第07讲 一元二次方程的概念（八大题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（沪教版）

第07讲 一元二次方程的概念（八大题型） 学习目标 1、 了解一元二次方程的概念； 2、 知道一元二次方程的一般形式； 3、掌握一元二次方程的根的概念，以及整体代换思想。 一、情境导入，初步认识 问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ 【分析】 设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程x（x+10）=900，整理可得x2+10x-900=0.（1） 问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 解：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1+x）万册，同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1+x）倍，即5（1+x）·（1+x）=5（1+x）2万册.可列得方程5（1+x）2=7.2，整理可得5x2+10x-2.2=0（2） 【方法规律】教师引导学生列出方程，解决问题. 二、思考探究，获取新知 思考、讨论 问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元二次方程.那么这两个方程与一元二次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 共同特点： （1）都是整式方程 （2）只含有一个未知数 （3）未知数的最高次数是2 【归纳总结】 上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数，a≠0）.其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项. 例1判断下列方程是否为一元二次方程： 解：①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是. 【方法规律】（1）一元二次方程为整式方程；（2）类似⑤这样的方程要化简后才能判断. 例2 将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数.一次项系数及常数项. 解:2x2-13x+11=0；2，-13，11. 【方法规律】将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整. 问题3 从探究2中我们可以看出，由于参赛球队的支数x只能是正整数，因此可列表如下： 可以发现，当x=8时，x2-x-56=0,所以x=8是方程x2-x-56=0的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 思考 1.一元二次方程的根的定义应怎样描述呢？ 2.方程x2-x-56=0有一个根为x=8，它还有其它的根吗？ 【方法规律】1.一元二次方程根的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根； 2.由于x=-7时，x2-x-56=49-（-7）-56=0，故x=-7也是方程x2-x-56的一个根.事实上，一元二次方程如果有实数根，则必然有两个实数根，通常记为x1=m,x2=n. 【即学即练1】下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练1】一元二次方程的二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 ． 【即学即练3】下列方程中有一个解为的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练4】若方程是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【即学即练5】已知关于x的一元二次方程有一根为0，则（    ） A．1 B． C． D．0 题型1：一元二次方程的概念 【典例1】．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】．下面关于的方程中：①；②；③； ④（）；⑤=X-1 一元二次方程的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例3】．下列叙述正确的是（    ） A．形如的方程叫一元二次方程 B．方程不含有常数项 C．一元二次方程中，二次项系数、一次项系数及常数项均不能为0 D．是关于y的一元二次方程 【典例4】．下面关于的方程中：①；②；③；④（为任意实数）；⑤．一元二次方程的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 题型2：一元二次方程的一般形式 【典例5】．方程的一般形式是（  ） A． B． C． D． 【典例6】．将方程3x（x﹣1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式后，一次项系数是（　　） A．3 B．﹣8x C．﹣8 D．﹣10 【典例7】．方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为(　　) A． B． C．2，2，2 D．1，2，2 【典例8】．把化成一般形式为 ，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 题型3：根据一元二次方程的概念确定参数 【典例9】．关于的方程是一元二次方程，则的值为 ． 【典例10】．当 时，方程是一元二次方程． 【典例11】．关于x的方程是一元二次方程，则 ． 【典例12】．已知是一元二次方程，则 ． 【典例13】．如果关于x的一元二次方程，有一个解是0，那么m的值是（    ） A．3 B． C． D．0或 【典例14】．要使方程是关于x的一元二次方程，则（    ） A．a≠0 B．a≠3 C．a≠1且b≠﹣1 D．a≠3且b≠﹣1且c≠0 【典例15】．关于x的方程（m2﹣4）x2＋（m﹣2）x﹣2＝0，当m满足 时，方程为一元二次方程，当m满足 时，方程为一元一次方程． 【典例16】．关于x的一元二次方程，常数项为0，求m的值．下面是小莉和小轩的解题过程： 小莉：由题意，得，所以． 小轩：由题意，得，且，所以． 其中解题过程正确的是（    ） A．两人都正确 B．小轩正确，小莉不正确 C．小莉正确，小轩不正确 D．两人都不正确 题型4：一元二次方程的解 【典例17】．已知一元二次方程有一个根为1，则的值为（　　） A． B．2 C． D．4 【典例18】．已知关于x的方程的一个根为0，则m的值为（　　） A．1 B． C．1或 D．0 【典例19】．已知2+是关于x的方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则c的值为（　　） A．2﹣ B．2+ C．1 D．﹣1 题型5：根据一元二次方程的解整体代换 【典例20】．若m是方程的一个根，则的值为 ． 【典例21】．若关于的一元二次方程有一根为2022，则方程必有根为（    ） A．2022 B．2020 C．2019 D．2021 【典例22】．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是（   ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【典例23】．关于x的方程ax2－2bx－3＝0(ab≠0)两根为m，n，且(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54，则a的值为 ． 题型6：试根法和利用整体未知数求解方程的解 【典例24】．若方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（ ） A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定 【典例25】．关于的方程必有一个根为（ ） A．x=1 B．x=-1 C．x=2 D．x=-2 【典例26】．若关于的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（    ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【典例27】．如果a，b，k均为整数，则满足下面等式的所有k的取值有( ) A．2个 B．3个 C．6个 D．8个 【典例28】．两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（  ） A．2020 B． C．-2020 D． 题型7：新定义题 【典例29】．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“天宫”方程．若方程a2x2﹣2021ax+1＝0（a≠0）是“天宫”方程，求a2+2022a+﹣的值是 ． 题型8：一元二次方程的近似求解法 【典例30】．根据表格中的数据：估计一元二次方程（，，为常数，）一个解的范围为（   ） A． B． C． D． 【典例31】．解方程时，小明进行了相关计算并整理如下： x 0 0.5 1 1.5 2 5.25 13 则该方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 【典例32】．根据表格估计方程x2+2x=6其中一个解的近似值． x 1.63 1.64 1.65 1.66 … x2+2x 5.9169 5.9696 6.0225 6.0756 … 根据表格，求方程x2+2x=6的一个解大约是 （精确到0．01） 一、单选题 1．下列方程是一元二次方程的是(　　) A． B． C． D． 2．关于x的方程中，二次项系数和一次项系数分别是（    ） A．3，－2 B．3，4 C．3，－4 D．－4，－2 3．关于的方程是一元二次方程，则满足（    ） A． B． C． D．为任意实数 4．下列方程中一元二次方程的个数为（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．若一元二次方程有一个解为，则k为（  ） A． B．1 C． D．0 6．已知关于x的一元二次方程x2＋mx﹣3＝0有一个根为1，则m的值为（    ） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 7．已知x＝﹣1是方程x2+mx+n＝0的一个根，则代数式m2+n2﹣2mn的值为（  ） A．0 B．﹣1 C．1 D．±1 8．根据表格中的信息，判断关于x的方程的一个解x的范围是（    ） x 3.24 3.25 3.26 0.03 A． B． C． D． 9．已知实数a,b满足a2-3a+1=0,b2-3b+1=0,则关于一元二次方程x2-3x+1=0的根的说法中正确的是　(　　) A．x=a,x=b都不是该方程的解 B．x=a是该方程的解,x=b不是该方程的解 C．x=a不是该方程的解,x=b是该方程的解 D．x=a,x=b都是该方程的解 10．若关于的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（    ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 二、填空题 11．将一元二次方程(x-2)(2x+1)=x2-4化为一般形式是 . 12．方程3x2+1＝8x的一次项系数是 ． 13．当 时，关于x的方程是一元二次方程． 14．若关于x的一元二次方程的二次项系数是，则a的值为 ． 15．将一元二次方程化为二次项系数为“1”的一般形式是 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 16．已知是方程的根，则代数式的值是 ． 17．已知关于的一元二次方程的一个根是2，则 ． 18．若（a﹣1）x2﹣3x+5＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围为 ． 19．已知实数是关于的一元二次方程的一个解，则的值是 ． 20．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“天宫”方程．若方程a2x2﹣2021ax+1＝0（a≠0）是“天宫”方程，求a2+2022a+﹣的值是 ． 三、解答题 21．检验： （1），是否为方程的解． （2）是否为方程和方程的解． 22．把关于x的方程+3x＝（x+1）化为一元二次方程的一般式，并指出二次项，一次项的系数和常数项． 23．判断下列关于的方程，哪些是整式方程?这些整式方程分别是一元几次方程？ ① ② ③ ④ ⑤ 24．把下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项及各项的系数． （1）; 一般式：_________________． 二次项为____，二次项系数为____，一次项为____， 一次项系数为____，常数项为____． （2）； 一般式：_________________． 二次项为____，二次项系数为____，一次项为____， 一次项系数为____，常数项为____． 25．已知方程. （1）当为何值时，此方程为一元二次方程？ （2）当为何值时，此方程为一元一次方程？ 26．已知方程与方程有一个公共解是3，求、的值. 27．简答题： （1）当为何值时，关于的方程是一元二次方程？ （2）已知关于的一元二次方程有一个根是0，求的值． （3）在第（2）题中，如果要使已知方程有一个根是l，那么m应该等于什么数？ 28．把方程x2-x=2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答． （1）下列式子中，有哪几个是方程x2-x=2所化的一元二次方程的一般形式？（答案只写序号） ①x2-x-2=0；②-x2+x+2=0；③x2-2x-4=0； ④-x2+2x+4=0； ⑤x2-2x-4=0． （2）方程x2-x=2化为一元二次方程的一般形式，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 一元二次方程的概念（八大题型） 学习目标 1、 了解一元二次方程的概念； 2、 知道一元二次方程的一般形式； 3、掌握一元二次方程的根的概念，以及整体代换思想。 一、情境导入，初步认识 问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ 【分析】 设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程x（x+10）=900，整理可得x2+10x-900=0.（1） 问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 解：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1+x）万册，同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1+x）倍，即5（1+x）·（1+x）=5（1+x）2万册.可列得方程5（1+x）2=7.2，整理可得5x2+10x-2.2=0（2） 【方法规律】教师引导学生列出方程，解决问题. 二、思考探究，获取新知 思考、讨论 问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元二次方程.那么这两个方程与一元二次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 共同特点： （1）都是整式方程 （2）只含有一个未知数 （3）未知数的最高次数是2 【归纳总结】 上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数，a≠0）.其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项. 例1判断下列方程是否为一元二次方程： 解：①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是. 【方法规律】（1）一元二次方程为整式方程；（2）类似⑤这样的方程要化简后才能判断. 例2 将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数.一次项系数及常数项. 解:2x2-13x+11=0；2，-13，11. 【方法规律】将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整. 问题3 从探究2中我们可以看出，由于参赛球队的支数x只能是正整数，因此可列表如下： 可以发现，当x=8时，x2-x-56=0,所以x=8是方程x2-x-56=0的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 思考 1.一元二次方程的根的定义应怎样描述呢？ 2.方程x2-x-56=0有一个根为x=8，它还有其它的根吗？ 【方法规律】1.一元二次方程根的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根； 2.由于x=-7时，x2-x-56=49-（-7）-56=0，故x=-7也是方程x2-x-56的一个根.事实上，一元二次方程如果有实数根，则必然有两个实数根，通常记为x1=m,x2=n. 【即学即练1】下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是． 本题根据一元二次方程的定义求解． 【解析】解：A、该方程属于分式方程，不符合题意； B、该方程中，当a＝0时，它不是关于x的一元二次方程，不符合题意； C、化简得：符合一元二次方程的定义，符合题意； D、该方程中含有2个未知数，它不是关于x的一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 【即学即练2】一元二次方程的二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 ． 【答案】 1 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式：，首先把一元二次方程化为一般形式，然后进行解答即可． 【解析】解：∵ ∴ ∴二次项系数为，一次项系数为1，常数项为， 故答案为：；1；． 【即学即练3】下列方程中有一个解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用一元二次方程解的定义对各选项分别进行判断． 【解析】解：A、当时，，所以不是方程的解； B、当时，，所以不是方程的解； C、当时，，所以不是方程的解； D、当时，，所以是方程的解． 故选：D． 【即学即练4】若方程是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如的方程叫做一元二次方程，由此得出，，求解即可得出答案，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【解析】解：由题意得：，， 解得：， 故答案为：． 【即学即练5】已知关于x的一元二次方程有一根为0，则（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程，结合二次项的系数不等于0，求出的值即可． 【解析】解：由题意，得：，且， 解得：； 故选B． 题型1：一元二次方程的概念 【典例1】．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A. 不是整式方程，故本选项错误； B. 符合一元二次方程的定义，故本选项正确； C. 是二元一次方程，故本选项错误； D. 是一元一次方程，故本选项错误； 故选B. 【典例2】．下面关于的方程中：①；②；③； ④（）；⑤=X-1 一元二次方程的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】关于x的方程中：①ax2+x+2=0，不一定是；②3（x-9）2-（x+1）2=1，是；③，不是；④x2-a=0（a为任意实数），是； ⑤=x-1，不是，则一元二次方程的个数是2， 故选B 【典例3】．下列叙述正确的是（    ） A．形如的方程叫一元二次方程 B．方程不含有常数项 C．一元二次方程中，二次项系数、一次项系数及常数项均不能为0 D．是关于y的一元二次方程 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的一般形式，形如的方程叫一元二次方程，可得答案． 【解析】解：A．形如的方程叫一元二次方程，故A不符合题意； B．方程的一般形式是，常数项是，故B不符合题意； C．一元二次方程中，二次项系数不能为0，一次项系数及常数项可以为0，故C不符合题意； D．是关于y的一元二次方程，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，利用一元二次方程的一般形式是解题关键． 【典例4】．下面关于的方程中：①；②；③；④（为任意实数）；⑤．一元二次方程的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答． 一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0； （3）是整式方程； （4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【解析】解：①，时不是一元二次方程； ②是一元二次方程； ③是分式方程； ④为任意实数）是一元二次方程； ⑤，是根式方程，是无理方程，不是一元二次方程； 综上所述，一元二次方程的个数是2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 题型2：一元二次方程的一般形式 【典例5】．方程的一般形式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a≠0，c是常数）．根据一元二次方程的一般形式解答：先去括号，然后移项、合并同类项． 【解析】解：由原方程，得x2＋x−6＝5x2＋5x， 移项、合并同类项得4x2＋4x＋6＝0， 化简得：2x2＋2x＋3＝0， 故选B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式．比较简单，解题需细心，注意一元二次方程的一般形式是：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数且a≠0）． 【典例6】．将方程3x（x﹣1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式后，一次项系数是（　　） A．3 B．﹣8x C．﹣8 D．﹣10 【答案】C 【分析】方程整理为一般形式，找出一次项系数即可． 【解析】解：方程整理得：3x2﹣8x﹣10=0，其中一次项系数为﹣8， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【典例7】．方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为(　　) A． B． C．2，2，2 D．1，2，2 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的相关概念，根据二次项系数、一次项系数、常数项的定义即可得解． 【解析】解：方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为． 故选：A． 【典例8】．把化成一般形式为 ，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【答案】 3 0 【分析】原式去括号、移项、合并同类项，写出二次项系数，一次项系数，常数项即可． 【解析】解：，， 去括号：， 移项合并同类项：， ∴二次项系数为：；一次项系数为：，常数项为：； 故答案为：；；；． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式，熟知一元二次方程的一般式为：是解题的关键． 题型3：根据一元二次方程的概念确定参数 【典例9】．关于的方程是一元二次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件．据此即可得到，且，即可求得的值． 【解析】解：由题意得， ， ， 时，原方程是一元二次方程， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程，注意考虑二次项系数不为． 【典例10】．当 时，方程是一元二次方程． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义解答． 【解析】∵是一元二次方程， ∴且， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且）．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 【典例11】．关于x的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】直接利用一元二次方程的定义得出最高次数为2，最高次项系数不为0进而求出即可． 【解析】解： 关于x的方程是一元二次方程， 由①得： 由②得： 所以 故答案为： 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握次数与系数是解题关键． 【典例12】．已知是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，可得，求解即可得到答案，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【解析】 解：∵是一元二次方程， ∴， 解得：． 故答案为：． 【典例13】．如果关于x的一元二次方程，有一个解是0，那么m的值是（    ） A．3 B． C． D．0或 【答案】B 【分析】把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0． 【解析】解：把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，得 m2-9=0， 解得m=-3或3， 当m=3时，原方程二次项系数m-3=0，舍去， ∴m=-3 故选：B． 【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义，一元二次方程的概念，掌握方程的解的含义是解题的关键. 【典例14】．要使方程是关于x的一元二次方程，则（    ） A．a≠0 B．a≠3 C．a≠1且b≠﹣1 D．a≠3且b≠﹣1且c≠0 【答案】B 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0． 【解析】解：根据一元二次方程的定义中二次项系数不为0得，a-3≠0，a≠3． 故选B． 【点睛】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了，当b=0或c=0时，上面的方程在a≠0的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程． 【典例15】．关于x的方程（m2﹣4）x2＋（m﹣2）x﹣2＝0，当m满足 时，方程为一元二次方程，当m满足 时，方程为一元一次方程． 【答案】 【分析】分别根据一元二次方程和一元一次方程的定义列式求解即可. 【解析】解：由题意得：m2﹣4≠0，解得：，即当时，方程为一元二次方程； 由题意得：m2﹣4＝0，且m﹣2≠0，解得：m＝﹣2，即当m＝﹣2时，方程为一元一次方程． 故答案为：；m＝﹣2． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程是通过化简后，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程；一元一次方程是只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式． 【典例16】．关于x的一元二次方程，常数项为0，求m的值．下面是小莉和小轩的解题过程： 小莉：由题意，得，所以． 小轩：由题意，得，且，所以． 其中解题过程正确的是（    ） A．两人都正确 B．小轩正确，小莉不正确 C．小莉正确，小轩不正确 D．两人都不正确 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义和绝对值的性质进行计算，然后即可得出答案． 【解析】由题意，得，且， 解得．故小轩正确，小莉不正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和绝对值，得出关于m的方程是解题关键． 题型4：一元二次方程的解 【典例17】．已知一元二次方程有一个根为1，则的值为（　　） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的定义，把代入一元二次方程得到关于的方程，然后解一次方程即可． 【解析】解：把代入方程得， 解得． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 【典例18】．已知关于x的方程的一个根为0，则m的值为（　　） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】D 【分析】把代入一元二次方程后得到有关m的方程，求解即可得到m的值． 【解析】解：将代入一元二次方程得， ， 解得，或0， ∵，即， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解及一元二次方程的定义，逆用一元二次方程解的定义易得出m的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析． 【典例19】．已知2+是关于x的方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则c的值为（　　） A．2﹣ B．2+ C．1 D．﹣1 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝2+代入关于x的方程x2﹣4x+c＝0，列出关于c的新方程，通过解新方程来求c的值． 【解析】解：∵2+是关于x的方程x2﹣4x+c＝0的一个根， ∴2+满足方程x2﹣4x+c＝0， ∴（2+）2﹣4（2+）+c＝0， 解得c＝1． 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解的定义． 题型5：根据一元二次方程的解整体代换 【典例20】．若m是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】2023 【分析】由题意知，即，再将整理并将整体代入计算求解即可． 【解析】解：由题意知：，即， ∴ =2023． 故答案为：2023． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解及代数式的求值的知识，解题的关键在于理解一元二次方程的解的定义． 【典例21】．若关于的一元二次方程有一根为2022，则方程必有根为（    ） A．2022 B．2020 C．2019 D．2021 【答案】D 【分析】设，即可改写为，由题意关于x的一元二次方程有一根为，即有一个根为，所以，x=2021． 【解析】由得到， 对于一元二次方程， 设， 所以， 而关于x的一元二次方程有一根为， 所以有一个根为， 则， 解得， 所以一元二次方程有一根为． 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的解．掌握换元法解题是解答本题的关键． 【典例22】．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是（   ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】B 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【解析】解：是一元二次方程0的一个根， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、代数式求值，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 【典例23】．关于x的方程ax2－2bx－3＝0(ab≠0)两根为m，n，且(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54，则a的值为 ． 【答案】/1.5/ 【分析】根据方程根的定义得到，，然后把(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54变形后，利用整体代入，得到关于a的一元二次方程，解方程后去掉不合题意的解即可． 【解析】解：∵关于x的方程ax2－2bx－3＝0(ab≠0)两根为m，n， ∴， ∴， ∵(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54， ∴[2（am2－2bm＋a）] [3(an2－2bn)－2a]＝54 ∴ 解得或 ∵ab≠0 ∴a，b均为非零实数， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义和整体代入的方法，熟练掌握整体代入的方法是解题的关键． 题型6：试根法和利用整体未知数求解方程的解 【典例24】．若方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（ ） A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的根的定义，将未知数的值代入方程，计算后即可得出结论． 【解析】解：∵， 把代入得：， 即方程的一个解是， 把代入得：， 即方程的一个解是； 故选：C． 【点睛】本题考查了方程的解的定义，掌握方程的解的定义并能准确利用定义进行判断是解题的关键． 【典例25】．关于的方程必有一个根为（ ） A．x=1 B．x=-1 C．x=2 D．x=-2 【答案】A 【分析】分别把，，，代入中，利用一元二次方程的解，当为任意值时，则对应的的值一定为方程的解. 【解析】解：A、当是，，所以方程必有一个根为1，所以A选项正确； B、当时，，所以当时，方程有一个根为，所以B选项错误； C、当时，，所以当时，方程有一个根为，所以C选项错误； D、当时，，所以当时，方程有一个根为，所以D选项错误.故选：A 【点睛】本题主要考查一元二次方程的根，将选项分别代入方程求解是解题的关键. 【典例26】．若关于的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（    ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【答案】D 【分析】把化为： 再结合题意可得从而可得方程的解. 【解析】解：可化为： 关于的一元二次方程有一个根为， 把看作是整体未知数，则 即有一根为 故选D 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“利用整体未知数求解方程的根”是解本题的关键. 【典例27】．如果a，b，k均为整数，则满足下面等式的所有k的取值有( ) A．2个 B．3个 C．6个 D．8个 【答案】C 【分析】先把等式左边展开，由对应相等得出a+b=k，ab=18；再由a，b，k均为整数，求出k的值即可． 【解析】解：∵（x+a）（x+b）=x2+kx+18， ∴x2+（a+b）x+ab=x2+kx+18， ∴a+b=k，ab=18， ∵a，b，k均为整数， ∴a=±1，b=±18，k=±19； a=±2，b=±9，k=±11； a=±3，b=±6，k=±9； 故k的值共有6个， 故选C． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，是基础知识要熟练掌握． 【典例28】．两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（  ） A．2020 B． C．-2020 D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法即可求出答案． 【解析】∵，，a+c=0 ∴， ∵ax2+bx+c=0 和cx2+bx+a=0， ∴，， ∴，， ∵是方程的一个根， ∴是方程的一个根， ∴是方程的一个根， 即是方程的一个根 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义以及方程的解的概念． 题型7：新定义题 【典例29】．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“天宫”方程．若方程a2x2﹣2021ax+1＝0（a≠0）是“天宫”方程，求a2+2022a+﹣的值是 ． 【答案】 【分析】利用新定义得到“天宫”方程的一个解为，则，然后利用整体代入的方法计算． 【解析】解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0， ∴“天宫”方程的一个解为， 方程是“天宫”方程， ， ，，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法计算是解决本题的关键． 题型8：一元二次方程的近似求解法 【典例30】．根据表格中的数据：估计一元二次方程（，，为常数，）一个解的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用二次函数估算一元二次方程的近似解，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解决本类题型的关键根据表格中的数据发现，在到之间时，随着的增大而减小，而当时，，当时，，在和之间，所以一元二次方程其中一个解的范围是 【解析】由表格可知： 在和之间，对应的在和之间， 所以一个解的取值范围为 故选 【典例31】．解方程时，小明进行了相关计算并整理如下： x 0 0.5 1 1.5 2 5.25 13 则该方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一元二次方程的近似根．根据表格得出近似根的取值范围． 【解析】解：∵时，， 时，， ∴当在1与之间取某一个数时，可使， 即方程的其中一个解满足的范围是． 故选：B． 【典例32】．根据表格估计方程x2+2x=6其中一个解的近似值． x 1.63 1.64 1.65 1.66 … x2+2x 5.9169 5.9696 6.0225 6.0756 … 根据表格，求方程x2+2x=6的一个解大约是 （精确到0．01） 【答案】1.65 【分析】先根据表中所给的数，再与6相减，然后所得的值进行比较，差值越小的越接近方程的解． 【解析】解：6-5.9696=0.0304， 6.0225-6=0.0225， ∵0.0304＞0.0225， ∴6.0225比5.9696更逼近6， ∴ 方程x2+2x=6的一个解大约是1.65， 故答案为：1.65． 【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是找出表中与6最接近的数，算出差额，再比较，相差越小的数越比较接近． 一、单选题 1．下列方程是一元二次方程的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程． 【解析】解：选项：是一元一次方程，故不符合题意； 选项：只含一个未知数，并且未知数最高次项是2次，是一元二次方程，故符合题意； 选项：有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； 选项：不是整式方程，故不符合题意； 综上，只有B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，属于基础知识的考查，比较简单． 2．关于x的方程中，二次项系数和一次项系数分别是（    ） A．3，－2 B．3，4 C．3，－4 D．－4，－2 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的概念，方程的解的概念即可求求解．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【解析】解：，化为一般式为 则二次项系数和一次项系数分别是 故选C 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 3．关于的方程是一元二次方程，则满足（    ） A． B． C． D．为任意实数 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程可得m21≠0，再解即可． 【解析】解：由题意得：m21≠0， 解得：m≠±1， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果没有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2（二次项系数不为0）． 4．下列方程中一元二次方程的个数为（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义直接判断即可． 【解析】解：是一元二次方程； 含有两个未知数，不是一元二次方程； 未知数在根号内，不是一元二次方程； 未知数在分母中，不是一元二次方程； 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，明确只含有一个未知数，未知数的最高次为2次的整式方程是一元二次方程是解题关键． 5．若一元二次方程有一个解为，则k为（  ） A． B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】把x=0代入方程（k-1）x2+3x+k2-1=0得方程k2-1=0，解关于k的方程，然后利用一元二次方程的定义确定k的值． 【解析】把x=0代入方程（k-1）x2+3x+k2-1=0得方程：k2-1=0， 解得k1=1，k2=-1， 而k-1≠0， 所以k=-1． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 6．已知关于x的一元二次方程x2＋mx﹣3＝0有一个根为1，则m的值为（    ） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 【答案】D 【分析】把x＝1代入方程x2＋mx﹣3＝0得1＋m﹣3＝0，然后解关于m的方程． 【解析】解：把x＝1代入方程x2＋mx﹣3＝0， 得：1＋m﹣3＝0， 解得m＝2． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 7．已知x＝﹣1是方程x2+mx+n＝0的一个根，则代数式m2+n2﹣2mn的值为（  ） A．0 B．﹣1 C．1 D．±1 【答案】C 【分析】把x=-1代入方程x2+mx+n=0求出n-m=-1，根据完全平方公式代入求出即可． 【解析】把x=-1代入方程x2+mx+n=0得出n-m=-1， ∴m2+n2﹣2mn=（m-n）2=1 故答案选：C. 【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的解, 完全平方公式，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程解的意义 及完全平方式. 8．根据表格中的信息，判断关于x的方程的一个解x的范围是（    ） x 3.24 3.25 3.26 0.03 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．利用表中数据得到和时，代数式的值一个等于，一个等于，从而可判断当时，． 【解析】解：当时，， 当时，， 所以方程的一个解x的范围是． 故选：A． 9．已知实数a,b满足a2-3a+1=0,b2-3b+1=0,则关于一元二次方程x2-3x+1=0的根的说法中正确的是　(　　) A．x=a,x=b都不是该方程的解 B．x=a是该方程的解,x=b不是该方程的解 C．x=a不是该方程的解,x=b是该方程的解 D．x=a,x=b都是该方程的解 【答案】D 【分析】由于实数a，b满足a2-3a+1=0，b2-3b+1=0，根据一元二次方程的解的意义可知，x=a，x=b都是方程x2-3x+1=0的根． 【解析】∵实数a，b满足a2-3a+1=0，b2-3b+1=0， ∴x=a，x=b都是一元二次方程x2-3x+1=0的根． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 10．若关于的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（    ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【答案】D 【分析】把化为： 再结合题意可得从而可得方程的解. 【解析】解：可化为： 关于的一元二次方程有一个根为， 把看作是整体未知数，则 即有一根为 故选D 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“利用整体未知数求解方程的根”是解本题的关键. 二、填空题 11．将一元二次方程(x-2)(2x+1)=x2-4化为一般形式是 . 【答案】x2-3x+2=0 【分析】把方程化为ax2+bx+c=0的形式即可求解． 【解析】解：(x-2)(2x+1)=x2-4， 去括号得2x2+x-4x-2= x2-4， 移项得2x2+x-4x-2- x2+4=0， 合并同类项得x2-3x+2=0． 故答案为：x2-3x+2=0． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 12．方程3x2+1＝8x的一次项系数是 ． 【答案】 【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项． 【解析】解： 一元二次方程3x2+1＝8x的一般形式3x2﹣8x+1＝0， 一次项系数为， 故答案是：． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 13．当 时，关于x的方程是一元二次方程． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程的定义，列方程和不等式解答． 【解析】解：∵方程（m+2）x m2−2+6x-9=0是关于x的一元二次方程， ∴m2-2=2， 解得m=±2． 又∵m+2≠0， ∴m≠-2， ∴m=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．本题容易忽视的条件是m+2≠0． 14．若关于x的一元二次方程的二次项系数是，则a的值为 ． 【答案】-2 【解析】将化为一般形式得，∴该一元二次方程的二次项系数为．由题意得，解得． 15．将一元二次方程化为二次项系数为“1”的一般形式是 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 【答案】 x2-2x-15=0 1 -2； -15 【分析】通过去括号，移项，合并同类项，然后两边同时除以二次项系数，把方程化成二次项系数为1的一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【解析】解：将一元二次方程化为二次项系数为“1”的一般形式是：x2-2x-15=0，各项的系数分别是：1，-2，-15． 故答案是：x2-2x-15=0；1；-2；-15． 【点睛】本题考查一元二次方程化为一般形式，通过去括号，移项，合并同类项，然后同时除以二次项的系数，得到二次项系数是1的一元二次方程，注意移项时符号的变化． 16．已知是方程的根，则代数式的值是 ． 【答案】12 【分析】先根据一元二次方程的根的定义可得，从而可得，再将其作为整体代入求值即可得． 【解析】解：由题意得：，即， 则， ， ， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根、代数式求值，掌握理解一元二次方程的根的定义是解题关键． 17．已知关于的一元二次方程的一个根是2，则 ． 【答案】 【分析】先将x=2代入，然后求解关于m的方程即可． 【解析】把代入，得： ， ∴． 故答案为：-14． 【点睛】本题主要考查了方程的解以及解一元一次方程的解，理解方程的解成为解答本题的关键． 18．若（a﹣1）x2﹣3x+5＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义即可解题． 【解析】解：∵（a﹣1）x2﹣3x+5＝0是关于x的一元二次方程， ∴， 解得：． 故答案为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，属于简单题，熟悉二次函数的概念是解题关键． 19．已知实数是关于的一元二次方程的一个解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解是指能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先把代入方程得到，变形可得，，然后把它们整体代入中，通分、化简、约分即可． 【解析】实数是关于的一元二次方程的一个解， ， ， ， 故答案为： 20．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“天宫”方程．若方程a2x2﹣2021ax+1＝0（a≠0）是“天宫”方程，求a2+2022a+﹣的值是 ． 【答案】 【分析】利用新定义得到“天宫”方程的一个解为，则，然后利用整体代入的方法计算． 【解析】解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0， ∴“天宫”方程的一个解为， 方程是“天宫”方程， ， ，，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法计算是解决本题的关键． 三、解答题 21．检验： （1），是否为方程的解． （2）是否为方程和方程的解． 【答案】（1）不是方程的解，是方程的解；（2）是的解，不是方程的解． 【分析】（1）将，分别代入方程进行检验即可得； （2）将分别代入两个方程进行检验即可得． 【解析】（1）将代入方程的左边得：， 将代入方程的左边得：， 则不是方程的解，是方程的解； （2）将代入方程的左边得：，代入右边得：，即左边等于右边， 则是方程的解； 将代入方程的左边得：，代入右边得：，即左边不等于右边， 则不是方程的解． 【点睛】本题考查了方程的解，掌握理解方程的解定义是解题关键． 22．把关于x的方程+3x＝（x+1）化为一元二次方程的一般式，并指出二次项，一次项的系数和常数项． 【答案】二次项为x2，一次项系数为﹣1，常数项为﹣4． 【分析】解法一：先把分母去掉，即方程两边都乘2，再合并得方程的一般式，再根据一元二次方程的定义指出． 解法二：可以直接去括号，化成一般式．（一般一元二次方程都要化成整数系数，可以降低计算量）． 【解析】解：解法一：整理得，x2﹣2x+1+6x＝5x+5， 所以x2﹣x﹣4＝0． 二次项为x2，一次项系数为﹣1，常数项为﹣4． 解法二：整理得：+3x＝+， ﹣﹣2＝0， 二次项，一次项系数为﹣，常数项为﹣2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，解答时要先观察方程特点，进行整理合并． 23．判断下列关于的方程，哪些是整式方程?这些整式方程分别是一元几次方程？ ① ② ③ ④ ⑤ 【答案】①是整式方程，是一元二次方程；②是整式方程，是一元三次方程；③是整式方程，是一元一次方程；④是整式方程，是一元四次方程；⑤不是整式方程. 【分析】根据整式方程与分式方程的定义解答．只含有未知数的整式的方程叫整式方程.分母里含有未知数的方程叫做分式方程． 【解析】解：①两边都是整式，所以是整式方程，是一元二次方程； ②两边都是整式，所以是整式方程，是一元三次方程； ③分母中不含未知数，所以是整式方程，是一元一次方程； ④两边都是整式，是整式方程，是一元四次方程； ⑤分母中含有未知数，不是整式方程. 【点睛】本题考查了整式方程的定义．判断一个方程是否为整式方程，主要是依据整式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数． 24．把下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项及各项的系数． （1）; 一般式：_________________． 二次项为____，二次项系数为____，一次项为____， 一次项系数为____，常数项为____． （2）； 一般式：_________________． 二次项为____，二次项系数为____，一次项为____， 一次项系数为____，常数项为____． 【答案】（1），，2，，-5，1；（2），，1，，-2，-3. 【分析】根据一元二次方程的一般形式、二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项的定义求解即可. 【解析】解：（1）; 一般式：． 二次项为：，二次项系数为：2，一次项为：， 一次项系数为：-5，常数项为：1． （2）； 一般式：． 二次项为：，二次项系数为：1，一次项为：， 一次项系数为：-2，常数项为：-3． 【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a≠0），在一般形式中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 25．已知方程. （1）当为何值时，此方程为一元二次方程？ （2）当为何值时，此方程为一元一次方程？ 【答案】（1）（2）或2 【分析】（1）根据一元二次方程的定义可知，二次项系数不等于0且二次项的次数等于2，从而可以解答本题； （2）根据一次方程的定义可解答本题，注意考虑问题一定要全面． 【解析】(1)∵方程(m−5)(m−3)xm−2+(m−3)x+5=0为一元二次方程， ∴ 解得：m=4， 所以当m为4时,方程方程(m−5)(m−3)xm−2+(m−3)x+5=0为一元二次方程； (2)∵方程(m−5)(m−3)xm−2+(m−3)x+5=0为一元一次方程， ∴ 或 或 解得，m=5或m=2（无意义，舍去）， 故当m为5时,方程方程(m−5)(m−3)xm−2+(m−3)x+5=0为一元一次方程. 【点睛】此题考查一元二次方程的定义，一元一次方程的定义，解题关键在于掌握各性质定义. 26．已知方程与方程有一个公共解是3，求、的值. 【答案】， 【分析】根据方程的解满足方程，代入即可求得a、b的值，本题得以解决． 【解析】∵方程ax2+bx−6=0与ax2+2bx−15=0有一个公共根是3， ∴ax2+2bx−15=ax2+bx−6+bx−9=bx−9=0， ∴3b−9=0，得b=3， 将x=3代入ax2+bx−6=0，得 a×32+3×3−6=0， 解得,a=− 即a的值是−，b的值是3. 【点睛】此题考查一元二次方程的解，解题关键在于掌握运算法则. 27．简答题： （1）当为何值时，关于的方程是一元二次方程？ （2）已知关于的一元二次方程有一个根是0，求的值． （3）在第（2）题中，如果要使已知方程有一个根是l，那么m应该等于什么数？ 【答案】（1）；（2）m=-3；（3）m=±2. 【分析】（1）根据一元二次方程的定义可知当时该方程是一元二次方程； （2）根据一元二次方程根的意义将x=0代入方程中求出m即可； （3）根据一元二次方程根的意义将x=1代入方程中求出m即可； 【解析】解：（1）∵关于的方程是一元二次方程， ∴，解得：； （2）∵关于的一元二次方程有一个根是0， ∴将x=0代入可得：，解得：m=-3； （3）∵关于的一元二次方程有一个根是1， ∴将x=1代入可得：，解得：m=±2. 【点睛】本题考查一元二次方程的定义及一元二次方程解的意义，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值. 28．把方程x2-x=2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答． （1）下列式子中，有哪几个是方程x2-x=2所化的一元二次方程的一般形式？（答案只写序号） ①x2-x-2=0；②-x2+x+2=0；③x2-2x-4=0； ④-x2+2x+4=0； ⑤x2-2x-4=0． （2）方程x2-x=2化为一元二次方程的一般形式，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系？ 【答案】（1）①，②，③，④；（2）二次项系数：一次项系数：常数项=1：（-2）：（-4）． 【分析】（1）把方程通过移项或根据等式的性质两边同乘以-1，-2，2, 即可变形得到正确选项； （2）通过观察可找到的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有的关系是，二次项系数：一次项系数：常数项=1：（-2）：（-4）． 【解析】解：（1）一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）， 因此①，②，③，④是方程x2-x=2所化的一元二次方程的一般形式． （2）一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）， 在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项． 其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 若设方程x2-x=2的二次项系数为a（a≠0）， 则一次项系数为-2a，常数项为-4a， 因此二次项系数：一次项系数：常数项=1：（-2）：（-4）．综述, 这个方程的二次项系数：一次项系数：常数项=1：（-2）：（-4）． 【点睛】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $$