第2章 1.2 椭圆的简单几何性质-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册(北师大版2019)

1.2 椭圆的简单儿何性质 白题 基础过关 限时：25min 题组1 椭圆的几何性质及其应用 5.点P在焦点为F(-4,0)和F2(4,0)的椭圆 1已知椭圆 =1与椭圆+ =1有相同 上，若△PFF2面积的最大值为16，则椭圆的 2516 标准方程为 的长轴，椭圆 b =1的短轴长与椭圆 ,x2 19 6.已知A1,A2是椭圆2+y2=1(a>1)的左、右顶点， 1的短轴长相等，则 ( 点P是椭圆上的点，直线PA,的斜率为，直线 A.a2=25,b2=16 B.a2=9,b2=25 P%的斜率为，若6=子则实数 C.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25 d= D.a2=25,b2=9 7.(2024·重庆南开中学高二期中)若P是椭圆 2(2024·广东广州高二期末)椭圆 -1与 516 =1上动点，40.3).则IPA的最大 x2 椭圆 =1(m<16)的 5-m16-m 值为 A.长轴长相等 B.短轴长相等 8.求适合下列条件的椭圆的标准方程： C.离心率相等 D.焦距相等 1)长轴长为6，离心率为3： 3.(2024·黑龙江哈尔滨高二期末)阿基米德不 仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他 (2)经过点P(3,0),离心率为6 焦点在 利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等 于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积若焦点 x轴上： (3)x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线 在：轴上的椭圆C的离心率为子，面积为 互相垂直，且焦距为6. 127π，则椭圆C的标准方程为 B.3241 c系 兹到 4.(多选)(2024·陕西汉中高二期中)若椭圆 mm2-1 =1上的一个焦点坐标为(0,1)， 则下列结论中正确的是 A.m=2 B.C的长轴长为23 C.C的长轴长为4 DC的离心率为} 选择性必修第一册BS黑白题036 题组2求椭圆离心率的值 题组3求椭圆离心率的取值范围 9.(2024·四川锦阳高二期中)已知F1,F2是椭 14已知椭圆号卡=1(a>b0)的左，右焦点分 圆C的两个焦点，焦距为4.若P为椭圆C上 a2 b2 一点，且△PF,F,的周长为10，则椭圆C的离 别为F,F2,以IFF2I为直径的圆与椭圆有 心率e为 四个交点，则椭圆离心率的取值范围为 ( ( c号 D. B经) 10.(2024·河南南阳高二期末)已知0为坐标原 点，F5是椭圆C:+三1(0>b>0)的焦 c分 D.2) 点，过右焦点F,且垂直于x轴的直线交C 简圆+y=1（a>b>0)的两个焦点是F,F 15. 于A,B两点，若∠AOB=90°，则C的离心率为 若P为其上一点，且IPF,1=51PF21,则此椭 ( 圆离心率的取值范围是 ( A.5-1 B.3-1 2 2 A.(0.) R(o】 C.3+1 D.2-1 c经) D匠 2 2 16.(2024·浙江杭州高二月考)已知F是椭圆 1.已知椭圆+二 =1(a>b>0)的左、右焦点分 a2 b2 。=1(a>b>0)的右焦点，0是坐标原点. 别为F,F,点A是椭圆短轴的一个端点， 点M是OF的中点，椭圆上有且只有右顶点 且cs∠RAS,= ,则椭圆的离心率为 (a,0)与点M的距离最近，则该椭圆的离心 率的取值范围是 B.3 C 3 D.3 7.已知椭圆C:二+广三1(a>b>0)的两个焦点分 6 6 别为F1,F2,短轴的一个端点为P 12(2024·浙江台州高二期末)已知椭圆+ (1)若∠F,PF2为直角，焦距长为2，求椭圆 C的标准方程； F=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F,P (2)若∠F,PF2为钝角，求椭圆C的离心率 的取值范围， 为椭圆上的点，若∠F,PF2=60°，IPF,I= 21PF,1,则椭圆的离心率等于 I3.已知正方形ABCD的四个顶点都在椭圆E: 。云=1(a>b>0)上，若正方形ABCD的一条 x2y2 边经过椭圆E的焦点F,则E的离心率 是 第二章黑白题037 黑题 应用提优 限时：30mim 1.(2024·江西新余高二月考)已知椭圆 x2 5.(2024·福建福州高三月 10-m =1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m 考)已知椭圆E:。 =1 m-2 (a>b>0)的左、右焦点分别为F,F2,过坐标原 等于 ( 点的直线交E于P,Q两点，且PF2⊥FQ, A.4 B.5 C.7 D.8 2(224·江西抚州高三月考)已知椭圆c:号 且Sar0=),1PE,I+E,QI=8,则E的标 准方程为 y =1(>b>0)的上顶点，右顶点，左焦点恰好 6.(2024·四川宜宾高二期末)椭圆E:25行引 是等腰三角形的三个顶点，则椭圆C的离心 的左、右焦点分别是F,(-c,0),F2(c,0),椭圆 率为 E上存在一点P,满足∠F,PF2=90°，bC=12, A.3 2 B② 2 D.31 2 则椭圆E的离心率e= 3.(2023·河南商丘高二期末)已知椭圆C关于 (2024·重庆水川区高二期中)设椭圆+ x轴、y轴均对称，焦点在y轴上，且焦距为2c 1(a>b>0)的焦点为F,F2,P是椭圆上一点， 6 (c>0),若点A(,c不在椭圆C的外部，则 且∠FP所，=行，则△F,PR,的面积为 椭圆C的离心率的取值范围为 (用含a或b的式子表示即可).若 A Ro】 △F,PF,的外接圆和内切圆的半径分别为R, r,当R=6r时，椭圆的离心率为 c原) (o.) 压轴挑战！ 4.(2023·河南周口高二月考) (2024·江西宜春高二期中)已知△ABC的三 我们把由半随圆+石1(x马 个现都在结面人导 =1(a>b>0)上，其 0)和半椭圆， 中A为左顶点，B为上顶点，若以B为顶角的等 +。=1(x<0)合 腰三角形ABC恰好有3个，则T的离心率的取 成的曲线称作“果圆”（其中a2=b2+c2,a>b>c> 值范围为 O).如图，F,F2,F,是相应半椭圆的焦点.若 ( △F,FF是等腰直角三角形，则构成该“果 圆”的两个半椭圆的离心率之积为 ( c.(o.) a B 进阶突破拔高练P2 选择性必修第一册：BS黑白题038为定值综上可得，合题甲是命题乙的必要不充分条件.故选B 2C解折：由椭圆子1可得，椭圆的焦点坐标为（生5,0），设点 解：设级则-即4-4 x-81 F,的坐标为(-5,0)点P的坐标为5，±2)1PF,1=2 11 广户=之66，整理得。古1，所以动东的教连方程为 22 由椭圆的定义得1PF,+PF1=2a=4.1PF,1=2故选C 1612= (2)由(1)得动点M的铣迹为椭圆，且F,F,为其焦点，则1PF,1+ 3.C解析：因为PF,I的最小值为1，所以a-=1.因为△PF,F2的周 长为34，所以2a+2c=34,所以c=8,a=9.因为a2-2=e2,所以b= 1PF21=8,1FF21=4,由余弦定理得1F,F2=1PF,12+1PF212 2iPF1IPF2Icos60°，即16=(1PF,I+1PF2I)2-31PF1IPF21= V7,所以椭圆c的标准方程为二，二 8117=1.故进C 6-3PF,1iPF1,所以PF,1P形1=16，所以saw62PF,· 4.C解析：由题意可知2a×2b=48.所以ab=12.选项A:a=2,b=1, ab=2.不满足：选项B:a=6.b=4,ab=24.不满足：选项C:0=4.b=3. lPF,lsim60°=4w3. a山=12，满足：选项D:a=4,b=2,b=8,不满是.故选C 12.解：1)由圈意得2，之=1则A(0.2).设P(,》,则1P42=2 5.D解析：由题意得，半圆的方程为2+y2=1(y≤0).在半椭圆中 54 6c=1,期a=万，放半椭圆的方程为兮=1（≥0）.将：=受代入 02=5x(-)(-22-4+9ye-2.21,=次函 2 2 数图象的开口向下，对称轴为直线y=-8.且在y。[-2,2]上单调递 半精躅的方程，解得a=将x=之代人半圆的方程，解得方=2 减.∴，y=-2时函数值最大.此时P为椭圆的短轴的另一个端点， 1x2+2x2+2故选D ·椭圆厂是“圆桶圆” 放1AB1=222故5Ar=,X务 21 2 4 （2周周方程为导号1，则40,2).设P,测1P产 6.AB解析对A,因为椭圆C:。+1,二=3，b=5,=2 (2)2=m2. △PF,F2的周长为2a+2=10,故A正确：对B.因为1F,F,1=4.面积 (-）小-2=(）产-442.2e 最大时高最大，为6，所以△PF乃面积的最大值为？·2上·6= 【-2,2]二次项系数4 <0,函数图象开口向下，由题意得，当且日 25,故B正确：对C,椭圆C的焦距为4.故C错误：对D.椭圆C的 a>2 离心率为：=子故D错误放选 仅当y=-2时函数值达到最大， ≤-2，解得2<a 4- 4 7.C解析：由题意知a=3,b=2,半焦距e=5,所以由椭圆定义知 IPF I+IPFI 22.综上.a的取值范国为(2,22] PF,+1PF,1=6.故PP+PP=1PF1·PE 压轴挑战 IPF IPETPFI=IPF(6-IPF1)=61PFI- 6 (0.22)解析：如图.设F,M与PF2的延长 线交于点G,因为F,i·亦=0，所以F, 1PF12=-(1PF1-3)2+9,3-√5≤1PFI≤3+5，所以当1PF,1=3 M币又M是LF,PF2的平分线上一点，所 √5或1PF,1=3+√5时.1PF,1·1PF2取得最小值，最小值为9-5=4， 以MP为∠F,PF,的平分线，所以PF,= 所以 一的最大值为。 PG,且M为F,G的中点因为O为F,F2的 PFIIPFI 8.2 25+2引=1解析：设动圆C的圆心为C(x,）,半径为r,又由圆G: 中点，所以0W∥：G且10W1=号15GL因为1G1 x2+y2+4y+3=0得C1:x2+(y+2)2=1.圆心C,(0,-2).半径r1=1.由 11G-Pf111PF,-Pf:1.所以10W1=22a-21PF:1 阃C2:x2+y2-4y-77=0得C2:x2+(y-2)2=81,圆心C2(0.2).半径 r2=9.由已知得1CC,1=1+r,ICC:1=9-r,两式相加消去r可得 |4-1PF21因为4-22<1PF21<4或4<1Pf21<4+22,所以I0∈ 1CC,1+1CC1=10.根据柄圆定义可得动圆C圆心的轨迹为以C1,C (0.22).故答案为(0.22). 为焦点的椭圆，设为二是=1，其中。=5=2，所以=25十2 12椭圆的简单几何性质 白题 础过美 25'271放答案为广，2 所以动圆C调心的轨迹方程为二，之 25'21=1 9 部折：在频同云号1中a=5=3,放e4,放4-4,0 D解新：有云。-1的长销长为0，焦点在：上，用己 4 g=1的短轴长为6，六a2=25,2=9.故选D C(4,0)是椭圆的两个焦点，∴.AB1+1BC1=2a=10,1AC1=8.在 △ABC中，由正弦定理得m1+血C.BC1+1AB_10_5 2.D解析：因为第一个椭圆的1=5.b1=4,刚焦距为2√25-16=6， sin B IACI 84 10.12解析：设MN的中点为D,椭圆C的左，右焦点分别为F,F,如 所以长轴长为10，短轴长为8，离心率为子第二个椭圆的 图所示： 25-m,b=√16-m,则焦距为2√(25-m)-(16-m)=6,所以长轴 长为2√25-m,短轴长为26-m,离心率为3，所以A.B。 √25-m C错误，D正确.故选D. 3C解折：设质圆的标准方程为号卡-1(00.瓶距为么.依整 连接DF:,DF2,F:是MA的中点，D是MN的中点，，F,D是 ab=127 △MV的中位线.1DF,=子AN1.同理，1D:1=BN1, 意有子海 ”随侧的标雅方程为48+2=故 ,1ANI+1BN1=2(1DF,1+1DF21).:D在椭圆C上，∴.根据椭圆的 u2=b2+e2, 定义，可得1DF,1+IDF,1=2a=6,,1ANI+IBNI=12, 选C, 选择性必修第一册·BS黑白题022 4.AB解析：由焦点为(0,1)可得椭圆的焦点在y轴上，所以 12=m2-1>0, 123 3 解析：由椭圆定义可得1PFI+1PF21=2a.又1PF,I=21PF3I. b2=m>0, 解得m=2..=√3，b=√2，c=1,桶圆 c=√a-=√m-m-1=1, 故1P阳1：号，1P以1=，由余弦定理得m∠P所 的长纳为2a=25.离心率为二故AB正确，CD错灵，放选A想 9t9422 16a24a2 F P1+EP12-E31 -4e2 5.2 2IFPI·IF,PI 3216 =1解析：由题意得2e=8,即c=4设P(o%),则1ya1≤6.因 2,.2a 16r2一=2，故 33 9 此am,宁F,1。≤宁5,1=k△PF,5商积的最 9-8216 40a 9,解得=3 大、然一之容容 大值为16，加=16，即4b=16,b=4,.a2=2+e2=16+16=32.故椭 圆的标准方程为子，之 解析：设点F是椭圆的左焦点，右焦点为F,则1FF1=2c.因 3216=1 13. 62解折由葛圆二=1o>1,知4(-a01.4a.0),设P 为正方形ABCD的四个顶点都在椭圆上，所以不妨设点A在第一象 限，则1AFP1=C,1AF1=5c,由椭圆的定义知|AF1+1AF1=2n.即 1 y).直线PA,的斜率为，直线PA,的斜率为与=4 5c+c=2a,所以离心率e=仁：25- a5+12 0.01 号子化简得44护-0.即号卡1D 14.A解析：因为以FF1为直径的圆与椭圆有四个交点，所以b<c x+a-a 4 即<c2a22<2,a2<22,所以 2,即2 又因为0<1，所 可得a=2. 7.4解析：令P(x,y).则1P41=√2+(y-3,又x2=4(1-y2),所以 以椭圆离心率的取值范围为 21故选A 1PA1=√3(y+1)+16.又-1≤y≤1，所以当y=-1时，1PA取得最 15,D解析：由题意可知1PF,1+1PF21=2a,1PF,1=51PF21,则 大值4.枚答案为4 1PA1号又1m,-Pm,IR1,即智c2,o号 IPp,1✉5 2 8.解：(1)由题意得24=6，则a=3,又因为e=二=号，所以c=2,则由 椭圆的几何性质得2=：2-2=9-4=5，所以b=√5，所以椭圆的标准 又0<1椭圆离心率的取值范周是（行）放选n 951或x 方程为2 951 6(o] 解析：由题意，椭圆上只有右顶点(a,0)到点M(分 (2)因为椭圆的焦点在x轴上，由题意得a=3,又因为=二.石 3,所 0的距离最近，设Q(x,y)是椭圆上的点，x=[-a,a],1012= 以c=6.则由椭圆的几何性质得2=a2-e2=9-6=3.所以6=√3，所 以椭圆的标准方程为，大 c2 2-a +,对应图象的对称轴是直线x (3)设柄圆标准方程为， a+京1(>b>0), 定义线是sel-o...o≤云ee(.号] a" a2 故答案为0， 11 2 17.解：(1)因为P为椭圆短轴的一个端点，且∠F,PF,为直角，所以 b=c,a=√2c.因为焦距长为2，所以c=1,a=2,6=1,所以椭圆C的 标准方程为 +2=L (2)因为点P为椭圆短轴的一个端点，且∠F,PF,为纯角，即45< 如图所示，△A,FA,为等腰直角三角形，OF为斜边A,A:上的中线， 且10F1=c,1A1A1=2h,又因为焦距为6，所以e=b=3,则由椭圆的几 何性质得2=62+2=18，所以辆圆的标准方程为，广。 ,即 ∠0Wc90,所以sm∠0p,=S,5 ,又因为椭园的离 2 189= 心率e∈(0,1)，所以椭圆C的离心率的收值范围是 9.C解析：依题意知，焦距2=4，由椭圆的定义得△PF,F2的周长 为2a+2c=10,解得c=2,a=3,所以离心率e=。=了故选C 黑题应用提优 10.A解析：由∠AOB=90,10A|=10B1,可得1OF21=1AF2I,又由 1.D解析：由题意得椭圆焦点在y轴上，且《=2.得 2尔1，可得y. 2. 62 10-m>0, 父一一一么一自 m-2>0, 解得m=8,放选D (m-2-(10-m）=4, 理得c2+a-m2=0,即e2+e-1=0,解得e=)或e= .D解析：由题意知等稷三角形的三边为a,a+e,√a+,则a+c= 11.C解析：如图，由题意可知1AF,1=1AF21=√10A+F,O下= √后8，即有2-2c-22=0,解得e=二=-（负值会去）.放 2 √+e=,1F,21=2,在△4F,F3中，由余弦定理得42=2+ 选D a2、222FAF2,化简得4=3，则=2所以es3 61 3.B解折：议稀调C的方为号是1(c20.图为() 不在嘴用6的外家，所二后1因为。-一得以总 -1.化简，得6e-14a2+4o≥0.同除以a,得6c-142+43 0.结合e(0.).解得0≤兮故ce0.]故毒 参考答案黑白题023 4.A解析：因为△F,F2F是等腰直角三角形，所以|0F,=|0F,1, 81阶段强化 则2-2=2-e2=c2.即2=32,2=22，则构成该“果圆“的两个半 稀调的离心率之积为二，三，故选人 黑题 阶段强化 66 16+8=1解析：如图，连接P 1.B解析：因为方程二上 4->0, =1表示椭圆.所以{1>0，解得1<< 4-4-1 4-≠1-1. QF,.因为10P1=1OQ.I0FI=1OF21. 所以四边形PF,QF,是平行四边形，所 名或4，放选B 以IPF,I=IFQI,IPF2I=IQF:I,又 2.B解析：如图.甲在F,乙在F2,直接传 PF,⊥F,Q.所以四边形PF,QF,为矩 插路径有F,+F,.即1F,F,=2.由椭 m+n=2a=8, 侧的对称性，结合声波的反射定律，声音 m2+n2=4,解得 经过A点反射.传播路径为F,→A·F 形设1PF,I=m,PF:1=n,则由题意得 即IF,AI+IAF2I=2:声音经过B反射 2 22 传播路径为F,一B→F.即IF,BI+ 1BFz1=2n.因为c<a,所以2c<2a,故第 (a=4, 则=a2-2=8,则标准方程为+ 2 一声为F,+F,第二声为F,→B→F2或 (c=2w2. 168 =1,做答案为 16 S一A→F2,因为声音速度恒定，故 8 2a-2c3 2e 2,放e=C=2 日了，放选 b2+e2=25 1 6.号解折：时为。2=25，所以2+2=2点又k=2,联立 bc=12. 3.A解折：由题意得1P听，1+P,1=2aSam5=2·1Pf,1: >0, 1PF=9,即1PF,1·1PF21=18,1PF12+1PF22=4e2,整理可得 e>0, (1PF,1+1PF21)2-2IPF,1·1PF,1=4e2,4a2-36=4c2.则a2-e2=9. 加用化或化设黄斑的上顶点为岛测岛0，.则店 解得b=3.故选A. 1B,F2=√+e=a.因为椭圆E上存在一点P,满足∠F,PF,=90 4.AC 解析：在椭同中，由题图可知Q=20Rr解得a la-c=OF=r. 2c 所以LF,B,F2≥90.即1F,F2P≥B,F,P+|B,F,P,即42≥ 22=50,即2≥5所以e=4所以e=上-4 故答案为4 宁所以6=人 =,所以2=R-r,2b= 2 2√历，A正确，B错误：e= 。行品当，不变时反比例 4 ,解析：设1PF,1=m,1PF,1=n,1F,F,1=2e,根据椭圆定 数的性质可知，函数八R)=1 ,在(0.+)上单调递增，C正 2 义由m+n=2,在△P吓，中，Lr,PR,=号，由余弦定理有 m2+n2-4e2 确：=二-1+2，当R不变时，由反比例函数的性质可知，函 2mn m号，整理有m2+n2-4女2=m,化为(m+n)2-2mn a R+r R+r 数八）=-1+ 4忙=mn,整理有4如2-4=3，又=a22,所以有m=约在 迟在(0，+0)上单调递减，D错误.故选C R+r 5.BCD解析：椭圆的长半轴为a=√25=5，半焦距为c=√25-9= △PF,F2中，由正弦定理有△F,PF,的面积S6r,m,=2mm· 4…F,(-4,0),F2(4,0).对选项A,P点横坐标为2，当x=2时，代 sin- m14623√32 +(2+4)2= 2*3X2=3:恢题意可知} (2a+2e)r=S= 人椭圆方程得y=±3② 33 362 3b2 ,A错误；对选项B,PP,1的最大值为a+e=9,B正确：对选项C, 3 即r3(a*e) 即r=3(0-又2R=2人因此25c68 3 ∠F,PF,为直角，设1PF,1=x,则1PF21=10-x,则x2+(10-x)2=82, 即x2-10x+18=0,.-x2+10=18,则△PF,的面积为 5(c得e= 3 3 18 =9,C正骗：对选项D.以原点为圆 3 a 2(10-=2（-2+10r)= 2 压轴桃战 心，c=4为半径作圆.则F,F,为圆的直径，则点P在圆内时 A解析：如图.由题意知△ABC的第三个 25消去，得x= 5w7 ∠F,PF2为钝角，联立 故点P的横 顶点C在以B为圆心，以AB=√a+b为 4 x2+y2=16 半径的圆上，要使以B为顶角的等腰三角 5w75w7 形给好有3个，则需要满足椭圆号， 坐标的取值范围为4·4 .D正确.故选BCD 6.B解析：令椭圆C的半焦距为e,依题 与圆2+(y一b)2=a2+2有四个公共点由 意，AB∥F,F:,如图，由椭圆性质知，椭 尔广=2，所以 圆上一点到焦点的距离的最小值为长轴 端点到相邻焦点的距离，于是2= x2+(y-b)2=a2+62. =0或1=2 当=0时，桶圆与圆有两个交点，分别为左，右顶点当 1F51=lAF,1>a-e,解得e=9 C位于右顶点处满足条作：当)=2沙时，要满足简调与圆有两个不同 31Af21=2a-1Af,1=2a-2,在 2b3 △，中，∠，A,=LA,=∠=子∠B<石，是然 交点C2,C4,需要y= >-6,即2<2.即22-22<2.解得5,6 23 LIAF:! 所以e()放入 m受停期后零uC 选择性必修第一册·BS黑白题024