第17讲 解直角三角形（第1课时）（八大题型）（二类知识点+八大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（沪教版）

第17讲 解直角三角形（第1课时）（八大题型） 学习目标 1、 学会解直角三角形； 2、 掌握直角三角形中长度、角度之间的转化 3、会结合其他几何知识解直角三角形； 一、解直角三角形 　　在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 　　在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 　　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： 　　①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). 　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. 　　③边角之间的关系： 　　④，h为斜边上的高. 【方法规律】 　　(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值. 　　(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系). 　　(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解. 二、解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， 【方法规律】 　　1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算； 　　2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边. 【即学即练1】在Rt中，∠C=90°，如果AC=2，，那么AB的长是（  ） A． B． C． D． 【即学即练2】如图，在中，，，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【即学即练3】如图，在△ABC中，，，AD是△ABC的角平分线，若，则AD长度是（　　） A．2 B． C． D．3 题型1：解单个直角三角形—求长度，图形类 【典例1】．如图，在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【典例2】．在中，，则的长为（　　） A．8 B．12 C．13 D．18 题型2：解单个直角三角形—综合类，图形类 【典例3】．如图，在中，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例4】．如图，在中，∠B=90°，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【典例5】．如图，在中，，下列结论正确的是（　　）    A． B． C． D． 题型3：解单个直角三角形—求长度、综合类，文字语言描述类 【典例6】．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么∠A的余切值等于 （    ） A． B． C． D． 【典例7】．在中，，，，则的长为（    ） A．3 B．2 C． D． 【典例8】．已知在中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【典例9】．已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB=10，那么BC的长为（　　） A．10cos50° B．10sin50° C．10tan50° D．10cot50° 【典例10】．已知，AB＝m，∠ACB＝90°，则下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型4：解一图多直角三角形问题—求长度 【典例11】．如图,在△ABC中,∠A=45°,∠C=90°,点D在线段AC上,∠BDC=60°,AD=1,则BD等于(   ) A． B．+1 C．-1 D． 【典例12】．如图，在中，，，D是上一点，若，则的长为（　　） A．2 B．4 C． D． 【典例13】．如图，在中，，，，那么 ． 【典例14】．在Rt中，，于点D，已知，，则 ． 题型5：解一图多直角三角形问题—综合表示类 【典例15】．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝Rt∠，点D是BC边上一点．若∠B＝α，∠ADC＝β，则为（　　） A． B． C． D． 【典例16】．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A，D，B在同一条直线上），设，那么拉线BC的长度为（　　） A． B． C． D． 【典例17】．如图，在中，，D是上一点，连结，若，则的长可表示为（　　）    A． B． C． D． 题型6：在特殊平行线四边形中解直角三角形 【典例18】．如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【典例19】．如图，在菱形中，于点，，，则的值为（    ）    A． B． C．2 D． 【典例20】．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，则对角线的长为（    ） A． B． C．4 D．8 【典例21】．如图，矩形中，于E，设，且，，则长（    ）    A． B．10 C．8 D． 【典例22】．如图，在菱形中，，，，则的值是（ ） A． B． C．或 D．或 【典例23】．如图，在矩形中，与相交于点，于点．若，，则的长为 ． 【典例24】．如图，在矩形中，，点是上一点，连接，，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 题型7：利用其他三角形的几何性质解直角三角形 【典例25】．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接，若，则的长是（   ） A． B． C．10 D．8 【典例26】．如图，两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到四边形．若，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【典例27】．如图，在中，，，，于D，的平分线交于E，则的长为（    ） A． B． C． D． 题型8：其他综合问题 【典例28】．已知：如图在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，．求： (1)线段DC的长； (2)tan∠EDC的值． 【典例29】．如图，矩形中，，E为上一点，连接和，将沿折叠，点C恰好落在上的处，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【典例30】．如图，中，，，，，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着的方向运动，设E点的运动时间为t秒，连接，当是直角三角形时，t的值为 ． 一、单选题 1．在直角中，，，，求为（    ） A． B． C． D． 2．在中，， ，则的值为（　　） A． B． C． D．8 3．在中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，，，E是上一点，于点F，则的长是（    ）    A． B． C． D． 5．如图，在中，于点，若，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，点D为边中点，连接，已知，，则的值为（    ） A． B． C． D．4 7．如图，在中，，点D和点E分别是边和上的点，，，，，则的长为（    ）    A．4.8 B．4.5 C．4 D．3.2 8．如图，在边长为的正方形中，，，则的长为（　　） A． B．2 C． D． 9．在中，，，边上的高为，那么的长等于（    ） A． B． C． D． 10．如图，菱形的边长为6，对角线，相交于点O，交的延长线于E，若，则的长为（    ） A． B．2 C． D．1 二、填空题 11．在中，，，，那么 ． 12．中，，，，那么 .（用表示） 13．如图，在中，，于点D，若，，则的长为 ． 14．如图，在中，，，垂足为，，，则长为 ．    15．小明将一副新买的三角尺如图所示叠放在一起，则的值是 ． 16．如图所示，在四边形中，，，．连接，，若，则的长度是 ． 17．一次函数与x轴夹角的余切值为 ． 18．如图，在矩形 中，点，分别在边，上，与关于直线 对称，过点作于点，交于点，交于点，若，则的长为 ． 三、解答题 19．在中，和所对的边长分别为．若，解这个直角三角形． 20．在中，． (1)已知，，求的值； (2)已知，，求、的值． 21．已知：如图，是的高，．求的值． 22．中，，，点在上，，，求的长．    23．如图，已知在锐角三角形中，，，． (1)求，，的长． (2)的值为________． 24．如图，在中，，，垂足为D． (1)求作的平分线，分别交，于点P，Q．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 25．如图，在中，，是边上的中线，延长至点，作的角平分线，过点作于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 26．如图，在中，，D是上一点，，过点D作于点F，过点C作交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 27．在中，，是斜边上一点，将线段绕点旋转至位置，点在直线外，连接，，． (1)如图，求证：是的中点； (2)已知点和边上的点满足，连接，，． （）如图，求证：四边形是菱形． （）如图，连接，若，，求值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 解直角三角形（第1课时）（八大题型） 学习目标 1、 学会解直角三角形； 2、 掌握直角三角形中长度、角度之间的转化 3、会结合其他几何知识解直角三角形； 一、解直角三角形 　　在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 　　在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 　　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： 　　①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). 　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. 　　③边角之间的关系： 　　④，h为斜边上的高. 【方法规律】 　　(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值. 　　(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系). 　　(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解. 二、解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， 【方法规律】 　　1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算； 　　2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边. 【即学即练1】在Rt中，∠C=90°，如果AC=2，，那么AB的长是（  ） A． B． C． D． 【即学即练2】如图，在中，，，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【即学即练3】如图，在△ABC中，，，AD是△ABC的角平分线，若，则AD长度是（　　） A．2 B． C． D．3 题型1：解单个直角三角形—求长度，图形类 【典例1】．如图，在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确掌握边角之间的关系是解题关键．直接利用勾股定理求出的长，再利用锐角三角函数关系得出答案． 【解析】解：在中，，， 设，则，故， 则． 故选：C 【典例2】．在中，，则的长为（　　） A．8 B．12 C．13 D．18 【答案】C 【分析】在中，，求出，由勾股定理求出的长即可． 【解析】解：在中，∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查了解直角三角形、勾股定理，熟练掌握锐角三角形函数是解题的关键． 题型2：解单个直角三角形—综合类，图形类 【典例3】．如图，在中，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，先根据勾股定理求出，然后根据正弦、正切、余弦的定义逐项判断即可． 【解析】解：∵，， ∴， ∴，，，． 故选：D． 【典例4】．如图，在中，，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握锐角三角形的定义． 根据余弦的定义解答即可． 【解析】解：在中，， ， ， ， 故选：C 【典例5】．如图，在中，，下列结论正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了锐角三角三角函数关系．根据锐角三角三角函数关系，逐项判断，即可求解． 【解析】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 题型3：解单个直角三角形—求长度、综合类，文字语言描述类 【典例6】．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么∠A的余切值等于 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据锐角三角函数的定义，直接得出cotA＝即可得出答案． 【解析】解：如图所示： ∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴cotA＝＝， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练地应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键，本题是道基础题，比较简单． 【典例7】．在中，，，，则的长为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先利用直角三角形的边角间关系，用含的代数式表示出，再利用勾股定理求出． 【解析】解：在中， ， ． ， ． ． ． 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 【典例8】．已知在中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦三角函数的定义，设，则，，再根据正切三角函数的定义，即可求解． 【解析】 ∵在中，，， ∴， 设，则，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查三角函数的定义，根据三角函数的定义，用未知数表示出直角三角形的各边长，是解题的关键． 【典例9】．已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB=10，那么BC的长为（　　） A．10cos50° B．10sin50° C．10tan50° D．10cot50° 【答案】A 【分析】根据直角三角形的边角关系求解即可． 【解析】解：∵在△ABC中，∠C=90°， ∴cosB＝． ∵∠B＝50°，AB=10， ∴BC＝AB•cosB＝10•cos50°． 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握该知识点是解题关键． 【典例10】．已知，AB＝m，∠ACB＝90°，则下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义，求得，即可判定． 【解析】解：在中，∠ACB＝90°，由三角函数的定义可得： ，，， 又∵ ∴ 故选D 【点睛】此题考查了三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 题型4：解一图多直角三角形问题—求长度 【典例11】．如图,在△ABC中,∠A=45°,∠C=90°,点D在线段AC上,∠BDC=60°,AD=1,则BD等于(   ) A． B．+1 C．-1 D． 【答案】B 【分析】设BC=x，根据锐角三角函数分别用x表示出AC和CD，然后利用AC－CD=AD列方程即可求出BC，再根据锐角三角函数即可求出BD. 【解析】解：设BC=x ∵在△ABC中,∠A=45°,∠C=90°, ∴AC=BC=x 在Rt△BCD中，CD= ∵AC－CD=AD，AD=1 ∴ 解得： 即BC= 在Rt△BCD中，BD= 故选：B. 【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用，掌握用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键. 【典例12】．如图，在中，，，D是上一点，若，则的长为（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，先解，求出的长，然后根据即可求解． 【解析】∵，，， ∴， ∴． 故选：A． 【典例13】．如图，在中，，，，那么 ． 【答案】8 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．证明，推出，可得，求出，再利用勾股定理求出． 【解析】解：在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【典例14】．在Rt中，，于点D，已知，，则 ． 【答案】8 【分析】此题考查了解直角三角形，正切函数的定义，先在中，求出，再证出．再根据求出，进而求出结论． 【解析】解：∵， ∴， ∵在中，，， ， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ， 故答案为：8． 题型5：解一图多直角三角形问题—综合表示类 【典例15】．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝Rt∠，点D是BC边上一点．若∠B＝α，∠ADC＝β，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解直角三角形分别用AC表示出AB，AD即可解决问题． 【解析】在Rt△ABC中，∵AB＝， 在Rt△ADC中，∴AD＝， ∴＝＝， 故选：C． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【典例16】．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A，D，B在同一条直线上），设，那么拉线BC的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角的余角相等得∠CAD＝∠BCD，由，即可求出BC的长度． 【解析】，， ． 在中， ， ． 故选B． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键． 【典例17】．如图，在中，，D是上一点，连结，若，则的长可表示为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用锐角三角函数关系分别表示出的长进而得出答案． 【解析】解：∵，， ∴， 则， ， 故， 则， 故， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确掌握三角函数是解题关键． 题型6：在特殊平行线四边形中解直角三角形 【典例18】．如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意以及矩形的性质，勾股定理求得，进而根据得出即可求解． 【解析】解：∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵对角线的垂直平分线分别交于点， ∴，， ∵，则， ∴， ∴， 解得：， 故选：D 【点睛】本题考查了矩形的性质，正切的定义，勾股定理，垂直平分线的性质，得出是解题的关键． 【典例19】．如图，在菱形中，于点，，，则的值为（    ）    A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形，菱形的性质，勾股定理，先解得到，再由勾股定理求出，由菱形的性质得到，则，据此根据正切的定义可得答案． 【解析】解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴在中，， 故选：D． 【典例20】．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，则对角线的长为（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质．根据菱形的性质结合等边三角形的判定与性质得出是等边三角形，可求出的长，再根据特殊角的锐角三角函数值进而求出的长． 【解析】解：在菱形中，对角线与相交于点，，， ，， 则是等边三角形， ，， 故， ． 故选：A． 【典例21】．如图，矩形中，于E，设，且，，则长（    ）    A． B．10 C．8 D． 【答案】C 【分析】由已知条件可知：，，可以求出，然后根据勾股定理求出，即可求出． 【解析】解：， ， ， ∵矩形中， ，， ， ， ， ， 由勾股定理，得：， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质，熟记各性质是解题的关键． 【典例22】．如图，在菱形中，，，，则的值是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由，设，，推出，，根据，即可求解， 本题考查菱形的性质，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是：学会利用参数解决问题． 【解析】解：， ， ， 设，， ，， ， 故选：． 【典例23】．如图，在矩形中，与相交于点，于点．若，，则的长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，根据矩形的性质，得到，根据三线合一结合30度角的直角三角形的性质，求解即可． 【解析】解：∵矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：1． 【典例24】．如图，在矩形中，，点是上一点，连接，，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形，矩形的性质，先解得到，再解可得． 【解析】解；∵四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， 故选A． 题型7：利用其他三角形的几何性质解直角三角形 【典例25】．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接，若，则的长是（   ） A． B． C．10 D．8 【答案】D 【分析】设BC＝4x，BD＝5x，则CD＝3x，由BC＝4即可求x，进而求出BC． 【解析】∵∠C＝90°， 设BC＝4x，BD＝5x， ∴CD＝3x， ∵ ∴x=1，故BD＝5，CD=3 ∵的垂直平分线交于点， ∴AD＝BD＝5， ∴AC＝AD+CD=8， 故选：D． 【点睛】本题考查直角三角形的性质；熟练掌握直角三角形函数的三角函数值，线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【典例26】．如图，两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到四边形．若，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，先解得到，再在中，由勾股定理得． 【解析】解：在中，， 在中， 由勾股定理得， 故选：A． 【典例27】．如图，在中，，，，于D，的平分线交于E，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形的知识，利用三角函数可得：，，，代入计算即可． 【解析】∵， ∴， ∴、、是直角三角形， ∵， ∴在中，， ∵， ∴在中，， ∵平分，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 题型8：其他综合问题 【典例28】．已知：如图在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，．求： (1)线段DC的长； (2)tan∠EDC的值． 【答案】(1)5； (2)． 【分析】（1）根据，求出AB，再求出BD即可解答； （2）在Rt△ADC中， E是AC的中点，推出∠EDC＝∠C，则＝，即可求解． 【解析】（1）解：在△ABC中，∵AD是边BC上的高， ∴AD⊥BC． ∴． ∵AD＝12， ∴． 在Rt△ABD中，∵， ∴CD＝BC﹣BD＝14﹣9＝5． （2）解：在Rt△ADC中，E是AC的中点， ∴DE＝EC， ∴∠EDC＝∠C． ∴＝＝． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题关键是掌握锐角三角函数的定义以及直角三角形斜边上的中线的性质． 【典例29】．如图，矩形中，，E为上一点，连接和，将沿折叠，点C恰好落在上的处，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了矩形与折叠问题，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，首先根据题意得到，，设，然后根据折叠的性质得到，，然后利用三角函数得到，然后在直角中，利用勾股定理列方程求解即可．解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【解析】解：如图，在矩形中，，， ∴， 设，则， 由折叠的性质知，，． ∴，即． ∴，则 ∴， 在直角中，，即， 解得． ∴． 故选：A． 【典例30】．如图，中，，，，，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着的方向运动，设E点的运动时间为t秒，连接，当是直角三角形时，t的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形，先利用勾股定理得到，进而得到，再求出；分当时，当时，两种情况解直角三角形求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【解析】解：∵在中，，，， ∴， ∴； ∵，， ∴， 当时， 在，， ∴， ∴； 当时， 在，， ∴， ∴； 综上所述，t的值为或． 一、单选题 1．在直角中，，，，求为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据锐角三角函数的概念和勾股定理求解，根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系及勾股定理，然后再代入三角函数进行求解，最后求出面积及的值． 【解析】解：由，， 得出：， 由勾股定理得出：， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形的能力，还考查解直角三角形的定义，由直角三角形已知元素求未知元素的过程，还考查了直角三角形的性质． 2．在中，， ，则的值为（　　） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，涉及余弦和正切的概念，根据画出图形，将三角函数的值转化为直角三角形的边长之比，结合正切定义即可求得答案． 【解析】解：由题意， 则，得 ， ． 故选：A． 3．在中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，再把已知条件代入即可得到答案． 【解析】解：∵，，，， ∴ ， ∴． 故选：B 【点睛】本题考查了锐角三角函数的含义，利用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键． 4．如图，在矩形中，，，E是上一点，于点F，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意易得，则有，然后根据三角函数可进行求解． 【解析】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴在中，； 故选A． 【点睛】本题主要考查矩形的性质及三角函数，熟练掌握矩形的性质及三角函数是解题的关键． 5．如图，在中，于点，若，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据锐角三角函数的定义求出的长，进而可得出的长，由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【解析】解：， ． ，， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查的是解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 6．如图，在中，，点D为边中点，连接，已知，，则的值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】由余弦函数求得，根据直角三角形斜边中线的性质求得，推出，据此求解即可． 【解析】解：∵， ∴， ∵，点D为边中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 7．如图，在中，，点D和点E分别是边和上的点，，，，，则的长为（    ）    A．4.8 B．4.5 C．4 D．3.2 【答案】D 【分析】先根据锐角三角函数求出，再根据勾股定理求出，最后根据三角形的面积求出的长即可． 【解析】解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数、勾股定理、三角形的面积，熟练掌握锐角三角函数、勾股定理是解题的关键． 8．如图，在边长为的正方形中，，，则的长为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先根据“同角的余角相等”可得，在中，根据三角函数的定义可求得，进而可得. 本题主要考查了正方形的性质和根据三角函数定义解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键。 【解析】解：∵四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 9．在中，，，边上的高为，那么的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出草图，先在中利用正弦对边：斜边求出，然后在中，利用余弦邻边：斜边列式求解即可得到的长． 【解析】解：如图，在中，， ， 在中，， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形，需要熟记正弦与余弦的定义，作出图形更形象直观，有助于问题的解决． 10．如图，菱形的边长为6，对角线，相交于点O，交的延长线于E，若，则的长为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】首先根据菱形的性质得到，，然后勾股定理求出，得到，然后利用代数求出，然后利用勾股定理求解即可． 此题考查了菱形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【解析】∵菱形的边长为6， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得 ∴． 故选：B． 二、填空题 11．在中，，，，那么 ． 【答案】 【分析】设，则，求出，然后解出的值即可解题． 【解析】解：∵， 设，则， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 12．中，，，，那么 .（用表示） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的知识，利用的正弦值解答即可． 【解析】解：中，，， ， ， ． 故答案为：． 13．如图，在中，，于点D，若，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】此题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质，解直角三角形求出是解题的关键．解直角三角形求得，再利用三线合一即可求解． 【解析】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ，， ∴． 故答案为：4． 14．如图，在中，，，垂足为，，，则长为 ．    【答案】 【分析】根据已知条件在中，用和表示，在中，根据余弦求出的长，得到答案． 【解析】解：在中，，，， ，， ，， ， 在中，， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的知识，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，把三角函数的概念看作是公式，在相应的直角三角形中，直接运用． 15．小明将一副新买的三角尺如图所示叠放在一起，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】设，解，得出，解，得出，代入，计算即可求得答案． 本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，设，用含k的代数式表示出与是解题的关键． 【解析】解：设， ∵在中，，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴． 故答案为． 16．如图所示，在四边形中，，，．连接，，若，则的长度是 ． 【答案】 【分析】根据直角三角形的边角间关系，先计算，再在直角三角形中，利用勾股定理即可求出． 【解析】解：在中，，， ， 在中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，利用直角三角形的边角间关系，求出是解决本题的关键． 17．一次函数与x轴夹角的余切值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，三角函数的定义，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点求法及余切值的定义是解题的关键．先求出与轴和轴的交点坐标，再利用余切值的定义求解即可． 【解析】解：设一次函数与轴交于点，与轴交于点， 当时，， 即， 则， 当时，解得：， 即， 则， 则， 则一次函数与x轴夹角的余切值为． 故答案为： 18．如图，在矩形 中，点，分别在边，上，与关于直线 对称，过点作于点，交于点，交于点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，锐角三角函数，勾股定理，设，，由勾股定理可求，利用锐角三角函数可求的值，可得，的长，由锐角三角函数可求的长，进而勾股定理，即可求解． 【解析】解：与关于直线对称， ，，， ， ， ， 设，， ， ， ， ， ， 解得：， 经检验是原方程的解， ，，， ， ， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 三、解答题 19．在中，和所对的边长分别为．若，解这个直角三角形． 【答案】，，． 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，三角函数的定义．先根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形性质得出，根据三角函数定义得出，最后根据求出三边长即可． 【解析】解：在中，， ． 又， ， ， ， ． ，即， 解得， 则， ． 20．在中，． (1)已知，，求的值； (2)已知，，求、的值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】 本题考查的是勾股定理，解直角三角形． （1）直接根据勾股定理即可得出的值； （2）根据锐角三角函数的定义即可得出、的值． 【解析】（1） 解：在中，，，， ； （2） 解：在中，，，， ，． 21．已知：如图，是的高，．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，先由直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半，得出的长度，再由勾股定理求出的长度,再根据线段的和差得出长度，最后根据求解即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【解析】∵是的高， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．中，，，点在上，，，求的长．    【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，等角对等边；根据三角形的外角的性质可得，进而可得，解即可求解． 【解析】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，． 23．如图，已知在锐角三角形中，，，． (1)求，，的长． (2)的值为________． 【答案】(1)，， (2)． 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理： （1）先解得到，再利用勾股定理求出，即可得到； （2）先利用勾股定理求出，再根据余弦的定义求解即可． 【解析】（1）解：在中，， ，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：． 24．如图，在中，，，垂足为D． (1)求作的平分线，分别交，于点P，Q．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）按照角平分线的作图方法作图即可； （2）证明，求得，在中，利用三角函数的定义，即可得出答案． 【解析】（1）解：如图，以点C为圆心，任意长为半径作弧，与，相交，得到两个交点，以两个交点为圆心，大于两个交点距离的一半为半径分别作弧，连接C与两弧的交点，为所作； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴． 【点睛】本题考查作已知角的角平分线，等腰三角形的判定，解直角三角形，熟知角平分线的作法是解题的关键． 25．如图，在中，，是边上的中线，延长至点，作的角平分线，过点作于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形中线的定义及等腰三角形三线合一性质得，，，继而得到，结合即可得证． （2）根据，是边上的中线，得，，结合，设，，根据勾股定理得，继而得到，根据矩形的性质即可得解． 【解析】（1）证明：∵，是边上的中线， ∴，，， ∵是的角平分线， ∴， ∴，即， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：如图， ∵，是边上的中线，，， ∴，， ∴， 设，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，等腰三角形的三线合一的性质，勾股定理，三角函数定义等知识．掌握矩形的判定与性质和三角函数的定义是解题的关键． 26．如图，在中，，D是上一点，，过点D作于点F，过点C作交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)9 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，三角函数的定义，勾股定理， （1）根据垂直的定义得到，根据平行线的判定定理得到即可证明四边形是平行四边形，即可得出结论． （2）根据平行线的性质得到根据平行四边形的性质得到，根据三角函数的定义得到，设，则．根据勾股定理即可得到答案． 【解析】（1）证明：， ． ， ， ． 又， 四边形是平行四边形， ． （2）解：， ． ，， ． ， ， ． 设，则． ， ， 解得， ． 27．在中，，是斜边上一点，将线段绕点旋转至位置，点在直线外，连接，，． (1)如图，求证：是的中点； (2)已知点和边上的点满足，连接，，． （）如图，求证：四边形是菱形． （）如图，连接，若，，求值． 【答案】(1)证明见解析； (2)（）证明见解析；（）． 【分析】（）由旋转的性质得: 得，由得，则，等角对等边得，即可得，即是的中点； （）（）连接，根据直角三角形斜边上的中线得，由，得是的垂直平分线，，可得，根据平行线的性质得，根据直角三角形斜边上的中线得，由得是的垂直平分线，，可得，可得，即可得出结论； （）过点作于点，由勾股定理得，再由菱形的性质得，进而由锐角三角函数定义得，则， ，，然后由锐角三角函数定义即可得出结论． 【解析】（1）证明: 由旋转的性质得: ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的中点； （2）（）证明: 连接， ∵，是的中点， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （）过点作于点， 则， 在中，由勾股定理得:， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，     ∴， ∴。 ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，同角的余角相等，勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的判定与性质，等腰三角形的性质以及锐角三角函数是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 2 页 共 42 页 学科网（北京）股份有限公司 $$