第2章 3.2 抛物线的简单几何性质&3 阶段强化-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册(北师大版2019)

3.2 抛物线的简单儿何性质 白题 基础过关 限时:30min 题组1 抛物线的几何性质及其应用 7.(2024·安徽滁州高二月考)已知抛物线C. =2px(p>0),过点P(3.0)且垂直于x轴的 直线1交抛物线C于A.B两点.0为坐标原 下列描述正确的是 ( ) ( 点,若△0AB的面积为9,则p= ) A.开口向上,焦点为(0.2) B.2 D.3 8.(多选)已知抛物线C:v}=2px(p>0)的焦点F C.开口向右,焦点为(2.0) 到准线的距离是2.过点F的直线/与抛物线 D.开口向上,焦点为(o.) 交于A.B两点.V为线段AB的中点,0为坐 ( 标原点,则下列结论正确的是 _ 2.(2024·广东揭阳高二期末)若抛物线x=4v A. 抛物线C的准线方程为x=-1 上一点P到焦点的距离为1.则点P的横坐 ) B. 线段AB的长度的最小值为4 标是 1 C. 点M的坐标可能是(4.2) 二{( _. C.0 D.2 D. 存在直线/.使得0A与0B垂直 3.(多选)已知抛物线C:v}=4x的焦点为F 9.(2024·辽宁鞍山一中高二期中)已知抛物线 C的方程为v三2px(p>0),若倾斜角为锐角的 点M(x.y)在抛物线C上.若lMFl=4.则 -。 直线1过抛物线的焦点F.与抛物线交于A.B ( 两点,且1AF1=31BF1,则直线1的倾斜 A.xo=3 B.yo=2/3 角为 C. 10M1=/21 D.点F的坐标为(0.1) 题组3 抛物线的最值问题 4. 若抛物线=2x(p>0)上一点M到准线及对$ 10.(2024·山西太原高二期末)设抛物线}=2 称轴的距离分别为10和6,则其标准方 的焦点是F,P是抛物线上的动点,且点 程为 A(4.2),则1PA1+1PF1的最小值为( ) 题组2 抛物线的焦点弦问题 B.4 D.5 5. 过抛物线C:v=12x的焦点作直线1交抛物 线C于A(x,v),B(x,y)两点,若x.+x 11.(2024·安徽六安高二期末)已知A为抛物 6.则1AB1= __ ( 线C:x}=8y上的动点,B为园(x-6)+(y+$ B.12 C.10 A.16 D.8 $6)^*}=9上的动点,设点A到x轴的距离为d 则1AB1+d的最小值为 . 6.(2024·江苏盐城高二期中)若直线/过抛物 ~ B.5 C.7 A.4 线2}=8x的焦点,与抛物线相交于A.B两点. D.10 且1AB1=16.则线段AB的中点P到轴的距 12. 已知P是抛物线=x上的动点,记点P到 离为 ) 直线/:x-v+4=0的距离为d.则d的最小 A.3 B.4 C.5 D.6 值为 选择性必修第一册·BS 黑白题052 应用提优 限时:40min 1.(2023·河北高二期中)过点P(0.1)作 6.(2024·广东茂名高二期末)已知抛物线C 直线与抛物线=-4x相交,恰好有一个交 =2py(p>0)的焦点为F,准线为1,点P(x, 点,则符合条件的直线的条数为 ) 7 1)(x>0)在抛物线C上,过P作/的垂线,垂 C.2 A.0 B.1 D.3 足为0.若1P01三1P01(0为坐标原点).则 2.已知A(m.2),B(n.3).C是抛物线M;x2}= o二 4v上的三个点,F为焦点,D(4,3),点C到 7. 在平面直角坐标系x0中,已知圆F; x轴的距离为d.则1AF!+1BF!+ICD|+d的 (x-2)+}=1.动圆M与直线/.x=-1相切 最小值为 ( ) 且与圆F外切 A.10 B.6+2/5 (1)记圆心M的轨迹为曲线C.求曲线C的 C.11 D.7+2/5 方程; 3.(多选)(2023·福建厦门高二期末)2022年 (2)已知A(-2.0),曲线C上一点P满足 11月29日23时08分,我国自主研发的神舟 IPAI=21PFI,求/PAF的大小 十五号载人飞船成功对接于空间站“天和”核 心舱前向端口,并实现首次太空会师.我国航 天员在实验舱观测到一颗彗星划过美丽的地 球,慧星沿一抛物线轨道运行,地球恰好位于 这条抛物线的焦点.当此彗星离地球4千万公 里时,经过地球和彗星的直线与抛物线的对称 轴的夹角为60。,则彗星与地球的最短距离可 ( 能为(单位:千万公里) _ C.1 D.3 8.(2024·江苏常州高二期末)已知抛物线C 4.(2024·安徽淮北高二期末)已知抛物线C $2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2. =4x的焦点F.准线为1.P是1上一点,0是 (1)求C的方程; 直线PF与C的交点,若1FP1=41F01.则 1FO1= . (2)已知0为坐标原点,点P在C上.点0满 足P0=90F,求直线00斜率的最大值 A.4 5.(多选)(2024·山东淄博高二期末)已知抛物 线=2px(p>0)的焦点为F,点P(5,y。)在抛 物线上,且1PF1=6.过点P作P01x轴于点 0,则 C ) A.p=2 B. 抛物线的准线为直线v=1 C.y=2/5 D.△FP0的面积为4/5 进阶突破 拔高练P03 第二章 黑白题053 $3 阶段强化 阶段强化 限时:40min 面宽增加 1.(2023·浙江台州高二期末)已知抛物线C m. *=4x的焦点为F.M(xn,yo)是C上一 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 7.(2023·辽宁辽阳高二期末)已知点P为抛物 2.(2024·江西景德镇高二期中)已知动点P(x. 线C.x}=-16y上一点,F为焦点,过点P作抛$ y)满足5 (x-1)+(y-1)=13x+4y-71,则 物线的准线的垂线,垂足为/I.若△PFH的周 ( 动点P的轨迹是 ) 长不小于30.则点P的纵坐标的取值范 A.直线 B.圆 围是 C. 双曲线 D. 抛物线 8.(2024·天津河北区高二期末)已知双曲线 3.(2024·河南南阳高二期中)已知△ABC的 2}2 顶点在抛物线=4x上,若抛物线的焦点F 恰好是△ABC的重心,则1FA1+1FB1+ 公共的焦点F,且两曲线的一个交点为P.若 1FC1的值为 。 IPFI= ;双曲线 A.3 B.4 C.5 D.6 4.(2023·福建福州高二期末)曲线C:x= 的渐近线方程为 -+16y-15上存在两点A,B到直线y=-1 压轴挑战 的距离等于到F(0.1)的距离,则1AF1+1BF1= (多选)(2024·广东深圳高二期末)直线x=Ap ) (A>0)交抛物线C:}=2px(p>0)于M.V两 A.12 B. 13 C.14 D.15 点,R是C上不与M.N重合的一个动点.下列 ( 说法正确的是 5.(多选)(2024·湖北宜荆高三月考)已知抛物 - 线C:v^=4x的焦点为F,点P在抛物线上,点 A.存在正实数A,使得以MV为直径的圆与C O(m,n),点P到点0和到y轴的距离分别为 的准线相切 d.,d,则 - B. k,.分别是直线RV和RV的斜率, A. 抛物线C的准线方程为v三-1 k-k. ## =2 B. 若m=n=1.则△P0F周长的最小值等于3 MO1NQ的值与R点 C. 若(m-3){}+n{}=1.则d.的最小值等于2 C.作RO1MN于O,则 1RQ1 2 位置无关 6.(2024·陕西渭南高二期中)如图(单位:m) D. 对于任意的正实数p和A,存在点R,使得 是抛物线形拱桥,当水面处于1位置时,拱顶 R·--1 离水面2m.水面宽4m.水面下降1m后,水 16; 选择性必修第一册·BS 黑白题0548.AB解析：由已知可得=2，所以抛物线的方程为y2=4x,则点F(1, 0),准线1的方程为x=-1.A正确：当AB⊥x轴时，AB有最小值，令 x=1,代入地物线的方程，解得y=±2，所以1AB1=12-(-2)1=4. B正确：设直线/的方程为x=m+1,代人抛物线的方程可得y2 4-4=0,圳y,+y=4m,所以x1+B=m(ya+y)+2=4m2+2,当m= 1时.可得M(3,2),C错误：因为yy=-4,所以x=1,所以O, O成=x1+yy=1-4=-3,D错误故选AB 压轴挑战 9.60°解析：如图.直线m为抛物线的准线.过点A.B分别作AM,BN C解析：如图①，作PQ⊥AD,Q为垂足，则PQ⊥平面ADDA, 垂直于m,作BE⊥AM.因为IAF1=|AMI,IBF1=|BN1,且IAFI= 则PQ⊥A,D1+ 过点Q作QR⊥A,D,因为PO0R0=Q,则A,D1⊥平面POR, 31BF1,所以1ABMI=3引BN1,则IAB1=41BFI.IAEI=IAMI-IME1= 所以P1即为点P到直线A,D,的距离. 因为1PR2-1P012=1RQ12=16.1PR12-1PM2=16. 21BF,所以∠BE=号，则∠=60，即直线1的顿斜角为 所以IPM=1PO1. 60°，故答案为60 所以点P的轨迹是以AD为准线，点M为焦，点的抛物线 13 401234方6 D 10.C解析：抛物线)2=2：的焦点是下(？0），准线方程为x 4 一分设点P到准线的距离为Pm,则PI,1PI=1PI+1Pm,知 ①D 2 图所示，当A,P,H三点共线时，1PA|+1PFI取得最小值IAH1=4+ 如图2，建立平面直角坐标系，则点P的轨迹方程是y2=2(0≤y≤7)， 点（仔）设P(行) 所以u-√传)-6， /y52491 所以当y2=5时.1PB1取得最小值石故选C 3.2抛物线的简单几何性质 白题础过关 1.A解桥：抛物线方程2y,化成标准方程形式为产8y,可得其 11.B解析：如图所示，设抛物线的焦点为F,圆心为C,半径为r,则 开口向上，焦点坐标为(0,2).故选A F(0,2),C(6.-6).r=3.d=1AF1-2.所以IAB1+d=1AB1+1AF1-2.则 2A解折=化为标准形式为产=子，故焦点坐标为（后0）月 当F,A,B三点共线时，1AB1+1AF1取得最小值，此时IAB1+1AF≥ 准线方程为石由能半径可得小占1.解得，总故选入 1FC1-3=10-3=7.所以AB1+d的最小值为5.放选B. 3.AC解析：由题可知F(1,0),由1MF1=0+1=4,后=4o,所以xo= 3,0=25,10M1=√+后=√9+12=2I.故选AC 4.y2=4x或y2=36x解析：点M到对称轴的距商为6..设点M的 162=2r, 坐标为(x,6).又：点M到准线的距离为10， 号0解得 ?发故当在V的横华标为9时，热物线的标准方程为 y2=4x:当点1的横坐标为1时.抛物线的标准方程为y2=36x.故答 12.152 解析：设直线【：x-y+4=0的平行线为y=x+b且与抛物线 8 案为y2=4r或y2=36x 5.B解析：由题意得p=6,1AB1=x+p=6+6=12故选B ,2=x相切.联立 6.D解析：由数物线方程知1AB1=x+p=x1+xR+4=16,即x+xa= +6整理得y了2-y+b=0.则4=1-46=0，得6 2=, 12.所以线段B的中点P到y轴的距离为2 x,中x程 =6.故选D 7.A解析：将x=3代人)2=2r.得y=±√6p.由对称性不妨设点A在 }则d的最小值为 4 15,2故答案为5 12+(-1)2 8 x轴上方，则点A(3,√6p),B(3,-√6p),IAB1=I6p-(-√6p)1= 黑题 应用提优 2V6p,10P1=3,因此Saan=21MB1I0P1=2×2V6pX3=9,所以 1.D解析：如图所示，过点P(0.1)作直线与量物线y2=-4x相交，恰 =2故选A 好有一个交点，符合条件的直线有三条，其中两条是与抛物线相切的 直线，其中包含y轴，另一条是与抛物线对称轴平行的直线放选D 参考答案黑白题033 号=6，解得=2.则抛物线的方程为y=4好 准线为直线x=-1,A正确，B错误：将x=3 代人地物线方程，解得y%=±25，C错误： 点F(1,0),点P(5,±25).即1PQ1=25。 则8am225X(5-1)=45,D正确，放 选AD. (第1题) (第2题】 6.22解析：如图，因为1PO川=1P01,1PF1= 2.B解析：如图.因为M的准线方程为y=-1,所以由抛物线焦半径公 式得1AFI=2+1=3,1BF1=3+1=4,d+1=1CFI,故d=1CF1-1,所 PO1,所以1+号==√p.因为p>0 以IAF+1BFI+1CD川+d=3+4+1CF1-1+1CD川=6+1CD1+IGF1a6+ 可得p=4,即x2=8y.代入点P(,1)(0>0). 1DF1=6+√(4-0)2+(3-1)2=6+25，当且仅当C,D.F三点共线且 得=8又：x0>0.6=22.放答案为22. C在线段DF上时，等号成立，所以IAFI+IBF1+ICD1+d的最小值为 7,解：(1)设M(x,y〉，圆M的半径为由题意 6+25.故选B. 知.1MF1=r+1,M到直线I的距离为r.方法一：点M到点F(2,0)的 3.CD解析：不妨设该抛物线开口向右.可设该抛物线的方程为 距离等于点M到定直线x=-2的距离，根据抛物线的定义知，曲线C 是以F(2.0)为焦点，￥=-2为准线的抛物线.故曲线C的方程为y2= 户=2如(p>0),地球即焦点坐标为F(?0,设雪星的坐标为(， 8x.方法二：因为1F1=√(x-2)2+2=r+1,1x+11=T,x>-1,所以 )(x和≥0)，当梦星离地球4千万公里时，设梦星此时处于A点。 √/(x-2)2+y2=x+2,化简得y2=8x,故曲线G的方程为y2=8. 即AF=4,作AB⊥x轴于B,则∠AFB=60°，如图①，当B在F的右侧 (2)方法一：设P(0,0),由1PA1=21PF1,得(0+2)2+y02= 时，4B1=25,BF=2,所以A点坐标为(2+号，25），代入范物 2[(和-2)2+yn2],又6=80，解得n=2,故P(2,±4)，所以m= 线方程可得12=2p(2+号)，解得p=2(p=-6舍去).根据抛物线的 1,从面∠P:票方法二：过点P向直线=-2作看线，系足为Q 由抛物线定义知.1PQ1=IPF1,所以1PA1=√21PQ1.在△APQ中，因 定义可得其星到地球的臣离为x+ 2 =xo+1多1，则彗朵与地球的最 短距离可能为1千万公里 为L0=号所以血∠0p号从商乙0p=票，故 ∠PAF= 4 8.解：(1)抛物线C:2=2pr(p>0)的焦点F(号，0准线方程为x= 号，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为号气号)==2，所 以该抛物线的方程为y2=4x (2)[方法一]：轨迹方程+基本不等式法 如图②.当B在F的左侧时，1AB1=23,1F1=2.所以A点坐标为 设Q(xao）,则P=9QF=(9-9x0,-9o）.所以P(10。-9,10yo), (兮-2.，25）代入抛物线可得12=2即（殳2），解得p=6(=-? 由点P在抛物线上可得(10。)2=4(10。-9).即0 257+9 10,据此 合去).根据抛物线的定义可得特星到地球的距离为，片，+3产 整理可得点0的轨连方秘为)广=号8所以直线00的斜 3,则彗星与地球的最短距离可能为3千万公里，故选CD 率k三 Yo Yo 4.C解析：依愿意p=2,号=1，焦点F(1,0),准线4x=-1,设点 25925g当o=0时，4w=0:当o0时w P(-1,),Q(xao),由1FP1=41FQ得F币=4F或F=4,F 10 (-2,),F0=(0-1,0）.如图0①，当=4风时，-2=4(0-1)，即 3 25乡当0>0时.因为25。+2225%· 10 9 9=30,此时 Yo 2 0ckoo≤3，当且仅当250= 号即%=子时，等号成立当%<0 时.w<0:综上，直线00的斜率的最大直为 [方法二]：轨迹方程+换元求最值法 同方法一得点0的轨迹方程为子子号设直线00的斜率为 则2= 的对称轴为= 11 9,所以0≤k2≤)，3≤≤3青 9 3故直线0斜率 如图②，当币=40时.币=-4F元，-2=-4(n-1).即=2则 的最大值为) 2 [方法三]：参数+基本不等式法 5.AD解析：如图，抛物线广=2(>0)的准线为直线x=-子，过点P 由题可设P(4r2,4)(>0),Q(x,y).因为F(1,0).P=90亦，所以 向准线作垂线.垂足为点M,由抛物线的定义知1PF1=|PM1=5+ (x-4,y-4)=9(1-,-y.于是{=91=)所以 1y-4/=-9y, 选择性必修第一册·BS黑白题034 10y=4h. &.(子石)或(3-6)=5x解析：抛物线2=4的焦点 4r+ 4 为1,0，准线方程为-1.双确线的方程为号是=1.放=1， 9 当且仅当4= 3 ,即1三时等号度立.所以直线 2 设P(xo）,则PF1=0+1= 子解得0=子，代人抛物线方程可 0斜率的最大值为了 得后=4x3 =6，解得。=6，所以点P的坐标为（±6）因 §3阶段强化 黑题阶股强化 3 3 1.C解析：依题意知，焦点F(1,0),由定义知1MF1=xo+1,所以x。+ (v62-1,解得a=2=，所以双曲线的渐近线 62 3,所以=3故选C e2=2+b2 2.A解析：因为5√(x-1)+(-1)下=13x+4y-71,所以 √-4（一，3x+4-7,即动点P(,y)到定点（1.1）的距 方程为=±5x放答案为(，6)皮(-6)= 5 ±W3x 离等于到定直线3x+4y-7=0的距离，直线3x+4y-7=0过点(1,1)， 压轴挑战 则轨迹为过点(1,1)与直线3x+4y-7=0垂直的直线.故选A. 3D解析：设A().B(22),C(方).如 图，由题可得F(1,0),因为F是三角形ABC的 AC解折：当A=时，直线=号过抛物线焦点F,作M1山，NB山 重心，所以市号(+花)，可科 分别于点A.B,如图， ,即x,++与=3.所以1FM1+FB1: 3 =+++号=*+3=6 故选D. 4.C解析：由曲线C:x=√y+16-15,可得x2+2-16r+15=0,即 x2+(-8)2=49x≥0，曲线C是圆心为C(0.8),半径为7的半 同.又直线y=-1为抛物线x2=4y的准线.点F(0,1)为抛物线x2=4y 的焦点，依题意可知A,B为半周C与抛物线x2=4y的交点，由 则IMM1=WP1=p.1NP1=1B1=p,故子1N1=1FC1=p,且F为圆 +(y-8)2=49≥0得y-12+15=0,设A(),B(2),则 x2=4y, 心，所以圆与准线相切，故A正确：设R(0n),则后=20，不妨设 4=(-12)2-4×1×15=84>0,1+y2=121AF+1BF1=1+1+为2+ M(Ap.v2Ap),N(Ap.-v2Ap), 1=14.故选C. 5.BD解析：A:由抛物线方程可知抛物线的准线是：x■-1，A错误 则=V2 ,3=+② ,所以k= 6-2Ap2 To-Ap %-p B:当m=n=1时，△PQF的周长L=IPQ1+1PF1+1=山1+d4+1 (6-如)7,6-女= dg-4+1=3,B正确C:因为(m-3)2+m2=1,所以Q(m,n)在圆上，圆 2v2Ap 所以 k2-k1 22ip(0-p) = k,k3 为(3.o.所以4≥pw-.设r(行）期w=( 和-A 后-2Ap2 2 /2p(xo-Ap) =2不，故B正确：由题意，Q(Ap,0),期 16-4)2+8≥8，所以1PW1≥22，所以山，的最小值等 2pxo-2Ap* 1MQ11NQ11V2i01·1-√2Ap-yo112Ap2-24o 于22-1，C错误D:若m-I=-4,则Q(m,n)在直线1：x-y+4=0 -=2p为定值. IRQ川 IAp-xol IAp-xel 上.4场=4+1PF-1Sr-1521,D正确放选D 2 故与R点位置无关，故C正确：因为R=(p-,V2p-y).R= 6.(26-4)解析：如图，建立直角坐标 (p-0,-2p-%),所以·R=(Ap-)户+后-2Ap2= 系，则A(2,-2),设抛物线方程为 (Ap-0)2+20-2Ap2=(0-p)(0-p+2p）,设f八0)=(0-p)(0 x2=my,B(0,-3),将A(2,-2)代人 x2=my,得22=m×(-2),解得m量-2，所 +2p)(≥0)，关于6的二次函数图象的对称轴为0*p-2平 以抛物线方程为x2=-2y,将B(,-3) 42-2 ApPp,当和=Ap-≥0，即A≥1时《x和）mAp-p)=-p2,若对于任意 代人得x=-2×(-3).解得o=√6，则此 角钳刷-3) 的正实数p和A,存在点R,使得，=-1 时水面宽为2石米，所以水面宽增加 则㎡≤而即 (26-4)米.故答案为(26-4). 4,而不等式非拭成立，当。=Ap-p<0,即A<1时f(0)。= 7.(-,-5]解析：如图，设点P的坐标为 (m,n).则m2=-16n.准线y=4与y轴的 交点为A,则IPF=|PH|=4-#,IFHI= 0)=-2A2-2A≤- 16oD+(4p)2s-1 命由题意得-2p2+(Ap)2≤ √AFT+1AI下=√8+m=√64-16= 1 4√4-n.所以△PFH的周长为4√4-和+ 100仰A2-2A 1命由于一+时，1命云，所以不等式不 2(4-n).设函数f八n）=4√4-n+2(4-n)） 恒成立，综上，对于任意的正实数p和A,存在点R,使得R·示= (m≤0)，则n)为减函数（减函数+减品数=减品数）.因为f(-5)= 30,所以(m)≥30时，n≤-5.故答案为(-x,-5]. 1命不成立，放D错误放选ABC 参考答案黑白题035