第06讲 相似三角形的判定（第1课时）（五类知识点+八大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（沪教版）

第06讲 相似三角形的判定（第1课时）（八大题型） 学习目标 1、了解相似三角形的概念； 2、掌握相似三角形的判定-预备定理，判定定理1、2； 3、会自主证明相似三角形的判定定理。 一、相似三角形 相似三角形：如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形 在两个相似三角形中，对应相等的角及其顶点分别是它们的对应角和对应顶点，以对应顶点为端点的边是它们的对应边.两个三角形是相似三角形，也可以表述为“两个三角形相似”,或“一个三角形与另一个三角形相似” .如在和中，如我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于” 【方法规律】①相似三角形的对应角相等、对应边成比例. ②两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比( 或相似系数 ). ③当两个相似三角形的相似比k=1时，这两个相似三角形就成为全等三角形；全等三角形是相似三角形的特例. ④设△ABC与 △A'B'C'的相似比为k,△A'B'C'与△ABC的相似比为k’, 则 2、 相似三角形的判定 ①利用定义判定相似三角形 例 △ABC与△DEF的各角度数和边长如图所示，则△ABC与△DEF能否相似？说明理由． 解：因为∠A＝70°，∠B＝60°，所以∠C＝50°. 因为∠F＝60°，∠E＝50°，所以∠D＝70°. 所以∠A＝∠D，∠B＝∠F，∠C＝∠E. 又因为＝，＝，＝＝， 所以＝＝.所以△ABC∽△DFE. 【方法规律】判断两个三角形相似，一定要具备两个条件：一是对应角相等，二是对应边成比例．另外在书写两个三角形相似时，一定要将对应的顶点写在对应的位置上． ②预备定理 △ABC中，D是AB上任意一点，过D作DE∥BC,交AC边于E，那么△ADE与△ABC是否相似？ 【分析】判断它们是否相似，由①对应角是否相等，②对应边是否成比例去考虑.能否得对应角相等？根据平行线性质与一个公共角可以推出①，而对应边是否成比例呢？可根据平行线分线段成比例的基本事实，推得，通过度量发现，所以可以判断出△ADE与△ABC相似. 思考 （1）你能否通过演绎推理证明你的猜想？ （2）若是DE∥BC,DE与BA、CA延长线交于E、D，那么△ADE与△ABC还会相似吗？试试看，如果相似写出它们对应边的比例式. 由DE∥BC,得(三角形一边平行线的性质的推论)，∠ADE=∠B,∠AED=∠C.又∠DAE=∠BAC,因此△ADE∽△ABC. 【归纳结论】平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似. ③．相似三角形判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 分析 相似三角形的预备定理，给我们提供了证明两个三角形相似的一条思路和依据.由此考虑移动其中一个三角形，构造出 具有预备定理的图形特征的图形， ④．判定定理2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 类似证明判定定理1的分析，分别在射线 AB 、AC上截取AD=A₁B₁,AE=A₁C₁,构造△ADE,则△ADE≌△A₁B₁C₁如果所得图形中有相似三角形预备定理条件中的平行线，那么这个图形就具有预备定理的图形特征. 【方法规律】　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 【即学即练1】如图，在中，． 求证：； 【即学即练2】如图，D是上一点，，．求证：．    【即学即练3】如图，分别是的边上的点，，，，求证：．    【即学即练4】如图，，作，D在异侧，且，，E是延长线上一点，连接交于点F．求证：． 【即学即练5】如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 题型1：预备定理证三角形相似 【典例1】．如图，相交于点．求证∶ 题型2：两角对应相等证三角形相似 【典例2】．已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′．求证：△ABC∽△A′B′C′． 【典例3】．已知：如图所示，相交于点O，连接，且，求证：． 【典例4】．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点D在AC边上，交BC于点E．求证：． 【典例5】．如图，在中，，于D． 求证：． 【典例6】．如图，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，C是AB上的动点，若∠DCE=90°．求证：△ACD∽△BEC 题型3：结合其他几何知识，用两角对应相等证三角形相似 【典例7】．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°．求证：△ADC∽△DEB． 【典例8】．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，点E为AC的中点，AD⊥BC于点D，ED延长后交AB的延长线于点F，求证：△AEF∽△ABC． 【典例9】．如图，Rt△ABC中，，于F，AD是∠BAC的平分线，交AC于G，AD与BF交于点E． (1)求证： (2) ， ． 题型4：两边对应成比例且夹角相等证三角形相似 【典例10】．已知：D、E是的边、上的点，，求证：． 【典例11】．如图，在中，，D是边上一点，．求证． 【典例12】．如图，与交于点，，，，，求证：． 【典例13】．如图，P是的边上的一点． （1）如果，与是否相似？为什么？ （2）如果，与是否相似？为什么？如果呢？ 【典例14】．如图，已知E是的中线AD上一点，且.求证：. 【典例15】．如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40． 求证：△ABC∽△AED．    【典例16】．如图，，分别是与边上的高． 求证：． 题型5：在特殊平行四边形中证三角形相似 【典例17】．如图，四边形为菱形，点在的延长线上，．求证：． 【典例18】．如图，已知正方形中，平分且交边于点，将绕点顺时针旋转到的位置，并延长交于点．求证：    (1)； (2)． 【典例19】．如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接．求证： (1)； (2)． 题型6：添加一个条件使三角形相似 【典例20】．如图，在中，，点D在边上（点D不与A，C重合）．若再增加一个条件能使，则这个条件是______；结合你所添加的条件，证明． 【典例21】．如图，在和中，已知，请你添加一个条件：___________，使，并说明理由．    【典例22】．已知：如图，、交于点，请添加一个条件________，使得，然后再加以证明． 【典例23】．如图，在中，点在上，连接．请添加一个条件 ，使得，然后再加以证明．    题型7：能使三角形相似的条件综合辨析 【典例24】．如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定与相似的是（    ） A． B． C． D． 【典例25】．如图，在中，D是上一点，下列给出的条件不能得出的是（    ）    A． B． C． D． 【典例26】．如图，下列条件能使△BPE和△CPD相似的有（   ） ①∠B=∠C；②；③∠ADB=∠AEC；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型8：判断与已知三角形相似的三角形个数 【典例27】．如图，在中，，E、F分别为、的中点，连接，H为的中点，过点H作，交于点 D，连接，则与相似(不含)的三角形个数为（    ） A．1 B．4 C．8 D．2 【典例28】．如图，在中，，是边的中点，于点，交边于点，连接，则图中与相似的三角形共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 一、单选题 1．如图，下列条件不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 2．下列命题是真命题的是（    ） A．有一个角是36°的两个等腰三角形相似 B．有一个角是45°的两个等腰三角形相似 C．有一个角是60°的两个等腰三角形相似 D．有一个角是钝角的两个等腰三角形相似 3．下列各组条件中，一定能推得与相似的是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 4．已知在中，，，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（    ） A．B．C． D． 5．如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（    ）    A． B． C． D． 6．如图，点在的边上，添加一个条件可判定，其中添加不正确的是(    ) A． B． C． D． 7．如图，在中，、分别是边、上的点，下列命题中，假命题是（ ） A．若，则与相似 B．若，则与相似 C．若，则与相似 D．若，则与相似 8．如图，分别以下列选项作为一个已知条件，不一定能得到△AOB与△COD相似的是（    ） A． B． C． D．∠BAC＝∠BDC 9．如图，在中，.则图中相似三角形共有（　　）    A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 10．如图，将绕点顺时针旋转，使得点落在边上，点、的对应点分别为、，边交于点，连接，下列两个三角形不一定相似的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 二、填空题 11．图中的两个三角形是否相似， （填“是”或“否”）. 12．如图，与相交于点，连接，，添加一个条件，使．你添加的条件是 ． 13．如图，已知，请添加一个条件 ，使得．    14．点D在的边AB上，且，则，理由是 ． 15．如图，已知，则图中相似三角形是 ．    16．已知：在中，P是上一点，连接，当满足条件： 或 或 时，．    17．如图，E是□ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，图中 对相似三角形． 18．如图，的顶点坐标是，，，平面内点使得与相似，则不与点重合的点有 个． 三、解答题 19．如图，相交于点．求证∶ 20．如图，是的边上的一点，，，，求证：． 21．如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△PAC∽△BPD． 22．如图，，且，，求证：．    23．如图，在中，为边上一点，连接为上一点，连接，且．求证：． 24．如图，在矩形中，为边上一点，将点沿翻折恰好落到边上的点处．求证：； 25．如图，Rt△ABC中，，于F，AD是∠BAC的平分线，交AC于G，AD与BF交于点E． (1)求证： (2) ， ． 26．如图，经过点的直线l与双曲线交于点，直线分别交曲线和于点M、N，点在直线上．连接、． (1)求n的值及直线l的解析式； (2)求证：． 27．如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且AE＝CF，连接EF交AC于点P，分别连接DE，DF，DP （1）求证：△ADE≌△CDF； （2）求证：△ADP∽△BDF； （3）如图2，若PE＝BE，PC＝，求CF的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 相似三角形的判定（第1课时）（八大题型） 学习目标 1、了解相似三角形的概念； 2、掌握相似三角形的判定-预备定理，判定定理1、2； 3、会自主证明相似三角形的判定定理。 一、相似三角形 相似三角形：如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形 在两个相似三角形中，对应相等的角及其顶点分别是它们的对应角和对应顶点，以对应顶点为端点的边是它们的对应边.两个三角形是相似三角形，也可以表述为“两个三角形相似”,或“一个三角形与另一个三角形相似” .如在和中，如我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于” 【方法规律】①相似三角形的对应角相等、对应边成比例. ②两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比( 或相似系数 ). ③当两个相似三角形的相似比k=1时，这两个相似三角形就成为全等三角形；全等三角形是相似三角形的特例. ④设△ABC与 △A'B'C'的相似比为k,△A'B'C'与△ABC的相似比为k’, 则 2、 相似三角形的判定 ①利用定义判定相似三角形 例 △ABC与△DEF的各角度数和边长如图所示，则△ABC与△DEF能否相似？说明理由． 解：因为∠A＝70°，∠B＝60°，所以∠C＝50°. 因为∠F＝60°，∠E＝50°，所以∠D＝70°. 所以∠A＝∠D，∠B＝∠F，∠C＝∠E. 又因为＝，＝，＝＝， 所以＝＝.所以△ABC∽△DFE. 【方法规律】判断两个三角形相似，一定要具备两个条件：一是对应角相等，二是对应边成比例．另外在书写两个三角形相似时，一定要将对应的顶点写在对应的位置上． ②预备定理 △ABC中，D是AB上任意一点，过D作DE∥BC,交AC边于E，那么△ADE与△ABC是否相似？ 【分析】判断它们是否相似，由①对应角是否相等，②对应边是否成比例去考虑.能否得对应角相等？根据平行线性质与一个公共角可以推出①，而对应边是否成比例呢？可根据平行线分线段成比例的基本事实，推得，通过度量发现，所以可以判断出△ADE与△ABC相似. 思考 （1）你能否通过演绎推理证明你的猜想？ （2）若是DE∥BC,DE与BA、CA延长线交于E、D，那么△ADE与△ABC还会相似吗？试试看，如果相似写出它们对应边的比例式. 由DE∥BC,得(三角形一边平行线的性质的推论)，∠ADE=∠B,∠AED=∠C.又∠DAE=∠BAC,因此△ADE∽△ABC. 【归纳结论】平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似. ③．相似三角形判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 分析 相似三角形的预备定理，给我们提供了证明两个三角形相似的一条思路和依据.由此考虑移动其中一个三角形，构造出 具有预备定理的图形特征的图形， ④．判定定理2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 类似证明判定定理1的分析，分别在射线 AB 、AC上截取AD=A₁B₁,AE=A₁C₁,构造△ADE,则△ADE≌△A₁B₁C₁如果所得图形中有相似三角形预备定理条件中的平行线，那么这个图形就具有预备定理的图形特征. 【方法规律】　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 【即学即练1】如图，在中，． 求证：； 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，平行线分线段成比例． 平行得到，即可得出； 掌握相似三角形的判定定理，以及平行线分线段成比例，是解题的关键． 【解析】证明：∵， ∴， ∴； 【即学即练2】如图，D是上一点，，．求证：．    【答案】见解析 【分析】先根据平行线的性质得到，再由，即可证明． 【解析】证明：∵， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知两组对应角分别相等的两个三角形相似是解题的关键． 【即学即练3】如图，分别是的边上的点，，，，求证：．    【答案】见解析 【分析】首先求出的长，再求出，根据即可证明． 【解析】解：， ， ，， ， 又， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【即学即练4】如图，，作，D在异侧，且，，E是延长线上一点，连接交于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据两边对应成比例且夹角相等即可证明．本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【解析】证明：∵AB＝AC，AD＝CD， ∴， ∵， ∴． 【即学即练5】如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【解析】解：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 题型1：预备定理证三角形相似 【典例1】．如图，相交于点．求证∶ 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质以及相似三角形的判定，由平行线的性质，得出，再结合两个对应角分别相等的三角形是相似三角形，即可作答． 【解析】证法1：证明∶， ， ． 证法2：详见基础知识全梳理 题型2：两角对应相等证三角形相似 【典例2】．已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′．求证：△ABC∽△A′B′C′． 【答案】证明见解析 【分析】在△ABC的边AB上截取AD=A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E，可证△ADE∽△ABC；再证△ADE≌△A′B′C′即可． 【解析】证明：在△ABC的边AB上截取AD=A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E， 则∠ADE=∠B，△ADE∽△ABC． ∵∠A=∠A′，∠ADE=∠B=∠B′，AD=A′B′， ∴△ADE≌△A′B′C′， ∴△ABC∽△A′B′C′ 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理的证明，解题关键是通过作辅助线，构建全等三角形进行证明． 【典例3】．已知：如图所示，相交于点O，连接，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据判断两个三角形相似． 【解析】证明：∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【典例4】．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点D在AC边上，交BC于点E．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由，∠B=90°可得出，再由公共角相等，即可证得． 【解析】∵，∠B=90°， ∴． 又∵∠C=∠C， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，常用的判定两个三角形相似的方法有1、定义法：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似．2、平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似．3、两角分别相等的两个三角形相似．4、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 【典例5】．如图，在中，，于D． 求证：． 【答案】见解析 【分析】根据两个角相等的两个三角形相似进行证明即可． 【解析】证明：∵于D． ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，准确运用进行推理证明． 【典例6】．如图，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，C是AB上的动点，若∠DCE=90°．求证：△ACD∽△BEC 【答案】见解析 【分析】根据AD⊥AB，BE⊥AB，有∠DAC=90°=∠EBC，∠D+∠ACD=90°，∠E+∠ECB=90°，再根据∠DCE=90°，有∠DCA+∠ECB=90°，即有∠D=∠ECB，则结论得证． 【解析】证明：∵AD⊥AB，BE⊥AB， ∴∠DAC=90°=∠EBC， ∴∠D+∠ACD=90°，∠E+∠ECB=90°， ∵∠DCE=90°， ∴∠DCA+∠ECB=90°， ∴∠D=∠ECB， ∵∠DAC=90°=∠EBC， ∴△ACD∽△BEC． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键． 题型3：结合其他几何知识，用两角对应相等证三角形相似 【典例7】．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°．求证：△ADC∽△DEB． 【答案】见解析 【分析】根据等边三角形性质得出∠B＝∠C＝60°，根据三角形外角性质得出∠ADB＝∠1＋∠C＝∠1＋60°，根据∠ADE＝60°，可得∠ADB＝∠2＋60°，可证∠1＝∠2即可． 【解析】证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∴∠ADB＝∠1＋∠C＝∠1＋60°， ∵∠ADE＝60°， ∴∠ADB＝∠2＋60°， ∴∠1＝∠2， ∴△ADC∽△DEB． 【点睛】本题考查等边三角形性质，三角形外角性质，三角形相似判定，掌握等边三角形性质，三角形外角性质，三角形相似判定是解题关键． 【典例8】．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，点E为AC的中点，AD⊥BC于点D，ED延长后交AB的延长线于点F，求证：△AEF∽△ABC． 【答案】证明见解析． 【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得到ED＝EC，则∠EDC＝∠C，再利用三角形外角性质可得∠AEF＝2∠C，而∠ABC＝2∠C，所以∠ABC＝∠AEF，加上∠EAF＝∠BAC，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△AEF∽△ABC． 【解析】证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴△ADC是直角三角形， ∵点E为AC的中点， ∴ED＝EC， ∴△ECD是等腰三角形， ∴∠EDC＝∠C， ∴∠AEF＝∠EDC＋∠C＝2∠C， ∵∠ABC＝2∠C， ∴∠ABC＝∠AEF， ∵∠EAF＝∠BAC， ∴△AEF∽△ABC． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质是解题的关键． 【典例9】．如图，Rt△ABC中，，于F，AD是∠BAC的平分线，交AC于G，AD与BF交于点E． (1)求证： (2) ， ． 【答案】(1)见解析 (2)ADG，AFE，ACD 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可． 【解析】（1）解：证明：如下图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴． （2）∵AD平分∠BAC， ∴∠1=∠2， 又，，， ∴∠ABC=∠ADG=∠AFB=90°， ∴ADGAFE， ∴∠3=∠AGD=∠AEF， ∴∠ADC=∠CGD=∠AEB， 又根据直角三角形两锐角互余可得∠5=∠C， ∴ 故答案为：ADG，AFE，ACD． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型． 题型4：两边对应成比例且夹角相等证三角形相似 【典例10】0．已知：D、E是的边、上的点，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据已知线段长度求出，再根据推出相似即可． 【解析】证明：在和中， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理的应用，注意：有两边的对应成比例，且夹角相等的两三角形相似． 【典例11】．如图，在中，，D是边上一点，．求证． 【答案】详见解析 【分析】由题中线段长度得出，结合相似三角形的判定定理即可证明． 【解析】证明：∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 【典例12】．如图，与交于点，，，，，求证：． 【答案】见解析. 【分析】根据两边对应成比例，两三角形相似即可证明. 【解析】解：∵，， ∴， ∵∠DAE=∠BAC， ∴△ADE∽△ABC. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，属于基础题型，熟知两边对应成比例，两三角形相似的判定方法是解此题的关键. 【典例13】．如图，P是的边上的一点． （1）如果，与是否相似？为什么？ （2）如果，与是否相似？为什么？如果呢？ 【答案】（1）相似．因为，；（2）相似，因为，；不相似．因为虽然两边成比例，但它们的夹角不相等． 【分析】（1）直接根据有两角对应相等的两个三角形相似，即可求证； （2）直接根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可求解． 【解析】解：（1）相似，理由如下： ∵，， ∴； （2）相似，理由如下： ∵，， ∴； 不相似，理由如下： 因为虽然，但它们的夹角 与 不相等， 所以与不相似． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【典例14】．如图，已知E是的中线AD上一点，且.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据三角形中线性质得，故，可进一步得. 【解析】证明：∵AD是的中线， ∴. ∵， ∴， 即， 又∵， ∴. 【点睛】考核知识点：相似三角形的判定.理解“两边成比例且夹角相等”的判定方法是关键. 【典例15】．如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40． 求证：△ABC∽△AED．    【答案】证明见解析. 【分析】由∠BAE=∠CAD知∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC，即∠BAC=∠EAD，再根据线段的长得出，据此即可得证． 【解析】∵∠BAE＝∠CAD， ∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，即∠BAC＝∠EAD， ∵AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40， ∴， ∴△ABC∽△AED． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 【典例16】．如图，，分别是与边上的高． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据，分别是与边上的高，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解析】证明：，分别是与边上的高， ， ， ， ， 即， ， ． 题型5：在特殊平行四边形中证三角形相似 【典例17】．如图，四边形为菱形，点在的延长线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据菱形的性质得出，根据题意，等量代换得出，进而根据公共角，即可得证． 【解析】证明：四边形为菱形，为对角线， ． ， ． 又， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【典例18】．如图，已知正方形中，平分且交边于点，将绕点顺时针旋转到的位置，并延长交于点．求证：    (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先判断出，再利用角平分线判断出，即可得出结论； （2）由三角形的内角和定理可求，可得结论． 【解析】（1）证明：由旋转可知：， ． 平分， ， ， ， ； （2）证明：，， ． ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 【典例19】．如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定． （1）证明，即可； （2）根据平行得到，再根据，即可得证． 掌握正方形的性质，证明三角形全等和相似，是解题的关键． 【解析】（1）证明：∵正方形， ∴， 又， ∴， ∴； （2）∵正方形， ∴， ∴， 又， ∴． 题型6：添加一个条件使三角形相似 【典例20】．如图，在中，，点D在边上（点D不与A，C重合）．若再增加一个条件能使，则这个条件是______；结合你所添加的条件，证明． 【答案】（答案不唯一），见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定方法即可求解． 【解析】解：（答案不唯一） 证明：在和中， ∴．（有两角对应相等的两个三角形相似） 【典例21】．如图，在和中，已知，请你添加一个条件：___________，使，并说明理由．    【答案】（答案不唯一），理由见解析 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定，两组角对应相等的两三角形相似，两组边对应相等，且它们的夹角也相等的两三角形相似，据此添加条件并证明即可. 【解析】解：添加条件，理由如下： ∵， ∴，即， 又∵， ∴． 【典例22】．已知：如图，、交于点，请添加一个条件________，使得，然后再加以证明． 【答案】（答案不唯一），证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理“有两个角相等的两个三角形相似；有两边成比例，且这两边夹角相等的两个三角形相似”即可解答． 【解析】解：①当添加时，证明如下： ∵，， ∴； ②当添加时，证明如下： ∵，， ∴； ③当添加时，证明如下： ∵，， ∴； 故答案为：（答案不唯一）． 【典例23】．如图，在中，点在上，连接．请添加一个条件 ，使得，然后再加以证明．    【答案】（答案不唯一），证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，添加，结合，即可得证，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【解析】解：添加， 证明：∵，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 题型7：能使三角形相似的条件综合辨析 【典例24】．如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得到，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断判定即可． 【解析】∵， ∴， A.若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； B.添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； C.添加，已知的角不是成比例的两边的夹角，项符合题意； D.添加，可用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定定理，灵活运用相似三角形的判定定理判定两三角形相似是解题的关键． 【典例25】．如图，在中，D是上一点，下列给出的条件不能得出的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握两个角对应相等的三角形相似和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似成为解答本题的关键． 【解析】解：A. ，，不能得到，故符合题意； B.，，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； C.，，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； D.，，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； 故选A． 【典例26】．如图，下列条件能使△BPE和△CPD相似的有（   ） ①∠B=∠C；②；③∠ADB=∠AEC；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据“两角相等的两个三角形相似”判断①；根据“两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似”证明，可得，进而判断④，即可说明②；根据平角定义得，再结合“两角相等的两个三角形相似”判断③即可；最后根据“两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似”判断⑤即可． 【解析】∵，， ∴， 所以①符合题意； ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， 所以④符合题意，②不符合题意； ∵， ∴． ∵， ∴， 所以③符合题意； ∵，， ∴， 所以⑤符合题意． 则符合题意的有4个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，灵活选择判定定理是解题的关键． 题型8：判断与已知三角形相似的三角形个数 【典例27】．如图，在中，，E、F分别为、的中点，连接，H为的中点，过点H作，交于点 D，连接，则与相似(不含)的三角形个数为（    ） A．1 B．4 C．8 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定等知识点，由三角形中位线定理可得，可得，由有两组角对应相等的两个三角形相似可证，可得结论，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【解析】∵E、F分别为、的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：D． 【典例28】．如图，在中，，是边的中点，于点，交边于点，连接，则图中与相似的三角形共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．根据相似三角形的判定定理可得出答案． 【解析】解：，是边的中点， ， ， 又， ， ， ，， ， ， ， 又， ， 图中与相似的三角形共有3个：，，． 故选：B 一、单选题 1．如图，下列条件不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题中已知是公共角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断． 【解析】解：由图得： 当或或时，与相似； 也可． 选项中角不是成比例的两边的夹角． 故选：D． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 2．下列命题是真命题的是（    ） A．有一个角是36°的两个等腰三角形相似 B．有一个角是45°的两个等腰三角形相似 C．有一个角是60°的两个等腰三角形相似 D．有一个角是钝角的两个等腰三角形相似 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定方法，根据有两组对应角相等的两个三角形相似，进行判断即可． 【解析】解：A、36度的两个角一个是顶角，一个是底角时，两个等腰三角形不相似，选项为假命题； B、45度的两个角一个是顶角，一个是底角时，两个等腰三角形不相似，选项为假命题； C、有一个角是60°的两个等腰三角形均为等边三角形，相似，为真命题； D、有一个角是钝角，且钝角的度数相等的两个等腰三角形相似，选项为假命题； 故选C． 3．下列各组条件中，一定能推得与相似的是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】直接根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”分别判断得出答案． 【解析】∵，，∴，故A选项符合题意； ∵，不是和的夹角，∴不能说明和相似，故B选项不符合题意； ∵，和均不是夹角，∴不能说明和相似，故C选项不符合题意； ∵，不是和的夹角，∴不能说明和相似，故D选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 4．已知在中，，，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解． 【解析】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项A不符合题意； B、两边对应成比例，而夹角不一定相等，不能证明阴影部分的三角形与原相似，故选项B符合题意； C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项C不符合题意； D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，故选项D不符合题意； 故选：B． 5．如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】三角形相似的判定方法有（1）平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似； （2）如果两个三角形对应边的比相等且夹角相等，这2个三角形也可以说明相似（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.）； （3）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似（简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似.）； （4）如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似（简叙为两角对应相等，两个三角形相似）。 【解析】A选项符合判定方法（4），符合题意． B选项相等的角不是对应边的夹角，不符合题意． C选项相等的角不是对应角，不符合题意． D选项相等的角不是对应角，不符合题意． 【点睛】本题考查的是三角形相似的判定方法，解题的关键是牢记判定方法． 6．如图，点在的边上，添加一个条件可判定，其中添加不正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可． 【解析】解：∵在和中，， ∴当时，满足两组角对应相等，可判断，故A不符合题意； 当时，满足两组角对应相等，可判断，故B不符合题意； 当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故C不符合题意； 当时，不能判断，故D符合题意； 故选：D． 7．如图，在中，、分别是边、上的点，下列命题中，假命题是（ ） A．若，则与相似 B．若，则与相似 C．若，则与相似 D．若，则与相似 【答案】A 【分析】三角形相似的判定方法:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;三边成比例的两个三角形相似;两角对应相等的两个三角形相似;根据三角形相似的判定方法容易得出结论. 【解析】解:若,不满足三角形相似的判定方法,不一定相似,A是假命题; 若,则DE∥BC，△ADE~ △ACB B正确; 若又∠A=∠A,△ADE~△ACB, C正确; 若∠ADE=∠B,又∠A=∠A, △ADE~△ABC, D正确; 所以选A. 【点睛】本题考查相似三角形的判定方法;熟练掌握三角形相似的判定方法是解决问题的关键. 8．如图，分别以下列选项作为一个已知条件，不一定能得到△AOB与△COD相似的是（    ） A． B． C． D．∠BAC＝∠BDC 【答案】A 【分析】根据相似三角形的判定方法对各选项进行判断即可得出答案． 【解析】解：A．若，因为只知道∠AOB＝∠COD，不符合两边及其夹角的判定，不一定能得到△AOB∽△DOC，故本选项符合题意； B．若，结合∠AOB＝∠COD，可得△AOB∽△COD，故本选项不符合题意； C．若，结合∠AOB＝∠COD，根据两边及其夹角的方法可得△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意； D．若∠BAC＝∠BDC，结合∠AOB＝∠COD，可得△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形判定的三种方法． 9．如图，在中，.则图中相似三角形共有（　　）    A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【分析】首先算出三角形中角的度数，即可得到答案． 【解析】解：， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ，， ， ，， ， ，， ． 故相似的三角形对数为4对： 故选：C． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 10．如图，将绕点顺时针旋转，使得点落在边上，点、的对应点分别为、，边交于点，连接，下列两个三角形不一定相似的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定、旋转的性质等知识，根据旋转的性质得到，，，，，再根据相似三角形的判定定理判断求解即可． 【解析】解：根据旋转的性质得，， ∴， ∴，， ∴，故A不符合题意； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，故B不符合题意； 又，， ∴，故C不符合题意； 根据题意，无法求解与相似， 故D符合题意； 故选：D． 二、填空题 11．图中的两个三角形是否相似， （填“是”或“否”）. 【答案】是 【分析】先根据三角形的内角和定理求得第一个三角形的第三个内角的度数，根据相似三角形的判定即可解答． 【解析】解：如图，第一个三角形的第三个内角的度数为， 根据有两个角对应相等的两个三角形相似得这两个三角形相似， 故答案为：是 【点睛】本题考查相似三角形的判定、三角形的内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定是解答的关键． 12．如图，与相交于点，连接，，添加一个条件，使．你添加的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定等知识点，由图可知，所以要使，只需再添加一个对应角相等或其对应边成比例即可得解，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决此题的关键． 【解析】∵（对顶角相等）， ∴要使，只需再添加一个对应角相等或其对应边成比例即可， ∴可以添加， 故答案为：（答案不唯一）． 13．如图，已知，请添加一个条件 ，使得．    【答案】或或（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．熟练掌握有两组角分别对应相等的三角形相似是解题的关键． 【解析】解：添加， ∵， ∴，即， ∵， ∴； 添加， ∵， ∴，即， ∵， ∴； 添加， ∵, ∴，即， ∵， ∴； 故答案为：或或（答案不唯一）． 14．点D在的边AB上，且，则，理由是 ． 【答案】有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 【分析】先依题意画出图形，再根据相似三角形的判定即可得． 【解析】依题意，画图如下： ，即， 又， （有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）， 故答案为：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题关键． 15．如图，已知，则图中相似三角形是 ．    【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握两角对应相等的两个三角形相似是解题的关键． 【解析】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 16．已知：在中，P是上一点，连接，当满足条件： 或 或 时，．    【答案】 【分析】连接，由图可得，两三角形已有一组角（公共角）对应相等，再加一组角对应相等或两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，有此填空即可． 【解析】证明：连接，    ， ∴当或或时，， 故答案为：；；． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似是解题的关键． 17．如图，E是□ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，图中 对相似三角形． 【答案】3 【分析】由□ABCD可得，，再由平行线性质推导而证明△AFE∽△CFD∽△BCE，从而完成求解． 【解析】∵□ABCD ∴， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ △CFD∽△BCE ∴△AFE∽△CFD∽△BCE 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形和相似三角形的知识；求解的关键是熟练掌握平行四边形和相似三角形的性质，从而得到答案． 18．如图，的顶点坐标是，，，平面内点使得与相似，则不与点重合的点有 个． 【答案】7 【分析】本题考查相似三角形的判定．根据题意，可分情况讨论，具体见详解． 【解析】解：如图所示，当时，； 如图所示，当，时，； 如图所示，当，时，； 如图所示，当，时，； 如图所示，当，时，； 如图所示，当，时，； 如图所示，当，时，． 综上所述，符合题意的点的位置有7个． 故答案为：7． 三、解答题 19．如图，相交于点．求证∶ 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质以及相似三角形的判定，由平行线的性质，得出，再结合两个对应角分别相等的三角形是相似三角形，即可作答． 【解析】证明∶， ， ． 20．如图，是的边上的一点，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的证明，根据相似三角形的判定方法，两边对应成比例和夹角相等即可得出结论． 【解析】证明：，， ， ， ， 为公共角， ． 21．如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△PAC∽△BPD． 【答案】见解析 【分析】根据PC＝PD＝CD，可得出为等边三角形，即可得出,进而得出,再根据相似三角形的判定推出即可． 【解析】证明：∵PC＝PD＝CD， ∴为等边三角形， ∴∠PCD＝∠PDC， ∴, ∵∠A＝∠BPD， ∴△PAC∽△PBD． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定等知识点，注意：如果两个三角形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形相似． 22．如图，，且，，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，先求出，， 再证明即可． 【解析】证明：，且，， ， ，且， ， ， ， 又∵， 23．如图，在中，为边上一点，连接为上一点，连接，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和平行四边形的性质，由平行四边形的性质得，，得到，然后由，得到，然后根据相似三角形的判定可得结论． 【解析】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 24．如图，在矩形中，为边上一点，将点沿翻折恰好落到边上的点处．求证：； 【答案】见解析 【分析】 本题主要考查矩形的性质、折叠的性质及相似三角形的判定，熟练掌握矩形的性质及相似三角形的判定定理是解题的关键；由题意易得，，然后可得，进而问题可求证． 【解析】证明：在矩形中，， 根据翻折可得，， ∴， ∵， ∴， ∴． 25．如图，Rt△ABC中，，于F，AD是∠BAC的平分线，交AC于G，AD与BF交于点E． (1)求证： (2) ， ． 【答案】(1)见解析 (2)ADG，AFE，ACD 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可． 【解析】（1）解：证明：如下图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴． （2）∵AD平分∠BAC， ∴∠1=∠2， 又，，， ∴∠ABC=∠ADG=∠AFB=90°， ∴ADGAFE， ∴∠3=∠AGD=∠AEF， ∴∠ADC=∠CGD=∠AEB， 又根据直角三角形两锐角互余可得∠5=∠C， ∴ 故答案为：ADG，AFE，ACD． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型． 26．如图，经过点的直线l与双曲线交于点，直线分别交曲线和于点M、N，点在直线上．连接、． (1)求n的值及直线l的解析式； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）将代入，解得，，待定系数法求直线l的解析式即可； （2）由在直线上，可得，解得：，即，然后求，；则 ，，由勾股定理得，，，根据，，证明即可． 【解析】（1）解：将代入得，，解得，， 设直线l的解析式是， 将，，代入得， 解得， ∴直线l的解析式是， ∴，直线l的解析式是； （2）证明：∵在直线上， ∴， 解得：， ∴， 把代入，得，即； 把代入，得，即； ∴ ，， ∵，，， 由勾股定理得，，， ∴， 又∵， ∴； 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，反比例函数解析式，一次函数解析式，勾股定理，相似三角形的判定等知识．熟练掌握反比例函数与一次函数的综合，反比例函数解析式，一次函数解析式，勾股定理，相似三角形的判定是解题的关键． 27．如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且AE＝CF，连接EF交AC于点P，分别连接DE，DF，DP （1）求证：△ADE≌△CDF； （2）求证：△ADP∽△BDF； （3）如图2，若PE＝BE，PC＝，求CF的值． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）CF＝﹣1， 【分析】（1）根据SAS证明即可； （2）如图1，作FH∥AB交AC的延长线于H．易证△APE≌△HPF（AAS），得PE＝PF，再证△DEF是等腰直角三角形，得∠EDP＝∠FDP＝45°，进而得∠DAP＝∠DBF，∠ADP＝∠BDF即可得到结论； （3）如图2，作PH⊥BC于H．首先证明∠EFB＝30°，由PC＝，得：HF＝，进而求出CF，即可解决问题． 【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴DA＝DC，∠DAE＝∠BCD＝∠DCF＝90°， ∵AE＝CF， ∴△ADE≌△CDF（SAS）； （2）如图1，作FH∥AB交AC的延长线于H． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB＝∠FCH＝45°， ∵AB∥FH， ∴∠HFC＝∠ABC＝90°， ∴∠FCH＝∠H＝45°， ∴CF＝FH＝AE， ∵∠PAE＝∠H＝45°，∠APE＝∠FPH， ∴△APE≌△HPF（AAS）， ∴PE＝PF， ∵△ADE≌△CDF， ∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF， ∴∠EDF＝∠ADC＝90°， ∴△DEF是等腰直角三角形， ∵EP＝PF， ∴∠EDP＝∠FDP＝45°， ∵ADP＝∠ADE+∠PDE＝∠ADE+45°，∠BDF＝∠CDF+∠BDC＝∠CDF+45°， ∴∠ADP＝∠BDF， ∵∠DAP＝∠DBF＝45°， ∴△ADP∽△BDF； （3）如图2中，作PH⊥BC于H． ∵∠ACB＝45°，PC＝， ∴PH＝CH＝1． 由（2）得：BE＝PE＝PF， ∴BE＝EF， ∴∠BFE＝30°， ∴PF＝2， ∴HF＝， ∴CF＝﹣1， 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定定理，正方形的性质定理，全等三角形的判定和性质定理，等腰直角三角形的性质定理以及含30°角的直角三角形的性质定理，添加辅助线，构造全等三角形和含30°角的直角三角形，是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 2 页 共 43 页 学科网（北京）股份有限公司 $$