第二十二章 二次函数 ：二次函数与角度2024-2025学年人教版数学九年级上册

二次函数与角度 1、 二次函数与45°角 1. 题目中给到45°或者135°条件，构造三垂直模型求点坐标，从而求出直线解析式，再联立抛物线得所求点坐标. 2.题目中条件有等腰直角三角形和一对角度相等，通过导角得到新的45度角，再利用三垂直求点坐标. 1.如图，抛物线y＝ax2＋bx－4a经过A(－1，0)、C(0，4)两点，与x轴交于另一点B，点D(m，m＋1)在第一象限的抛物线上，点P为抛物线上一点，且∠DBP＝45°，求点P的坐标． 2.如图，抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连AC，将直线AC向右平移交抛物线于点P，交x轴于Q点，且∠CPQ＝135°，求直线PQ的解析式. 3.如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点，交y轴正半轴于C点，D为抛物线的顶点，点P在x轴上，且∠PCB＝∠CBD，求点P的坐标 4.如图，抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC，在抛物线上有一动点P，使得∠PCB＝∠ACO，求点P的坐标． 2、 二次函数与等角 等角问题处理策略：①等角得到等腰；②等角得到平行；③等角构造全等；④作平行+等角条件得到等腰三角形. 注意考虑是否需要分类讨论. 1. 抛物线y＝－x2＋(m－1)x＋m交x轴于A、B两点(A在点B的 左边)，交y轴正半轴于点C． (1)如图1，当m＝3时 ①直接写出A，B，C的坐标； ②若抛物线上有一点P，使∠ACP＝∠BAC，求点P的坐标； 2.已知抛物线y=x2-(m-3)x+n与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.若抛物线的对称轴为x=2，A(1，0) （1）求此抛物线的解析式； （2）如图1，若点P是（1）中B点右边的抛物线上一动点，问：是否存在这样的点P，使得∠CAP=∠CAO，若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由. 3.抛物线y=x2+(2t－2)x+t2－2t－3 与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C （1）如图1，当t=0时，连接AC、BC， 求△ABC的面积； （2）如图2，在（1）的条件下，若点P为在第四象限的抛物线上的一点，且∠PCB+∠CAB=135°，求P点坐标； 4.如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B左边），与y轴正半轴交于C点，OC＝2OA (1) 求抛物线的解析式，并直接写出△ABC的形状； (2) D点在抛物线上，且∠BCD＝∠ACO，求D点坐标. 3、 二次函数与2倍角 2倍角处理策略：①延长构等腰；②作平行得角平分线（等腰三角形）；③设未知数导角得角平分线 1.如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C. (1)求抛物线的解析式； (2)直线AB上方抛物线上的点D，使得∠DBA＝2∠BAC，求D点的坐标； 2.已知抛物线 C 的顶点坐标为 A(0，－2)，经过点 B(4，6)，如图 2，将抛物线 C 向下平移 m（m＞0）个单位长度得到抛物线 C1，抛物线 C1 的顶点为 P， 交 x 轴的负半轴于点 E，点 F(a，2a－2)（a＞2）在抛物线 C1 上 ① 求点 E 的坐标（用含 a 的式子表示） ② 若∠FEO＝2∠EFP，求 a、m 的值 3.已知抛物线（），与 x轴交于 A、B两点（A在B的左边），与 y 轴交于C点，M为抛物线的顶点.（3）当 m=1时，抛物线上有点N，使得∠NCA=2∠BCA， 求 N点的坐标. 4.已知：如图（1），抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图（2），已知点P是第四象限抛物线上的一点，且，求点P的横坐标； 学科网（北京）股份有限公司 $$