+2如的值可估计为0，放。=4+2）约为0-70 三=7n,方差黑(4-10m)高10m 2 2 (722+36)-100×722]=36,所以4的估计值为=72，心的估计值为 10,故答案为10， π=6设该市高中生的身体素质指标值为X,由P(以-2r<X≤口 四易错提醒 +2r)=0.9544,得P(72-12<X≤72+12)=P(60<X≤84) 解答这类问题的关健是熟记正态变量的取值位干区问(4-g,μ+口]， 0.9544,P(X>84)=P(X>4+2w)=P(X<4-2m)= (μ-20,4+2c],(μ-30,4+3o]】上的概率值，间时还要根得已如的正 1-P(4-2a<X≤μ+2p)_1-0.9544 所以P(X≥60)=P(60<X 2 2 态分布确定所给区间属于上述三个区问中的哪一个 84)+P(X>84)=0.9544+ 里题 2×(1-0.9544)=0.9772=97.7%放答 应用提优 1.A解析：正态曲线八x)关于直线x=4对称.该曲线总是位于x轴上 案为97.7% 方，故①正确：②不正确：只有当以=0时，正态密度函数是一个偶函 12.解：(1)由顿率分布直方图知，亩产量x在区间[0.4,0.5)，「0.5. 数，曲线关于y轴对称，此时为标准正态分布，当4≠0时，不是偶函 0.6).[0.60.7),[0.7,0.8).[0.8,0.9),[0.9,1.0).[1.0.111的 数，故③不正确：正态曲线f风x)是一条关于直线x=4对称，在x=丛处 率依次为0.075.0.125.0.175.0.225.0.16.0.125.0.075.由0.075+ 位于最高点，且由该点向左，右两边延伸时逐渐降低的曲线，故④正 0125+0.175+0.225+01b+0.125+0.075=1,得0.1b=0.2.b=2,x= 确：曲线的位置由对称轴x=4确定，曲线的形状由0确定，σ越大，曲 0,075x0.45+0,125×0.55+0.175×0.65+0.225×0.75+0.2×0.85+ 线越“矮胖”，σ越小.曲线越“瘦高”，故⑤正确.故①④⑤说法正确 0125×0.95+0.075×1.05=0.75,所以这100亩水稻平均亩产量的估 故选A 计值为0.75t 参考答案黑白题095 (2)由(1)知，μ=0.75，而g=0.15,则x~V(0.75,0152),P(x≥ 若物理安排在第一节，其他3节课安排3科，有A种： 11 若物理不在第一节，中间前2节深任选一节上物理，余下的1节课和 06)=P(≥μ-o)=2+2P4-<X≤4+o)=0.5+2×0.6826 最后一节课任选一节上数学，最后剩下的2节课安排2科，有A;种： 0.8413,所以估计亩产量不低于0.6t的亩数是10×08413= 综上，事件AB有(A+CCA)种安排： 8.413(万亩). (3)由模率分布直方图及(1)知，亩产量不低于1.01的颗率为 5科任意推有种，所以P(A)=+CC_8 A P()= 0.075,由顿率估计概率，则亩产量不低于1.01的概率为0.075，因此 A号+CCA号14 4亩中亩产量不低于1.01的商数E-B(4.0.075),所以随机变量E 的期望EE=4×0.075=0.3. A A 专项提优6条件概率与排列组合的综合应用 放满足条件的质率是代)-多放法区 黑题 专项提优 6. 10 解析：先计算所有由a,b,e组成的三位数，有CCC!= 1.B解析：令事件A为甲被选中，事件B为乙被选中，则P(A) 100(个)，即n(A)=100,再计算递增数，有C=10(个)，即n(AB)= CC I 2() 三—三女程1A）===二古友 n做代0-曾。故答案为。 P(A)1 51 3 2 7.720 5 解析：将高二年级3人进行全排列，有A号种排法，再将高 选B 二年级3人看作一个整体，和其他年级4人进行全排列，有A?种排 2.B解析：由题意可知要使这3个数之和为奇数，则这3个数必为 法，所以事件A的橡法有A号A=720(种)： 3个奇数或2个偶数，1个奇数，所以总的抽取法共有N=C+C· 事件AB的排法：将高二年级3人进行全排列，有A:种排法，再将高 C=60(种)，要使这3个数之积为闾数，则必为2个偶数1个奇数 二年级3人看作一个整体，和高三年级的2人进行全排列，有 共有a=CC=50(种).所以所求概率为P日名放选B A!种排法，排好后，将高一年级的2人进行插空，有A好种排法，所以 事件AB共有AAA?=432(种)排法， 3.ABD解析：由题意.可得P()=C3C+C.60+20.之 C。 1203,P(B)= 则P代B1A)=40积；散答案为70：号 n(A）7205 CCg+Cg56+56.14 Cio 2015由P(BA=2=P(B),所以P(AB)= 解析：A教师志愿者被安排到甲学校 P(A〉 P(AB) 若甲学校只有，个人，则有C×A=36(种)安排方法 P(A)P(B),事件A.B相互独立，所以P(A1B)= P(B) 若甲学校有2个人，则有A=24(种)安排方法， P(A)P八B).P(A),故A正确： A教师志愿者被安排到甲学校共有36+24=60（种）安排方法。 P(B) 在A教师志愿者被安排到甲学校支教的前提下，甲学校有两名志恩 P(B1A)=PB)14由条件商率的性质得P(B1A)=1-P(BIA)- 者的安排方法有24种，所以在A教师志恩者被安排到甲学校支教的 前提下，甲学校有两名志愿者的概率是号故答案为 5 1片古故B正确： 解析：用A,(i∈0,1,2|表示第一次取到i个新球的事件，用B 因为事件A,B相互独立，所以A与B,A与B,A与B也都相互独立 表示第二次训练时恰好取到1个新球的事件，则？=An UA:UA2, 甲，乙都评为智答能手”的概本P()=PA)P(=子×名，门 Ci 1 且A。,A1,A两两互斥，P(A）= 所以甲，乙至多有一人评为“智答能手的概*为1-P(AB)=145 8 ,P(4,)= C I P(A2)= 名故C错误， C5,P(B14)= CC 3 =5,P(B14)= cc 8 甲，乙都没有被评为“智答能手”的概率P(AB)=P(A)·P(B)= Cg..因此P(B)=P(Ao)P(BAo)+PA)P(BIA,)H P(BIA:)= (号)）()兮×石石所以甲，乙至少有-人评为 13381138 P(A,)P(B1A:)=5*55*55*375 所以第二次训练时 智答能手“的概率为1-PAB)=15-站故D正确放选Am 给好取到1个新球的概率为器放答案为器 4.B解析：设“学生甲，乙相邻出场”为事件A,“学生甲在学生乙的前 真题演练概率 而出场”为事件B.共有A:种情况.学生甲在学生乙的前而出场的情 A 黑题 真题练 A1 1.A解析：同时爱好两项的概率为0,5+06-0.7=0.4，记“该同学爱好 种，所以P(B)元2 滑雪”为事件A,记“该同学爱好滑冰”为事件B,则P(A)=0,5, 甲，乙同学出场顺序一定，且相邻出场的情况共有A种，所以 P氏AB)=04,所以P(B1A)=PAB）04 P(A)0.5 0.8故选A 2.B解析：由题意，X服从二项分布B(10.),D(X)=10p(1-p)=2.4 P(AB)=- 5 则P(AB)=P(AB) P(了了，故选R 解得p=0.4或P=0.6.解得P(X=4)=C0p(1-P)°<P(X=6)= 2 Cp(1-p)4,整理得(1-p)2<p2,解得>0.5.即p=0.6.故选B. 5.B解析：事件A:数学不排第一节，物理不排最后一节. 若物理安排在第一节，其他4节课安排4科，有A任种： 3D解折：方法一：由分布列得B0=则D)=(售-0）x 若物理不在第一节，中间3节课任选一节上物理，余下的4节课去掉 第1节课的3节课中任选一节上数学，最后利下的3节课安排3科， 有A种： 在(0,1)内增大时，D(X)先减小后增大 综上，事件A有(A+CCA)种安排： a2,1(a+1)2 事件B:化学排第四节. 方法二：D(X)=E(X2)-(E(X)2=0+号+3 选择性必修第一册·BS黑白题096