广东省番禺区2023-2024学年高一下学期期末质量监测数学试题

2023学年第二学期高中教学质量监测试题 12+2-3.:0. 5.已知函数/(x)- 高一数学 -2+lnx.x>0. 方程(行x)一k有3个实数解,则 本试卷共5页,19小题,全卷满分150分,考试时间为120分钟 的值范围是 ()-4<k -3 ()-4<k<-3 C-3<k0 注项: (D0 1.答卷前,考生务必用照色字迹的钢笔或答字笔将白己的学校、填烦、姓名和座位号,准 考证号填写在答题卡上,并用2B铅笔将准考证号填涂在答题卡相应位置上。 6.甲.乙两名射击运动员进行射击比赛,甲的中爬概率为08,乙的中把概率为 2.回答选择题时,选出等小题答案后,用2B社笔相答题卡上对应题目的答案标号涂黑 09.设A-“甲中”,B。“乙中靴”,则 如需要改动.用检度干净局,再选涂其它答系标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上 (A)A与B,A与丐,不与B.A与B都相互独立 对应的区域内,写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. (B)AB与B4是对立事性 (C)P4)-0.08 一、选择题;本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中 )P(ABUABA-002 只有一项是符合题目要求的. 7.已知D是边长为2的正△ABC边&C上的动点.则A.AD的取值范围 1.在复平面内,复数:--1一i对应的点位干 (Av4 (C).2 (B)[2 (D2.4 (B)第二象阳 (C)第三象限 (A)第一限 (D)第四象阳 8.如图1.在校长为2的正方体A&CD-A.B.C.D.中 2.设集合A-$0.-:-1:a-2.20-2.若AB,则a- 二进 C (B1 (D-1 (A2 点F.F.G分别是梳BC.CC.CD.的中点.点 P为底雨A.B.C.D.上任意一点:若直线BP与罕面 3.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3.因台的侧离积为 84x.则因白较小底面的半径为 FFG无公共点,则下列命题中 (C)5 ①BP/平面EFG (A)8 (B7 (D)3 ②平面EFG/平面BCA 4.某中学为了解在校高中学生的身高情况,在高中三个年级各随机抽取了10% ③所有点P在直线BD上 32。 的学生,并分别计算了三个年级抽取学生的平均身高,数据如下表 因: ④BP与DD.所成的角为?,因tw的最小值是 年缀 高一 高二 高三 正确命题的个数是 抽样人数 1 30 (C3个 36 1_ (B)2个 (A)1个 (D4个 互均身高 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多 则该校高中学生的平均身高可估计为 项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对得那分分,有选错的得。分 8+)4短 (A )2 2 9.下列不等式,正确的是 (C)3.6r+3.40+30 (0.{<1 (C)log052 D036+03+030 (A)log:051 (D) lo3-log4 教学,第1冥(共5页) 数学,第2要(共5) 10.如图2.图3.图4所示.下列幅率分布直方图是示了三种不同的分布形态,图 因,解答题:富题共5小题,共77分解答应写出官字语明;证明过程或演算步理。 2形成对称形态,图3形成”有拖尾”形态,图4形成“左拖尾”形态,根据所 给图作出以下估计,正确的是 15.(13分) 已知向量0A-(2.1).0=(3.-.0-(6-m.-3-m) (1)若点A. B.C共线,求实数 的值: (2)若△ABC为直角三角形,求实数的值 圈 圈d (B)图3的平均数<众数<中位数 (A)图2的平均数一中位数-众数 16015分) (D)图4的军均数中位数之众是 (C图3的众数中位数二平均数 某工生产某款产品,该产品市场评级现定:评分在10分及以上的为一等品 11.堵,阳马,整这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功及 如 低于10分的为二等品.下面是检验员从一批产品中随机抽样的6件产品的评分: 图5.把一块长方体分成相同的两块,得例两个直三校柱(短堵)如图6.再 10.1 98 10.0 9.7 10.0 9.8 沿效堵的一顾点与相对的梳剖开,得四校锥和三校帷各一个,其中四校帷称 经计算得=98.3,其中x为抽的第1件产品的评分(1.2.3.、6. 为阳马,三称为.则 ) (1)求这组样本平均数和方差 (2)从以上随机抽取的6件产品中任意抽取2件,求这两件均为一等品的概 正 超趋 (3)若厂家改进生产线,使得生产出的每件产品评分均提高02.再从改进后 圈; 图 生产的产品中随机抽数6作产品,估计这6件产品的平均等级是否为一等品?说 明理由. (A)阳马的四个删丽中仅有两个是直角三角形 (B)的四个面均为直角三角形 (C)阳马的体积是游的体积的两信 17.(15分) (D)暂堵,阳马与整的外接球的率径都相等 金刚石也被称作钻石,是天然存在的最硬的物质,可以用来切割破璃,也用作 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 钻探机的钻头,河南基实业集团股份有限公司是国内人造金刚石的排头兵,人造 12.对于一组数据2.3.3.4.6.6.8.8.则第50百分位数是 金刚石年生产能力达15亿克拉,是国内同行业第一,世界第三金刚石生产基地,金 13.已知2-1是关于x的方程2x*+nx+a一0(p.a为实数)的一个根,则 刚石呈现如图7所示的“正八而体”外形,正八面体由八个全等的等边三角形图 _一 成,且对角面(如ACD)是正方形 14.已知函数/(x)--x?-2x-a在区间(-xo,0)上单调递增,Ha+e+ n(x+1))0对任意的:0恒成立,则a的取值范围是 暂学。第3页(共5页) 表学第4页(共5) (1)证明:AF/7平面CDF: (2)证明:四楼维F-ABCD是正四楼 (3)试判断平面ABE与平面CE是否垂直?如果 垂直:请证明:如果不垂直,请说明理由 图 18(17分) 已知a,b.c分别是△ABC三内角A.B.C所对的三边,且aeosC+ sinC=h+c. (1)求A的大小 (2)若c=5.△ABC的面积为10v3.求a.b: (③)求 be-a-ac 的取值范围 19(17分) 已知函数f[x)的定义域为B.且fx+y)+fx-y)=fx)fy).f1]=1 (1)若f(x]-Acosox(0<o<x).求A与o; (2)证明:函数/(x)是偶函数: (3)证明函数f(x)是周期函数 (4)若(()的周期为7:在0. 到大依次为x.:x....证明/(x)在区间[0,20247]上有4048个零点,且 -对1=x-3=.=x- 数学,第5页(共5页)2023学年第一学期期末质量检测 高一数学试题评分参考 说明： 1．参考答案及评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根 据比照评分标准给以相应的分数。结果正确，过程适当放宽，但不能缺少必要步骤；结果错误，寻 找踩分点给分. 2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题 的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分 数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。给一分有理，扣一分有据。 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分。 1．C 2．B 3．B 4．D 5．A 6．A 7．D 8．C 二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有 选错的得 0分。 9．BCD 10．ACD 11．BCD 三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。 12．5 13．14 14．1 ⩽ a ⩽ 0 五、解答题：本大题共 70分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤。 15. （13分） 解：（1）因为 ! OA = (2，1)， ! OB = (3，2)， ! OC = (6 m，3 m)所以 ! AB = ! OB ! OA = (3，2) (2，1) = (1，3)， ……………………………… 1分 ! AC = ! OC ! OA = (6 m，3 m) (2，1) = (4 m，4 m) ……………………………… 2分 因为 A、B、C 三点共线，所以 ! AB// ! AC，所以 ……………………………… 3分 1  (4 m) = 3  (4 m)， ……………………………… 4分 解得 m = 2. ……………………………… 5分 （2） ! BC = ! OC ! OB = (6 m，3 m) (3，2) = (3 m，1 m) ……………………………… 6分 ①若 †A为直角，则 AB?AC，所以 ! AB
! AC = 1  (4 m) 3  (4 m) = 0， ……………………………… 7分 解得 m = 8 ……………………………… 8分 ②若 †B 为直角，则 AB?BC，所以 ! AB
! BC = 1  (3 m) 3  (1 m) = 0， ……………………………… 9分 解得 m = 3 ………………………………10分 ③若 †C 为直角，则 BC ?AC，所以 ! BC
! AC = (3 m)  (4 m) + (1 m)  (4 m) = 0， ………………………………11分 即 m2 m + 8 = 0， 因为 ∆ = (1)2 4  8 = 31 < 0，所以方程无解； ………………………………12分 综上可得，当 m = 8或 m = 3时 △ ABC 为直角三角形. ………………………………13分 第 1页（共 5页） 16. （15分） 解：（1）样本平均值为 x = 10:1 + 9:8 + 10:0 + 9:7 + 10:0 + 9:8 6 ……………………………… 1分 = 9:9， ……………………………… 2分 样本方差为 s2 = 1 6 6P i=1 (xi x) 2 ……………………………… 3分 = 1 6 6P i=1 x2i x 2 = 98:03 9:92 = 0:02， ……………………………… 4分 （2）用 a1，a2，a3表示抽取的 6件产品中的三个一等品，用 b1，b2，b3表示抽取的 6件产品中 的三个二等品，则该试验的样本空间可表示为 ……………………………… 5分 Ω = f(a1; a2); (a1; a3); :(a1; b1); (a1; b2); (a1; b3); (a2; a3); (a2; b1); (a2; b2); (a2; b3); (a3; b1); (a3; b2); (a3; b3); (b1; b2); (b1; b3); (b2; b3)g， ……………………………… 8分 共有 15个样本点. ……………………………… 9分 设事件 A为两次都抽到一等品，它包含了 3种等可能的结果，即 ………………………………10分 A = f(a1; a2); (a1; a3); (a2; a3)g. ………………………………11分 所以 P (A) = 3 15 = 1 5 . ………………………………12分 即两件均为一等品的概率为 1 5 . ………………………………13分 （3）因为改进后随机抽取的 6件产品是改进前抽取的 6件产品每个提高 0.2分，所以估计改进 后生产的产品评分的平均数 X = x + 0:2 = 10:1 > 10， ………………………………14分 所以可以认为这 6件产品平均等级为一等品. ………………………………15分 不一定是一等品，因为样本数据具有随机性， ………………………………14分 所以新样本平均值不一定达到 10分以上，所以新样本平均等级不一定是一等品. ………………………………15分 17. （15分） 解：（1）由题意可知，对角面 AF CE 是正方形，所以 AE//CF， ……………………………… 1分 又因为 AE 6平面 CDF，CF 平面 CDF， ……………………………… 2分 所以 AE//平面 CDF . ……………………………… 3分 （2）如图 1，连接 AC 与 BD，设 AC \ BD = O，连接 EO，则 A B C D E F O 图 1 A B CD E F G 图 2 ……………………………… 4分 AO = BO = CO = DO ……………………………… 5分 第 2页（共 5页） 因为 EA = EB = EC = ED，由等腰三角形的三线合一，可知 所以　　 EO?AC，EO?BD ……………………………… 6分 又因为 AC 平面 ABCD，又因为 BD 平面 ABCD，且 AC \ BD = O ……………………………… 7分 所以 EO?平面 ABCD. ……………………………… 8分 所以四棱锥 E ABCD是正四棱锥. ……………………………… 9分 （3）如图 2所示，取 BE 中点 G，连接 AG，GC，AC， ………………………………10分 根据等边三角形性质可知 AG?EB，CG?EB， ………………………………11分 所以 †AGC 是二面角 A BE C 的平面角， ………………………………12分 设该正八面体棱长为 a， 则 AC = p 2a，AG = GC = p 3 2 a， ………………………………13分 则在4AGC 中，AG2 + GC 2 = 3 2 a2 ¤ AC 2， ………………………………14分 所以 †AGC ¤ 90ı，所以平面 ABE 与平面 BCE 不垂直. ………………………………15分 18. （17分） 解：（1）由正弦定理 a sinA = b sinB = c sinC 得 ……………………………… 1分 sinA cosC + p 3 sinA sinC sinB sinC = 0， ……………………………… 2分 因为 sinB = sin(A + C ) = sinA cosC + cosA sinC， ……………………………… 3分 所以 sinA cosC + p 3 sinA sinC sinA cosC cosA sinC sinC = 0， 即 p 3 sinA sinC cosA sinC sinC = 0， ……………………………… 4分 因为 C 2 (0;π)，所以 sinC ¤ 0，故 p 3 sinA cosA = 1， 所以 sin(A π 6 ) = 1 2 . ……………………………… 5分 因为 A 2 (0，π)，所以 A π 6 2 ( π 6 ; 5 6 )， 故 A π 6 = π 6 ，解得 A = π 3 . ……………………………… 6分 （2）因为 S4ABC = 1 2 bc sin A，所以 ……………………………… 7分 1 2 bc sinA = 10 p 3， 即 1 2  b  5  p 3 2 = 10 p 3，所以 b = 8． ……………………………… 8分 又因为 a2 = b2 + c2 2bc cosA，即 ……………………………… 9分 a2 = 25 + 64 2  5  8  1 2 = 49. 所以 a = 7. ………………………………10分 （3）因为 a cos C + p 3a sin C = b + c，所以 b + c a = p 3 sin C + cos C = 2 sin C + π 6
………………………………11分 设 t = b + c a ，因为 0 < C < 2π 3 ，所以 1 < t ⩽ 2. ………………………………12分 由（1）知 A = π 3 ，由余弦定理 a2 = b2 + c2 2bc cos A，得 bc = b2 + c2 a2 ………………………………13分 3bc = (b + c)2 a2 bc a2 = (b + c)2 a2 3a2 = 1 3 t2 1 3 ………………………………14分 第 3页（共 5页） bc ab ac a2 = 1 3 t2 t 1 3 （1 < t ⩽ 2） ………………………………15分 = 1 3 t 3 2
2 13 12 . t = 3 2 时， bc ab ac a2 取最小值 13 12 ；t = 2时， bc ab ac a2 取最大值 1. ………………………………16分 所以 bc ab ac a2 的取值范围是 13 12 ⩽ bc ab ac a2 ⩽ 1. ………………………………17分 19. （17分） 解：（1）因为 f (x + y) + f (x y) = f (x)f (y)， ① 令 x = 1，y = 0可得，2f (1) = f (1)f (0)， ……………………………… 1分 因为 f (1) = 1，所以 f (0) = 2， 由 f (0) = 2，得 A = 2. ……………………………… 2分 由 f (1) = 1，得 A cos ! = 1， 解得 cos! = 1 2 . 因为 0 < ! < π，所以 ! = π 3 ， ……………………………… 3分 所以 f (x) = 2 cos π 3 x，则 ……………………………… 4分 f (x + y) + f (x y) = 2 cos ( π 3 x + π 3 y) + 2 cos ( π 3 x π 3 y) = 4 cos π 3 x cos π 3 y = f (x)f (y)， 所以 f (x) = 2 cos π 3 x. ……………………………… 5分 解法二：因为 f (x) = A cos !x (0 < ! < π)，所以 f (x + y) + f (x y) = A cos !(x + y) + A cos !(x y) = A(cos !x cos !y + sin !x sin !y) + A(cos !x cos !y sin !x sin !y) = 2A cos !x cos !y. ……………………………… 1分 f (x)f (y) = A2 cos !x cos !y. 因为 f (x + y) + f (x y) = f (x)f (y)，所以 2A = A2. ……………………………… 2分 解得 A = 0，或 A = 1. 当 A = 0时，f (1) = 0，与已知 f (1) = 1矛盾，所以 A = 1 ……………………………… 3分 由 f (1) = A cos ! = 1，且 0 < ! < π，得 ! = π 3 . ……………………………… 4分 所以 f (x) = 2 cos π 3 x. ……………………………… 5分 （2）由（1）得，f (0) = 2， ……………………………… 6分 ①中，令 x = 0可得，f (y) + f (y) = 2f (y)， ……………………………… 7分 即 f (y) = f (y)，所以函数 f (x)为偶函数； ……………………………… 8分 （3）令 y = 1得，f (x + 1) + f (x 1) = f (x)f (1) = f (x)，……………………………… 9分 即有 f (x + 2) + f (x) = f (x + 1)， 从而可知 f (x + 2) = f (x 1)，f (x 1) = f (x 4)， ………………………………10分 故 f (x + 2) = f (x 4)， 即 f (x) = f (x + 6). ………………………………11分 所以函数 f (x)是一个周期为 T = 6的周期函数． ………………………………12分 （4）由（1）得 f (0) = 2，f (T ) = f (0) = 2， 在 f (x + y) + f (x y) = f (x)f (y)中， 第 4页（共 5页） 令 x = y = T 2 ，可得 f (T ) + f (0) = f T 2

f T 2
因为 f T 2
< f (0)，所以 f T 2
= 2 所以 f (0)f T 2
< 0，所以 因为 f (x)在 [0，T ]上是减函数，所以 f (x)在 [0， T 2 ]上有且仅有一个零点. ………………………………13分 f (x + y) + f (x y) = f (x)f (y)中，令 x = y = T 4 ，得 f T 4
= 0. 所以 f (x)在区间  0， T 2  上有且仅有一个零点 x1 = T 4 . ………………………………14分 又因为 f (x)是偶函数，所以 f (x)在 [ T 2 ，0]上有且仅有一个零点 x0 = T 4 ，即 f (x)在一个 周期内有且仅有 2个零点. f 3 4 T
= f T T 4
= f T 4
= 0 所以 f (x)在 [0，T ]内的零点为 x1 = T 4 和 x2 = 3 4 T . ………………………………15分 f (kT + T 4 ) = f ( T 4 ) = 0，f (kT + 3 4 T ) = f ( 3 4 T ) = 0，k 2 N. 因此，对任意 k 2 Z，f (x)在 [kT，(k + 1)T ]上有且仅有两个零点： xk+1 = kT + T 4 ，xk+2 = kT + 3T 4 ． ………………………………16分 f (x)在 [0，2024T ]上有 4048个零点： x1 = T 4 ，x2 = 3T 4 ，x3 = 5T 4 ，x4 = 7T 4 ，


，x4047 = 8093T 4 ，x4048 = 8095T 4 ， 其中，x2 x1 = x3 x2 =


= x4048 x4047 = T 2 ． ………………………………17分 评分说明：用（1）的函数来解答（2）,（3），（4）小题可酌情评分，但后三小题所得总分 不得超过 5分；利用第（3）的周期来解答第（4）小题，可比照给分，但第（4）小题的得分不得超 过 2分. 第 5页（共 5页）