第2章 2.2 双曲线的简单几何性质-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册(北师大版2019)

2.2 双曲线的简单儿何性质 白题 基础过关 很时：45min 题组1双曲线的几何性质及其应用 题组2求双曲线离心率的值 1(2024·江苏盐城高二月考)双曲线2士=1的 5.(2024·黑龙江哈尔滨高二期末)若双曲线 m xy a2b2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(4， 实轴长是虚轴长的3倍，则m的值为 C.g D.-g 3),则双曲线的离心率为 ( A.9 B.-9 B瓷 C. 2.(2024·安微滁州高二月考)已知等轴双曲线 3 035 9 C的对称轴为坐标轴，且经过点A(42,2),则 6.(2024·天津和平区高二月考)规定：直线1： 双曲线C的标准方程为 ( =1(a>0,b>0)的右准 人需名1 B. 3636 =1 线，以原点为圆心，且过双曲线的顶点的圆， x2y 被直线1分成弧长为2：1的两段圆弧，则该 c.28281 2828-1 D yx 双曲线的离心率是 ( 3.(2024·山西长治高二期中)已知双曲线C: B.√2 C. 6 A.2 D.5 y 971,则下列选项中不正确的是 ( A.C的焦点坐标为（±4,0）】 7(204·福建泉州一中高三月考)已知双曲线号 B.C的顶点坐标为(0，±3) F=1(a>0,b>0)的左顶点为A,点P,Q均在双曲 C.C的离心率为 线上且关于y轴对称，若直线AP,AQ的斜率之 D.C的虚轴长为27 积为子则双曲线的离心率为 4.(2024·河北保定高二期中)已知双曲线C的 实精长为4，且与双自线写号1有公共的 5 N.2 B.5 C. D.5 8.(2024·江西景德镇高二期 焦点 (1)求双曲线C的方程： 中)双曲线的光学性质为从 双曲线的一个焦点发出的 (2)已知M(0,3),P是C上的任意一点，求 光线经过双曲线反射后，反 IPMI的最小值. 射光线的反向延长线过双 曲线的另一个焦点.如图，F,F2为双曲线C: xy 。2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，若从右焦 点F2发出的光线在C上的点A,B处反射后 射出(A,B,F2共线)，且∠CAB=∠ABD= 120°，则C的离心率为 第二章黑白题045 题组3求双曲线离心率的取值范围 14.(2024·江苏南京师大附中高二期中)若双 9.(2024·山东潍坊高二期末)已知点F,F2分 线 ,=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)】 腿双线号 =1(a>0,b>0)的左、右焦 点，过F,且垂直于x轴的直线与双曲线交 到其渐近线的距离为3。 于A,B两点，若△ABF,是锐角三角形，则双 3 C.2 D.3 曲线离心率的取值范围是 2 ( A.(1,1+√2) B.(1,2) 15.(多选)(2024·河北保定高三期末)已知双 曲线C: 2 C.(2,1+2) D.(1+2,+) 1(m>0)的渐近线方程为 m2+3m2 0已知双曲线C:1(a>0,b>0)的左在 y=±2，则下列结论正确的是 焦点分别为F,F2,焦距为2c.若以线段F,F2 A.m=1 为直径的圆与直线ax-by+2ac=0有交点，则 B.C的离心率为5 双曲线C的离心率的取值范围为 C.曲线y=n(x-1)经过C的一个顶点 A.(1,2) B.(2,+0) C.(1,2] D.[2,+) D.y广：1与C有相同的渐近线 4 11.(2024·云南昆明高二期末)已知双曲线 重难聚焦 +子=1的焦点在y轴上，则离心率 m-24-m 题组5椭圆、双曲线共焦点问题 的取值范围为 x 16.已知椭圆C:)号=1与双曲线6，： 题组4双曲线渐近线方程及其应用 12.(2024·河北那台高二期末)双曲线广 =1 1有共同的焦点F,F,且曲线C,C y 618 在第一象限内的公共点记为P,若 的渐近线方程为 ( 3 ∠FPF2= A.y=±V3x B.y=±3 则双曲线G的离心率为 ( ) C.y=±3x D.y=±3 A.2 B.3 C.32 0.33 4 13.(2024·重庆第八中学高二期末)已知椭圆 需1的左焦点是双商线二号1的左 DC24,山东泰安高三期末)设椭圆C y 顶点，则双曲线的渐近线方程为 )/与双曲线C:共焦点，图 A.y=±5 B.y=±5 心率分别为c1,e2,其中e2=2e,设曲线C1,C 在第一、三象限的交点分别为点P,Q,若四边 C.y=±3 D.y=±4 形FQFP为矩形，则e2= 选择性必修第一册BS黑白题046 黑题 应用提优 限时：30min 1,(多选)(2024·江西宜春高二月考)已知双曲 4.(多选)(2024·黑龙江佳木斯高二期末)已知椭 线C:Ax2-By2=1的渐近线方程为y=±2x,则 x y 该双曲线的方程可以是 圆C:251与双线D:。下1(a>0,6>0) x B. 4y2=1 有相同的焦点F,5,且它们的离心率之积为 点P是C与D的一个公共点，则 ( D.4y2-x2=1 A.双曲线D的方程为-？=1 2.(2024·陕西谓南高二期中)如图，这是一个 落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以 B.IPF,I-IPF:1=2IF,F:l 看破是议线C导 。=1的一部分绕其虚轴 C.△PF,F2为等腰三角形 D.D上存在一点Q,使得QF,⊥QF2 所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面 圆的最小直径为8cm,瓶高等于双曲线C的 双曲线231上一点P到M(3,0)的距离 虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为 最小值为 6.写出一个同时满足下列性质①②③的双曲线 方程 ①中心在原点，焦点在y轴上：②一条渐近线 方程为y=2x:③焦距大于10. 7.(2024·河南南阳高二期中)已知双曲线C: A.16√2cm B.24 cm 1(a>0,b>0)的焦点与椭圆。+力=D a2 b2 C.32 cm D.8/2 cm 的焦点重合，离心率互为倒数，设F,F,分别 3.(2024·江苏南京高三期末)已知反比例函数y= 为双曲线C的左、右焦点，P为右支上任意一 女（≠0）的图象是双曲线，其两条渐近线为x轴 IPF12 点，则双曲线C的离心率为 PF2I 和，轴，两条渐近线的夹角为将双曲线绕其 的最小值为 8.(2024·黑龙江齐齐哈尔高二期末)已知F1, 中心旋转可使其渐近线变为直线y=±x,由此可 求得其离心率为2.已知两数y学+的图象 片是双钱C号 =1(a>0,b>0)的左、右 焦点，C的一条渐近线1的方程为y=4x,且 也是双曲线，其两条新近线为直线)y= 3和 F,到1的距离为3，P为C的第一象限上的一 y轴，则该双曲线的离心率是 ( 点，点Q的坐标为(2,0)，PQ为∠F,PF2的平 A.3 B.23 C. 分线，则cos∠F,PF,= 进阶突破拔高练P02 第二章黑白题04745,所以：2即P到公路1的距离为25n放店 1√/(x+5)+(1-0)-(x-5)+(1-0)1=6,其几何意义为平面 7 内一点(x,1)与两定点(-5,0).(50)距离之差的绝对值为6.而平 5.B解桥：由双曲线方程2-。=1可知a=1,e=3,故右焦点F(3 面内与两定点(-50)，(5.0)距离之差的绝对值为6的点的轨迹是 0),左焦点F,(-3,0).当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义 知IPFI-1PF,1=2,所以PFI=1PF,1+2.从而1PA1+1PF1=IPA1+ 双黄线，设孩双钱的方程为三子=1(o>0,60),限1。 PF,1+2≥1AF,1+2又1AF,1=√32+(-7)2=4为定值.所以 23-94该双周线的方程是号名1令，1，解得 1PAI+1PF1≥6.当1PA1+1PF1=6时，此时点P在线段AF,与双曲线 的交点处（三点共线时距离蔬短），故选B. 3 已数答案为：3 4 6.B解析：由题设知IAF,I-1AFI=1BF,1-1BF21■2a=10.令1BF,1= x,则1AF,=x+15-I0=x+5.IBF,1=x+10.在△ABF,中，IAB=I5. 12.解：(1)设观察员可能出现的位置的所在点为P(x,y).因为A点接 ∠RA,=于，则s∠FA5= 1AB12+IAF 12-18F1 1 收到信号的时间比B点接收到信号的时间早秘，故1PB一 21ABIIAFI 所以 225+(x+5)2-(x+10)21 30(x+5) 2解得x=3,故1AF,1=8,则1A1=18, x。=40<1AB1=60,放点P的坐标满足双曲线的定义，设 Va 所以1AF,1+1AF,1=26.故选B. 双尚线方程为子上 9。=1(x<0),由题可知2a=40,2=60,解得 7.B解析：不妨设点P在第一象限，山椭圆和双曲线的定义，得 PF,1+1P,=2解得1PF,1=,+2PE=a-由余弦定 a20,e=30,心=2-2=50，赦点P的轨迹方程为01(x<0 (1PF1-lPF21=2a2 理得IFF12=1PF,12+1PF212-21PF,1·1PF,1c%60°，∴.42 (2)因为A(-30,0).C(0.30),设AC的垂直平分线方程为y=kx. (ato户+(a-m)2-2x号（a,+aa,-m=2a+2a-(a- 则=0一二0。-1，则4G的垂直平分线方程为y=-,联立 30-0 00 a+3a,即a-c2=3c2-3a,b=36,即b1=3h故选B. r 8店解折：因为双曲线一卡=1(b>0)的盘距为4，所以1+。 01(x<0)可得=2000，放x=-205,y=205,故观察员遇脸 地点的坐标为(-205,205)，与监测中心0的距离为 (传）广-4得6=5食佳已合去.故容案后 √(-205)2+(205)2=200（千米）. (3)设轨迹上一点为P(x,y),则1PC1=+(-30)= 9.20解析：根据双曲线的对称性，在玲冷却塔的轴截面所在平面建立平 面直角坐标系如图所示， -+90.义因为品1，可得=00，代人可 2 得1Pc15子-60*130=(80 9 +800≥√800= D寸D: 20厅，当且仅当，-时，1C取得最小值20反.放扫情半径r至少 是20、2千米 使最小圆的直径DD在x轴上，圆心与原点重合.此时上，下口的直径 压轴挑战 CC.BB都平行于x轴，且1BB1=2×13=26(m).1CC1=2×25= 0m.设双周线的方程为后-卡=1(o>0,>01.期B(1, 2(5-√3)解析：如图，设内切圆半径为R,切点分别为N,M.P,由 题意得a2=3.b2=1.则e2=4.a=3,c=2,所以1F,F21=2e=4.由双曲 C(25,为)(y1>0,2<0).因为直径D0是实轴，又B,C两点都在双曲 线定义有1AF2I-1AF,1=1BF1-1BF,1=25.又因为A店·AF=0即 132 122621 5 2,所以1A5P+1M5,P=1R5户，因此1A5,1+1A5,1= LFAB= 线上，所以 2525 解得。 (12242=1, =48T 因为y-力=55，所以 2(1AF212+1AFI2)-(1AF2I-1AF1)2=√2×42-(23)2=25，从 126 5 商△B,的内切调半径R=子（1B1+1A,1-职，) 12 6=55,解得6-245，所以双曲线方程为二广二 12224.51,所 以一吕×245票两为双偷线关于：输对称.所以112 5 之(1M+A,)-子(BF,-BF,)=5-3,所以△AB5,的内切 厕周长为2πR=2(5-√3)m.故答案为2(5-3)π 245245 2412 =20(m).故答案为20. 10号解折：因为B,:M1:4,=5:12:13.所以上B 设1BF21=5x,则IAB1=12x,1AF21=I3x.由IBF,1-1BF2|= 1AF2I-IAF,I,得12x+1AF1-5x=13x-1AF,1,所以IAF,I=3x,则 1BF,1=15x由1BF,12+1BF212=1F,F2I2,得2502=4e2.又因为 22双曲线的简单几何性质 {B=20所以2=2.e5=云放△a,的 白题 基础过关 c2=m2+3. 1.C解折：由双曲线y户二=1，可得m>0,且4=1.b=m,因为双曲 面积S=子481B,1=302-号故答案为号 1.主3万解折：由1+10x+26-VP-10x+261=6,可得 线的实轴长是虚轴长的3倍，可得a=36,即1=3V而，解得m=号故 4 选C 参考答案黑白题027 2.C解析：设等轴双曲线C的方程为二上=1，将点4(4迈，2)代入 10.D解析：以线段F,F:为直径的圆的方程是x2+y2=2,与直线x- mm y+2c=0有交点，则圆心到直线的距离d= =20c 得241.解得m=28所以双曲线C的标准方程为-。 m所 2828=1故 0+(-b) 选C 则双曲线的离心率e=C≥2.故选D, 3.A解析：因为a2=9.2=7,所以a=3.b=7.c=√a+b=4.因为焦 =1的焦点在y轴上，将双曲线方 点在y轴上，所以C的焦点坐标为(0，±4)，顶点为(0，±3)，离心率为 1.(1,②)解析：双曲线二 义m-24-m 3,虚轴长为27.故选A 4 化为云1浙以公8得仁即ac2离6 “4-m2-m 4解：()双曲线号号1的套点为0.5.所以设双南线C的力 2 22 4- 程为上2 7京反=1，所以a=2,a2+=5,解得6=1，所以双曲线C的方 从而e<2故答案为(1,2). 程为2 2.B解析：由双曲线。81可得a=6,6=32.所以渐近线方程 (2)由 =1可得，y≤-2或y≥2，设P(00),0≤-2或 为)=±？=±号做选B 四方法总结 6≥2.则号 -后=1，所以1PM1=√后+(03)= 已知双曲线的标准方程求双面线的浙近缓方程时，只要令双由线的 原1(o-3)2=√8-6+8所以当o-号时.1m有最 5 标准方程中为“0”就符到两素近战方程，即方程子二 a2分=0能是 攻曲线22 25 线。厅(>0,6>0)的商来渐近线方程. +85 13.D解析：设椭圆焦E为2c(c>0).则e2=25-9=16,则e=4.所以桶 5A解折：由意得后卡=1的斋适线方程为=片，总然点4。 59=1的左焦点为(-4,0)，所以双曲线日 网 示91的左顶 b+a 3)在y= 点为(-4,0)，所以a=4,所以。2=16，所以双曲线二二 16g=1的渐 双情线的离心率为？故害入 3 近线为y=±子x故选D 6.A解析：设圆与直线1相交于点B和C,双曲 线的右顶点为A,如图所示由题意得：圆的回 14A解折：易知双南线号千1的-条新近线为， a故F(e 心为0.半径为10B1=10C=a.由侧被直线1 分成弧长为2：1的两段圆弧，可得∠C0B= a ，所以之故话 3 120°所以根据圆的对称性可得∠AOB=60° 0)到其距离为d= =b= e 2 由直线方程55：二，可得三：o之A0R 15。AD解折：仪典线C:后1(0)的新近线方程为y 即c=2a.所以双曲线的离心率e= =2故选A a 7.A解析：设P(,a),则Q(-xa,%）,A(-a,0),则k·k0= √m+3 4所以解得1m1合 ·n后曲以o)在双前线上.故号日 *a-n*a2-x' a262=1,即有 故A正确：双面线C1,所以G的离心率为四受故 2 x2 B错误：双曲线C:4y=1的顶点为（±2.0）.因为n(2-1)=0.所 6-m2),故方 62 02(分-a2 后= 6 2,即有 -号即 以曲线y=n(x-1)经过C的一个顶点(2,0)，放C正确：对于D,令 -号0，则y文即户-日 =1的渐近线方程为y=士了，放 D正确，故选ACD 8.3解析：由题意可知A,B在双曲线的右支上，因为∠CAB= 重难聚焦 ∠ABD=120°，则A,B关于x轴对称，所以∠F,AB=60°，AB⊥x轴， 16.A解析：因为椭圆和双曲线有共同的焦点，所以a2+b2=49-7=42。 又1FB=2,所以14,1=2 ,由双曲线定义可得 所以1F,F1=242.因为P为两曲线的公共点，所以1PF,1+ 1PF2=249=4,1PF,1-1PF21=2a,联立得1PF,1=7+a, AF I-1AF2I=20=- 后即e=放行6放答案为6 pE=7-因为2F,PF;2红.所以s2fP所2 3w5 9A据折：在双角线号云1a>0,0)中，令6得)=会所 (7+a)2+(7-a)2-(242)2 2(7+a)(7-a) 7,解得=V工，则双曲线的离心 以A.B两点的纵坐标分别为士，由△AB那，是锐角三角形，可得 率为厘2故选A /2T 2 17.解析：如图所示由椭圆和双曲线 ∠AF,R,<平，即m∠A,5<1,所以有二<1，面在双曲线中有 的定义得1PF,1+1PF21=2a,1PF,I- 2=2-2所议<1.即2-2ac-2<0,同除以2得，2-2-1<0， |PF2I=2m,设1PF,1=s,1PF31=t,所 以=a+m,a-m因为∠FPS=2,所 解得1-√2<e<1+2,又>1，所以1<e<1+2,故e∈(1,1+√2)，故 选A 以(a+m)2+(a-m)2=4c2.即a2+ 选择性必修第一册·BS黑白题028 m2=22,得}+号=2，又因为2=20.解得心2= 故容案 2 =2x,可得分=2，即a=26,③焦距大于10，可得2>10.>5，可取c= 为⑩ 6由产4，可得：出=兰所以双曲线方程可以为需 144 2 5x 黑题应用提优 6人 1.AC解析：由题可设双曲线的方程为4x2-y2=A(A≠0)，当A=4,-4 时，对拉的方程为之-子1，号=1，商即中的方程均不能化成 四方法总结 求双曲线离心率或离心率范围的两传方法：一种是真接建立©的关系 “4x2-y2=A(A≠0)”这样的形式故选AC 式求e我e的范国：另一种是是立a,b,c的齐次类系式，将b用a,c表 示，转化为e的关系式，进而求解， 2.D解析：如图，因为该花瓶横截面圆的最小直径 为8m,所以：=4.设M是双曲线C与瓶口截面的 一个交点，该花瓶的瓶口半径为r,则M(r,b),所 7.38解折：因为精圆方程为行分=1，所以其离心率6 以6 以P=1,解得r=42,故该花瓶的瓶口直径 。尔=1(a>0,b>0)的离心率 为2r=82cm故选D. =3.设双曲线C的半焦距为>0.，因为双曲线C:。京=1(a>0, e 3.C解析：在第一象限内，函数y= 0)的焦点与精周子号1的焦点重合.所以7刀。 位于，=名，上方，由于=和，轴是渐近线，所以两条渐近线之 二=1.因为F1,R,分别为双曲线C的左，右焦点，P为右支上任意一 何的夹角20：号故0=石不纺将双曲线)一 针旋转30°，则可得到其焦点在)轴上的双曲线二二 26尸=L,且两条渐 点，所以1PF,-P,1=2a=2.即1P所，1=2+1p9,1所以 IPET (2+1PF,1)24+41PFzI+1PF212 4 近线之间的夹角20：号，因此其中一条新近线的顿斜角为号，因此 IPF2I IPFI =1PF,1+PF,+4,因为 1PS,1≥c-a=2.由基本不等式可得PE 4 PFTPF+1PE14 4 选C 2√PF·4=4+4=8,当且仅当1P91=P即 4.ACD解析：如图.设F,(-e,0),F2(c,0), IPE 椭圆C的半长轴为@，>0，半短轴为b,>0, P,=2时取等号，所以PF,的最小值为&故答案为3：8 椭圆C的离心率为1，双曲线D的离心率 11 x22 解析：因为双曲线的焦点在x轴上，取其中一条新近线为y= 为e由椭圆C:2521可知：a,=5,6= 8.14 2子所 。,即-y=0.,(-c,0)到渐近线的距离1-1 =b,由题意可 √后+b F(-2,0),F,(2,0).因为椭圆和双曲线的 b3 c2=a2+2 可得a=4,b=3.c=5.则1F1Q1=7,1F2Q1=3. 离心率之积为；，所以双曲线D的离心率为2，则 e=2, 解得 c2=a2+b2 e= a IFPI IFQI 7 1F,F2I=10.因为PQ为∠F,PF2的平分线，则 所以双周线D的方程为？-号=1，放选项A正确：因为 1 F2PI1F2Q13· lb=3, 即IF,P列= E,Pl,又因为1BPI-,PI=子FP-F,PI 3 =4,则由双自线定义可知11E,1-P,1=2=了F,,故 P1=2a=8,可得1，P川=6,1F,P1=14,所以m 选项B错误：根据对称性，不妨设P在第一象限，由椭圆和双曲线的定 文可个P据网事所R所以 P1BP-50告放答案为号 2IF,PI·IF2P 2×14×6=14 △PF,F2为等腰三角形，故选项C正确：假设D上存在一点Q,使得 §2阶段强化 QF:⊥QF2,则点Q在以F,F2为直径的圆x2+y2=4上，联立方园 2+y2=4. 黑题 阶段强化 3=1 方程组有解，所以D上存在一点Q,使得QF,1QF:,故 1.A解析：由题知，椭圆焦点为(2,0)，(-2,0)，设该双曲线方程为 选项D正确.故选ACD =1,半焦距为c,则c=2,2b=3×2a,即6=5a,又+ x2 52解扬：设P66.则名-号1.博后=话-.于是得1Pm1 =己，解得2=1,62=3，所以双曲线方程为2 3=1故选A --6=4(）周1≥1 2.A解析：F,(-©，0)，取一条渐近线x-y=0,所以F,到这条渐近线 的距离dsI-c -=b,所以b=26.又因为渐近线过P(1.26),所 则当6=1时，Pw=2,所以双曲线2-三=1上一点P到M(3 Vu +h 0)的距离最小值为2.故答案为2 以么=26，所以a=1,所以e=+=5若M在左支上，MF,1 655x 436=1(答案不唯一）解析：由①中心在原点，焦点在y轴上， 5>c-a=4,符合要求，所以1MF21=2a+|MF,1=7.若M在右支 上，1MF,=5<c+=6,不符合要求，故选A y2 r2 可设双曲线方程为 。京=1(>0,6>0)，②一条渐近线方程为 3.D解析：曲双曲线C:三反1，可得其渐近线的方程为y=±。 参考答案黑白题029