第2章 4.1 直线与圆锥曲线的交点-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册(北师大版2019)

§4直线与圆锥曲线的位置关系 4.1直线与圆锥曲线的交点 白题 基础过关 限时：45min 题组1直线与椭圆的交点 1.(2024·江西吉安高二期中)直线y=x+1与椭 6.(2024·安微合肥高二月考)已知椭圆E:。 圆+号1的位置关系是 1(a>b>0)的离心率为 y 点4)在 A.相离 B.相切 椭圆E上。 C.相交 D.无法确定 (1)求椭圆E的方程： 2.(2024·河南南阳高二期中)直线y=x+1与 (2)已知椭圆E的右顶点为B,过B作直线1 椭圆广：1总有公共点，则m的取值范围是 与椭圆E交于另一点C,且IBCI= 4 m ( 2AB1,求直线1的方程 A.(0,1)U(1,+)B.[1,4)U(4,+0) C.(0,1)U(1,4) D.(1,+∞） ®(2024·陕西稔林高三期中)已知椭圆飞：为 1(0>b0)与直线y=b相交于A,B两点， x2 O是坐标原点，如果△AOB是等边三角形，那 题组2直线与双曲线的交点 么椭圆E的离心率等于 7.(2024·四川成都石室中学高二期中)已知直 线14y=2-8,双曲线cy=1,则() 4.(2024·河南南阳高二期末)已知椭圆x2+ A.直线1与双曲线C有且只有一个公共点 82=8,点P为椭圆上的任一点，则点P到直 B.直线【与双曲线C的左支有两个公共点 线l:x-y+4=0的距离的取值范围为( C.直线！与双曲线C的右支有两个公共点 引 2] D.直线I与双曲线C的左右两支各有一个公共点 8.(2024·黑龙江哈尔滨三中高二期中)已知双 ch.1 n.221 曲线E:号y=1,直线=在+1.若直线1与 5.(2024·陕西西安高二期末)若直线ax+by 双曲线E的两个交点分别在双曲线的两支 1=0与圆0：x2+y2=1相离，则过点P(a,b)的 上，则k的取值范围是 ( 直线与程衡后1的交点个数是 ( A.K3 3 3 A.0或1B.0 C.1 D.2 C.k<-3或k>√3 D.-√3<k<3 第二章黑白题055 9.(多选)(2024·江苏盐城高二期中)已知两点A 题组3直线与抛物线的交点 (-2,0),B(2,0),若直线上存在点P,使得 12.(2024·广东深圳高三期末）记抛物线 1PAI-1PB1=2,则称该直线为“点定差直线”，下 y2=2px(p>0)的焦点为F,A(4,m)为抛物线 列直线中，是“点定差直线"的有 ( 上一点，1AF1=6,直线AF与抛物线另一交 3 A.y= 3t+1 B.y=x+1 点为B,则AF IBFI ( C.y=2x+4 D.y=√2x+1 B.2 C.2 D.3 10.如图，在平面直角坐标 13.(多选)(2024·重庆江北区高二期末)已知 系xOy中，已知点M是 点O为坐标原点，直线y=x+1与抛物线C: x2=4y相交于A,B两点，焦点为F,则下列 b>0)上的异于顶点的任意一点，过点M作双 选项正确的是 A.IABI=8 曲线的切线1，若k·=3则双曲线离心 B.OA⊥OB 率e等于 1 1 . AFIIBFT=I 1(2023·四川泸别高二潮中)已知双曲线 D.线段AB的中点到x轴的距离为2 a 14.(2024·四川自贡高二期末)过点(1,0)的直 =1(a>0,b>0)中，离心率e=6 y 实轴长 线1与抛物线y2=x交于不同两点A,B,则 为4. 0A.0= .(0为坐标原点) (1)求双曲线的标准方程： 15.(2024·江苏苏州高二月考)在平面直角坐 (2)已知直线1：y=x-3与双曲线交于A,B两 标系xOy中，O为坐标原点，动点G到点 点，且在双曲线上存在点P,使得OA+ F(1,0)的距离比到直线x=-2的距离小1， 记动点G的轨迹表示的曲线为C,过点 0B=m0,求m的值. A(5,-2)的直线与曲线C交于P,Q两点 (1)求曲线C的方程： (2)若M是曲线C上一点，求IMAI+IMFI的 最小值： (3)判断点N(1,2)是否在以PQ为直径的圆 上，并说明理由。 选择性必修第一册BS黑白题056§4直线与圆锥曲线的位置关系 的坐标为（号）时，直线的方程为5+2-25=0：当G的坐 41直线与圆锥曲线的交点 白题 础过关 标为（行，号）时，直线1的方程为5-225=a综上，直线1 y=x+1, 的方程为5x+2y-25=0成5x-2y-25=0. 1.C解析：联立 2,3x2+2x-1=0,则4=22+4×3=16>0，所 7,C解析：在同一平面直角坐标系中分 以方程有两个不相等的实数根，所以直线与椭圆相交，故选C, 别画1y=2x-8与C:。-y2=1的 2.B解析：因为直线y=+1过定点(0,1)，只需该定点落在椭圆内或 图象如图所示.由图可知直线1：y=2x 药调上即可，即？一≤1，解得m≥1又因为m4,所以m的取值 8过点Q(4.0),它在双曲线的右顶 4 m 点A(2,0)的右边，联立直线与双曲线 范围为[1.4)U(4.+x).故B项正确.故选B (y=2x-8, (y=b. 方程得{x 解得 3 或 3.C解析：如图，联立方程{y2,x2 4→2=1 4 y=- 3 (y=6. 26 得 加不妨设点B在第一象限，则 5 x=士 2 则直线【与双曲线C的右支有两个公共点B.C.故选C (仁)由恶意可知：B的倾斜角是 =5 8.B解析：由商去y并整理，得(1-32)2-66-6=0，由直 60,则之=二=3，所以椭网的离心率e=二.15 口3了故选C 线1与双曲线￡的两个交点分别在双曲线的两支上，得 1-32≠0. 4.B解析：设与直线-y+4=0平行且与椭圆相切的直线为x-y+=0, 46-243-1)>0解得-5。 0, 6 子之，以飞的取值范国是」 联立方程{8-8消元可得9y2-2r+-8=0令4= 36(a2-8)=288-32a2=0.解得a=±3.当a=3时.椭圆切线方程为 3<故选B x-y+3=0,直线1与切线距离为d= F2,当a-3时. 14-3引2 9,ABD解析：由题意得1PA1-1PB1=2<ABI=4,故点P的轨迹为分 √+(-1) 别以4(-2,0)，B(2,0)为焦点，长轴长为2的双曲线的右支，故： 14+31 椭圆切线方程为x-y-3=0,直线/与切线距离为d= /+(-1 1,c=2.=2-2=3,故P点满足的轨迹方程为2- 3=1,1.A 7,即直线1与切线的最大最小距离分捌为5二 2 2·义当a=4时， 适项联立-1与-号-1.解得+1，负价已会 8 4=288-32×4<0,即直线1与椭圆无公共点，则椭圆上任一点P到直 线40的距离的取值德周为[侣，7]业结日 去，满足安求.A正确：B游项联立+1与2一子=1，解得=2 1,负值已会去，满足要求，B正确：C选项，联立y=2x+4与- 3 5.D解析：由题意知直线x+by-1=0与圆0：x2+y2=1相离，所以圆 1.解得x=-8±35<0，不满足要求，C错误：D选项，联立y=√2x+1 心到直线的距离d=1 >1=.脚即0<2+2<1，而64 2+b 5 与2 方=1，解得x=2+6>L,负值已舍去，D正确，放选AB即. 了了<1，即点P(a,6)在横侧上， a2+621 =1的内部，所以过点P x2 y 65 10.33 3 解析：当>0时， (a,)的直线与将网。专-1的交点个数是2放法卫 。尔=1可得y= 2a2 ·2r. 1 ,所以在双曲线上 6解：（油题可知片种产=0-.所以6= 2a,又点A1 2)在椭圆E上，所以'，3。 即。+1.解得2=4,6=1， 点0处的切线方程为%学·-.化司得宁 =1，同理可得当y≤0时依然成立设点M(m,),则与： Yo 所以椭圆E的方程为，+护=1 bm (a)由所国E的方程号21，得8(2.0).所以11 n由kw·一3a2nm3,所以=T a'n= a23,所以 0-2o可-号设cw其中-2.2e 双曲线离心率=1+ 62123 √1+3 3 答案为 12a=4. [-1,1.因为1C1.27 AB1=1,所以(6-2)2+分=1.义点C(4 1解：)双画线的商心率e=实输长为4.即仁6解得 2 》在稀周6：号+1上，所以兰店1.联立方限组 026=-口22.所以双曲线的标准方程为子二 le=√6， 421 (0-2)2+8=1 =1-3. 4=1, 得3-16+6=0，解得=号或0=4含去) 2)将直线1与曲线G联立.得{子子=1，销去人得 当-时=甲c(）c(）两以当c 12+22=0,设A(1),B(22).则x1+2=12,+归=11 6=6,设P(0%),由O+0丽=m0币得(1+31+2)=(m0, 选择性必修第一册·BS黑白题036 m.即收又因务季兰-1.新得=1.所以3方 2.C解析：由题意得F(5,0),当直线I的斜率为0时，直线1的方程 （mu=6 或m=-3互. 为)=0，在方程号子=1巾，令)=0，期=2，此时141=4，符合题 12.C解析：1AF1=6.由糖物线定义可知A到准线距离为6.即4+ 意，当直线【的斜率不等于0时.设方程为x=my+√5，联立 子=6，解得=4，即抛物线方程为户=8，不防取4(4,4).又 (x=my+/5. 4y2=1, 消x得(m2-4)y2+25my+1=0.则 F2.0).所以Ay=22(-2》,联立得22(-2)消去y整 y2=8x, (m2-4≠0. 理得x2-5x+4=0.解得无1=4,2=1.即B(1,-22),则计算可得 (4=20m2-4(m2-4)>0. 解得m产±2设A(1y1),B(3,3),则y1+ 1BF2放选C LAFI 25m 3= m2-45= -手故1B1=V+m,V+-4西 13.AC解析：h抛物线G:x2=4y,可得焦点F(0,1),则直线y=x+1过 抛物线C的焦点，联立方程得·整理得到子-6+1=0.显然 1+m· 25m44业4，解得m4综 x2=4y. m2-4m2-41m2-4 A>0,设A(x1),B(3),可得y1+为=63=1，对于A,由抛 上所述，符合题意的直线1有3条.故选C 物线的定义，可得1AB=,为3+p=6+2=8,所以A正确：对于B,由 3.x=-1 0.0i=12+=(折1-1)(2-1)+1=21-(+)+1= 帮折：由题意得，0：清去可得户一0， -3≠0，所以0A与0B不垂直.所以B错误：对于C.由y2-6y+1=0. 4=4p2+8即>0.设A(11).B(,2),则方1+为=2印，12=-2p 可得y,=3+22,y2=3-22,由地物线定义，可得1AF1=4+22, 放1AB1=√(1-)+(，2了7=√2(，2)=2× √()户-4方=2×V4p+8即=8n=2(负值已舍去).则准 BF1=4-22,则 AF11BF4+2W24-2w2 =1.所以C正确：对 线方程为x=-1.故答案为x=-1 4.解：(1)将直线1的方程代入椭圆C方程中，得(1+2m2)x2-4m-2= 于D,线段AB的中点到x轴的距离为 2 =3,所以D错误.故 0,该一元二次方程根的判别式4=16m2+8(1+2m2)>0,所以直线1 与椭圆C总有两个不问交点. 选AC. 4m -2 14.0解析：依题意，直线不垂直于y轴，设直线1的方程为x=y+1, (2)设A),B(为.则有+中2m1+2m,因 由{消去并整理得产--1=0，设A(,B(分 为1AB1=4 ,所以V1+m1x,-21=√1+m(x+)-412= 则yy2=-1,所以0.0成=y好+y12=(-1)2-1=0.故答案为0. 15,解：(1)因为动点G到点F(1,0)的距离比到直线x=-2的距离小 √1+m 4m 台√1+m 1,所以动点G到点F(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等， 1+2m2 1+2m743 3 所以根据抛物线的定义可知，动点G的轨迹是以点F(1,0)为焦点 22×√4m+1_4w5 的抛物线，设其轨迹方程为)户=2m,则号=1，所以p=2.所以曲线 1+2m2 3 m2=1或m}m=1该，所以m C的方程为，2=4x 的值为：1或宁 (2)如图①，过点A作准线x=-1的垂线.垂足为B. 5.解：(1)由题意可知：园，的例心C,(-3.0).半径1=3.圆C2的圆 因为1FI等于M到准线x=-1的距离， 心C2(3,0),半径3=1，由条件可得1MC1I-3=1MC,I-1,即 所以IMA|+1MF1的最小值为点A到准线=-1的臣离， 1MC,1-1MC21=2<1C,C31,如图①， 所以IMAI+1MF1的最小值为5+1=6. 期根据双曲线的定义可知，点M的轨迹是以C1,C2为焦点，以2为 实轴长的双曲线的右支.则a=1.c=3.可得b2=e2-a2=8,所以曲线 c的方程为2。=1(s≥1). 8 2 (3)点N(1,2)在以PQ为直径的圆上.理由：如图2，设PQ:x=m+ 国P(.Q()联立{n.可得户-h=0,所以 方+2=4m,13=-4,所以￥1+3=m(1+为）+2n=4m2+2n, (2)如图②，依题意，直线AB的方程为y=4(x-3).即4x--12=0. x1石=m2y为+m(+)+n2=2,所以7.N0=(1-1)(-1)+ (1-2)(2-2)=12-(x1+3)+y12-2(1+3）+5=m2-4m2-21 4n-8m+5. 因为点A(5,-2)在直线PQ:x=r+n上，所以-2m+n=5,即n=2m+ 5,所以n2-4m2-2n-4n-8m+5=(2m+5)2-4m2-6(2m+5)-8m+5 0,即N正1N,所以点N(1,2)在以P0为直径的圆上 4.2直线与圆锥曲线的综合问题 白哑 基础过关 x-y+1=0 1.A解析：由 32-=1 得交点坐标为(0，).（号，)则 (y=4(x-3), 联立 22 3=1,消去等.得-12x+9=0。 参考答案黑白题037