第05讲 三角形一边的平行线（第2课时）（四类知识点+十一大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（沪教版）

第05讲 三角形一边的平行线（第2课时）（十一大题型） 学习目标 1、掌握三角形一边的平行线的性质中间比代换； 2、学会构造平行的七种技巧； 3、掌握重心的概念及性质。 一、知识引入（三角形的重心及性质） 例题 已知：如图24-19,BE、CF 是△ABC 的中线，交于点G .求证 ： 图24-19 分析 要证明 只要证明 EF//BC. 根据已知条件，可知 EF是 △ABC的中位线，由此可推出所要证明的结论. 证明 联 结 EF. 由 BE 、CF是△ABC的中线，可知EF是 △ABC的中位线. ∴ EF//BC; ,即 ∵ EF//BC, (三角形一边的平行线性质定理的推论). . ∴ 在图24-19中，如果△ABC的另一条中线AD与 BE相交于点G', 如图24-20所示，那么这个交点G'与交点G是否同一个点? 图24-20 通过联结 DE,运用例题的证明方法，可得 因为点G'与点G同在中线 BE 上 ，,所以点G '与点G是同一点.这就是说，三角形的三条中线交于一点. 二、三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. (1)重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍. （2）重心的画法：两条中线的交点. 三、三角形一边的平行线的六种解题技巧： ①中间比代换法证比例式；②等积代换法证比例式；③等比代换法证比例中项； ④平行法证比例式；⑤等比过渡法证线段相等；同分母的中间比代换法。 4、 构造平行 ①连接两点构造平行；②作三角形一边的平行线；③截长补短法；④构造平行四边形.......... 【即学即练1】如图，在中，D是的中点，点G是的重心．，则 ．     【即学即练2】如图，在中，，点G是的重心，如果，，那么 ．    【即学即练3】如图，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【即学即练4】如图，在中，点,点为边的三等分点，与交于点，则下列比例式正确的是（  ） A． B． C． D． 【即学即练5】如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，若AD：BD=2：1，点G在DE上，DG：GE=1：2，连接BG并延长交AC于点F，则AF：EF等于（　　） A．1：1 B．4：3 C．3：2 D．2：3 题型1：在梯子型中构造平行 【典例1】．如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、． （1）如果，，，求的长； （2）如果，，，求的长． 题型2：连接两点构造平行 【典例2】．如图，点、分别在的边、上，若，点在上，，连接并延长交于点，则等于　　 A． B． C． D． 题型3：作三角形一边的平行线 【典例3】．如图，已知点在上，且，点是延长线上一点，，连接与交于点，求的值． 题型4：截长补短法 【典例4】．如图，点是等腰的斜边上的一点，，于点交于点． （1）求证：是的中点； （2）求的值； （3）求的值． 题型5：作三角形的中位线 【典例5】．如图，在中，，是边上的两个三等分点，是的中点，分别交，，于，，，求． 【典例6】．如图， 中，是边上的点，且，是边上的点，且，分别交于，则等于（　　） A.3:2:1 B. 5:3:1 C.25;12:5 D.51:24:10 题型6：构造平行四边形 【典例7】．如图，、，、分别是和的中点，过的直线依次交、、、于点、、、， 求证：． 【典例8】．已知如图，点是边上一点，且，过点任作一条直线与、分别交于点和，求证：． 题型7：其他辅助线作法 【典例9】．如图， 在中，，，． 连接交于点， 求的值 ． 【典例10】．已知：如图，，，垂足分别为、，和相交于点，，垂足为，我们可以证明成立（不要求考生证明）． 若将图中的垂线改为斜交，如图，，，相交于点，过点作交于点，则： （1）还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； （2）请找出，和间的关系式，并给出证明． 题型8：三角形一边的平行线—中间比代换 【典例11】．如图，，，则下列式子中成立的是（   ） A． B． C． D． 【典例12】．如图，在△ABC中，点D在边BC上，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（　　）    A．； B．； C．； D．． 【典例13】．如图，在中，，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例14】．如图，在中，点,点为边的三等分点，与交于点，则下列比例式正确的是（  ） A． B． C． D． 题型9：三角形的重心概念及性质 【典例15】．三角形的重心正确的叙述是（　　） A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三条中垂线的交点 C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点 【典例16】．如图，在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 【典例17】．如图，在中，与交于点G，点G为的重心，点M、N分别在边、上，若，则的值为 ． 【典例18】．如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，点G是△ABC的重心，过点G作GFAB交BC于点F，若EF＝2，那么BC长为 ． 题型10：三角形重心的性质的几何应用 【典例19】．已知G是等腰直角的重心，若，则线段CG的长为 ． 【典例20】．如图，在中，中线相交于点G，下列说法错误的是（  ）    A．点G为的重心 B． C．当为等边三角形时， D． 【典例21】．如图，点为的重心，连接，则 ．    【典例22】．如图，在△ABC中，中线BF、CE交于点G，且CE⊥BF，如果，，那么线段CE的长是 ．    题型11：由三角形重心的性质求点的坐标 【典例23】．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，则重心的坐标是 ． 一、单选题 1．如图，在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 2．如图，P是重心，且经过点P，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在△ABC中，点D在边BC上，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（　　）    A．； B．； C．； D．． 5．如图，是的中线，E是上一点，，的延长线交于F，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在△ABC中，点D为AB上一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，过点E作AB的平行线交BC于点F，连接CD，交EF于点K，则下列说法正确的是(   ) A． B． C． D． 7．如图，在中，中线相交于点G，下列说法错误的是（  ）    A．点G为的重心 B． C．当为等边三角形时， D． 8．如图，平行四边形中，连接，在的延长线上取一点，点为的中点，连接，交、分别为点、点，则下列结论错误的是（    ）． A． B． C． D． 9．如图，在中，，点M在边上，线段沿着过M的直线折叠，点C恰巧落在边上的点N处．如果，，那么a与b满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 10．如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，的值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．在中，，点是重心，如果，，那么 ． 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，点G是△ABC的重心，GH⊥BC，垂足是H，则GH的长为 ． 13．如图，已知E是AC的中点，C是BD的中点，那么＝ ． 14．如图，已知梯形中，，对角线与中位线交于点，如果，，那么 ． 15．如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为3和2，且B、C、E在一直线上，AE与CF交于点P，则 ． 16．如图，AD//EF//GH//PQ//BC，AE=EG=GP=PB，AD=2，BC=10，则EF长为 17．如图的中线AD、BE相交于点G，过点G作交BC于点H，如果，那么 ． 18．如图，点是反比例函数上的点，过作轴，连接交于点，若，且的面积为5，则的值为 .    19．新定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做等高底三角形，这条边叫做等底．如图，是等高底三角形，是等底，点关于直线的对称点是点，连接，如果点是的重心，那么的值是 ．    20．折纸游戏：小明剪出一个直角三角形的纸片，其中，，，找出的中点，在上找任意一点，以为对称轴折叠，得到，点的对应点为点，小明发现，当点的位置不同时，与的三边位置关系也不同，请帮小明解决问题：当时，的长为 ． 三、解答题 21．如图，点是的重心．      (1)________； (2)若，求长． 22．如图，G为的重心，，求的值．    23．如图，已知，它们依次交直线、、于点A、B、C和点D、E、F和点Q、H、P，与相交于的中点G，若． (1)如果，求的长； (2)在（1）的条件下，如果，求的长． 24．如图，在中，对角线和相交于点，，，． (1)求证：是菱形； (2)延长至点，连接交于点，若．求的值． 25．如图，已知四边形是菱形，点E是对角线上的一点，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：； (2)求证：． 26．阅读材料： 角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则． 下面是这个定理的部分证明过程： 证明：如图2，过点C作，交的延长线于点E．…… 解决问题： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余过程； (2)如图3，在中，是角平分线，，，，求的长． 27．如图1，在中，截线交于点，交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若截线经过的重心点，如图2，利用（1）中的结论，求证：． 28．如图1，在中，，点D在上，点E在上，，延长到F，使得，过点F作，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)如图2，当点D与点B重合，且，求证：点B为的重心． 29．在中，，，点为直线上一个动点（点不与点，重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得线段，连接，    (1)如图1，若点在线段上， ①依题意补全图1； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明 (2)若点在线段的延长线上，且，设，，直接写出的长（用含，的式子表示）； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 2 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 三角形一边的平行线（第2课时）（十一大题型） 学习目标 1、掌握三角形一边的平行线的性质中间比代换； 2、学会构造平行的七种技巧； 3、掌握重心的概念及性质。 一、知识引入（三角形的重心及性质） 例题 已知：如图24-19,BE、CF 是△ABC 的中线，交于点G .求证 ： 一、知识引入（三角形的重心及性质） 例题 已知：如图24-19,BE、CF 是△ABC 的中线，交于点G .求证 ： 图24-19 分析 要证明 只要证明 EF//BC. 根据已知条件，可知 EF是 △ABC的中位线，由此可推出所要证明的结论. 证明 联 结 EF. 由 BE 、CF是△ABC的中线，可知EF是 △ABC的中位线. ∴ EF//BC; ,即 ∵ EF//BC, (三角形一边的平行线性质定理的推论). . ∴ 在图24-19中，如果△ABC的另一条中线AD与 BE相交于点G', 如图24-20所示，那么这个交点G'与交点G是否同一个点? 图24-20 通过联结 DE,运用例题的证明方法，可得 因为点G'与点G同在中线 BE 上 ，,所以点G '与点G是同一点.这就是说，三角形的三条中线交于一点. 二、三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. (1)重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍. （2）重心的画法：两条中线的交点. 三、三角形一边的平行线的六种解题技巧： ①中间比代换法证比例式；②等积代换法证比例式；③等比代换法证比例中项； ④平行法证比例式；⑤等比过渡法证线段相等；同分母的中间比代换法。 4、 构造平行 ①连接两点构造平行；②作三角形一边的平行线；③截长补短法；④构造平行四边形.......... 【即学即练1】如图，在中，D是的中点，点G是的重心．，则 ．     【答案】4 【分析】根据重心的性质，进行求解即可． 【解析】解：∵D是的中点，点G是的重心， ∴， ∴； 故答案为：4． 【点睛】本题考查重心的性质，熟练掌握重心到顶点的距离是中心到对边中点距离的2倍，是解题的关键． 【即学即练2】如图，在中，，点G是的重心，如果，，那么 ．    【答案】 【分析】本题考查了重心的定义与性质，结合勾股定理，关键是掌握重心性质并运用勾股定理列式求解是解题关键．本题先利用重心求出，再利用勾股定理列式整体法求出，进而得到，最后利用勾股定理即可求出． 【解析】解：点G是的重心，， ，点D为的中点， ，， ， ， ， 故答案为：． 【即学即练3】如图，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线所截线段成比例直接判断即可． 【解析】如图： ， 只有B选项符合，A、C、D都错误． 故选B． 【点睛】本题主要考查平行线所截线段成比例，关键是根据题意及结合图形得到相应线段成比例即可． 【即学即练4】如图，在中，点,点为边的三等分点，与交于点，则下列比例式正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例的定理去求出各个线段的比例关系，选出正确选项． 【解析】解：A选项错误， ∵点D、点E是AB的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则； B选项错误，无法证明； C选项正确， ∵， ∴， ∵， ∴， 则； D选项错误， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练运用这个定理求出线段的比例关系． 【即学即练5】如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，若AD：BD=2：1，点G在DE上，DG：GE=1：2，连接BG并延长交AC于点F，则AF：EF等于（　　） A．1：1 B．4：3 C．3：2 D．2：3 【答案】C 【分析】如图，作DH∥BF交AC于H．利用平行线分线段成比例定理即可解答． 【解析】如图，作DH∥BF交AC于H． ∵DH∥BF， ∴AH：HF=AD：DB=2：1， ∴可以假设HF=a，则AH=2a． ∵FG∥DH， ∴FH：EF=DG：EG=1：2， ∴EF=2a， ∴AF=3a， ∴AF：EF=3a：2a=3：2． 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是利用平行线分线段成比例定理将两条线段的比转化为其余已知线段的比． 题型1：在梯子型中构造平行 【典例1】．如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、． （1）如果，，，求的长； （2）如果，，，求的长． 【解析】解：（1）， ， ，，， ， ． （2）过点作，交于点，交于点， 则， ， ， ， ，， ， ， ． 【点评】本题考查平行线分线段成比例的知识，综合性较强，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 题型2：连接两点构造平行 【典例2】．如图，点、分别在的边、上，若，点在上，，连接并延长交于点，则等于　　 A． B． C． D． 【解析】解：如图，作交于． ， ， 可以假设，则， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解 决问题，属于中考常考题型． 题型3：作三角形一边的平行线 【典例3】．如图，已知点在上，且，点是延长线上一点，，连接与交于点，求的值． 【解析】解：过点作，交于点， ， ， ， ， 即， ， ， ， ． 即． 证法二、连接、， ，， ， ， ， ，， ， ， ． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：平行线分的线段对应成比例，此题具有一定的代表性，但是一定比较容易出错的题目． 题型4：截长补短法 【典例4】．如图，点是等腰的斜边上的一点，，于点交于点． （1）求证：是的中点； （2）求的值； （3）求的值． 【解析】（1）证明：作交的延长线于，如图1， ， ， ， ， ， ， 而， ， ， ， 而， ， 在和中， ， ， ， ， 是的中点； （2）解：， ， ， 而， ； （3）解：作交于，如图2， ， ， ， ． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．也考查了三角形全等的判定与性质． 题型5：作三角形的中位线 【典例5】．如图，在中，，是边上的两个三等分点，是的中点，分别交，，于，，，求． 【解析】解：过作，交于，于， 为中点， 是的中位线， ，， ， ， ， ， ， 是的中位线， ， ， ， ，， ． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理和三角形中位线定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【典例6】．如图， 中，是边上的点，且，是边上的点，且，分别交于，则等于（　　） A.3:2:1 B. 5:3:1 C.25;12:5 D.51:24:10 【解析】 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理和三角形中位线定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 题型6：构造平行四边形 【典例7】．如图，、，、分别是和的中点，过的直线依次交、、、于点、、、， 求证：． 【解析】证明：延长、，设交点为，则四边形为平行四边形， 是的中点， 的延长线必过点，且． ， ． ， ． ． 又， ． ，． ． ． 即． 【点评】综合运用了平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理． 【典例8】．已知如图，点是边上一点，且，过点任作一条直线与、分别交于点和，求证：． 【解析】证明：过点分别作，， 得到四边形是平行四边形， ， ， ，（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例） ， ， ， 设，则，，， ， ， （如果一条直线截三角形的两边的延长线，所得的对应线段成比例）， ， ， ， ， 即． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例；如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 题型7：其他辅助线作法 【典例9】．如图， 在中，，，． 连接交于点， 求的值 ． 【解析】解： 如图， 连接、， 则， ，，， ，，，， ． 【点评】本题主要考查比例线段的基本性质， 根据共高两三角形的底边之比等于面积比将线段 的比转化为面积的比是解题的关键 ． 【典例10】．已知：如图，，，垂足分别为、，和相交于点，，垂足为，我们可以证明成立（不要求考生证明）． 若将图中的垂线改为斜交，如图，，，相交于点，过点作交于点，则： （1）还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； （2）请找出，和间的关系式，并给出证明． 【解析】（1）成立． 证明： ； （2）关系式为： 证明如下：分别过作于，过作于，过作交的延长线于 由题设可得： 即 又， ． 【点评】此题考查平行线分线段成比例定理的运用． 题型8：三角形一边的平行线—中间比代换 【典例11】．如图，，，则下列式子中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例的性质，即可解答． 【解析】 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，解题关键是熟练运用这个性质得到线段的比例关系． 【典例12】．如图，在△ABC中，点D在边BC上，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（　　）    A．； B．； C．； D．． 【答案】A 【分析】抓住已知条件：GE∥BD， GF∥AC，利用平行线分线段成比例以及中间比代换，对各选项一一判断即可求解. 【解析】∵GE∥BD，∴ ∵GF∥AC，∴ ∴，A选项正确； ∵GE∥BD，∴ ∵GF∥AC，∴ ∴，B选项错误； ∵GE∥BD，∴ ∵GF∥AC，∴ ∴，C选项错误； ∵GE∥BD，∴，D选项错误； 故选：A 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用中间比是解题的关键. 【典例13】．如图，在中，，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例的性质，即可解答． 【解析】 ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，解题关键是熟练运用这个性质得到线段的比例关系． 【典例14】．如图，在中，点,点为边的三等分点，与交于点，则下列比例式正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例的定理去求出各个线段的比例关系，选出正确选项． 【解析】解：A选项错误， ∵点D、点E是AB的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则； B选项错误，无法证明； C选项正确， ∵， ∴， ∵， ∴， 则； D选项错误， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练运用这个定理求出线段的比例关系． 题型9：三角形的重心概念及性质 【典例15】．三角形的重心正确的叙述是（　　） A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三条中垂线的交点 C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点 【答案】C 【分析】根据三角形重心定义判断即可得解． 【解析】三角形的重心是三角形三条中线的交点， 故选：C． 【点睛】此题考查了三角形重心，熟记三角形重心的定义是解题的关键． 【典例16】．如图，在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，熟记重心的性质是解题的关键．根据重心性质可得，从而可得答案． 【解析】解：∵是边上的中线，点是重心， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【典例17】．如图，在中，与交于点G，点G为的重心，点M、N分别在边、上，若，则的值为 ． 【答案】/0.6 【分析】过点B作分别交，于点E，F点，过点D作交于P点，通过构造平行线，灵活运用和这条中线，逐步求解即可． 【解析】如图，过点B作分别交，于点E，F点，过点D作交于P点， ∴为的中位线， ∴点P为的中点， ∵，且， ∴， ∵点G为的重心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形重心和平行线对应边成比例，能够运用三角形的重心将三角形的中线所在的线段分为两部分是解答本题的关键． 【典例18】．如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，点G是△ABC的重心，过点G作GFAB交BC于点F，若EF＝2，那么BC长为 ． 【答案】12 【分析】由三角形的重心及GFAB可知，然后可得BF=4，则有BE=6，进而问题可求解． 【解析】解：∵点G是△ABC的重心，GFAB， ∴， ∵EF＝2， ∴BF=4， ∴BE=6， ∵AE是BC边上的中线， ∴BC=2BE=12， 故答案为12． 【点睛】本题主要考查三角形的重心及平行线所截线段成比例，熟练掌握三角形的重心及平行线所截线段成比例是解题的关键． 题型10：三角形重心的性质的几何应用 【典例19】．已知G是等腰直角的重心，若，则线段CG的长为 ． 【答案】 【分析】根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍解答即可． 【解析】解：如图，∵G是等腰直角△ABC的重心，AC＝BC＝2， ∴CD＝， ∴CG＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，三角形的重心，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍是解题的关键． 【典例20】．如图，在中，中线相交于点G，下列说法错误的是（  ）    A．点G为的重心 B． C．当为等边三角形时， D． 【答案】D 【分析】根据三角形的重心性质可判断选项A、B；根据等边三角形的性质得到，可判断选项C；根据三角形的中线将三角形的面积平分可判断选项D． 【解析】解：A、∵的中线相交于点G， ∴点G为的重心，故选项A正确，不符合题意； B、∵点G 为的重心， ∴，即，故选项B正确，不符合题意； C、∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴，故选项C正确，不符合题意； D、∵， ∴，则， ∴，故选项D错误，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的重心性质、等边三角形的性质、三角形的中线性质，解答的关键是熟练掌握三角形的中线性质和重心性质：三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 【典例21】．如图，点为的重心，连接，则 ．    【答案】 【分析】三角形的重心是三边中线的交点，根据重心分中线的线段关系（即）即可求解． 【解析】解：∵点为的重心，即是的中线， ∴， 如图所示，过点作于点，    ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形中线，三角形重心的知识的综合，掌握三角形重心的定义和性质是解题的关键． 【典例22】．如图，在△ABC中，中线BF、CE交于点G，且CE⊥BF，如果，，那么线段CE的长是 ．    【答案】 【分析】根据题意得到点G是△ABC的重心，根据重心的性质得到DG=AD，CG=CE，BG=BF，D是BC的中点，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得BC=5，再根据勾股定理求出GC即可解答.． 【解析】解：延长AG交BC于D点，    ∵中线BF、CE交于点G， ∵△ABC的两条中线AD、CE交于点G， ∴点G是△ABC的重心，D是BC的中点， ∴AG=AD，CG=CE，BG=BF， ∵，， ∴,. ∵CE⊥BF，即∠BGC=90°， ∴BC=2DG=5， 在Rt△BGC中，CG=， ∴， 故答案为：. 【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．理解三角形重心的性质是解题的关键. 题型11：由三角形重心的性质求点的坐标 【典例23】．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，则重心的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的重心的概念和性质、坐标与图形性质等知识点，根据三角形的重心的概念作出重心，根据重心的性质得到，然后根据平行线分线段成比例定理计算即可．掌握重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键． 【解析】解：∵， ∴点O是的中点， 如图：连接，作中线交于G，则点G是的重心， ∴， 如图：作于E，于F，则， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴△ABC重心的坐标是， 故答案为． 一、单选题 1．如图，在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，熟记重心的性质是解题的关键．根据重心性质可得，从而可得答案． 【解析】解：∵是边上的中线，点是重心， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．如图，P是重心，且经过点P，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据重心可得，结合可得，即可得到答案； 【解析】解：∵P是重心， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查平行线所截线段对应成比例，三角形重心的性质，解题的关键是熟知三角形重心到顶点距离与到顶点对边中点的距离比为． 3．如图，在中，，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例的性质，即可解答． 【解析】 ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，解题关键是熟练运用这个性质得到线段的比例关系． 4．如图，在△ABC中，点D在边BC上，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（　　）    A．； B．； C．； D．． 【答案】A 【分析】抓住已知条件：GE∥BD， GF∥AC，利用平行线分线段成比例以及中间比代换，对各选项一一判断即可求解. 【解析】∵GE∥BD，∴ ∵GF∥AC，∴ ∴，A选项正确； ∵GE∥BD，∴ ∵GF∥AC，∴ ∴，B选项错误； ∵GE∥BD，∴ ∵GF∥AC，∴ ∴，C选项错误； ∵GE∥BD，∴，D选项错误； 故选：A 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用中间比是解题的关键. 5．如图，是的中线，E是上一点，，的延长线交于F，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作交于，根据是中点可得,根据平行线分线段成比例可得,有已知条件可得,进而可得． 【解析】解：作交于， 是的中线， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选A． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，三角形中线的性质，比例的性质，添加辅助线是解题的关键． 6．如图，在△ABC中，点D为AB上一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，过点E作AB的平行线交BC于点F，连接CD，交EF于点K，则下列说法正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用相似三角形的判定和性质以及平行线分线段成比例定理证明即可； 【解析】∵DE∥CF， ∴△DEK∽△CFK， ∴， ∵EK∥AD， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识． 7．如图，在中，中线相交于点G，下列说法错误的是（  ）    A．点G为的重心 B． C．当为等边三角形时， D． 【答案】D 【分析】根据三角形的重心性质可判断选项A、B；根据等边三角形的性质得到，可判断选项C；根据三角形的中线将三角形的面积平分可判断选项D． 【解析】解：A、∵的中线相交于点G， ∴点G为的重心，故选项A正确，不符合题意； B、∵点G 为的重心， ∴，即，故选项B正确，不符合题意； C、∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴，故选项C正确，不符合题意； D、∵， ∴，则， ∴，故选项D错误，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的重心性质、等边三角形的性质、三角形的中线性质，解答的关键是熟练掌握三角形的中线性质和重心性质：三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 8．如图，平行四边形中，连接，在的延长线上取一点，点为的中点，连接，交、分别为点、点，则下列结论错误的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行四边形的性质以及平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴故A正确，不符合题意； ∵， ∴， 又∵． ∴，故B正确，不符合题意； ∴， ∴，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵与不一定相等，不一定等于， 而，故D错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】考核知识点∶ 相似三角形的判定与性质．理解性质是关键． 9．如图，在中，，点M在边上，线段沿着过M的直线折叠，点C恰巧落在边上的点N处．如果，，那么a与b满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线分线段成比例定理，过点M作于D，由折叠的性质可得，则，，证明，再证明，得到，即可得到． 【解析】解：如图所示，过点M作于D， 由折叠的性质可得， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10．如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线，全等三角形．熟练掌握平行线分线段成比例，全等三角形的判定与性质，是解决问题的关键． 先根据平行线性质和中点性质证明，再证明，从而可得答案． 【解析】如图，设与的交点为G， ∵点M是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题 11．在中，，点是重心，如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了重心的定义与性质，结合勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，关键是掌握重心性质并运用勾股定理列式求解是解题关键．本题先利用重心求出和，再利用勾股定理列式整体法求出，最后利用直角三角形斜边中线性质和重心性质求出． 【解析】解：如图，设延长线交于点，延长线交于点，延长线交于点， ∵点是重心，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ①+②得：， 化简得：， ∴， ∴， ∵点是重心，， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，点G是△ABC的重心，GH⊥BC，垂足是H，则GH的长为 ． 【答案】2 【分析】如图，连接AG并延长AG交BC于D，由重心的性质可知，可得，由GH⊥BC，∠ACB=90°可得GH//BC，根据平行线分线段成比例定理即可得答案． 【解析】如图，连接AG并延长AG交BC于D， ∵点G是△ABC的重心， ∴AG=2GD，即， ∴， ∵由GH⊥BC，∠ACB=90°， ∴GH//BC， ∴， ∵AC=6， ∴GH=AC·=6×=2， 故答案为：2 【点睛】此题考查的是重心的性质和平行线分线段成比例定理，掌握重心的性质，根据平行线分线段成比例定理列比例式是解决此题的关键． 13．如图，已知E是AC的中点，C是BD的中点，那么＝ ． 【答案】 【分析】过点C作，交DF于点G，根据平行线分线段成比例定理可得，，由此即可求得答案． 【解析】解：如图，过点C作，交DF于点G， ∵，E是AC的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，C是BD的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，熟练掌握平行线分线段成比例定理并能作出正确的辅助线是解决本题的关键． 14．如图，已知梯形中，，对角线与中位线交于点，如果，，那么 ． 【答案】/3.5 【分析】根据梯形中位线的性质得到，因为，，则，在根据平行线分线段成比例得到是的中点，从而利用三角形中位线的性质即可得到即可确定答案． 【解析】解：梯形中，，梯形的中位线为， ，， ，， ， ，是的中点， 由平行线分线段成比例得到， ， 为的中位线，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查求线段长，涉及梯形中位线的性质、平行线分线段成比例、三角形中位线的判定与性质，熟练掌握中位线的性质及平行线分线段成比例是解决问题的关键． 15．如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为3和2，且B、C、E在一直线上，AE与CF交于点P，则 ． 【答案】 【分析】由CH∥AB，推出，即，再由CH∥EF，推出，即可求解． 【解析】∵正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为3和2，且B、C、E在一直线上， ∴EF=CE=2，AB=BC=3，BE=2+3=5，CH∥EF，CH∥AB， 由CH∥AB， ∴，即， ∴CH=， 由CH∥EF， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理，正确的识别图形是解题的关键． 16．如图，AD//EF//GH//PQ//BC，AE=EG=GP=PB，AD=2，BC=10，则EF长为 【答案】4 【分析】过点D作AB的平行线，把线段分在所得的平行四边形和三角形两部分中，利用平行线所夹线段成比例的性质可以求解． 【解析】解：过点D作DM∥AB，交BC于点M，交EF、GH、PQ分别于点N、K、O， ∵AD∥BC，AB∥DM， ∴ABMD为平行四边形， 又AD∥EF∥GH∥PQ∥BC， 同理得到四边形AEND、AGKD、APOD都为平行四边形， ∴AD＝BM＝EN＝PO＝2， ∴CM＝8， ∵EF∥BC， AE＝EG＝GP＝PB， ∴， ∴NF＝2， ∴EF＝EN＋NF＝4， 故答案为4. 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，属于比较基础的题目，合理作出辅助线求解即可． 17．如图的中线AD、BE相交于点G，过点G作交BC于点H，如果，那么 ． 【答案】6 【分析】根据三角形重心的性质和平行线分线段成比例解答即可． 【解析】解：的中线AD、BE相交于点G， ， ， ， ， 故答案为6 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例和三角形的重心的概念和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键． 18．如图，点是反比例函数上的点，过作轴，连接交于点，若，且的面积为5，则的值为 .    【答案】20 【分析】本题考查反比例函数的性质，数形结合思想以及运算求解能力，过点A作轴于点E，设，分析可知，结合的面积为5，可得，进而得解． 【解析】解：如图，过点A作轴于点E，    ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴，则， ∵点A是反比例函数上的点， ∴设， ∴，则， 将代入得：， 解得：， ∴， ∵的面积为5， ∴，整理得，， 解得． 故答案为：20． 19．新定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做等高底三角形，这条边叫做等底．如图，是等高底三角形，是等底，点关于直线的对称点是点，连接，如果点是的重心，那么的值是 ．    【答案】/ 【分析】延长与交于点，根据轴对称性质得，，，再由是等高底三角形，是等底，得，再根据三角形的重心定理得，设，则，由勾股定理用表示，进而计算的值便可． 【解析】解：延长与交于点，如图所示：    点A关于直线的对称点是点， ，，， 是等高底三角形，是等底， ， 点是的重心， ， 设，则， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了对称变换，三角形的重心性质，新定义，关键是根据三角形的重心性质得出与的数量关系． 20．折纸游戏：小明剪出一个直角三角形的纸片，其中，，，找出的中点，在上找任意一点，以为对称轴折叠，得到，点的对应点为点，小明发现，当点的位置不同时，与的三边位置关系也不同，请帮小明解决问题：当时，的长为 ． 【答案】或 【分析】分情况讨论，于没有交点时和于有交点时，根据含角的直角三角形的性质，结合平行线分线段成比例，即可求解． 【解析】解：是直角三角形，，， ，， ①如图，当时，设的延长线交于点，则， ， ， 由翻折的性质可知，，， ， 又点是的中点， ， ，即， ； ②如图，当时，设交于点，则， 同理可得，， ， ，即， ； 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了翻折的性质，中点的性质，含角的直角三角形的性质，平行线分线段成比例，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 三、解答题 21．如图，点是的重心．      (1)________； (2)若，求长． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查的是三角形重心的性质． （1）由点为的重心，可知是的中线，进而即可求解； （2）由三角形重心可得，进而即可求解． 掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点是解决问题的关键． 【解析】（1）解：∵点为的重心（即：点为三条中线、、的交点）， ∴，则， 故答案为：； （2）∵点为的重心，    ∴由三角形中线性质可得：，，， 则：，， ∴，， ∴， 则，即：， ∵， ∴， 22．如图，G为的重心，，求的值．    【答案】24 【分析】G为的重心，判断出点是边的中点，即可判断出；即可得出，求出即可得出结论． 【解析】解： 点为的重心， ， ∴ ， ， 点为的重心， 点是边的中点， ； 点为的重心， ， ， ， ∴． 【点睛】此题主要考查了三角形的重心的性质和应用以及相似，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：重心就是三条中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 23．如图，已知，它们依次交直线、、于点A、B、C和点D、E、F和点Q、H、P，与相交于的中点G，若． (1)如果，求的长； (2)在（1）的条件下，如果，求的长． 【答案】(1)4，14 (2)15 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出是解决问题的关键． （1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出，即可求出的长，得出的长； （2）由平行线分线段成比例定理，得出，由平行线分线段成比例定理得出，再代入求得结果． 【解析】（1）∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴； （2）∵点G是的中点，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 24．如图，在中，对角线和相交于点，，，． (1)求证：是菱形； (2)延长至点，连接交于点，若．求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定以及平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形，且，则，即可得出结论； （2）过点作，交于点，则，得，由菱形的性质得，，再证，得，然后由平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，，， ，， ， ， 是直角三角形，且， ， 是菱形； （2）解：如图，过点作，交于点， 则， ， 由（1）可知，是菱形， ，， ， ，， ， ， ， ， ． 25．如图，已知四边形是菱形，点E是对角线上的一点，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，得出，根据平行线的性质得出，即可证明结论； （2）根据平行线分线段成比例定理进行证明即可． 【解析】（1）证明：由菱形可得，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合． 26．阅读材料： 角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则． 下面是这个定理的部分证明过程： 证明：如图2，过点C作，交的延长线于点E．…… 解决问题： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余过程； (2)如图3，在中，是角平分线，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． （1）过点作，交的延长线于点，由，可求证，，，可得，即可求解； （2）根据（1）中的结论即可求解． 【解析】（1）证明：∵， ∴，，． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵是角平分线， ∴． ∵，，， ∴，解得，经检验符合题意． 故的长为． 27．如图1，在中，截线交于点，交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若截线经过的重心点，如图2，利用（1）中的结论，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理： （1）过点C作交于点G，根据平行线分线段成比例定理可得结论； （2）由（1）得，，相加可得结论． 【解析】（1）证明：过点C作交于点G，如图， ∴，， ∴． （2）证明：如图，连接并延长交于点， 由截可得，则， 由截可得，则； ∵点是的重心， ∴为边上的中线，且， ∴． 28．如图1，在中，，点D在上，点E在上，，延长到F，使得，过点F作，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)如图2，当点D与点B重合，且，求证：点B为的重心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形重心，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）证明，即可得出结论； （2）证明，得到，当点D与点B重合时，得出，进而得出平分，再由等腰三角形三线合一的性质，得到，由三角形重心的定义即可证明结论． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：在和中， ， ∴， ∴， 当点D与点B重合时， ∵，， ∴， 由（1）知，即， ∴平分， ∵， ∴， ∴边的中线与边的中线交于点， ∴点B为的重心． 29．在中，，，点为直线上一个动点（点不与点，重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得线段，连接，    (1)如图1，若点在线段上， ①依题意补全图1； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明 (2)若点在线段的延长线上，且，设，，直接写出的长（用含，的式子表示）； 【答案】(1)①见解析；②，证明见解析 (2) 【分析】（1）①根据题意补充图形，即可求解； ②过点作交于点，证明，得出，进而即可求解； （2）过点作交的延长线于点，同（1）的方法证明，得出，进而根据平行线分线段成比例得出，则，进而在中，勾股定理即可得出结论． 【解析】（1）解：①如图所示，    ②， 证明：如图所示，过点作交于点，    ∵在中，，， ∴，则是等腰直角三角形， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得线段，则， ∴，， ∴ ∴ ∴ 即 （2）解：如图所示，过点作交的延长线于点，    ∵在中，，， ∴，则是等腰直角三角形， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得线段，则， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， 在中，，， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 54 页 共 54 页 学科网（北京）股份有限公司 $$