第二十二章二次函数 单元试题2024-2025学年人教版数学九年级上册

人教版九年级上册数学第二十二章二次函数单元试题 一、单选题(每题3分,共30分) 1.二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) A.B.C.D. 2.二次函数 的图像如图所示,则关于的一元二次方程的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 3.如图,二次函数的图像与轴的一个交点坐标为,那么关于的一元二次方程的解为( ) A. , B. , C. , D. 4.下列关于抛物线的判断中,错误的是( ) A.形状与抛物线相同 B.对称轴是直线 C.当时,y随x的增大而减小 D.当时, 5.将抛物线向右平移2个单位,再向上平移1个单位所得到的抛物线解析式为( ) A. B. C. D. 6.抛物线的顶点在x轴上,则b的值一定为( ) A.0 B.6 C. D. 7.当时,二次函数的最小值为15,则的值为( ) A.或8 B.8 C.6 D.或6 8.若二次函数的图象经过,,三点,则,,的大小关系正确的是( ) A. B. C. D. 9.如图,在平面直角坐标系中,抛物线交轴于点,过点作线段轴交于点,过点作线段轴于点,当为等腰直角三角形时,的值是( ) A. B. C. D. 10.如图,二次函数()的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且对称轴为直线,点B坐标为.则下面的五个结论:①;②;③当时,或;④;⑤(为实数且).其中正确的结论有( )个 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题(每题3分,共30分) 11.抛物线的顶点坐标是 . 12.对于二次函数,当时,y的值为 . 13.二次函数(a为常数,且),当时,对于任意一个m的值,都有,则m的取值范围为 . 14.若抛物线(m是常数)的图象经过第一、二、三象限,则m的取值范围是 . 15.已知二次函数,当时,函数值y的取值范围是 . 16.如图,在平面直角坐标系中,抛物线与与相交于点,,点的坐标为,若点在抛物线上,则的长为 . 17.已知二次函数与x轴有交点,则m的取值范围是 . 18.如图,抛物线交轴正半轴于点,过点作轴交抛物线于另一点,点在轴上,点在抛物线上.当四边形是菱形时,则的值为 . 19.某镇的一种特产由于运输原因,长期只能在当地销售.当地政府对该特产的销售投资与收益的关系为:每投入x万元,可获得利润(万元).每年最多可投入100万元的销售投资,则5年所获利润的最大值是 万元. 20.如图,在中,,,,点P从点A沿向点C以的速度运动,同时点Q从点C沿向点B以的速度运到(点Q运动到点B停止),在运动过程中,四边形的面积最小值为 . 三、解答题(共60分) 21.已知抛物线的对称轴为直线,且过点. (1)求抛物线对应的函数表达式; (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标. 22.某二次函数图象上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如表: … 1 2 … … 0 2 0 … (1)求这个二次函数的表达式; (2)在图中画出此二次函数的图象; (3)结合图象可知当时,的取值范围为_. 23.抛物线与y轴交于点. (1)求出m的值及抛物线与x轴的交点坐标. (2)当x取什么值时,抛物线在x轴下方? (3)当x取什么值时,y的值随x的增大而增大. 24.如图,在平面直角坐标系中,直线与轴交于点,与轴交于点.抛物线的对称轴是,且经过两点,与轴的另一交点为点. (1)求抛物线解析式. (2)若点为直线上方的抛物线上的一点,连接.求的面积的最大值,并求出此时点的坐标. 25.春节前夕,阳光超市从厂家购进某种礼盒,已知该款礼盒每个成本价为40元.物价部门规定:该款礼盒的销售单价不得低于成本价,且不高于70元.经市场调查发现,该款礼盒每天的销售量(个)与销售单价(元)之间满足一次函数关系.当该款礼盒销售单价为55元时,每天可卖出150个;当该款礼盒销售单价为65元时,每天可卖出50个. (1)求与之间的函数解析式,并写出的取值范围. (2)若该超市每天想获得2000元的利润,销售单价应定为多少元? (3)若该超市想达到每天不低于200个的销售量,则该款礼盒销售单价定为多少元时,每天的销售利润最大,最大利润是多少元? 26.如图,抛物线与x轴交于,两点,与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式; (2)点D是抛物线的顶点,求出四边形的面积; (3)点E是抛物线上一动点,设点E的横坐标为,点F为抛物线对称轴l上一点.若是等腰直角三角形且,请直接写出此时点E的坐标. 学科网(北京)股份有限公司 参考答案: 1.D 【分析】本题主要考查二次函数图象,一次函数图象的性质,分和两种情况根据二次函数与一次函数图象分析判断即可得解. 【详解】解:对称轴为直线, 时,抛物线开口向上,对称轴在y轴左侧,与y轴正半轴的交于点,一次函数经过第一、二、三象限,与y轴正半轴的交于点, 时,抛物线开口向下,对称轴在y轴右侧,与y轴负半轴的交于点,一次函数经过第二、三、四象限,与y轴正半轴的交于点. 故选:D. 2.A 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系,解答本题的关键是掌握二次函数的性质; 一元二次方程的根即为二次函数的图像与直线的交点的横坐标,结合图像即可得到答案. 【详解】解方程可化为, 一元二次方程的根即为二次函数的图像与直线的交点的横坐标, 结合图像,可知二次函数的图像与直线有两个不同的交点,即方程有两个不相等的实数根, 故选:A. 3.B 【分析】此题考查的是求二次函数图像与轴的交点坐标和求一元二次方程的根,掌握二次函数图像的对称性和二次函数与轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系是解决此题的关键. 依据题意,根据函数的图像可得,二次函数的对称轴是直线,又图像与轴的一个交点坐标为,结合对称性可得图像与x轴的另一个交点坐标为,即,进而可以判断得解. 【详解】解:由题意,根据函数的图像可得,二次函数的对称轴是直线, 又图像与轴的一个交点坐标为, ∴图像与轴的另一个交点坐标为,即. ∴关于的一元二次方程的解为,. 故选:B. 4.C 【分析】本题考查了二次函数的性质,掌握二次函数的性质是解题的关键. 根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解. 【详解】解:A、抛物线形状与相同,此选项不符合题意; B、抛物线对称轴,此选项不符合题意. C、对于抛物线,由于,当时,函数值y随x值的增大而减小,此选项错误,符合题意; D、抛物线,抛物线开口向下,抛物线与x轴的交点为,所以当时,,此选项不符合题意. 故选:C. 5.C 【分析】本题考查二次函数图象的平移与几何变换,熟练掌握并利用抛物线解析式的变化规律:左加右减,上加下减进行分析是解题的关键. 根据“上加下减,左加右减”的原则进行解答即可. 【详解】解:由“左加右减”的原则可知,将抛物线向右平移2个单位所得抛物线的解析式为:. 由“上加下减”的原则可知,将抛物线向上平移1个单位所得抛物线的解析式为:,即. 故选:C. 6.D 【分析】此题考查了学生的综合应用能力,解题的关键是掌握顶点的表示方法和x轴上的点的特点. 抛物线的顶点在x轴上,则表示抛物线与x轴只有一个交点.只有一个解. 【详解】解:∵抛物线的顶点在x轴上, ∴只有一个解. . . 即. 故选:D. 7.A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值,利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值是解题的关键.利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值,结合当时函数有最小值15,即可得出关于的一元一次方程,解之即可得出结论. 【详解】解:当时,有, 解得:,. 当时,函数有最小值15, 或, 或, 故选:A. 8.A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,距离对称轴越远函数值越小是解答本题的关键.根据点距离对称轴越远函数值越小判断即可. 【详解】解:二次函数的图象开口向下,对称轴是直线,根据点距离对称轴越远函数值越小, 距离对称轴6, 距离对称轴2, 距离对称轴1, , , 故选:A 9.C 【分析】本题考查了二次函数的性质,等腰三角形的性质,解一元二次方程,先求出的坐标,然后根据题意求得的坐标,代入解析式得到关于的方程,解方程即可求解,熟练掌握知识点的应用是解题的关键. 【详解】解:∵抛物线交轴于点, ∴, ∴, ∵轴,轴, ∴, ∵为等腰直角三角形, ∴, ∴, ∵在抛物线上, ∴, 解得,(舍去), 故选:. 10.C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质,二次函数的图象与系数之间的关系,二次函数与不等式,以及根与系数的关系,掌握二次函数的性质,是解题的关键.根据开口方向,对称轴,与轴的交点坐标,即可判断①,特殊值判断②,图象法解不等式,判断③,根与系数的关系,判断④,二次函数最值判断⑤. 【详解】解:二次函数开口向下, , 对称轴在轴右侧, , 二次函数交与轴正半轴, , , 故①错误; 二次函数的图象与x轴交于A、B两点,且对称轴为直线,点B坐标为. 点A坐标为, 当时,, 故②错误; 由图知,当时, 或, 故③正确; ,, , , 故④正确; 二次函数在时取得最大值, 即最大, (为实数且). (为实数且). 故⑤正确; 综上所述,正确的有③④⑤共3个, 故选:C. 11. 【分析】本题考查了二次函数的顶点式的特点,熟练掌握二次函数的顶点式的特点是解此题的关键. 直接利用顶点式的特点可求顶点坐标. 【详解】解:抛物线的顶点坐标是, 故答案为:. 12. 【分析】本题考查求二次函数的函数值,直接把代入二次函数,求出y的值即可. 【详解】解:当时,. 故答案为:. 13./ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质,先求出抛物线的对称轴为直线,再根据当时,对于任意一个m的值,都有,得出,解不等式组即可. 【详解】解:二次次函数的对称轴为:直线, ∵, ∴抛物线的开口向上,距离对称轴越远的点,函数值越大, ∵当时,对于任意一个m的值,都有, ∴,当时,, ∴, 解得:, ∴二次函数, ∴此时二次函数的最小值是, 当时,对于任意一个m的值,都有, ∴在时,函数必须取到最小值, ∴, ∵, ∴, ∴. 故答案为:. 14. 【分析】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系,二次函数的性质,根据题意得到关于的不等式组是解题的关键. 由可知抛物线开口向上,对称轴为直线,顶点为,根据题意得到,然后求出不等式组的解集即可. 【详解】解:, 抛物线开口向上,对称轴为直线,顶点为, 抛物线是常数)的图象只经过第一、二、三象限, , 解得, 故答案为: 15. 【分析】把二次函数的一般式转化成顶点式即可求得顶点坐标,结合,把分别代入,分别得出对应的值,再进行比较,即可作答.本题考查了二次函数的图象性质以及函数值的取值范围 【详解】解: ∴顶点坐标 ∵ ∴把分别代入 得, ∴当时,函数值y的取值范围是 故答案为: 16. 【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式,二次函数的性质,熟练求解二次函数的解析式是解题的关键.先利用待定系数法求得抛物线,再令,得,解得或,从而即可得解. 【详解】解:把点,点代入抛物线得, , 解得, ∴抛物线, 令,得, 解得或, ∴, ∴; 故答案为:. 17.且 【分析】本题考查二次函数图象与x轴的交点问题,利用根的判别式得出不等式是解答的关键.先根据二次函数图象与x轴有交点得到相应方程有实数根,进而利用根的判别式得到关于m的不等式,然后解不等式即可. 【详解】解:∵二次函数与x轴有交点, ∴方程有实数根, ∴, 解得且, 故答案为:且. 18. 【分析】本题考查了菱形的性质,二次函数的性质,由菱形的性质得,,由二次函数的性质得直线是抛物线的对称轴,由得,即可求解;掌握菱形的性质和二次函数的性质,由性质得到直线是抛物线的对称轴是解题的关键. 【详解】解:如图,连接交于, 当时,, , 四边形是菱形, , , 轴, 轴, , , 直线是抛物线的对称轴, 抛物线 , , , , 解得:; 故答案:. 19.205 【分析】此题考查了二次函数的实际应用问题.由可获得利润,即可知当时,P最大,最大值为41,继而求得5年所获利润的最大值. 【详解】解: ∴当时,取最大值41, (万元), 年所获利润的最大值205万元, 故答案为:205. 20. 【分析】本题考查了二次函数的最值,勾股定理.利用分割图形求面积法找出是解题的关键.在中,利用勾股定理可得,设运动时间为,则,,利用分割图形求面积法可得,利用配方法即可求出四边形的面积最小值. 【详解】解:在中,,,, , 设运动时间为,则,, 当时,四边形的面积取最小值,最小值为. 故答案为:15. 21.(1) (2)抛物线的开口向下,顶点为. 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质等知识点,利用待定系数法求得抛物线的解析式是解题的关键. (1)由对称轴可求得h的值,再把代入可求得a的值即可求得抛物线解析式; (2)直接根据抛物线的顶点式写出抛物线的开口方向和顶点坐标即可. 【详解】(1)解:∵抛物线的对称轴是直线, ∴, ∴抛物线解析式为, ∵抛物线过, ∴, 解得, ∴抛物线解析式为. (2)解:∵抛物线为,, ∴抛物线的开口向下,顶点为. 22.(1)(或) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的图象以及待定系数法求二次函数解析式,解题的关键是:(1)利用待定系数法求出函数解析式;(2)根据给定点的坐标画出函数图象;(3)观察函数图象结合顶点点坐标得出y的取值范围. (1)根据表格数据,设二次函数的表达式为,结合点利用待定系数法即可求出二次函数表达式; (2)先求出顶点,再描点、连线,画出函数图象; (3)根据x的取值范围可得答案. 【详解】(1)解:由题意,设二次函数的表达式为, ∵二次函数经过点, ∴, ∴, ∴二次函数的表达式为; (2)解:∵, ∴顶点为, 描点、连线,画出图形如图所示: (3)解:观察函数图象可知:当时,y的取值范围是, 故答案为:. 23.(1),x轴的交点坐标为, (2)当或时,抛物线在x轴下方 (3)当时,y随着x的增大而增大 【分析】考查了二次函数的性质,二次函数与x轴的交点,把求二次函数与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题关键. (1)把已知点的坐标代入中可求出m,从而得到抛物线解析式为,通过解方程得抛物线与x轴的交点坐标; (2)利用抛物线与x轴的交点坐标,然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围; (3)先求出抛物线的对称轴,然后利用二次函数的性质解决问题. 【详解】(1)解:将 代入,可得, , 令,即,解得, x轴的交点坐标为,; (2)根据的图像,如下图: 如图可知, 当或时,抛物线在x轴下方; (3), 抛物线开口朝下, 抛物线对称轴为, 根据二次函数的性质可知, 当时,y随着x的增大而增大. 24.(1) (2), 【分析】(1)根据题意可得,点与点关于对称,可得,设抛物线解析式为,运用待定系数法即可求解; (2)根据题意,设,如图所示,过点作轴交于点,则,可得,再根据三角形面积的计算方法,二次函数最值的计算方法可得,由此即可求解. 【详解】(1)解:在直线中,当时,,当时,, ∴, 由抛物线的对称性可知:点与点关于对称, ∴点的坐标为, ∵抛物线过, ∴可设抛物线解析式为, 又∵抛物线过点, ∴, ∴, ∴. (2)解:的解析式为,点为直线上方的抛物线上的一点, 设,如图所示,过点作轴交于点, ∴ ∴ , ∴ , ∴当时,的面积有最大值是, ∴, 此时点坐标. 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合,掌握待定系数法求解析式,二次函数与一次函数交点问题,几何图形面积的计算方法,图形结合分析的方法是解题的关键. 25.(1) (2)该超市每天想获得2000元的利润,销售单价应定或元 (3)该款礼盒销售单价定为元时,每天的销售利润最大,最大利润是元 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式,一元二次方程的运用,二次函数的实际应用,一元一次不等式应用,解题的关键是根据题意找出等量关系或不等关系列式求解. (1)根据该款礼盒每天的销售量(个)与销售单价(元)之间满足一次函数关系.设与之间的函数解析式为,再利用待定系数法求解,即可解题; (2)设利润为,根据“该超市每天想获得2000元的利润”,以及利润(销售单价每个成本价)销售量,建立方程求解,即可解题; (3)根据“该超市想达到每天不低于200个的销售量,”得到的取值范围,再根据,结合二次函数的最值,即可解题. 【详解】(1)解:设与之间的函数解析式为, 由题可得:,解得:, 与之间的函数解析式为, 该款礼盒的销售单价不得低于成本价,且不高于70元, 的取值范围为, 与之间的函数解析式为; (2)解:设利润为, 利润(销售单价每个成本价)销售量, , 要每天获利元,则, 整理得, 解得:,, 答:该超市每天想获得2000元的利润,销售单价应定或元; (3)解:该超市想达到每天不低于200个的销售量, , 解得, , , , , 时,有最大值为, 该款礼盒销售单价定为元时,每天的销售利润最大,最大利润是元. 26.(1) (2) (3) 【分析】(1)利用待定系数法求解即可; (2)如图所示,过点作轴于,先求出,再根据进行求解即可; (3)如图,构造全等三角形,证明,则,建立方程进行求解即可. 【详解】(1)解:把,代入中, 得:, , 抛物线解析式为; (2)解:如图所示,过点作轴于, 抛物线解析式为, 抛物线顶点的坐标为, , 在中,当时,, , , ,, ,, ; (3)解:设, 如图所示,当时, 过点作轴于, , 是等腰直角三角形,, , , , , , , 解得或(舍去), ; 【点睛】本题是二次函数综合,考查了待定系数法求函数解析式,割补法求不规则面积,等腰三角形的性质,全等三角形的性质与判定等等,利用分类讨论的思想求解是解题的关键. 学科网(北京)股份有限公司 $$