第1章 1.5 两条直线的交点坐标-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册(北师大版2019)

1.5两条直线的交点坐标 白题 基础过关 很时：25min 题组1两条直线相交的判定 1.(多选)(2024·浙江嘉兴高二月考)下列直线 8.当0<k<2时，两条直线y-x=2k,x-y=k- 中，与直线x+y-1=0相交的是 ( 的交点在第 象限。 A.直线x+y=3 B.直线x+y=0 9.(2024·江西宜春高二期中)已知直线（入+ C.直线y=x-3 D.直线y=x-1 2)x-y+2入+1=0过定点A,直线1的方程为 2.(2023·辽宁大连二十四中高二期末)直 4x+3y+12=0.l1与1垂直且过点A. 线2x+y+1=0和直线x+2y+1=0的位置关 (1)求直线1，的方程： 系是 ( (2)若直线L2经过1，与1的交点，且直线12在 A.平行 B.相交但不垂直 x轴和y轴的截距相等，求直线L,的方程 C.垂直 D.重合 题组2两条直线的交点坐标及其应用 3.(2024·海南海口高二期末)过两直线3x+y 1=0与x+2y-7=0的交点，并且与第一条直 线垂直的直线方程是 ( A.3x+y-1=0 B.3x+y+1=0 C.x-3y+13=0 D.x-3y+6=0 4.(多选)(2024·江西南昌高二月考)若直线 5x+4y=2m+1与直线2x+3y=m的交点在第 10.(2024·江西赣州高二月考)在△ABC中，已 四象限，则实数m的值可以为 ( 知点A(3,2),AC边上的中线BM所在直线 A.0 B.1 C.2 D.3 的方程为x-3y-4=0,AB边上的高所在直线 5.(2024·山东聊城高二期中)经过两条直线L1: 的方程为y产-7). x+y=2,l2:2x-y=1的交点，且直线的一个方 (1)求直线AB的方程： 向向量v=(-6,4)的直线方程为 (2)求点B的坐标 A.2x-y-1=0 B.2x+y-3=0 C.3x-2y-5=0 D.2x+3y-5=0 6.(2024·江苏无锡高二期中)已知直线ax+y+ 1=0,x+ay+1=0和x+y+a=0能构成三角形， 则a的取值范围是 A.a≠-2 B.a≠±1 C.a≠-2且a≠±1 D.a≠-2且a≠1 7.（2024·陕西渭南高二月考)若三条直线 y=2x,x+y=3,mx-2y-5=0相交于同一点， 则m的值为 第一章黑白题009 黑题 应用提优 限时：30mim 1.(多选)(2024·广东韶关高二月考)已知直线 6.(2024·河北衡水高二月考)在平面直角坐标 1:xsin&+y=0与直线2：x+3y+c=0,则直线l, 系中，已知射线04：3x-y=0(x≥0)，射线 与直线，的位置关系可能是 ( 0B:3x+3y=0(x≥0)，过点P(1,0)作直线分 A.相交但不垂直 B.重合 别交射线OA,OB于A,B两点. C.平行 D.垂直 (1)当AB的中点为P时，求直线AB的一般式 2.(多选)(2024·吉林长春东北师大附中高二 方程： 期中)已知直线1：x-y-1=0和直线2：(k+ 1)x++k=0(keR),则下列结论正确的是 (2)当线段B的中点在直线)=上时，求 ( 直线AB的一般式方程. A存在实数，使得直线的倾斜角为号 B.对任意的实数k,直线1，与直线12都有公 共点 C.对任意的实数k,直线L与直线2都不 重合 7.(2024·江西上饶高二月考)已知△4BC的顶 D.对任意的实数k,直线1与直线1，都不 垂直 点B(-2,0),AB边上的高所在的直线方程为 3.(2024·黑龙江绥化高二期中)已知点 x+3y-26=0. A(1,2),B(a,b),C(c,d),若A是直线l,:ax+ (1)求直线AB的方程， by+1=0和l2:cx+dy+1=0的公共点，则直线 (2)在两个条件中任选一个，补充在下面问题 BC的方程为 中并作答 ①角A的平分线所在直线方程为x+ A.x+2y-1=0 B.x+2y+1=0 C.2x+y-1=0 D.2x+y+1=0 y-2=0: ②BC边上的中线所在的直线方程为y=3. 4.(多选)(2024·江西抚州高二月考)已知 三条直线：l1:ax+y-3=0,l2:x+y-1=0, 若 ,求直线AC的方程. l3:2x-y-5=0不能围成一个封闭图形，则 实数a的值可以是 A.-2 B.1 C.2 D.3 5.(2024·湖南永州高二月考)数学家欧拉 1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提 出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条 直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知 △ABC的顶点分别为A(3,1),B(4,2),C(2, 3),则△ABC的欧拉线方程为 选择性必修第一册BS黑白题010上w/0叉：kw1.w0,1,且N不在直 4-3 71政弩解桥：如图①.当∠A:之D=0时.因为因边形CD为直 线MQ上，MQ∥NP..四边形MPQ为平行四边形.又 角梯形，所以AB∥DC,且AD⊥AB.因为kr=0.所以m=2.n=-1,所 kN·ko=-1,心MN⊥MQ,.平行四边形MNPQ为矩形.故答案 以m+n=1.如图②，当∠A=∠B=0时.因为四边形ABCD为直角梯 为矩形 形.所以AD∥BC,且AB上BC,所以kD=,k·k=-1所以 10.解：(1)由已知，得AB的中点E的坐标 (.子）又因为极上 「4-22-(-1) f16 m-24-5 m=- 解得 5· 7 +1,2--12=-1, 所以m+n=8综上所述，m 8 》25.即x-10+ 的中线过c(0,3),所以直线CB的方程为，70-5 m-54-5 5 32 =1或号敏答案为1政号 5 30=0. (2BC边所在直线的斜率32因为BC边上的高与BC垂 6-03 直，所以C边上的高所在直线的斜率为-了，又C边上的高经过 2 3 点A(4,0),所以BC边上的高所在直线的方程为一2(x-4),即 -1013 3x+2y-12=0 (③)油已知，得直线C的斜率为-丹-4C的中点F的标 -24 ② 8,1解析：集合A=(x,y)12x-(a+1)y-1=0,B=(x,y)1x-y+ 为(22)，所以边4C的垂直平分线所在直线的斜率为手，所以 1=01,且A∩B=0,.直线2x-(a+1)y-1=0与直线ax-y+1=0平 行.即-2=-a(a+1),且2≠-1，解得a=1.故答案为1. 3 边AC的垂直平分线所在直线的方程为y2 3(-2).即8- 9.1020解折：~直线m+4-2=0与2-5列+n=0互相垂直号× 6y-7=0. 黑题应用提优 亏-1.m=0,直线m+4y-2=0即5x+2-1=0,将Q(1,p)代 1.A解桥：当m=号时，直线，的斜率为)4的斜半为-9.又)× 入.得5+2-1=0.p=-2.把(1.-2)代人2x-5y+m=0.得n -12.∴.m-n+p=10-(-12)+(-2)=20.故答案为10：20 (-9)=-1,所以1上42，充分性成立：直线1：m+3y-3=0,2: 10.解：(1)因为直线1：x+3y-1=0的一个方向向量为(-2.6)，所以 (3m-2)x+y+1=0,若11⊥12，则有m(3m-2)+3m=0.解得m=0 3-20=9义因为直线4：4r+,-2=0与直线2x-y+5=0蚕 4.6 或烟=号必婴性不成立所以m=号是4上上的充分不必实 直，所以4×2+b×(-1)=0=6=8.所以a=9,b=8. 条件故选A (2)由(1)知直线b2:4x+8,-2=0.即2x+4y-1=0,设点P(-1.-3) 2.B解析：直线=3+1化为一般式为4+3-3=0，所以与直线 关于直线2对称的点为Q(0,0),则直线P0的斜率为o g+3 =一了+1平行的直线应为B项和C项中的直线，但C项中的直线 0+120=24-1,线段P0的中点为(-，0-3 T2,2代人直线 过第一象限，不符合条作放答案选B. 12的方程得(0-1)+2(y0-3)-1=0→xn+2y0-8=0,联立 3.BCD解折：对A,k,=tan45=1,2=1,,·k2≠-1，所以A不正 n=2xm-1, o2所以点0的坐标为(2,3). k0+2o-8=0气0=3,1 确：对B,5,·=号×5-1，放B正确：对 w3-0 3 1.5两条直线的交点坐标 c合吕-1与1故c正确：对D,因为 2-0 白题 基础过关 （1,)·（小，占）-=0.所以两直线的方向向量互相美直，故 1.CD解析：易知直线x+y-1=0的斜率为-1，所以与直线x+y-1=0 相交的直线的斜率必定不为-1，选项A,B中的直线的斜率都是-1， (⊥2，故D正确.故选BCD 选项C,D中的直线的斜率都是1，故A,B不符合题意.故选CD, 4.C解析：直线1：mr+y+1=0.直线2：3x+m-3=0,41∥2， 2.B解析：方程2x+y+1=0可化为y=-2x-1,因此该直线的斜率 ∴，m×m=3×1,解得m=√3，当m=√3时.{1：3x+y+1=0,2:3x+y 4-2方程+3+1=0可化为y=宁-子，因此该直线的斜 1=0,符合题意：当m=-5时，1：-/3x++1=0,:-√5x+y+1=0.两 直线重合，不符合题意，故m=3,3x+y+1=0,其斜率为-√3， 率=子因为6≠与=1≠-1，所以这两条直线相交但不 设直线l1的倾斜角为a,则na=-√3，又0°≤a<180°，侧a=120 垂直故选B. 故选C 3.C解折：由0可得两直线交点P代-1,4)，由第一条直线 5.C解析直线mA·x+y-e=0的斜率6，=-血A,直线r (x+2y-7=0 的斜率为-3，得到所求直线的斜率为k= 1 心所求直线的方程为 asmB=-1,直 nB·y+smC=0的斜率2=，乌=-m4.6 线sinA·x+y-e=0与直线br-sinB·y+sinC=0垂直，故选C y43+1).即x3+3=0故选C 6.C解析：点P(o)不在直线l:4r+B+C=0上，0+B6+C≠ 2m+3 0,.直线Ax+By+C+(o+o+C)=0不过点P 4.AB解析：依题意，联立 5x+4y=2m+l解得 x= 7 则两直线交 又直线Ax+Br+C+(Ae+Bo+C)=0与直线I:Ax+y+C=0平行，放 2x+3y=m. m-2 选C. 7 选择性必修第一册·BS黑白题004 点坐标为 ,气）又因为交点在第四象限，所以 -1≤血a≤1.即ma号可以成立：若直线与h垂直，则6k= 2m+3 >0 7 3 3ina-l,则如=-3，与-1≤na≤1矛盾，直线1，与2不可能 解得一2<m<2,经检验，AB满足要求，D不满足要求.故 垂直.A正确，D错误：若直线（与么重合.期6=0，且血a=号，面 选AB 5D舞折，联立7部得代：即直线：2.6：2a71 -1长ma≤1.可以有血《=弓，B正确：若直线与6平行.期 的交点为(1,1)，又直线的一个方向向量v=(-6,4),所以直线的斜 sina=】且c≠0.而-1≤na≤1，可以有in=?,C正确：放 率为号，放该直线方程为-1=-子（一）.即2+3-5=0做选D 选ABC 2.ABD解析：对于A项，当k=0时，直线2的方程为x=0,此时直线 6.C解析：已知三条直线能构成三角形，首先不平行，若a=0,则三条 行片解得a≠生1，当 ⅓的颜斜角为号，故A项正确：对于B项，当k=一时，直线的方 直线能丽成三角形.若4≠0，则二≠人么 1时，由0化o.代人10释1 程为x一1=0，与4重合，此时两直线有公共点：当≠-之时，有 1×-(-1)×(+1)=2k+1≠0，即41,42一定相交综上所述.对任意的 a(a+1)+1=0,解得a=1或a=-2,因此a≠-2.综上，a≠±1且 实数，直线(1与直线2都有公共点，故B项正确：对于C项，由B a≠-2.故选C 19解折：联立化产.解到2把（1,2)代入面-2-50可 可知，当k=2时，直线与重合，放C项错误：对于D项，要使 直线11与直线1垂直，则应有k+1-k=0,该方程无解，所以对任意的 得m一4-5=0..m=9.放答案为9. 实数k,直线(，与直线3都不垂直，故D项正确.故选ABD. 3.B解析：由点A(1.2)在L1:+b+1=0上可知.a+26+1=0.同理由 <0 8.二解析：由题意联立=2水， k-1 则 所以交点位于第 点A(1,2)在L2:cx+d山+1=0上可知c+2d+1=0,故点B(a,b)与C(e (红-y=k-1, 2k-1 )均满足方程x+2y+1=0,由于两点确定一条直线，因此直线BC的 方程为x+2+1=0故选B. 二象限. 4.ABC解析：若41,2人中有两条相互平行，或三条线过同一点都不 9.解：(1)直线(A+2)x-y+2A+1=0化为(x+2)A+2x-y+1=0,由 可以围成封闭图形：若41∥：2.由两直线平行与斜率之间的关系可得 {0部仁子即4-2.-到直线1+2-0的斜字 =1:若11∥11，由两直线平行与斜率之间的关系可得=-2：联立4， (y-3. 为手则1，得直线1，的斜率为方程为y+3 4(x+2),即 6可公。可知6与的交点为2，-：话山交于时 一点，可得a=2.故选ABC. 3x-4y-6=0.所以直线11的方程为3x-4y-6=0. 5.x+y-5=0解析：由题可知.△ABC的重心为G(3,2).可得直线AB 6 2)由g20.解程 5 的斜华为号子1.则B边上高所在的直线斜率为-1，则方程为广 12 即直线，与1的交点 5 3-2),甲50，直线4C的斜率为-2.则C边上高 a(号，号）设直线5的飘载距为。，则其横载距也为，当a=0 所在的直线斜率为？，则方程为)2=(x-4),即x-2=0,联立方 时，直线过原点，斜常为2，方程为y=2x:当a≠0时，直线2的方 、10 程为行子1.即=a,则a=子（号）此时的方 程50解得 3 aa (x-2y=0, 即△c的垂心为n(9音)，则直 18=0.所以直线与的方程为y=2x或x+y 程为x+y 1 5=0 5 四方法总结 线GH斜率为， 3 =-1,则可得直线GH的方程为y-2=一(x-3),放 解含有参数的直线过定点问题的方法： 33 (1)任给直线中的参数赋同个不同的值，得到两茶不同的直线，然后 △ABC的欧拉线方程为x-5=0,故答案为x+y-5=0. 险证这两条直的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问 题得解. √3 (2)分项整理，含参数的井为一项，不含参数的并为一项，整理成等号 6.解：(I)设(，5)，B(与，-写线段AB的中点为P(1, 右边为零的形式，然后令含参数的项和不含参数的项分别为零，解为 =1 程组所得的解即为所求定点的坐标 2 12' 0), 3 解得 ,,直线AB的 10.解：()由B边上的高所在直线的方程为y=2x-7),得4=2 2 =0. =2 则n=友-2又：4(3.，2)，直线B的方程为一2=-2(x 0 方程为y一0= 2 3),即2x+y-8=0 —(x-1).化为w3x+y-3=0. (2:AG边上的中线过点B,联立直线方程8=0解得 2 0x-3y-4=0, =4即点B坐标为4.0)， y=0, (2设4.（，）线段简中点为 黑题应用提优 3 3 1.ABC解析：直线1的斜率为k1=-ina,过定点(0.0)，直线2的斜 3 事为=寸过点(-0.若直线（与6相交.则血a≠子，面 在直线y= .3√33.化为 上， 2 参考答案黑白题005 x1=2.又直线AB过点P(1,0),∴.x=x1=1.直线AB的方程为10.B解析：设所求直线的方程为3x-4y+C=0,由题意得 x=1. 7.解：(1)因为AB边上的高所在的直线方程为x+3y-26=0,所以直 1G-(-=1,解得C=-6成G=-16,所以所求直线的方程为 √3+(-4)2 线AB的斜常k=3.又因为△ABC的顶点B(-2.0),所以直线AB的方 3x-4-6=0或3x-4y-16=0故选B. 程为y=3(x+2).即3x-y+6■0. 11.A解析：因为直线3x-4y+m=0(m<0)与3x+y+6=0平行，所以 (2)若选①，角A的平分线所在直线方程为x+y-2=0.由 3n=(-4)×3,解得n=-4.又两条平行直线3x-4y+m=0(m<0)与 20解得1·所以点A的坐标为(-1,3).设点B关于x+ 1m-61 (y=3x+6, （y=3. 3x-4y+6=0之间的距离是3.所以d=- =3,解得m=2引 0-0 3+(-4)7 -2=0的对称点为(，%，则/+21，》 (会去)或m=-9,所以m+n=-13故选A. 解得2即 2 =4. 四方法总结 L,求过两条直线交点的直线方程的方法：先求出两条直线的交点坐 B坐标为(2,4).义点B(2,4)在直线AC上，所以直线AC的斜 标，再结合其他条件写出直线的方程 43.,所以直线4C的方程为y-4=了(x-2),即3y+ 2利用距离公式应注意：(I)点P(,ya)到直线x=a的距高d▣|0 率k批2+131 a,到直线y=b的距离d=y。-b:(2)两条平行直线可的距离公式琴 10=0. 把两直线方程中x,y的系数化为相等， 若选②：6C边上的中线所在的直线方程为严3，由们46，解得 12A解折：因为。-音所有线3+-2=0与6红8+60子 所以点A(-1,3),设点C(),则BC的中点在直线y=3 (ym3. 行，所以PQ1的最小值就是两条平行直线之间的距离.直线方程 3x+4y-12=0可化为6r+8y-24=0,则这两条平行直线之间的距离 上，所以 2=3,即1=6又点C(1,6)在直线x+3-26=0上，所以 为6=(-24L3.所以1P01的最小值为3，故选A /62+82 C(8,6).所以4G的斜率c==子，所以直线AC的方程为r一 13.D解析：设所求直线的方程为3x-2y+e=0(c≠-6)，由题意可知，所 6 le-81 3(x-8),即直线4C的方程为x-3+10=0 求直线到直线12的距离等于直线11,2间的距离，， √32+(-2) 1-6-81 1.6平面直角坐标系中的距离公式 -2示郁得c=2边或c=-6(合去)所求直线的方程为 白题基础过关 3x-21+22=0故选D 1.D解析：由已知得14B1=√(1-m)+(3-7)了=5，因此11-ml=3,解 14.C解析：由题意得，直线，与直线马关于平行于y轴的直线= 2 得m=4或m=-2故选D, 对称，可得直线，的方程为y=-2x+3,直线与直线关于平行 2.D解析：1AB1=14C1.√(+2)+5=√(a-1)2+产，解得a= 于x轴的直线y=3对称，可得直线3的方程为y=2x+3,则直线41∥ 3,则直线11上一点P到直线3的距离即为直线1与直线3之间 的距离.由两平行线间的距离公式可得直线1与直线3之间的距 3.D解析：由两点间的距离公式可得|AB1=√4+T=√5，IAC1= 13-(-3)165 V1+9=√10,1BC1=1+4=5.1AB1=1BC1,且IABI2+1B12= 离d= 1)户2)，即点P到直线与的距离为65 故选C 14C12,故该三角形为等酸直角三角形.故选D. 15.3x-2y+11=0或3x-2y-5=0解析：设直线1的方程为3x-2y+c=0 4.25解析：设A(x,0),B(0,):线段AB的中点为M(2,-1), (c≠-1且c≠-13)，由平行线间的距离公式可得21e+11=1c+ 22, 131,∴.e=11或c=-5,.直线1的方程为3x-2y+11=0或3x-2y x=4, .A(4,0),B(0,-2)..1AB1= 5=0.故答案为3x-2y+11=0或3x-2y-5=0. y=-2 16.1-11≤k≤-1且k-6:解析：y=-2x-青-2的一般式方程为 2x++k2=0.则两条平行直线间的距离4：1+244.1+6≤5. √4+(-2)=2w5故答案为25】 2+1下5 5.C解析：设点P的坐标为(x.0).则13-4x0+6 =6.解得x=8或 即1k+61≤5，解得-11≤k≤-1.当k+2=-4,即k=-6时，两条直线 √32+(-4)2 重合，k的取值范围是k1-11写k写-1且k-6.故客案为 x=-12,.点P的坐标为(8,0)或(-12,0).故选C k1-11≤k≤-1且k≠-61. 6.C解析：由于点A(2,1)不在直线：x-y+3=0上，所以当AB11 17.证明：以R!△ABC的直角边AB.AC所在的直线为坐标轴，建立平面 时，AB1最小，放1B1=4=2-1+3=22.故选C 直角坐标系，设B,C两点的坐标分别为(b,0),(0,c).·M是C的 2 中点以点M的坐标为（学些），即（宁专）由两点E离 .B解桥：点(，5)关于点(1，)的对称点为(-2-3二{2， 解得三4即点P的坐标为(4,1)直线)y=x+1的一般式方程为- 公式得BC1=V26,M1=√4年= 2 一，.1A1= (y=1, +1=0所求距离4=4-1+11 c1. =22.故选3 +(-1) 18.证明：建立如图所示的平面直角坐标系， 8.G解析：因为4(2,1)，B(-4,a)两点到直线：x-y+2=0的距离相 设正方形ABCD的边长为2.则B(0,0) 等，所以12-1+21.1-4-a+21 C(2.0).A(0,2),E(1,0).F(0.1) ,即1a+21=3.解得2=1或4= 2+(-1)7+(-1) D(2.2).直线DE的方程为y=2x-2,直线 -5.故选C. (y=2x-2. 92 解析：将直线子=1化为一般式方程可得3-4-12=0，由 CF的方程为)21，由 1 2+1, (OB 点到直线的距离公式可得坐标原点(0.0)到直线/的距离为d= 6 5 5 选择性必修第一册·BS黑白题006