第2章 3.1 抛物线及其标准方程-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册(北师大版2019)

§3抛物线 3.1 抛物线及其标谁方程 白题 基础过关 限时：30min 题组1抛物线定义的理解及应用 7.(2024·浙江金华高二期中)某学习小组研究 1.过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心的轨 种如图①所示的卫星接收天线，发现其轴 迹为 ( 截面为图②所示的抛物线形，在轴截面内的 A.圆 卫星信号波束呈近似平行的状态射人，经反 B.椭圆 射聚焦到焦点F处，已知卫星接收天线的口 C.直线 D.抛物线 径（直径）为6m,深度为1m,则该卫星接收 2.动点P(x,y)到点F(3,0)的距离比它到直线 天线轴截面所在的抛物线的焦点到顶点的距 x+2=0的距离大1，则动点P的轨迹是( 离为 m A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线 题组2抛物线标准方程的求解及应用 3.(2024·河南开封高二期末)已知抛物线的标 准方程是y2=4x.则它的准线方程是( A.x=-1 B.x=1 重难聚焦 C.y=-1 D.y=1 题组4利用抛物线的定义求最值 4.(2024·湖南株洲高二月考)焦点坐标为(-1， 8.已知抛物线y2=4x的焦点F和点A(3,3),P 0)的抛物线的标准方程是 ( 为抛物线上一点，则△PAF周长的最小值为 A.y2=-2x B.x2=2y ( C.x2=-4y D.y2=-4x A.2/13 B.6+13 5.(2024·福建南平高二期中)已知抛物线 C.5+/13 D.4+/13 x2=2py上一点A(x,2)到焦点的距离是该点 9.(2024·河北张家口高二期末)已知P为抛 到x轴距离的2倍，则p= 物线Cy2=4x上的动点，点P到y轴的距离 题组3抛物线的实际应用 为d1,点P到直线l:y=2x+8的距离为d2,则 6.(2024·山东滨州高二期末)如图是抛物线形 d,+d,的最小值为 ( 拱桥，当水面在1时，拱顶离水面4m,水面宽 A./10-1 B.25 16m.当水面上升2m后，水面宽为 C.25-1 D.52-1 10.(2024·辽宁本溪高二期中)已知抛物线 16 n E:y2=8x的准线为I,A(0,3),B是E上任 A.4m B.4√2m 意一点，过点B作BC⊥I,垂足为C,则 C.82m D.12m IAB1+IBC1的最小值为 选择性必修第一册BS黑白题050 黑题 应用提优 很时：40min 1.(2024·陕西西安高二期末)抛物线y=-6x25.(2024·广东深圳高二期末)M是抛物线C: 的焦点为 ( y2=4x上一点，F是抛物线C的焦点，1为抛物 () 线C的准线，MM1⊥1于点M1,若1MF1=4,则 △MMF的周长为 () c.(0.-) A.8+3B.8+23C.10 D.12 2.(2024·江苏泰州中学高二期中)如图所示， 6.(2024·江西宜春高二月考)设P是抛物线 一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方 C,:x2=4y上的动点，M是圆C2:(x-5)2+(y+ 形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆 4)2=4上的动点，d是点P到直线y=-2的距 顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高 离，则d+IPMI的最小值是 ( 度之差至少要有0.5m,已知行车道总宽 A.5√2-2 B.52-1 度AB=6m,那么车辆通过隧道的限制高度为 C.52 D.52+1 ( 7.(多选)(2024·江西南昌高二期末)已知 抛汤线 抛物线C:y2=8x的焦点为F,其准线1与 x轴的交点为A,P(xo,yo)为抛物线C上一 3边3m 动点，点B(3,2),则 8m A.当y。=4时，1PF1=6 A.2.25mB.3.25mC.3.5m D.3.75m B.当PA⊥PF时，xo=2w5-4 3.(2024·山东烟台高二期末)若动圆M与圆 C.IPBI+IPFI的最小值为5 C:(x-2)2+y2=1外切，又与直线x+1=0相 切，则动圆圆心的轨迹方程为 ( ) D.IPB1-IPFI的最大值为5 A.x2=8y B.y2=4x 8.(2024·山西太原高二期末)已知A是抛物线 C.y2=2x D.y2=8x x2=2y(p>0)上的一点，F为抛物线的焦点，0 4.(多选)(2024·山西长治 为坐标原点.当1AF1=4时，∠0FA=2” 31 高二期末)如图所示是某家 用汽车远光灯示意图，其中 则IOA1= 心截口曲线是抛物线的一 压轴挑战！ 部分，光源在抛物线的焦点 正方体ABCD-A,B,C,D1的棱长为4，点M在 处，且灯口直径是20cm,灯深10cm,则 棱AB上，且IAMI=1,P是正方体下底面ABCD ( 内（含边界）的动点，且动点P到直线A,D,的 A.远光灯光线按照路径F→A→B射向远处 距离与点P到点M的距离的平方差为16，则动 B.光源F到反光镜顶点O的距离是5cm 点P到点B距离的最小值是 ( C.与抛物线对称轴垂直的光线长度为12.5cm A. B.22 C.6 D.√2 D.灯口上任意一点到焦点F的距离是12.5cm 第二章黑白题05110.[3.9月解析：由双曲线的方程可得：=3,6=4，c=√后+6=5，焦 §3抛物线 点为F,(-5,0).F2(5,0),1PF,1-1PF21=2a=6,所以1PA1nm= IPF1+2,IPAl=1PF1-2.IPBI=IPF1+1,IPBI=PF21- 3.1抛物线及其标准方程 1.(PAI-IPBI)=IPAI-1PBI=IPF1+2-(IPF2I- 白题基础过关 1)=IPFI-IPF21+3=9.(IPA1-IPBI)=IPAI-IPBI= IPF,I-2-(IPF21+1)=1PF,I-1PF21-3=3,所以3≤1PA1- 1.D解析：设P为满足条件的圆的圆心，则点P到点A的距离等于点 1PB1≤9 P到y轴的距离，即点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上， ,点P的轨迹为抛物线故选D. 11.解：(1)由11MF,1-1MF,11=23可得2a=23.所以a=3.故c= 2.D解析：：动点P到点(3,0)的距离比它到直线x=-2的距离大1 v+6=2,离心率为5=223 ,动点P到点(3,0)的距离等于它到直线x=-3的距离.由抛物线 a53 的定义知，该动点的轨迹是以点(3,0)为焦点，以直线x=-3为准线 (2)F1(-2.0),F(2.0),M(o),所以MF·F=(-2-) 的抛物线.故选D. (2-+(%)2=后+后-4横为-g=1,所以丽，那=+ 3.A解析：因为2印=4，所以p=2,所以抛物线y2=4r的准线方程为 1= 一-1故选 后-4=站-1=-10，解得0 1 4.D解析：焦点坐标为(-1,0)，则抛物线开口向左，焦点在x轴上，故 抛物线的标准方程是y=-4x,故选D. 12.解：(1)由题意可知：e=3,F,(3.0),a=5.则62=2-a2=4,可知双 5.4解析：设抛物线的焦点为F,由于A(0,2)在抛物线上，放p>0,根 曲线的方程为 54 -=1.因为d=(3,-4)为直线1的方向向量，则 据题意可得AF=2151三4，由抛物线定义可得1F1=2+号=4 4 直线1的斜率=3，且点B,(0,-2)在直线1上，则直线方程为 解得p=4,故答案为4 6.C解析：以拱形桥顶点为原点.建立如图所示平面直角坐标系，则 y=-3x-2,即4红+3y+6=0,所以下：到1的距离d= 4 B(8,-4),设地物线的方程为x2=-2y,则有64=-2p×(-4),解得 8,得抛物线的方程为x2=-16y,令y=-2,则x2=-16×(-2)=32,得 4×3+3×0+6118 4+3 5 x=±42，所以当水面上升2m后，水而宽为82m.故选G (2)不存在.理由如下：如图.由题意可 知，B,(0,-2),B2(0,2),设P(o,0）,4x+3+6=0 则P吧=(-。，-2-%）.PB=(-x,2- %）,因为PB,·PB,=-2,整理得 后=2-6，由点P在双曲线上，则 7.2.25解析：建立如图所示的平面直角坐标系.设抛物线的方程为 5 y2=2x(p>0),由题意可得A(1,3),将点A的坐标代人抛物线的方 m2-后6 4L.可得了4=1，即8-4后 程可得9=2，解得=4.5，所以抛物线的方程为y2=9x,焦点的坐标 5=20,所以后<0，无解，所以不存在， 为（告.0），即(？，0），所以范物线的焦点到顶点的距离为 压轴挑战 D解析：如图，设双曲线的右准线与x轴的交点为D.则1F,D1=c ￥=225(m).放答案为2.25 。。,设直线A机，与x轴正方向的夹角为D. 262 重难聚焦 8.D解析：抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线1的方程为x=-1,如 图.过点P作PQ⊥1于点Q,则1PQI=IPF1,1PA1+IPF1=IPAI+ IF2Dl·e 1PQ川≥1AQ'1=4,当且仅当A,P,Q三点共线时.等号成立.，1AF1 由双曲线的第二定义可得1,1=1-s020, √(3-1)+32=√3，.△PAF周长的最小值为4+√T3.故选D. 1F2D川·e F1+os0心1AB1=AK,1+B邵， 2e·1F2D川 1-e2es26 2 5a,产2·h·1B1= 2x2c·imx -e203(h为B边上 e 2 -210 234 的高)，即-s2aD, -21 2c×2sim0=3n2②. -3 1-e2s28 9.C解析：如图，过点P作y轴的垂线并延长与抛物线的准线交于 由c2=a2+b2,①+2，整理可得25e2cos20+18ec0s0+9-16e2=03③， 点M.抛物线的焦点F(1,0),由抛物线的定义d1+d2=(41+1)+d2 由0可得e2-1=2-2s6,即s0-3-e ④ 1=1PM1+d42-1=PF1+42-1.根据图象可得1PF1+d2的最小值即为 2 点F到直线y=2x+8的距离，放d,+山，的最小值为2481-1=25 将④代人③，整理可得2=9 一放硅n 1+4 L.故选C 参考答案黑白题031 D正确.故选AD 5.D解析：如图. 10.√3解析：如图，抛物线y2=8x的焦点坐标为F(2,0),根据抛物 h抛物线C:y2=4x.可知F(1,0),准线方程1：x=-1,因为1MF1= 线的定义得IBC1=1BFI,所以1AB1+1BC1=IAB1+1BF1.故当A,B. 1MM,1=4=xw+1,所以xw=3,代人抛物线方程可得点yw=±23，不 F三点共线时，IABI+|BCI取得最小值为LAFL,IAF1= 妨设M在第一象限，则yg=25.所以1M,N1=yw=25.又1NF1= 10A+10F=√3+2=√13.故答案为√13. P=2,所以1M,F1=√M,NT+1F=√2+4=4，所以△MMF的 周长为1MF1+1MM,1+1M,F1=4+4+4=12.故选D. 6.B解析：由题知圆C2:(x-5)2+(y+4)2=4..C(5.-4),r=2,F(0, 1)为抛物线的焦点，直线y=一1为抛物线的准线，则过点P向直线 y=-1作垂线，垂足为D,如图①所示，期d=1+1PD1,根据抛物线的 定义可知IPDl=PFI,,d=1+IPFI.∴，d+IPMI=1+IPF1+PMI, .求d+PMI的最小值，只需求IPFI+P1的最小值即可，连接FC2 与抛物线交于点P,与圆交于点M,如图②所示， 思题应用提优 x-4y/ x=4 1,B解析：将抛物线y=-6x2的方程整理为标准方程形式得x2= 石，可知该抛物线的焦点在了轴负半轴上，且p立即子云 所以抛物线=-6：的焦点坐标为(0，）故选 2.B解析：如图，取递道截面，以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴。 建立平面直角坐标系，侧C(4,-4).设抛物线的方程为x2=-2y(> 0),将点C代入抛物线方程，可得p=2,则抛物线的方程为x2=-4y, 行车宽度AB=6m,将x=3代人抛物线的方程，可得y=-2.25,所以 2 限制高度为6-2.25-0,5=3.25(m》.故选B. 此时PFI+1PI最小，为IFC,I-r,(d+1PWI)=1+IFC1- F(0,1),C2(5,-4),1FC,I=52,(d+1P1)m=1+lFC1- r=52-L.故选B. 6m 7.BCD解析：由题意知F(2,0),A(-2,0),当0=4时，。=2，则 B PF=号0=4，故A精误：当PA1PF时，P为抛物线y户=8与圆 ,3m3m x2+y2=4的交点.二者联立并消去y,得x2+8x-4=0,所以x= -4±25.又x。>0,所以x=2、5-4.故B正确：如图①.过点B作1的 8 m 垂线BB,垂足为B,当P为BB与抛物线C的交点，即P.B,B三点 3.D解析：因为侧C:(x-2)2+y2=1的圆心为C(2.0).半径为r=1.设 共线时.PB+1PF1最小，最小值为5，故C正确： 动圆圆心的坐标为M(x,y),半径为R,则ICM1=R+r=R+1.又动园M 与直线x+1=0相切，即点M(x,y)到直线x+1=0的距离为R,所以 点M(x,y)到直线x+2=0的距离为R+1.所以点M(x.y)到C(2,0) 的距离与到直线x+2=0的距离相等，所以点M(x,y)的轨迹为抛物 线，其焦点为C(2,0),所以动圆圆心的轨迹方程为y2=8x故选D. 4。AD解析：对于选项A,根据题意可知，远光灯光线按照路径F→A一 B射向远处，故A正确：对于选项B.如图.以0为坐标原点建立平面 直角坐标系， 如图②，当点P为线段BF的延长线与抛物线C的交点，即P,B,F三 点共线时，1PB1-1PF1最大，最大值为1BF1=5,故D正确.故 选BCD 8.√2T解析：由抛物线的对称性，不妨设A在第一象限.过点A作准 线的垂线AC,过点F作AC的垂线，垂足分别为C,B.如图所示，由题 意知，∠BFA=∠OFA三.2红复=元因为1AF1=4,易知1AB1=2 2326 设抛物线的方程为y2=2r(p>0),可知C(10,10),可得10=20p,解 又点A到准线的距离为d=1AB1+IBC1=+2=4,解得p=2.在△AF0 得p=5,所以抛物线的方程为y2=10x,焦点坐标为F(25,0),光源F 中，10F=1,1AP1=4.∠0FA=2 ,由余弦定理得10A12=10F12+ 到反光镜顶点0的距离是？=25(m）,故B错误；对于选项C,与 1FA12-210F1·1FAIs∠0FA=1+16-2×1×4X =21.所以 抛物线对称轴垂直的光线长度为2.5+2.5=5(em).故C错误：对于 选项D.灯口上任意一点到焦点F的距离是10+2.5=12.5(cm),故 10A1=√2I,故容案为√2T. 选择性必修第一册·BS黑白题032 8.AB解析：由已知可得=2，所以抛物线的方程为y2=4x,则点F(1, 0),准线1的方程为x=-1.A正确：当AB⊥x轴时，AB有最小值，令 x=1,代入地物线的方程，解得y=±2，所以1AB1=12-(-2)1=4. B正确：设直线/的方程为x=m+1,代人抛物线的方程可得y2 4-4=0,圳y,+y=4m,所以x1+B=m(ya+y)+2=4m2+2,当m= 1时.可得M(3,2),C错误：因为yy=-4,所以x=1,所以O, O成=x1+yy=1-4=-3,D错误故选AB 压轴挑战 9.60°解析：如图.直线m为抛物线的准线.过点A.B分别作AM,BN C解析：如图①，作PQ⊥AD,Q为垂足，则PQ⊥平面ADDA, 垂直于m,作BE⊥AM.因为IAF1=|AMI,IBF1=|BN1,且IAFI= 则PQ⊥A,D1+ 过点Q作QR⊥A,D,因为PO0R0=Q,则A,D1⊥平面POR, 31BF1,所以1ABMI=3引BN1,则IAB1=41BFI.IAEI=IAMI-IME1= 所以P1即为点P到直线A,D,的距离. 因为1PR2-1P012=1RQ12=16.1PR12-1PM2=16. 21BF,所以∠BE=号，则∠=60，即直线1的顿斜角为 所以IPM=1PO1. 60°，故答案为60 所以点P的轨迹是以AD为准线，点M为焦，点的抛物线 13 401234方6 D 10.C解析：抛物线)2=2：的焦点是下(？0），准线方程为x 4 一分设点P到准线的距离为Pm,则PI,1PI=1PI+1Pm,知 ①D 2 图所示，当A,P,H三点共线时，1PA|+1PFI取得最小值IAH1=4+ 如图2，建立平面直角坐标系，则点P的轨迹方程是y2=2(0≤y≤7)， 点（仔）设P(行) 所以u-√传)-6， /y52491 所以当y2=5时.1PB1取得最小值石故选C 3.2抛物线的简单几何性质 白题础过关 1.A解桥：抛物线方程2y,化成标准方程形式为产8y,可得其 11.B解析：如图所示，设抛物线的焦点为F,圆心为C,半径为r,则 开口向上，焦点坐标为(0,2).故选A F(0,2),C(6.-6).r=3.d=1AF1-2.所以IAB1+d=1AB1+1AF1-2.则 2A解折=化为标准形式为产=子，故焦点坐标为（后0）月 当F,A,B三点共线时，1AB1+1AF1取得最小值，此时IAB1+1AF≥ 准线方程为石由能半径可得小占1.解得，总故选入 1FC1-3=10-3=7.所以AB1+d的最小值为5.放选B. 3.AC解析：由题可知F(1,0),由1MF1=0+1=4,后=4o,所以xo= 3,0=25,10M1=√+后=√9+12=2I.故选AC 4.y2=4x或y2=36x解析：点M到对称轴的距商为6..设点M的 162=2r, 坐标为(x,6).又：点M到准线的距离为10， 号0解得 ?发故当在V的横华标为9时，热物线的标准方程为 y2=4x:当点1的横坐标为1时.抛物线的标准方程为y2=36x.故答 12.152 解析：设直线【：x-y+4=0的平行线为y=x+b且与抛物线 8 案为y2=4r或y2=36x 5.B解析：由题意得p=6,1AB1=x+p=6+6=12故选B ,2=x相切.联立 6.D解析：由数物线方程知1AB1=x+p=x1+xR+4=16,即x+xa= +6整理得y了2-y+b=0.则4=1-46=0，得6 2=, 12.所以线段B的中点P到y轴的距离为2 x,中x程 =6.故选D 7.A解析：将x=3代人)2=2r.得y=±√6p.由对称性不妨设点A在 }则d的最小值为 4 15,2故答案为5 12+(-1)2 8 x轴上方，则点A(3,√6p),B(3,-√6p),IAB1=I6p-(-√6p)1= 黑题 应用提优 2V6p,10P1=3,因此Saan=21MB1I0P1=2×2V6pX3=9,所以 1.D解析：如图所示，过点P(0.1)作直线与量物线y2=-4x相交，恰 =2故选A 好有一个交点，符合条件的直线有三条，其中两条是与抛物线相切的 直线，其中包含y轴，另一条是与抛物线对称轴平行的直线放选D 参考答案黑白题033