第04讲 三角形一边的平行线（第1课时）（三类知识点+十大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（沪教版）

第04讲 三角形一边的平行线（第1课时）（十大题型） 学习目标 1、掌握三角形一边的平行线性质定理及推论； 2、学会三角形一边的平行线判定定理及推论； 3、了解平行线分线段成比例定理。 一、三角形一边的平行线性质定理及推论 1.性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例. 2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 【规律方法】(1)主要的基本图形：分A型和X型； A型 X型 （2）常用的比例式： 对应线段成比例可用下面的语言形象表示： 等等. 【即学即练1】如图，中，，，，，则的长度为（    ） A．2 B．6 C．3 D．4 【即学即练2】如图，在中，点分别在边的反向延长线上，且．若，，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 二、三角形一边的平行线判定定理及推论 1.判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 2.推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 【规律方法】判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线的对应线段成比例(被判断的平行线本身不能参与作比例). 【即学即练1】如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、BC上的点，下列条件中，不一定能得DE∥AC的条件是（     A． B． C． D． 三、平行线分线段成比例定理 1.性质定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例. 2.平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等. 已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式 成立. 【规律方法】 （1）平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例； （2）平行线分线段成比例没有逆定理； (3) 由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与作比例，因此，有关平行线段的计算问题通常转化到“A”、“X”型中. 【即学即练1】如图，直线AD、BC交于点O，，若，，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 题型1：三角形一边的平行线性质定理及推论—A字型 【典例1】．如图，在△ABC中，DEBC，若，则等于(        ) A． B． C． D． 【典例2】．如图，在中，点、分别在、上，连接，，则的长为（    ） A． B． C． D．2 【典例3】．如图，，，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．10 【典例4】．已知：如下图，，，，，则 ． 【典例5】．如图，在中，，则的长为 ． 【典例6】．如图，在中，若，，，则的长是 ． 题型2：三角形一边的平行线性质定理及推论—X字型 【典例7】．如图，已知，那么（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【典例8】．如图，已知，点D，E分别在边，的反向延长线上，且．若，，，则AB为(   ) A．5 B．8 C．10 D．15 【典例9】．如图，在中，点分别在边的反向延长线上，且．若，，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 题型3：三角形一边的平行线性质定理及推论—数学语言描述题 【典例10】．在中，点、分别在直线、上，如果，，，，那么 ． 【典例11】．在中，点、分别在线段、的延长线上，平行于，，，，那么 ． 题型4：类A、类X字型 【典例12】．如图，，，，那么 ． 【典例13】．已知，如图，点、和、分别在的边、上，且，若，则 ． 【典例14】．如图，点A、B、C和点D、E、F分别位于同一条直线上，如果，且，，那么 . 题型5：三角形一边的平行线判定定理及推论 【典例15】．已知线段、、，求作线段，使，正确的作法是（   ） A． B． C．D． 【典例16】．如图，点D、E位于的两边上，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【典例17】．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、BC上的点，下列条件中，不一定能得DE∥AC的条件是（     A． B． C． D． 【典例18】．在中，点、分别在边、上，，那么下列条件中能够判断的是（    ） A． B． C． D． 【典例19】．如图，、相交于点，下列条件中能判断∥的是（ ） A． B． C． D． 题型6：平行线分线段成比例定理—梯子型 【典例20】．如图，，则的长为 ．    【典例21】．如图，已知直线，直线、与、、分别交于点、、和、、，如果，，，那么 ．    题型7：平行线分线段成比例定理—梯子交叉型 【典例22】．如图，，，，，则 ．    【典例23】．如图，，它们依次交直线，于点，，和点，，．如果，，那么的值是 ．    【典例24】．如图，，，，，那么 ．    题型8：平行线分线段成比例定理—其他类型 【典例25】．如图，五线谱是由等距离的五条平行横线组成的．如果直线上的三个点都在横线上，且两点间的距离为4，那么两点间的距离为 ． 【典例26】．如图，梯形中，，，，则 ．    题型9：几何应用 【典例27】．如图，在中，，，，点在上（与点、不重合），点在上，，当的周长与四边形的周长相等时，求的长．    【典例28】．如图，点D、E分别在的边、上，．如果，．求． 题型10：综合解答题 【典例29】．已知线段、、c（如图），求作线段，使．（不要求写作法）    【典例30】．如图，已知△ABC中，点E、F分别在△ABC的边AB、AC上，EF∥BC，AE＝2BE，S△ABC＝1，求S△CEF的值． 【典例31】．如图，在中，平分交于点，交于点，，，，求和的长． 【典例32】．如图，直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且，已知，．    (1)求的长； (2)当，时，求的长． 一、单选题 1．如图，在中，，则的长是（    ） A．36 B． C．20 D．15 2．如图，已知，点D，E分别在边，的反向延长线上，且．若，，，则AB为(   ) A．5 B．8 C．10 D．15 3．中，D、E分别是边、上的点，下列各式中，能判断的是（    ） A． B． C． D． 4．已知线段a，b，c，求作线段x，使得，下列作图正确的是（    ） A．  B．  C．  D．   5．如图，已知直线，分别交直线于点A，B，C和点D，E，F，若，则（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 6．如图，直线，直线和分别与相交于A、B、C和D、E、F，若，则下列各式中，正确的是（    ）    A． B． C． D． 7．如图，已知，它们依次交直线于点A、B、C和点D、E、F，如果，那么的长等于（　　）    A．2 B．4 C． D． 8．如图，梯形中，，点、分别在腰、上，且，下列比例成立的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，平行四边形中，连接，在的延长线上取一点，点为的中点，连接，交、分别为点、点，则下列结论错误的是（    ）． A． B． C． D． 10．已知正方形的边长为，延长到点，使，取的中点，连接、，与的延长线相交于点，则的长为（　　）    A． B． C． D． 二、填空题 11．在中，点在直线上，过点作，交直线于点，若，，则的值是 ． 12．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，AB＝12cm，AE＝11cm，CE＝4cm，那么DB＝ cm． 13．如图，已知直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1l2l3，AB＝4，AC＝6，DF＝10，则DE＝ ． 14．点、分别是的边、的反向延长线上的点，如果，当的值是 时，． 15．如图，已知梯形中，，对角线与中位线交于点，如果，，那么 ． 16．如图，在中，点E、D在边AC上，点F、M在边AB上，且，，如果FD的延长线交BC的延长线于N，那么的值为 ． 17．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕EF与AC相交于点O，连接BO．若AB＝4，CF＝5，则OB的长为 ． 18．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4．若进行以下操作，在边BC上从左到右依次取点D1、D2、D3、D4，过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E1、F2；过点D2作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E2、F2；过点D3作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E3、F3，则4（D1E1+D2E2+…+D2020E2020）+5（D1F1+D2F2+…+D2020F2020）＝ ． 三、解答题 19．如图，已知，与相交于点．若，，求的长． 20．如图，，，，，求、的长． 21．我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义． (1)如图1已知小明的身高是1.6米，他在路灯AB下的影子长为2米，此时小明距路灯灯杆的底部3米，求灯杆AB的高度； (2)如图2现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度． 22．如图，已知，它们依次交直线、、于点A、B、C和点D、E、F和点Q、H、P，与相交于的中点G，若． (1)如果，求的长； (2)在（1）的条件下，如果，求的长． 23．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD，点E、F分别在边BC、CD上，且BE＝DF＝AD，联结DE，联结AF、BF分别与DE交于点G、P． （1）求证：AB＝BF； （2）如果BE＝2EC，求证：DG＝GE． 24．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴的正半轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，且AB＝BC，点C的纵坐标为4． （1）求直线AB的表达式； （2）过点B作BD//x轴，交反比例函数y＝的图象于点D，求线段CD的长度． 25．如图1，梯形ABCD中，，，，，，点P是AD延长线上一点，F为DC的中点，连接BP，交线段DF于点G． (1)当时，求DP的长． (2)如图2，点E为BP中点，连接EF． ①若设，，求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围． ②连接DE和PF，若，求DP长. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 三角形一边的平行线（第1课时）（十大题型） 学习目标 1、掌握三角形一边的平行线性质定理及推论； 2、学会三角形一边的平行线判定定理及推论； 3、了解平行线分线段成比例定理。 一、三角形一边的平行线性质定理及推论 1.性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例. 2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 【规律方法】(1)主要的基本图形：分A型和X型； A型 X型 （2）常用的比例式： 对应线段成比例可用下面的语言形象表示： 等等. 【即学即练1】如图，中，，，，，则的长度为（    ） A．2 B．6 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 运用平行线分线段成比例定理即可求解． 【解析】解：， , 又，，， ， ， ∴， 故选：B． 【即学即练2】如图，在中，点分别在边的反向延长线上，且．若，，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求解． 【解析】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关定理是解本题的关键． 二、三角形一边的平行线判定定理及推论 1.判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 2.推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 【规律方法】判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线的对应线段成比例(被判断的平行线本身不能参与作比例). 【即学即练1】如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、BC上的点，下列条件中，不一定能得DE∥AC的条件是（     A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可． 【解析】解：A、，，，选项不符合题意； B、，不能判定，选项符合题意； C、，，选项不符合题意； D、，，，选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，熟悉相关性质是解题的关键． 三、平行线分线段成比例定理 1.性质定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例. 2.平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等. 已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式 成立. 【规律方法】 （1）平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例； （2）平行线分线段成比例没有逆定理； (3) 由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与作比例，因此，有关平行线段的计算问题通常转化到“A”、“X”型中. 【即学即练1】如图，直线AD、BC交于点O，，若，，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，掌握两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例是解答本题的关键．由线段的和差可得，再根据平行线等分线段定理可得即可解答． 【解析】解：∵，， ∴ ∵，， ∴． 故选A． 题型1：三角形一边的平行线性质定理及推论—A字型 【典例1】．如图，在△ABC中，DEBC，若，则等于(        ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵DEBC， ∴， 故选C． 【点睛】考点：平行线分线段成比例． 【典例2】．如图，在中，点、分别在、上，连接，，则的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例得出，代入数据即可求解． 【解析】解：∵， ∴， 即， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，找准对应边是解题的关键． 【典例3】．如图，，，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．10 【答案】B 【分析】利用平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例的性质可计算出的长． 【解析】解：∵， ∴，即， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理．掌握平行线分线段成比例定理是解答本题的关键． 【典例4】．已知：如下图，，，，，则 ． 【答案】8 【分析】根据平行线分线段成比例求出，减去可得结果． 【解析】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是能根据平行线得出正确的比例式． 【典例5】．如图，在中，，则的长为 ． 【答案】10 【分析】根据平行线分线段成比例可得，即，求，根据求即可． 【解析】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【典例6】．如图，在中，若，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】利用平行线分线段成比例定理进行求解即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例定理是解题的关键． 题型2：三角形一边的平行线性质定理及推论—X字型 【典例7】．如图，已知，那么（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由平行线分线段成比例定理，得到；利用AO、BO、CO的长度，求出DO的长度即可解决问题． 【解析】解：∵AB∥CD， ∴； ∵AO=2，CO=6，BO=3， ∴， 解得：DO=4， 故选B. 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是读懂题意，掌握平行线分线段成比例. 【典例8】．如图，已知，点D，E分别在边，的反向延长线上，且．若，，，则AB为(   ) A．5 B．8 C．10 D．15 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【解析】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式是解本题的关键． 【典例9】．如图，在中，点分别在边的反向延长线上，且．若，，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求解． 【解析】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关定理是解本题的关键． 【典例10】．在中，点、分别在直线、上，如果，，，，那么 ． 【答案】4 【分析】根据平行线分线段陈比例定理求解即可． 【解析】解：作如下图： ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】此题考查了平行线分线段陈比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段陈比例定理． 题型3：三角形一边的平行线性质定理及推论—数学语言描述题 【典例11】．在中，点、分别在线段、的延长线上，平行于，，，，那么 ． 【答案】 【分析】根据平行线分线段陈比例定理求解即可． 【解析】∵ ∴ ∵，，， ∴ ∴ 故答案为：8． 【点睛】此题考查了平行线分线段陈比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段陈比例定理． 题型4：类A、类X字型 【典例12】．如图，，，，那么 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理和比例的基本性质，熟练掌握性质并用其求解是基本要求．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，再根据比例的基本性质进行计算． 【解析】∵，，， ∴，即 ∴． 故答案为：6． 【典例13】．已知，如图，点、和、分别在的边、上，且，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，解答本题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理得到，于是得到，即可得到结论． 【解析】解：，， ， ， 故答案为：． 【典例14】．如图，点A、B、C和点D、E、F分别位于同一条直线上，如果，且，，那么 . 【答案】6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例得比值是解题的关键． 【解析】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：6． 题型5：三角形一边的平行线判定定理及推论 【典例15】．已知线段、、，求作线段，使，正确的作法是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【解析】解：A、由平行线分线段成比例可得，故A选项错误； B、由平行线分线段成比例可得，故B选项正确； C、由平行线分线段成比例可得，故C选项错误； D、由平行线分线段成比例可得，故D选项错误； 故选：B． 【点睛】此题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列比例式是解决此题的关键． 【典例16】．如图，点D、E位于的两边上，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据选项选出能推出对应线段成比例的即可． 【解析】解：∵AD•CE＝AE•BD， ∴， ∴DEBC， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【典例17】．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、BC上的点，下列条件中，不一定能得DE∥AC的条件是（     A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可． 【解析】解：A、，，，选项不符合题意； B、，不能判定，选项符合题意； C、，，选项不符合题意； D、，，，选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，熟悉相关性质是解题的关键． 【典例18】．在中，点、分别在边、上，，那么下列条件中能够判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可先假设，由平行得出其对应线段成比例，进而可得出结论． 【解析】如图， 可假设， ∵ ∴，故A选项错误， ，故D选项错误； 反过来，当时，不能得到，故B选项错误； 当时，能得到，故C选项正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了由平行线分线段成比例来判定两条直线是平行线的问题，能够熟练掌握并运用． 【典例19】．如图，、相交于点，下列条件中能判断∥的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理对各项分析判断后利用排除法求解. 【解析】A.AO与DO，BO与CO不是对应线段，不能判定CD∥AB，故错误； B.AO与CO，AB与CD不是对应线段，不能判定CD∥AB，故错误； C. 能判定CD∥AB，故错误； D.能判定CD∥AB，正确； 故选D. 【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是根据图形进行分别判断. 题型6：平行线分线段成比例定理—梯子型 【典例20】．如图，，则的长为 ．    【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例，得出，进而，即可求解． 【解析】解：∵ ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 【典例21】．如图，已知直线，直线、与、、分别交于点、、和、、，如果，，，那么 ．    【答案】2 【分析】由，可得，再代入数据可得答案． 【解析】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：2 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，熟记平行线分线段成比例并灵活应用是解本题的关键． 题型7：平行线分线段成比例定理—梯子交叉型 【典例22】．如图，，，，，则 ．    【答案】 【分析】根据已知平行线得到，然后带入求值即可． 【解析】解：， ， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线找到对应成比例线段是解答本题的关键． 【典例23】．如图，，它们依次交直线，于点，，和点，，．如果，，那么的值是 ．    【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例可得，代入可求得答案． 【解析】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． 【典例24】．如图，，，，，那么 ．    【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，则，然后利用可计算出的长． 【解析】解：∵，，， ∴，即：， ∵，且， ∴， 可得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 题型8：平行线分线段成比例定理—其他类型 【典例25】．如图，五线谱是由等距离的五条平行横线组成的．如果直线上的三个点都在横线上，且两点间的距离为4，那么两点间的距离为 ． 【答案】2 【分析】过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于点，交点所在的平行横线于点，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，求解即可． 【解析】解：如下图，过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于点，交点所在的平行横线于点， 则，即， 解得 ． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用平行线分线段成比例定理，找准等量关系是解题关键． 【典例26】．如图，梯形中，，，，则 ．    【答案】4 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，再根据比例的基本性质进行计算． 【解析】解：∵ ∴ ，，， ， , 故答案为：4． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理和比例的基本性质． 题型9：几何应用 【典例27】．如图，在中，，，，点在上（与点、不重合），点在上，，当的周长与四边形的周长相等时，求的长．    【答案】 【分析】结合的周长与四边形的周长相等，可得，再由勾股定理可得，易得，然后根据“平行线分线段成比例定理”求解即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 【典例28】．如图，点D、E分别在的边、上，．如果，．求． 【答案】3 【分析】设,则可得出，的面积之比，再将的值代入，即可得出答案； 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，又，， ∴， ∴，（舍）， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解一元二次方程，结合同高的三角形面积比等于底边的比，解题关键结合图形正确写出对应线段． 题型10：综合解答题 【典例29】．已知线段、、c（如图），求作线段，使．（不要求写作法）    【答案】见解析 【分析】先作，再在的边上依次截取，，在边上截取，连接，作，角的一边交于，可得，可得，从而得到线段即为所求作的线段． 【解析】解：∵， ∴． 作图如下：     线段就是所求的线段x． 【点睛】本题考查的是作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，平行线的判定，比例的基本性质，平行线分线段成比例，熟练的利用平行线分线段成比例并应用于作图是解本题的关键． 【典例30】．如图，已知△ABC中，点E、F分别在△ABC的边AB、AC上，EF∥BC，AE＝2BE，S△ABC＝1，求S△CEF的值． 【答案】 【分析】根据AE＝2BE，S△ABC＝1，便可计算S△AEC的面积，根据平行线分线段成比例定理，可得的比值，最后便可求解． 【解析】解：∵AE＝2BE，S△ABC＝1， ∴S△AEC＝， ∵EFBC， ∴， ∴， 即S△CEF的值为． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，以及三角形面积的求法（当高相同时，三角形的面积等于底之比），属于基础题． 【典例31】．如图，在中，平分交于点，交于点，，，，求和的长． 【答案】， 【分析】根据平行线分线段成比例，可得，求出，从而得到的长．根据等腰三角形的性质得到，再由平行线分线段成比例，可得，得到的长． 【解析】解：， ， 又，，， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 【点睛】本题综合考查了平行线的性质，平行线分线段成比例，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是找准对应关系，避免错误． 【典例32】．如图，直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且，已知，．    (1)求的长； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)9 (2)4 【分析】(1)利用平行线分线段成比例定理求得，可求得的长，进一步可求得的长． (2) 利用平行线性质得到,则，即，可求得的长，然后可求得的长，然后再利用求得的长． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，    ∴， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 一、单选题 1．如图，在中，，则的长是（    ） A．36 B． C．20 D．15 【答案】B 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，根据平行线分线段成比例定理即可解决问题． 【解析】解：∵， ∴， 即， ， 故选：B． 2．如图，已知，点D，E分别在边，的反向延长线上，且．若，，，则AB为(   ) A．5 B．8 C．10 D．15 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【解析】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式是解本题的关键． 3．中，D、E分别是边、上的点，下列各式中，能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线被第三条线段所截，对应线段成比例，两直线平行逐项判断即可．掌握“如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三条边”是解题的关键． 【解析】   A选项：由可得，但不能得到； B选项：由不一定得到； C选项：由可得； D选项：由不一定得到． 故选：C 4．已知线段a，b，c，求作线段x，使得，下列作图正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】结合题中线段的平行关系，得出对应边成比例，逐项分析即可． 【解析】解：A、图中线段满足，故不合题意； B、图中线段满足，故符合题意； C、图中线段满足，故不合题意； D、图中线段满足，故不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理，找准对应关系是解题的关键． 5．如图，已知直线，分别交直线于点A，B，C和点D，E，F，若，则（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，由此求出的长即可求出的长． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选C． 6．如图，直线，直线和分别与相交于A、B、C和D、E、F，若，则下列各式中，正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，然后代入数值即可得到结论． 【解析】解：∵直线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，注意：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例． 7．如图，已知，它们依次交直线于点A、B、C和点D、E、F，如果，那么的长等于（　　）    A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】由平行线分线段成比例定理即可求解． 【解析】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握这一定理是关键，注意定理中要求线段是对应的． 8．如图，梯形中，，点、分别在腰、上，且，下列比例成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，即可得到结论． 【解析】解：∵，， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线所分线段对应成比例是解题的关键． 9．如图，平行四边形中，连接，在的延长线上取一点，点为的中点，连接，交、分别为点、点，则下列结论错误的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行四边形的性质以及平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴故A正确，不符合题意； ∵， ∴， 又∵． ∴，故B正确，不符合题意； ∴， ∴，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵与不一定相等，不一定等于， 而，故D错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】考核知识点∶ 相似三角形的判定与性质．理解性质是关键． 10．已知正方形的边长为，延长到点，使，取的中点，连接、，与的延长线相交于点，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，交于点，连接，根据平行线等分线段定理的推论证得，在中，根据勾股定理可求出，，再在中根据勾股定理即可求出． 【解析】解：过点作，交于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵正方形的边长为，， ∴，， ∴， ， ， ∴，， ∴． 故选：B．    【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，正方形的性质，等边对等角，勾股定理，中点的定义等知识．通过作辅助线并根据平行线等分线段定理证明是解题关键． 二、填空题 11．在中，点在直线上，过点作，交直线于点，若，，则的值是 ． 【答案】/0.5 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，理解并掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．首先解得的值，再结合，由求解即可． 【解析】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 12．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，AB＝12cm，AE＝11cm，CE＝4cm，那么DB＝ cm． 【答案】/3.2 【分析】根据DE∥BC截线段成比例，可得，由AD=AB-BD=12-BD，，解方程即可． 【解析】解：∵DE∥BC， ∴， ∵AD=AB-BD=12-BD，AE＝11cm，CE＝4cm， ∴， 解得BD=cm． 故答案为． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活掌握平行线分线段成比例定理是解题关键． 13．如图，已知直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1l2l3，AB＝4，AC＝6，DF＝10，则DE＝ ． 【答案】 【分析】直接根据平行线分线段成比例定理得到，然后根据比例的性质可计算出DE的长． 【解析】解：∵l1l2l3， ∴，即， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．掌握平行线分线段成比例是解题关键． 14．点、分别是的边、的反向延长线上的点，如果，当的值是 时，． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例的逆定理分析即可． 【解析】解：∵要使DE∥BC，则需=，∴=． 故答案为． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的逆定理，牢记定理是解答此题的关键． 15．如图，已知梯形中，，对角线与中位线交于点，如果，，那么 ． 【答案】/3.5 【分析】根据梯形中位线的性质得到，因为，，则，在根据平行线分线段成比例得到是的中点，从而利用三角形中位线的性质即可得到即可确定答案． 【解析】解：梯形中，，梯形的中位线为， ，， ，， ， ，是的中点， 由平行线分线段成比例得到， ， 为的中位线，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查求线段长，涉及梯形中位线的性质、平行线分线段成比例、三角形中位线的判定与性质，熟练掌握中位线的性质及平行线分线段成比例是解决问题的关键． 16．如图，在中，点E、D在边AC上，点F、M在边AB上，且，，如果FD的延长线交BC的延长线于N，那么的值为 ． 【答案】 【分析】首先证明EF：BC=1：3，再利用全等三角形的性质证明即可解决问题． 【解析】解：，， ， 又，， ≌， ， ：：3， ：：4， ， 故答案为． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 17．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕EF与AC相交于点O，连接BO．若AB＝4，CF＝5，则OB的长为 ． 【答案】2 【分析】连接AF，过O作OH⊥BC于H，由将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕EF与AC相交于点O，可得AF＝CF＝5，BF＝＝3，BC＝BF＋CF＝8，根据折叠证明出OH是△ABC的中位线，故BH＝BC＝4，OH＝AB＝2，在Rt△BOH中，用勾股定理即得OB＝2． 【解析】解：连接AF，过O作OH⊥BC于H，如图： ∵将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕EF与AC相交于点O， ∴AF＝CF＝5，OA＝OC， 在Rt△ABF中，BF＝＝＝3， ∴BC＝BF＋CF＝8， ∵OA＝OC，OH⊥BC，AB⊥BC， ∴O为AC中点，OH∥AB， ∴ ， ∴H为BC中点， ∴OH是△ABC的中位线， ∴BH＝CH＝BC＝4，OH＝AB＝2， 在Rt△BOH中，OB＝＝＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查矩形性质及应用，涉及对称、勾股定理、三角形中位线等知识，解题的关键是证明OH是是△ABC的中位线． 18．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4．若进行以下操作，在边BC上从左到右依次取点D1、D2、D3、D4，过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E1、F2；过点D2作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E2、F2；过点D3作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E3、F3，则4（D1E1+D2E2+…+D2020E2020）+5（D1F1+D2F2+…+D2020F2020）＝ ． 【答案】40400 【分析】由D1F1∥AC，D1E1∥AB，可得＝，因为AB＝5，BC＝4，所以有4D1E1+5D1F1＝20；同理有如下规律4D2E2+5D2F2＝20，…，4D2019E2019+5D2019F2019＝20． 【解析】解：∵D1F1∥AC，D1E1∥AB， ∴＝，即＝， ∵AB＝5，BC＝4， ∴4D1E1+5D1F1＝20， 同理4D2E2+5D2F2＝20，…，4D2020E2020+5D2020F2020＝20， ∴4（D1E1+D2E2+…+D2020E2020）+5（D1F1+D2F2+…+D2019F2019）＝20×2020＝40400； 故答案为：40400． 【点睛】本题考查平行线的性质，探索规律．能够根据平行线的性质和等量代换得到4D1E1+5D1F1＝20是解题的关键． 三、解答题 19．如图，已知，与相交于点．若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据题意得出，进而根据，即可求解． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 20．如图，，，，，求、的长． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理可得，代入数值后解决问题． 【解析】解：， ∴ ，，， ∴，解得：， 则． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的应用，其中掌握平行线分线段成比例定理（ 三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例）是关键． 21．我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义． (1)如图1已知小明的身高是1.6米，他在路灯AB下的影子长为2米，此时小明距路灯灯杆的底部3米，求灯杆AB的高度； (2)如图2现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度． 【答案】(1)灯杆AB的高度为4米 (2)灯杆AB的高度为米 【分析】（1）利用平行线分线段成比例的推论可知，代入求解即可； （2）同（1）可得，，先求出BC，进而求出AB． 【解析】（1）解：由题意可知，，， ∴， 由题意，， ∴，即， 解得， ∴灯杆AB的高度为4米； （2）解：由题意可知，，，， ∵中，， ∴，即， 同理，中，， ∴，即， ∴ 解得， ∴， ∴， ∴灯杆AB的高度为米． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的实际应用，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 22．如图，已知，它们依次交直线、、于点A、B、C和点D、E、F和点Q、H、P，与相交于的中点G，若． (1)如果，求的长； (2)在（1）的条件下，如果，求的长． 【答案】(1)4，14 (2)15 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出是解决问题的关键． （1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出，即可求出的长，得出的长； （2）由平行线分线段成比例定理，得出，由平行线分线段成比例定理得出，再代入求得结果． 【解析】（1）∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴； （2）∵点G是的中点，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 23．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD，点E、F分别在边BC、CD上，且BE＝DF＝AD，联结DE，联结AF、BF分别与DE交于点G、P． （1）求证：AB＝BF； （2）如果BE＝2EC，求证：DG＝GE． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【分析】（1）先证△BCF≌△DCE，再证四边形ABED是平行四边形，从而得AB＝DE＝BF． （2）延长AF交BC延长线于点M，从而CM＝CF，又由AD∥BC可以得到，从而DG＝GE． 【解析】证明：（1）∵BC＝CD，BE＝DF， ∴CF＝CE， 在△BCF与△DCE中， ， ∴△BCF≌△DCE， ∴BF＝DE， ∵AD∥BC，BE＝AD， ∴四边形ABED是平行四边形； ∴AB＝DE， ∴AB＝BF． （2）延长AF交BC延长线于点M，由DF＝AD，AD∥BC，则CM＝CF； 由（1）中△BCF≌△DCE，∴CF=CE ∴EM=BC=AD ∵AD∥BC， ∴， 又∵BE＝2EC， ∴， ∴DG＝GE． 【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例定理、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出△BCF≌△DCE是解题关键． 24．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴的正半轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，且AB＝BC，点C的纵坐标为4． （1）求直线AB的表达式； （2）过点B作BD//x轴，交反比例函数y＝的图象于点D，求线段CD的长度． 【答案】（1）y＝x+2；（2）2． 【分析】（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H，得出，求出点C坐标，用待定系数法即可求解析式； （2）求出反比例函数解析式和D点坐标，用勾股定理求CD长即可． 【解析】解：（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H，如图， ∴＝1， ∵A（﹣2，0）， ∴AO＝2， ∴OH＝OA＝2， ∵点C的纵坐标为4， ∴点C的坐标为（2，4）， 设直线AB的表达式y＝kx+b（k≠0）， 把A（﹣2，0），C（2，4）代入得， 解得， ∴直线AB的表达式y＝x+2； （2）∵反比例函数y＝的图象过点C（2，4）， ∴m＝2×4＝8， ∵直线y＝x+2与y轴的正半轴交于点B， ∴点B的坐标为（0，2）， ∵BD//x轴， ∴点D纵坐标为2， 当y＝2时，＝2，解得x＝4， ∴点D坐标为（4，2）， ∴CD＝． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合和勾股定理以及比例式，解题关键是熟练运用一次函数和反比例函数的性质求点的坐标，应用坐标解决问题． 25．如图1，梯形ABCD中，，，，，，点P是AD延长线上一点，F为DC的中点，连接BP，交线段DF于点G． (1)当时，求DP的长． (2)如图2，点E为BP中点，连接EF． ①若设，，求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围． ②连接DE和PF，若，求DP长. 【答案】(1)2 (2)①；②或4． 【分析】（1）设，勾股定理求得，根据已知等式建立方程，解方程求解即可； （2）①连接DE并延长交BC于点M，过D作于点H，证明，勾股定理求得，，，，代入化简整理即可求得函数解析式； ②当时，四边形DEFP为平行四边形，当时，四边形DEFP为等腰梯形，过E作于点Q，，由，，根据平行线分线段成比例可得,则，解方程求解即可． 【解析】（1）设， ∵在直角三角形ABP中，，，， ∴. ∵. ∴， 解得：， ∴DP=2； （2）①连接DE并延长交BC于点M， ∵F为DC的中点，， ∴， ∴， ∵， 在和中， ∴， ∴， 过D作于点H，则， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴. ②∵，， 当时，四边形DEFP为平行四边形． ∴， ∴. 当时，四边形DEFP为等腰梯形， 过E作于点Q，. ∵，， ∴， ∴. ∴， 解得：. ∴PD的长为或4. 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 2 页 共 44 页 学科网（北京）股份有限公司 $$