第1章 专项提优1 直线中的最值问题&专项提优2 隐形圆-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册(北师大版2019)

专项提优1直线中的最值问题 黑题 专项提优 时：45min 题组1与距离有关的最值问题 题组2与面积有关的最值问题 1.(2024·河南南阳高二期末)点P为两条直 7.(2024·安徽六安高二期中)过定点A的直线 线2x-3y+1=0和x+y-2=0的交点，则点P (a+1)x-y+2=0与过定点B的直线x+(a+ 到直线1：kx-y+h+2=0的最大距离为( 1)y-5a-2=0交于点P(P与A,B不重合)， 则△PAB的面积的最大值为 B.5 65 5 D.5 A.4 C.2 2.直线l,:x-my-2=0与直线l2:mx+y+2=0交 0.2 于点Q,m是实数，0为坐标原点，则10Q1的 8.如图，将一块等腰直角三角板AB0置于平面 最大值是 ( 直角坐标系中，已知AB=OB=1,AB⊥OB,点 A.2 B.22 C.23 D.4 P(兮，)是三角板内一点，现因三角板中部 3.(2024·湖南常德高二期中)唐代诗人李顶的 分（△POB内部，不含边界）受损坏，要把损坏 诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火， 的部分锯掉，可用经过P的任意一直线MN将 黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数 其锯成△AMN: 学问题—“将军饮马”，即将军白天观望烽 (I)求直线MN的斜率的取值范围： 火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮 马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？ (2)若点P满足M=P风，这样的直线MN是 在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的 否存在？若不存在，请说明理由：若存在， 点A(2,0)处出发，军营所在的位置为B(2, 求出此时直线MN的方程： 3),河岸线所在直线的方程为y=3x+2,则“将 (3)如何确定直线MN的斜率，才能使锯成的 军饮马”的最短总路程为 ( △AMN的面积取得最小值？并求出最 A.3 B.4 C.5 D.6 小值. 4.(2024·山东枣庄高二月考)已知点A(4,1), B(0,4),直线l:3x-y-1=0,点P在直线1上， 则IIPB1-IPA1I的最大值为 ( A.2 B.22 C.5 D.2 5.(2024·河南省实验中学高二月考)函数 f(x)=√x+8x+20+V+4x+20的最小 值为 6.(2024·辽宁省实验中学高二期中)已知0< x<2,0<y<1,则x+y+x2+(1-y)7+ √(2-x)+2+√(2-x)2+(1-y)的最小 值是 选择性必修第一册：BS黑白题026 专项提优2隐形圆 黑题 专项提优 限时：45mim 题组1阿波罗尼斯圆 题组2其他常见隐圆 1.(2024·河北沧州高二期末)已知平面上两定 4.在平面直角坐标系中，已知点A(2,0) 点A,B,满足PB=k(6>0,且k≠)的点P的 B(0,2),圆C:(x-a)2+y2=1.若圆C上存在 点M,使得IMA12+IMB12=12,则实数a的值 轨迹是一个圆.这个轨迹最先由古希腊数学家 不可能是 阿波罗尼斯发现，称作阿氏圆.利用上述结论， A.-1 B.0 解决下面的问题：若直线x+2y-6=0与x,y轴 C.1+22 D.-2 分别交于A,B两点，点M,N满足IOMI= 5.(2024·四川南充高二期中)已知点A(2,3), 1ONI=2,MA|=21MB1,INAI=2INBI,则直 点B(6,-3),点P在直线3x-4y+3=0上，若 线MN的方程为 ( 满足等式AP·BP+2λ=0的点P有两个，则实 A.x-2y+1=0 B.x-2y-1=0 数入的取值范围是 C.x+2y-1=0 D.x+2y+1=0 6.(2024·广东佛山高二期末)已知点A(2,0), 2.(2024·浙江杭州二中高二期末)若平面内两 圆0：x2+y2=10上两动点B,C满足AB⊥BC 定点A,B间的距离为3，动点P满足PA IPBI =2, 且四边形ABCD是矩形 则△PAB的面积的最大值为 (1)当点B在第一象限且横坐标为3时，求 3.(2024·广东肇庆高二期末)在平面直角坐标 边AD所在直线的方程： 系中，0为坐标原点，A(0,t)(t>0),圆M: (2)求点D的轨迹方程 (x-2)2+y2=1. (1)若t=1,过点A作圆M的切线，求此切线 的方程； (2)若在圆M上存在唯一一点P,使IPAI= 21P01,求t的值 第一章黑白题0272+m2+m2=0.代人x2+y2=2x-4y-3后得(1-A2)(2x-4y-3)- √/43+(1-3)下=5.故选C. 2mx-2ny+m2+n2=0.化简得[2(1-A2)-2m1x+[-4(1-A2)-2a]y+m2+ 3 2(1-12)-2m=0. 5 6 m2-3(1-A2)=0.所以 -4(1-A2)-2m=0. 解得n= 5·或 -3(1-A2)+m2+n2=0. 10 A= 5 m=0, n=0,(会去)即B 5,2√10解析：因为八x)=√(x+4)+(0+2)下+/(x+2)+(0-4)下 A=1, 所以，函数凡x)的几何意义为轴上的点P(x,0)到点A(-4,-2), B队-2,4)的距离之和.即八x)=|PA1+1PB1,如图所示： 巴方法总结 由图可知，当点A,P,B三点共线时，了(x)取最小值，且∫(x)n= 解析几何中最值与范国问览的常见求法：(1)几何法，若题目的条件 能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质米解决：(2)代数 14B1=√(-4+2)+(-2-4)=2√/10.放答案为2而. 法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标国 6.25解析：设P(x,y),0(0,0).A(2,0).B(2,1),C(0,1),因为0< 数，再求这个函数的最值 x<2,0<<1,则点P(x,y）在矩形AC内部，如图所示， 专项提优1直线中的最值问题 黑题 专项提优 1样折：曲仁00事P.直线+*2 A y=0,所以直线过定点A(-1,2),所以当直线AP与直线I垂直时，此 可得+灯+W2+(1-y)产+(2-x)2+y+√(2-x)2+(1-y)7= 时点P到直线！的距离最大，且最大值为|AP1= 1OPI+ICP1+1API+IBPI=(1OPI+1BPI)+(ICP1+IAP1) √1+1)+(1-2)=5.故选B. 10B1+MC1=25,当且仅当P为0B,Ac的交点(，)时，等号 2.B解析：因为1：x-my-2=0与2：m+y+2=0的交点坐标为 成立故答案为25 ,所以1001= 2-2m -2-2m7 7.B解析：动直线(a+1)x-y+2=0化为y=(:+1)x+2.可知定点 1+m2 1+m2 A(0.2).动直线x+(a+1)y-5a-2=0化为a(y-5)+x+y-2=0,令 8(1+m)22 入(1+m2)21+m ,当m=0时.10Q1m=22,所以10Q1的最 20,解得=5=-3，可知定点B(-3,5).(a+1)x1-1× 大值是22.故选B (a+1)=0.所以直线(a+1)x-y+2=0与直线x+(a+1)y-5a-2=0垂 3.C解析：若A'(x,y)是A关于y=3x+2的对称点，则 直，P为交点，PA1PB,IPA12+PBI2=1ABI2=(0+3)2+ 14 -23 (2-5)2=1&则5aw=P11Pa1≤，P1P8. 2” 2 5 21 2 3x42 设饮马点为C,如图所示， 当且仅当IPAI=|PBI=3时，等号成立，即△PAB的面积的最大值为 2 9 放进R a解：()题意得v方程为)6(）即=k2 4· ,AB⊥OB.IAB1=1OB1=1,直线04方程为y=x,直线AB方程为 3=3x+2/0 1联立宁（品联立 可知IAC1+1BCI=IA'CI+BC1≥IA'BI,当且仅当A',C,B共线时等 Ay=x. 号成立，所以(IAC1+1BC1)m =1A”B= 2-1 ,()小得（）所以 ≤4-≤ (皆-（厂-5故选c 解得 x=1 0岳4 4.C解析：如图，作出点B关于直线1的对称点B,连接AB延长交直 线1于点P,此时点P使1PB1-1PAII取得最大值根据点关于直线 2 k2 的对称图形特征，知|PB=1PB1,此时1|PB|-1PA11=1IPB1一 IPAII=|BAI.在直线1上另取点P,连接PA.PB,PB.侧 IP BI=IP8'1.IIP8I-IPAII=1IP8'1-1PAII<IB'AI= 者成式可时品兮（号）部得宁所 n-41 以直线N的方程为，气），整理得+31=心 1PB1-PA11.不妨设点B(m,n),则有 用 3 解得 m n+4 1=0. 22 (3)在△AN中，由(1)知：Sam=·1N1·A=（ 0即(3,3).故1P哦1二1PA11=1BA白 ）品】a]e[ 选择性必修第一册·BS黑白题016 ]限据基本不等式的性质，当1k:子，甲：子时 以3<√13-2A.解得A<2故答案为(-，2). 6.解：(1)设点B(3,),>0,由32+2=10，得=1，直线AB的斜率= (5am2(44= 3-21,而AD1,所以直线A0的方程为y-0=-1·(-2),即+ 1-0 专项提优2隐形圆 y-2=0. (2)如图，由于线段BC是圆0x2+2=10的弦，则线段C的中垂线 黑题 要项提优 必过圆心O,又线段BC的中垂线是矩形ABCD的对称轴.因此该对 1.A解析：由题意得A(6,0),B(0,3),设M(x,y),10M1=2,点M 称轴垂直平分线段AD,即IOD1=1OA1=2(显然B,C不重合，当B,C 在圆G1:x2+y2=4上.1MA1=21MB1..(x-6)2+y2=4[x2+ 重合时，点A,D重合)，则点D的轨迹是以0为圆心，2为半径的园 (除，点A外).所以点D的轨迹方程是x2+y2=4(x≠2). (y-3)3],整理得x2+y2+4x-8y=0,.点M也在圆C2:x2+y2+4x 8y=0上，同理点N也在这两个圆上，MN是这两圆的公共弦，两圆 方程作差，得x-2+1=0.即直线MN的方程为x-2y+1=0.故选L 2.3解析：如图，以AB所在直线为x轴，以线段AB的中垂线为y轴建 立平面直角坐标系，设P)d(子0）公（子0）小因为 =2.甲1m121m,所以√号） IPBI 真题演练直线与圆 ()理为()广4 黑题 再题清练 1.D解析：由题意知圆的半径r=√2，网的方程为(x-1)2+(y- 1)2=2故选D 2。A解析：设该别的圆心为(a,b).则圆的方程为(x-a)2+(y-b)2= 1,该圆过点(3,4)，(3-a)2+(4-b)2=1,此式子表示点(.b)在 以(3,4)为圆心，1为半径的圆上，则点(a,6)到原点的最小值为 则点P的轨连是以点（三0）为调心，半径为2的圆，所以点P 3+4-1=4.故选入. 3.(x-1)2+(y+1)2=5解析：点M在直线2x+y-1=0上 到AB距离的最大值是2，所以△PAB的面积的最大值是 ×3×2=3 ,设点M为(a.1-2n).又点(3.0)和(0.1)均在⊙M上. 2 ∴，点M到两点的距离相等且为半径R, 故客案为3. .√(a-3)2+(1-2a》3=√a2+(-2a)2=R. 3.解：(1)由题意得M(2,0),圆M的半径为1，A(0,1)在圆M外，过 点A作圆M的切线，则切线斜率存在，设为k,则切线方程为y=红+ 即a2-6m+9+4n2-4a+1=5n2,解得a=1,M(1,-1),R=5 .⊙M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.故答案为(x-1)2+(y+1)2=5 1,即-+1=0.所以2+里-1.解得k:-4 +1 或k=0,敏切线方程 4.(x-2)2+(y-3)2=13(答案不唯-) 解析：设点A(0,0),B(4,0),C(-1,1),D(4,2). 为4x+31-3=0或y=1. (1)若圆过A,B,C三点，圆心在直线x=2上，设圆心坐标为(2，a), (2)设P(x,y).由于1PA1=21P01.所以√军+(-4)产=2√+y. 则4+a2=9+(a-1)2→a=3,r=√/4+a2=√13，所以圆的方程为 整理得x2+2,2y已 (x-2)2+(y-3)2=13. (2)若圆过A,B,D三点，设圆心坐标为(2，a,则4+a2=4+(a-2)2一 (0专）为圆心，号为半径的圆上.由题意可知P是唯一的，只有 a■1.r▣4+a2=√5，所以圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. (3)若圆过A,C,D三点，则线段AG的中垂线方程为y=x+1,线段AD 当圆+（号）广号与相切时符合遥意 3,所以圆 的中垂线方程为y-2x+5,联立得，了 7 当两圆外切时.则(2-0)+0+？）=，+1，整理得+4-9 2 的方程为(）广，（子）广-g 0.解得1=-2+√13(1=-2-√13含去)，故1=-2+√/13：当两圆内切 (4)若圆过B,C,D三点，则线段BD的中垂线方程为y=I,线段BC 站湖2-0一(o一兮亭理得-9=0解得 的中系线方程为y=5-7.联立科=；=1r所以圆的方程 t=2+√13(t=2-√/13舍去)，即1=2+√13.综上所述，的值为-2+ 为()广o= 25 √13或2+√13. 故答案可以为(x-2)2+(y-3)2=13. 4.D解析：设M(x,y),由题意可知1MA12+1MB12=12=(x-2)2+y2+ 5。A解析：由题意可知圆心为(a.0),因为直线是圆的对称轴，所以圆 x2+(3-2)2→(x-1)2+(-1)2=4,即M(,y)是圆C:(x-a)2+y2=1 与圆D:(x-1)2+(y-1)2=4的交点.由两圆位置关系可知圆心距满 心在直线上，即240-1=0，解得。=之故连入 足：2-1≤1Gp1≤1+2.即√(a-1)+(0-1)e[1.3J→ae【1-22. 2 6.AD解析：圆心C(0.0)到直线1的距离d= 1+22].故选D. √a+ 5.(-,2)解折：设P(xy).则币=(x-2,y-3),Bd=(x-6y+3).代 若点A(a.b)在圆C上.则a2+b2=r2.所以d= 人4，B42A=0得(x-2)(x-6)+(y-3)(y+3)+2A=0,化简得 V+原r, 则直线1与圆C相切，故A正确： (-4)2+y2=13-2.所以3-2入≥0，A≤乞，当A=2时，P的镜迹 若点A(a.b)在网C内.则a2+b2<2,所以d= 是一-个点，显然不清足题意当A<宁时，P的轨迹是一个同，由题意。 √0+ 期直线1与圆C相离，故B正确： 同与直线3x-4y+3=0相交，圆心到直线的距离d=12-0*31=3.所 若点A(a.b)在圆C外，则a2+b2>r2所以d= 2 5 vetpr<irl. 参考答案黑白题017