5.2 函数的基本性质（第2课时）（六大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第一册）

5.2函数的基本性质（第2课时） 题型1：复合函数的单调性综合 1．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，再确定在上单调递增，结合复合函数单调性，即可求得答案. 【解析】由可得， 解得或， 由图象的对称轴为， 则在上单调递增， 故的单调递减区间为， 故选：C 2．已知函数在上单调递减，则函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由是复合函数，则根据复合函数同增异减原则来判断单调区间即可． 【解析】令， 则在上为减函数；在上为增函数， 又函数在上单调递减， 则根据复合函数同增异减原则得的单调递减区间为． 故选：C． 3．已知f(x)是R上的增函数，若令F(x)=f(1-x)-f(1+x)，则F(x)是R上的（    ） A．增函数 B．减函数 C．先减后增的函数 D．先增后减的函数 【答案】B 【分析】根据是上的增函数，以及复合函数单调性的判断方法即可判断出的单调性． 【解析】是上的增函数，是上的减函数， 是上的减函数， 是上的增函数，是上的减函数，又是上的增函数， 是上的减函数， 是上的减函数， 故选：B． 4．设函数． (1)求的定义域； (2)求的单调区间； (3)求在区间的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)的单调递增区间是；单调递减区间是 (3)； 【分析】（1）根据定义域的定义和一元二次不等式的解法求解即可 （2）根据复合函数的单调性求解即可 （3）根据函数单调性求最值即可 【解析】（1）由， 所以的定义域 （2）由（1）知的定义域， 令，开口向下，对称轴， 根据复合函数的单调性可知， 的单调递增区间是；单调递减区间是 （3）由（2）知在单调递增，在单调递减， 在区间的最大值为，又 所以在区间的最小值为， 故在区间的最大值为，最小值为， 5．已知函数在上单调递减，那么实数的取值的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别讨论、、和情况下，单调性及的正负，综合分析，即可得答案. 【解析】当时，在上单调递增，且， 所以在上单调递减，符合题意， 当时，无单调性，不符合题意， 当时，在上单调递减，且，不符合题意， 当时，在上单调递减，，符合题意， 还需，解得， 综上实数的取值的范围是. 故选：A 6．已知函数． (1)判断在上的单调性，并用定义加以证明； (2)设函数，，求的值域． 【答案】(1)单调递减，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据函数单调性的定义，即可证明； （2）首先将拆分成内外层函数，，，结合（1）的结论求出的值域，即可得解. 【解析】（1）在上的单调递减，证明如下： 设，则 ， 因为，所以，，， ，即， 所以，即， 所以函数在上的单调递减； （2）， 设，在上单调递增，当时，， 所以， 令，， 由（1）可知，在上单调递减， 又，，所以， 所以的值域为. 题型2：根据复合函数的单调性求参数 7．函数在上单调递增，，则 . 【答案】 【分析】分析可知，存在唯一的实数，使得，可得出，由可求得的值，进而可得出函数的解析式，代值计算可得出的值. 【解析】因为函数在上单调递增，则存在唯一的实数，使得， 又因为，则，即, 所以，，解得，所以，，故. 故答案为：. 8．任意时，恒成立，且函数单调，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出函数解析式，再求出函数值. 【解析】依题意，令，则，且， 由函数单调，得为正常数，于是，解得， 因此，所以. 故答案为：2020 9．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将函数写成分段函数，即可得到函数的单调区间，依题意可得，解得即可. 【解析】因为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又函数在上单调递减，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 10．已知函数，若在R上是增函数，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用分段函数的单调性，列出不等式组并求解即得. 【解析】由函数在R上是增函数，得，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为： 11．已知，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，将原不等式分离参数，然后换元，由函数的单调性可得最值，即可得到结果. 【解析】原不等式等价于， 令. 令，且， 则在上单调递减， . 故的范围是. 故答案为： 题型3：根据函数的单调性解不等式 12．已知在定义域R上是增函数．若，则实数a的取值范围是 【答案】 【分析】由函数的单调性去掉对应法则后即可求解. 【解析】因为在定义域R上是增函数．且， 所以，解得. 故答案为： 13．函数在上是严格增函数，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数单调性列出不等式即可求解. 【解析】因为函数在上是严格增函数，且， 所以，解得. 故答案为：. 14．已知是定义在区间上的增函数，且，如果满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】令，可求出，再由题意可得出，结合函数的定义域和单调性可得，解不等式即可得出答案. 【解析】令，则，则， 由可得：， 因为是定义在区间上的增函数， 所以，解得：. 则的取值范围为:. 故答案为：. 15．定义在上的函数满足，且，则使成立的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】变形给定不等式，构造函数，并探讨其单调性，再利用单调性解不等式即可. 【解析】由，且，则两边同时除以可得， 令，则原不等式为，因此函数在上单调递减， 由，得，又，于是，解得， 所以使成立的x的取值范围是. 故答案为： 16．已知函数，则满足的的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，对分，，三种情况讨论运算得解. 【解析】当时，，，，原不等式显然不成立． 当时，，原不等式不成立． 当时，要使得，有两种情况： 第一种情况，当时，在上单调递增，可得，解得； 第二种情况，当时，则，解得． 综上，的取值范围是． 故答案为：. 题型4：根据函数的单调性比较函数值的大小 17．已知函数对于任意的，都有，则的大小关系为 【答案】（或） 【分析】由函数单调递减的性质即可求解. 【解析】因为函数对于任意的，都有， 所以在区间上是减函数， 所以，所以. 故答案为：(或). 18．函数对任意的a，b∈R，都有，并且当时，，若，解不等式. 【答案】. 【分析】设且，根据，得到，再由时，，判断其符号，得到其单调性，再由，利用单调性求解. 【解析】设且， ∵， ∴， 即， 因为， ∴， ∴， ∴在上单调递增， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：. 所以原不等式的解为. 19．已知函数． (1)利用函数的单调性定义证明函数在上单调递增； (2)比较，的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由定义法证明函数的单调性； （2）通过单调性比较函数值的大小. 【解析】（1）函数，任取， ， 由，，，，即， 所以函数在上单调递增. （2），则，当且仅当，即时等号成立， ， 由，有，则，， 函数在上单调递增，所以. 20．定义在区间（－1，1）上的函数f（x）满足：，x∈（－1，0）时f（x）<0，若，，c=f（0），则三个实数a，b，c从小到大排列的顺序为 . 【答案】c<a<b 【分析】利用已知的恒等式进行赋值，由函数单调性的定义判断函数的单调性，由恒等式将a转化为，利用单调性比较大小即可. 【解析】因为定义在区间（－1，1）上的函数f（x）满足：， 令x=y=0，则f（0）－f（0）=f（0），解得f（0）=0， 设x<y，且满足－1<x<y<1，则， 因为x∈（－1，0）时f（x）<0， 所以，即f（x）－f（y）<0， 所以f（x）<f（y）， 故函数f（x）在（－1，1）上为单调递增函数， 因为， 所以， 取，则， 则， 因为， 所以，即c<a<b. 故答案为：c<a<b. 21．已知函数，，在函数的值域上任取三个数，都存在以这三个数为边长的三角形，求实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】先判断在上的单调区间，再根据三角形两边之和大于第三边得到，然后结合对进行分类讨论，在对应情况下解关于的不等式 即可得到的取值范围. 【解析】在上任取，则，， ， 当时，则，，， ，在上单调递减； 当时，则，，， ，在上单调递增； 的值域上任取三个数，都存在以这三个数为边长的三角形，， ①、当即时，在上单调递减，， ，，，； ②、当即时，在上单调递增，， ，， ，，； ③、当即时， 在上单调递减，在上单调递增， ，. ⑴、当即时，， ， ，，符合题意； ⑵、当即时，则， ， ，， ， ，，， 又，； ⑶、当即时，则，， ，，， ，，， ，且，符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 题型5：函数图像的识别 22．函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合基本不等式判断函数在的最值，再结合图像判断. 【解析】时，恒成立，故C错误； 且时，，当且仅当时取等， 故在有最大值2，故B、D错误； 故选：A. 23．函数的图象是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数表达式化简成分段函数形式即可判断. 【解析】，对比选项可知，只有C符合题意. 故选：C. 24．函数的图像简图可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得可排除AB，然后根据时函数值的范围可排除C. 【解析】因为， 所以，故排除AB； 当时，，故排除C. 故选：D. 25．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数解析式，判断其单调性以及单调区间，结合特殊点，可得答案. 【解析】由函数， 当时，根据函数与函数在上单调递增， 则函数在的单调递增，故排除BC； 当时，，故排除A，则D正确. 故选：D. 题型6：存在性、恒成立问题 26．已知函数. (1)求函数的解析式； (2)设，若存在使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由配凑法得，再结合，即可求出的解析式； （2）先求出，将题设转化为在上有解，换元后利用二次函数的性质求出最小值即可求解. 【解析】（1），则，又，则； （2），又存在使成立，即在上有解， 令，设，易得在单减，则， 即，故实数的取值范围为. 27．已知函数 (1)证明：在区间上为增函数； (2)若在上存在实数，使得成立，求正数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用函数单调性的定义，作差、定号即可证明； （2）根据（1）中所证单调性，求得在的最大值，再解关于的不等式，即可求得结果. 【解析】（1）因为，令， 故可得， 因为，故可得，， 故可得，即， 故在是单调增函数. （2）由（1）可知，是的单调增函数，故在上的最大值为， 若在上存在实数，使得成立，则， 解得，故正数的取值范围为. 28．已知函数，若对于任意的实数和，当，时，都有成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】原问题可转化为，再根据与区间分类讨论，求出对应范围内，,建立不等式求解即可. 【解析】因为，时，都有成立， 所以， 当，则， 所以， 此时， 当时，最大值必为与中较大者， 当时，最大值为 因为，所以， 而当时，，所以 所以只需，解得，而， 故 当时，， 所以， 此时，当或时，， 所以只需， 解得， 由，故 当时，， 所以， 此时，函数在上递减，当时，， 所以只需， 解得，又， 故无解. 综上， 故答案为： 29．已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若对恒成立，求a、b的值； (3)在（2）的条件下，若对一切，都有成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，求得不等式的解集. （2）结合绝对值的知识求得的值. （3）利用分离常数法，结合函数的单调性求得的取值范围. 【解析】（1）， 解得， 所以不等式的解集为. （2）， ，解得. ， ， 所以. （3）， ， ， 函数在上递增，， 所以. 30．设. (1)求不等式的解集； (2)若函数在上最小值为，求实数的值； (3)若对任意的正实数，存在，使得，求实数的最大值. 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）由，可得，然后分，和三种情况求解即可； （2）分，和三种情况讨论函数的单调性，求解函数的最小值，从而列方程可求出实数的值； （3）由题意可得，然后分，和三种情况讨论的最大值，从而可求得结果. 【解析】（1）因为， 所以由，得 ， 化简得， 当时，不等式无解， 当时，由，得，，解得或， 当时，由，得，，解得， 综上，不等式的解集； （2）当时，在上单调递增，函数无最小值，不合题意， 当时，，因为函数和在上单调递增， 所以在上单调递增，函数无最小值，不合题意， 当时，（）， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 因为函数在上最小值为， 所以， 所以，解得或， 因为，所以， 所以； （3）因为对任意的正实数，存在，使得， 所以， 由（2）可知当时，在上单调递增， 所以时，， 因为， 所以， ①当，即时，， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以， ②当，无解， ③当，即时，， 由，得， 所以， 所以， 所以， ④当，即时，， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 综上，， 所以. 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与不等式的综合应用，考查函数最值的求法，考查不等式能成立问题，解题的关键是根据题意正确分类求解，考查数学分类思想和计算能力，属于较难题. 一、单选题 1．已函数，若对于定义域内任意一个自变量都有，则的最大值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由已知对的取值进行分类讨论，结合的取值范围求出函数的定义域，再结合函数的性质分别进行求解即可. 【解析】若，则恒成立，故符合题意； 若. ①当即时，，此时函数的定义域为， 所以恒成立，所以：符合题意； ②当即时，，此时函数的定义域为， 则，所以恒成立，所以：符合题意； ③当即时，函数的定义域为且 则取，则， 令，当时，，可以取得负值， 故不符合题意. 若，则函数定义域为且， 令，则. 当且时，，可以取得负值， 故不符合题意； 综上，，即的最大值为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：对的取值进行分类讨论，分别判断是否恒成立. 2．已知二次函数，，，若且，则下列说法正确的是（    ） A．对任实数，均有 B．对任意满足实数，均有 C．对任意满足的实数，均有 D．存在实数，使得 【答案】B 【分析】由题意可知， 化简得，根据与的大小关系确定的范围判断各个选项. 【解析】 对称轴为 ， ， 令 ， 则 ， ， ， ， ， ， 正确，C错误， 对A：，故A错误， 对D: ，故不存在实数，使得，D错误. 故选：B. 3．已知函数的定义域为，有下面三个命题，命题p：存在且，对任意的，均有恒成立，命题：在上是严格减函数，且恒成立；命题：在上是严格增函数，且存在使得，则下列说法正确的是（    ） A．、都是p的充分条件 B．只有是p的充分条件 C．只有是p的充分条件 D．、都不是p的充分条件 【答案】A 【分析】若已知，则当，根据减函数的定义和已知条件，结合不等式性质，可推出成立；若已知，取，根据增函数的定义和已知条件，结合不等式性质，也可推出成立. 【解析】若成立，当，有. 因为单调递减，且恒成立，所以， 所以， 故存在（且），对任意的，均有恒成立， 所以是p的充分条件； 若成立时，当时，，. 因为单调递增，所以恒成立， 故存在（且），对任意的，均有恒成立， 所以也是p的充分条件. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是找到相应的满足要求，从而得解. 二、填空题 4．已知函数，，其中，，若的最小值为2，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据讨论函数单调性，再根据单调性确定函数最值，最后根据最值确定的取值范围. 【解析】①当时，在上单调递增， 所以，因此满足题意； ②当时，在上单调递增，在上单调递减 （i）当时，在上单调递增， 所以，则， ， 所以，，， ，， ， 或或 ； （ii）当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以 ，即， ； 综上，的取值范围为. 故答案为： 5．已知函数在上单调递减，则实数a 的范围为 ． 【答案】或 【分析】由题可只考虑在上的单调性，分三种情况讨论即可. 【解析】由题仅考虑在上的单调性. ①当时，，其在上单调递增，不合题意； ②当时，. 任取，， 则， 因，则时，， 得在上单调递减.则； ③当时，令， 得或（舍去）. 则， 因函数，均在上单调递增，则在上单调递减，则 i当时，，则满足题意； ii当时，有. 则当时，. 综上a 的范围是或. 故答案为：或 6．已知函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则的最大值是 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，解方程，数形结合可得出实数的取值范围，即可得解. 【解析】因为函数的定义域为，满足， 当时，， 当时，，则 ， 当时，，则 ， 当时，，则 ， 因为对任意，都有， 当时，令，解得或，如下图所示： 由图可知，，故实数的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，解题的关键就是求出函数的解析式，由此作出函数的图象，利用数形结合思想求解. 三、解答题 7．已知函数的定义域为，且．当时，． (1)求； (2)证明：函数在为增函数； (3)如果，解不等式． 【答案】(1)0 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）对抽象等式进行字母赋值计算即得； （2）将抽象函数等式变形为，利用函数单调性定义，结合条件即可证明； （3）先推理得到，再利用结论化简，最后利用抽象函数的单调性即得. 【解析】（1）∵， 令，则， ∴； （2）由，可得， 则得，， 设，由， 因时，有，依题意，，即， 所以函数在为增函数； （3）因，∴， 又由，则 ， 由可得， 即，即，因函数在为增函数 故可得，， 解得，即不等式的解集为. 【点睛】方法点睛：本题主要考查利用抽象函数等式探究函数性质以及解不等式上的应用，属于难题. 解题方法主要有： （1）赋值代入法；（将字母取值，计算函数值） （2）构造函数法：(如（2）题中，对于，构造，从而得用来证明函数单调性) （3）函数单调性应用：利用函数单调性，去掉函数符号，化抽象函数不等式为具体不等式求解. 8．已知函数与的定义域为R，若对任意区间，存在且，使，则是的生成函数． (1)求证：是的生成函数； (2)若是的生成函数，判断并证明的单调性； (3)若是的生成函数，实数，求的一个生成函数． 【答案】(1)证明见解析； (2)函数在R上单调递增； (3). 【分析】（1）由生成函数的定义，判断是否满足，即可证明； （2）由题意可得，由可得，结合单调函数的定义即可求解； （3），且，设，则，由生成函数的定义可得，分两种情况讨论即可. 【解析】（1），且， ， 由，得， 则满足， 所以是的生成函数； （2）因为是的生成函数， 所以对任意区间且，使， 即，由， 得，又， 所以，即， 所以函数在R上单调递增； （3），且，设， 则，， 当时，的值域为， 对任意区间且，使且， 满足， 即， 此时是的一个生成函数. 同理，当时，的值域为， 对任意区间且，使且， 满足， 即， 此时也是的一个生成函数. 综上：是的一个生成函数. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是理解新定义“生成函数”的性质，以学习过的函数相关的知识为基础，通过一类问题共同特征的“数学抽象”，引出新的概念，然后在快速理解的基础上，解决新问题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.2函数的基本性质（第2课时） 题型1：复合函数的单调性综合 1．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数在上单调递减，则函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 3．已知f(x)是R上的增函数，若令F(x)=f(1-x)-f(1+x)，则F(x)是R上的（    ） A．增函数 B．减函数 C．先减后增的函数 D．先增后减的函数 4．设函数． (1)求的定义域； (2)求的单调区间； (3)求在区间的最大值和最小值． 5．已知函数在上单调递减，那么实数的取值的范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数． (1)判断在上的单调性，并用定义加以证明； (2)设函数，，求的值域． 题型2：根据复合函数的单调性求参数 7．函数在上单调递增，，则 . 8．任意时，恒成立，且函数单调，则 . 9．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ． 10．已知函数，若在R上是增函数，则实数a的取值范围是 . 11．已知，若恒成立，则实数的取值范围是 . 题型3：根据函数的单调性解不等式 12．已知在定义域R上是增函数．若，则实数a的取值范围是 13．函数在上是严格增函数，且，则的取值范围是 ． 14．已知是定义在区间上的增函数，且，如果满足，则的取值范围为 ． 15．定义在上的函数满足，且，则使成立的x的取值范围是 ． 16．已知函数，则满足的的取值范围是 ． 题型4：根据函数的单调性比较函数值的大小 17．已知函数对于任意的，都有，则的大小关系为 18．函数对任意的a，b∈R，都有，并且当时，，若，解不等式. 19．已知函数． (1)利用函数的单调性定义证明函数在上单调递增； (2)比较，的大小． 20．定义在区间（－1，1）上的函数f（x）满足：，x∈（－1，0）时f（x）<0，若，，c=f（0），则三个实数a，b，c从小到大排列的顺序为 . 21．已知函数，，在函数的值域上任取三个数，都存在以这三个数为边长的三角形，求实数的取值范围为 . 题型5：函数图像的识别 22．函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 23．函数的图象是（    ）． A． B． C． D． 24．函数的图像简图可能是（    ） A． B． C． D． 25．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 题型6：存在性、恒成立问题 26．已知函数. (1)求函数的解析式； (2)设，若存在使成立，求实数的取值范围. 27．已知函数 (1)证明：在区间上为增函数； (2)若在上存在实数，使得成立，求正数的取值范围. 28．已知函数，若对于任意的实数和，当，时，都有成立，则实数a的取值范围是 ． 29．已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若对恒成立，求a、b的值； (3)在（2）的条件下，若对一切，都有成立，求实数m的取值范围． 30．设. (1)求不等式的解集； (2)若函数在上最小值为，求实数的值； (3)若对任意的正实数，存在，使得，求实数的最大值. 一、单选题 1．已函数，若对于定义域内任意一个自变量都有，则的最大值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 2．已知二次函数，，，若且，则下列说法正确的是（    ） A．对任实数，均有 B．对任意满足实数，均有 C．对任意满足的实数，均有 D．存在实数，使得 3．已知函数的定义域为，有下面三个命题，命题p：存在且，对任意的，均有恒成立，命题：在上是严格减函数，且恒成立；命题：在上是严格增函数，且存在使得，则下列说法正确的是（    ） A．、都是p的充分条件 B．只有是p的充分条件 C．只有是p的充分条件 D．、都不是p的充分条件 二、填空题 4．已知函数，，其中，，若的最小值为2，则实数的取值范围是 . 5．已知函数在上单调递减，则实数a 的范围为 ． 6．已知函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则的最大值是 . 三、解答题 7．已知函数的定义域为，且．当时，． (1)求； (2)证明：函数在为增函数； (3)如果，解不等式． 8．已知函数与的定义域为R，若对任意区间，存在且，使，则是的生成函数． (1)求证：是的生成函数； (2)若是的生成函数，判断并证明的单调性； (3)若是的生成函数，实数，求的一个生成函数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$