第1章 2 阶段强化-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册(北师大版2019)

§2阶段强化 黑题 阶段强化 限时：65min 1.(2024·湖北武汉二中高二月考)若圆心在第 6.(2024·福建南平一中高二月考)已知点P在 一象限的圆过点(2,0)，且与两坐标轴都相 圆(x-5)2+(y-5)2=16上，点A(4,0), 切，则圆心到直线2x+y-11=0的距离为 B(0,2),当∠PBA最大时，则线段PB的长 ( 度为 7.(2024·四川泸州高二月考)已知点A(-1, A.1 C.2 D.5 0),B(1,2),圆C:(x-a)2+y2=25(a>0)上存 2.(2024·浙江金华高二月考)若直线y=x+1 在唯一的点P,使1PA12+1PB12=12,则实数a 与圆x2+y2=1相交于A,B两点，且∠A0B= 的值是 3 8.(2024·四川成都七中高二期中)已知P为直 (其中0是原点)，则k的值为 线y=-2上一动点，过点P作圆x2+y2=1的两 A.33 条切线，切点分别为B,C,则点A(2,1)到直线 3’3 BC的距离的最大值为 C.-2,2 D.2 9.(2024·陕西西安高二月考)已知圆C:x2+y2- 3.(2024·山东济宁高二期末)圆x2+y2=1与圆 4x-6y+4=0,过点P(4,2)的直线1与C交于 x2+y2-2x+4y+1=0的公共弦的长度为( 点M,N,且IMN1=4. c (1)求1的方程： 5 (2)设0为坐标原点，求0M·0N 4.(2024·湖北黄冈高二期中)一条光线从点(-2， -3)射出，经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1 相切，则反射光线所在直线的斜率为( 号 c 4 5.(2024·山东威海高二月考)古希腊数学家阿 波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中有这样 个命题：平面内与两定点的距离的比为常数 (k>0)的点的轨迹为圆，后人将这个圆称为阿 波罗尼斯圆，已知0(0,0)，A(3,0),圆C: (x-2)2+y2=r2(r>0)上有且只有一个点P满 足IPA1=21PO1.则r的取值可以是( A.1 B.5 C.1或5 D.4 选择性必修第一册BS黑白题024 10.（2024·辽宁葫芦岛高二期末)在以下三个 压轴挑战 条件中任选一个，补充在下列问题中，并作 (2024·广东广州高二期末)已知圆心C在直 答.条件①：直线的法向量为(-3,1)：条件 线y=-2x上，并且经过点A(2,-1),与直线x+ ②：与直线3x-y+5=0平行：条件③：与直线 y-1=0相切的圆. x+3y+5=0垂直. (1)求圆C的标准方程： 已知直线1经过(3,4)且 (2)对于圆C上的任意一点P,是否存在定点B (1)求直线1方程： (2)若点P是直线【上的动点，过点P作 (不同于原点O)使得PB IPOL 恒为常数？若 ⊙C:x2-8x+y2+6y+20=0的两条切线. 存在，求出点B的坐标：若不存在，请说明 切点分别为A,B两点，求四边形PACB 理由。 的面积的最小值。 11.(2024·四川成都高二月考)已知圆C的圆 心在y轴上，点P是圆C上的任一点，且当 点P的坐标为(- -号)时，P到直提红+ 4y-24=0的距离最大. (1)求圆的方程： (2)经过原点，且斜率为k(k≠0)的直线1与 圆C交于A(x,y1),B(x2,y2)两点.求 证'+'为定值 YI Y2 第-章黑白题0250上至少有三个不同的点到直线I:+,=0的距离为22，则圆心 性质可知，当P0⊥MW时，弦1MN1最小，此时IMNI=2R-PO (-2,2)到直线1的距离d≤32-22=√2设直线1：ax+=0的斜率 又：1PQ1=o,1MN1=26,当1MN1最小时，kN·km= 为，则k=-公，直线1的方程为y=0,则有242≤2，解 11 √1+F -1,∴.kw=m= 了心直线1的方程为)=子-2，即一3 得-2-3≤≤-2+√3，即k的取值范围是[-2-5，-2+3].放选B 6=0. 7.(x-1)2+y2=2解析：由圆x2+2-2x=0的方程可知.风心为(1,0). 13.解：(1)设点P的坐标为(x,y),1PA1=/(x-6)2+()-8)2,1PQ川2 半径=1，PA是园的切线且IPA1=1,则点P到圆心的距离为√2，设 10P12-4=x2+y2-4.由题意有(x-6)2+(y-8)2=x2+y2-4.整理得 P(x,x),则√(x-1)+y2=2,化简得(x-1)2+2=2故答案为(x 3x+4y-26=0.故点P的轨迹方程为3x+4-26=0,点P的轨迹是斜 1)2+y2=2 ,在y箱上的裁臣为号的直线 常为 8.[27,2√15]解析：已知圆0的切线1交圆G于A.B两点.侧 (2)由1PQ川=1PA1和(1)可知.IPQI的最小值即为点A到直线3x+ △0AB的面积S=2141·x圆0：2+y2-4=0的半径为r=21MB 426=0的距离，故其最小值为18+32-261_24 32+4F 5 是圆C:x2+y2+2x-15=0的弦长，圆C:x2+y2+2x-15=0的圆心为 (-1,0),半径为4.圆心G到AB的距离最小时，1AB1最大，圆心C (3)由圆的性质可知，当直线0P与直线3x+4-26=0垂直时.以此 到4B的距离最大时，14B1最小，1AB1的最小值为2√4-3= 时的点P为圆心，且与网0相外切的圆即为所求，此时OP的方程 78 27,14B1的最大值为2V4-1=25.△0AB面积的最小值为 4 25 子×2x27=27,△0面积的最大值为宁x2x2V5=2S, 为y= 3x,联立方程 y= 3, 解得 104 即P（25 78 (3x+4-26=0. y25 .△0AB面积的取值范围是[27,2√15. 104 9.25解析：因为之1AB1·1P01=10M1·1PM1,所以1AB1= 25 ,又点0到直线3+-26=0的距离为花，可得所求圆的半轻 4√/IP0I-4 44 -2 1IPO,当1PO1的长最小时，弦长1ABI最小， 故所求圆的标准方程为（容）广·（一罗）广。 -16 256 而1P0|的最小值为圆心（中原，点）到直线x+y=4的距离，所以 25 1-4 =25,所以1MB1=4 =22.做答案为22. 压轴挑战 8 解：(1)设M(x,y)(点M与点A不重合)，则B(2x+2,2y),又点B在 12 10.（,5U[0,+云）解析：如图，设A(0,-2),由题知测M的 圆C:(x-√2)+y2=8上，则(2x+2-√2)+(2y)2=8=x2+2=2(x 圆心为M(2,1),半径r=3,a表示直线PA的斜率，不妨设过点A的 -√2)，故动点M的轨迹是以原点为圆心，2为半径的阿，并除去点A 圆的切线方程为y=-2,则圆心M到切线的距离d=12-2-1 (2)0P(4,0),Q(0,4),设T到PQ的距离为，则1PQ=42,Sawm= 2+1 P02 1 3,解得k=0或k= 12 5 当h最大时，S△w最大，易得直线PQ的方程为x+y-4=0,hm= 4 V2=32,故(56or）n=12由{0， 得(-1.-1) x2+2=2. ②直线PQ与直线GH垂直理由如下：由已知得直线TG.TH的斜率都 存在.设直线TG的方程为y+1=(x+), 则直线T阳的方程为y+1=-k(x+1). 结合可知，实数a的取范围为(，号]U0,+)故答案 由{1)·消去y得1+)x+(2-2+2-2-1=0. 八x2+y2=2. 则-1·xc= 2-2k-1 -k2+2k+1 为(，]u0* 1+k2 1+k2 11.解：(1)由题意设圆C,的圆心为C,(a.6).已知圆C1过点(2,3)， 同理可得=2+1 1+2 6amc_ot-1+eh+1 =1. XG-IN XG-XH 且与直线2x-3y+6=0相切于点(3,4)，所以圆心C(a,b)在直线 又km=-1,故直线PQ与直线GH垂直 -4=- (x-3)上，所以3+26-17=0.又(a-2)2+(6-3)2=2= 3 §2 阶段强化 (a-3)2+(6-4)2,所以解得a=5.b=1.2=13.所以圆C1的标准方 黑题 程(x-5)2+(y-1)2=13. 防酸强化 (2)由(1)得圆C,的标准方程(x-5)2+(y-1)2=13.又圆C,:x2+ 1.D解析：圆心在第，象限的圆过点(20).且与两坐标轴都相切，则 )y2-13x+2y+9=0,两圆方程相减得公共弦方程为3x-4y+4=0.所以 (2.0)为x轴上的切点，故圆心为(2,2)，则圆心到直线2r+y-11=0 圆心C,(5,1)到公共弦3x-4+4=0的距离为d=13x5-4x1+4 的距离为d4+2-山=5.故选D 3+4 5 =3,而圆C,:(x-5)2+y-1)2=13的半径为3，所以圆G日 2.A解析：L40B=牙，则△0AB是等边三角形，圆半径为1，因此0 与圆C2:2+y2-13x+2y+9=0的公共弦长为2F-产= 到直线4仍的距离为 2,所以0-0+113 √2，解得=±写故选A 3 213-9=4. 12.解：(1)由已知得圆C的圆心坐标为(2，-3).半径r=1.圆Q的半径 3.D解析：圆x2+2=1的圆心为(0,0)，半径为1.圆x2+y2-2x+4y+ R=1Q01-r=√(2+1)2+(-3-1)2-1=4，.圆Q的方程为(x+1)2+ 1=0的圆心为(1，-2)，半径为2.则圆心距离为√1+4=√5∈(1,3) (y-1)2=16. 做两圆相交.则两圆的公共弦所在直线方程为1一2x+4y+1=0,即 (2)由已知得直线1过定点P(0,-2),1PQ1= (-1-0)+(1+2)2=/10<4,,P(0,-2)在圆0内.由圆的儿何 x21=0.所以公共弦的长度为2、/1-（=故选D. +4 选择性必修第一册·BS黑白题014 4.D解析：圆(x+3)2+(y-2)2=1的圆心为(-3,2)，半径为1.根据光 的反射原理知.反射光线的反向延长线必过点(-2.-3)关于y轴的 对称点(2，-3)，易知反射光线所在直线的斜率存在，设为k,则反射 光线所在直线的方程为y+3=(x-2),脚x-y-2h-3=0.由反射光线 与圆(x+3)2+(,-2)2=1相切，可得-34-2-2-31.1，整理得 R+1 022+256+12=0解得k-1或6红-放进0 5.C解析：设P(x,y）,由1PA1=21P0.得(x-3)2+y2=4x2+4y2,整理 2)联文{仪4-640.整理得240r+76=Q设w, 得(x+1)2+2=4.又圆C:(x-2)2+,2=2(r>0)上有且仅有一点P满 76 足1PA=21P01,所以两圆相切.圆(x+1)2+2=4的圆心坐标为 ).N).则≤+=8，=5yh=(24,-6)(2-6)= (-1.0).半径为2.圆C:(x-2)2+y2=r2(r>0)的圆心坐标为(2.0) 4 半径为r两圆的圆心厘为3，当两圆外切时，r+2=3.得r=1,当两圆 41*-12(+)+36=了故0.0示=x1南+13=16 内切时，1-21=3.得r=5.故选C. 10.解：(1)若选择①：由法向量(-3,1)，可得直线的一个方向向量为 6.32解折：设圆(x-5)2+(y-5)2=16的圆心为41(5,5).半径为4. (1,3),可得k=3.于是y-4=k(x-3),代入并整理得3x-y-5=0 如图.当∠PBA最大时，PB与圆M相切.连接MP,BM.可知PM⊥ .直线1的方程为3xy-5=0.若选择2：与直线3x-y+5=0平行， 可设直线方程为3r-y+c=0,c≠5，将(3,4)代人.则有5+c=0,解 PB,1BM1=√(0-5)+(2-5)=√34,1MP1=4,由勾股定理可得 得c=-5,整理得3x-y-5=0,直线1的方程为3x-y-5=0.若选择 1PBI=√/BM-1MPT=32.枚答案为32， ③：与直线x+3y+5=0垂直，可设直线方程为3x-y+c=0,将(3.4) 代人，则有5+c=0,解得c=-5,整理得3x-y-5=0.,直线1的方程 为3x-y-5=0 (2)如图.由题意，圆的方程为(x-4》2+(y+3)2=5,得圆心为(4. -3),半径为r=√5，则(4，-3)到3x-y-5=0的距离为d= 112+3-51 I石 √0>r,即直线1与圆相离.面S达形r=2S△P1c= 1AC1IAPI,IAC1=r=5,1AP1=√PC-F,当PC11时. 7.22或45解析：设P(x,y).则1PA2■(x*1)2+y2,1PB12= 1AP川m=√PCn-5=5,此时四边形PACB的面积的最小值 (x-1)2+(y-2)2因为1P112+1PB12=12,整理得x2+y2-2y-3=0,即 为SW边形Pe=2S△Pc=1AC1IAP川=5. x2+(y-1)2=4,所以点P的轨迹方程为x2+(y-1)2=4.又因为圆G 上存在唯一的点P符合题意.所以两圆相切.因为园G:(x-)2+ 2=25,可得圆心C(a,0),半径r1=5,圆x2+(-1)2=4,可得圆心 (0,1),半径1=2，可得+1=1+3=7或√2+1=-3=3，解 得a=±4w3或a=±2w2.又4>0.所以实数a的值为22或43.故答 案为22或45. 三解析：设P(o),过点P引圆+=1的两条切线，切点分 11.解：(1由题意，PC垂直直线3x+4-24=0设圆心C(0,a),当P的 别为B,c.测切点在以0p为直径的圆上.圆心（分，号）半径 坐标为（号子）时 gg( 9 则的方是（受广（告）厂广理为 2 y2-0*-y0y=0.又点B,C在圆x2+y2=1上，两圆方程相减得到x0x+ -1a=ico.1e=）+子-3. yoy=1,即直线BC的方程是x+yoy=1,因为0=-2，代人o+oJ= .半径为3，.圆C的标准方程为x2+(y-1)2=9. 1得，-2=1则直线C相过定点N0,子 ,所以点4(2,1)到 ②由超意直线1的方程为y=(k0)联立，)三9消 直线BC的距离d≤IANI= /0-2(） “2,所以点A (）-2-8=0=4+2(+）>0恒成立…* 故答案为号 2k2 (2,1)到直线BC的距离的最大值为 2 22 8k2 11+31+k2 四重难点拨 1+2乃= 1* 1+h2 y1y1 、82 首先本题求以1OP1为直径的围，利用两圆相减，求得过两圆交点的直 1+2 线方程，关键是发现直线BC定点，这样通过几何关系就容易求定 点与动直线更离的最大值， 促值 9.解：(1)如图.将x2+y2-4x-6y+4=0化为标准方程，得(x-2)2+ 压轴挑战 (y-3)2=9.则圆心为C(2,3),半径r=3.当直线1的斜率不存在时.1 解：(1)圆心C在直线y=-2x上，故设周心为(a,-2),半径为r则 的方程为x=4.此时圆心C(2,3)到1的距离d=2.2√P-正=25 (a-2)2+(-2a+1)2=r2 1a-2a-11 解得4=1.r=√2，所以圆的方程为(x-1)2+ 不符合题意故直线1的斜率存在，设（的方程为y-2=(x-4), 即年-y-4k+2▣0.圆心C(2.3)到1的距离d= 12k-3-4W+21 (y+2)2=2 √+1户 (2)如图，设P(xy),且(x-1)2+(y+2)2=2,即x2+2=2x-4y-3.设定 2+出由垂径定理可得户=心+ IMNI 12 ,即9= R2+1 2 点B(m,),(,n不同时为0，做=A>0(A为常数).期 124+11 +22,解得k=2故直线1的方程为y=2-6. √（-m)2+(y-n)2 =A,两边平方，整理得(1-A2)(x2+y2)-2mr- +1 /x2+2 参考答案黑白题015 2+m2+m2=0.代人x2+y2=2x-4y-3后得(1-A2)(2x-4y-3)- √/43+(1-3)下=5.故选C. 2mx-2ny+m2+n2=0.化简得[2(1-A2)-2m1x+[-4(1-A2)-2a]y+m2+ 3 2(1-12)-2m=0. 5 6 m2-3(1-A2)=0.所以 -4(1-A2)-2m=0. 解得n= 5·或 -3(1-A2)+m2+n2=0. 10 A= 5 m=0, n=0,(会去)即B 5,2√10解析：因为八x)=√(x+4)+(0+2)下+/(x+2)+(0-4)下 A=1, 所以，函数凡x)的几何意义为轴上的点P(x,0)到点A(-4,-2), B队-2,4)的距离之和.即八x)=|PA1+1PB1,如图所示： 巴方法总结 由图可知，当点A,P,B三点共线时，了(x)取最小值，且∫(x)n= 解析几何中最值与范国问览的常见求法：(1)几何法，若题目的条件 能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质米解决：(2)代数 14B1=√(-4+2)+(-2-4)=2√/10.放答案为2而. 法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标国 6.25解析：设P(x,y),0(0,0).A(2,0).B(2,1),C(0,1),因为0< 数，再求这个函数的最值 x<2,0<<1,则点P(x,y）在矩形AC内部，如图所示， 专项提优1直线中的最值问题 黑题 专项提优 1样折：曲仁00事P.直线+*2 A y=0,所以直线过定点A(-1,2),所以当直线AP与直线I垂直时，此 可得+灯+W2+(1-y)产+(2-x)2+y+√(2-x)2+(1-y)7= 时点P到直线！的距离最大，且最大值为|AP1= 1OPI+ICP1+1API+IBPI=(1OPI+1BPI)+(ICP1+IAP1) √1+1)+(1-2)=5.故选B. 10B1+MC1=25,当且仅当P为0B,Ac的交点(，)时，等号 2.B解析：因为1：x-my-2=0与2：m+y+2=0的交点坐标为 成立故答案为25 ,所以1001= 2-2m -2-2m7 7.B解析：动直线(a+1)x-y+2=0化为y=(:+1)x+2.可知定点 1+m2 1+m2 A(0.2).动直线x+(a+1)y-5a-2=0化为a(y-5)+x+y-2=0,令 8(1+m)22 入(1+m2)21+m ,当m=0时.10Q1m=22,所以10Q1的最 20,解得=5=-3，可知定点B(-3,5).(a+1)x1-1× 大值是22.故选B (a+1)=0.所以直线(a+1)x-y+2=0与直线x+(a+1)y-5a-2=0垂 3.C解析：若A'(x,y)是A关于y=3x+2的对称点，则 直，P为交点，PA1PB,IPA12+PBI2=1ABI2=(0+3)2+ 14 -23 (2-5)2=1&则5aw=P11Pa1≤，P1P8. 2” 2 5 21 2 3x42 设饮马点为C,如图所示， 当且仅当IPAI=|PBI=3时，等号成立，即△PAB的面积的最大值为 2 9 放进R a解：()题意得v方程为)6(）即=k2 4· ,AB⊥OB.IAB1=1OB1=1,直线04方程为y=x,直线AB方程为 3=3x+2/0 1联立宁（品联立 可知IAC1+1BCI=IA'CI+BC1≥IA'BI,当且仅当A',C,B共线时等 Ay=x. 号成立，所以(IAC1+1BC1)m =1A”B= 2-1 ,()小得（）所以 ≤4-≤ (皆-（厂-5故选c 解得 x=1 0岳4 4.C解析：如图，作出点B关于直线1的对称点B,连接AB延长交直 线1于点P,此时点P使1PB1-1PAII取得最大值根据点关于直线 2 k2 的对称图形特征，知|PB=1PB1,此时1|PB|-1PA11=1IPB1一 IPAII=|BAI.在直线1上另取点P,连接PA.PB,PB.侧 IP BI=IP8'1.IIP8I-IPAII=1IP8'1-1PAII<IB'AI= 者成式可时品兮（号）部得宁所 n-41 以直线N的方程为，气），整理得+31=心 1PB1-PA11.不妨设点B(m,n),则有 用 3 解得 m n+4 1=0. 22 (3)在△AN中，由(1)知：Sam=·1N1·A=（ 0即(3,3).故1P哦1二1PA11=1BA白 ）品】a]e[ 选择性必修第一册·BS黑白题016