5.2.2 函数的单调性（教学课件）数学沪教版2020必修第一册

5.2.2 函数的单调性 第5章函数的概念、性质与应用 沪教版(2020)必修第一册·高一 章节导读 学 习 目 标 1 2 3 了解函数单调性与单调区间的概念. 会求函数的单调区间、判断（证明）函数单调性. 会应用函数单调性解决问题. 情景引入 1.生活中的单调现象. 某天气温随着时间的变化情况 山区气温随海拔高度而降低 情景引入 2.数学中的单调现象. y随着x增大而严格增大 情景引入 2.数学中的单调现象. y随着x增大而严格减小 像上这样的变化趋势在函数性质的研究中被称为单调性 新知探究 问题1 以指数函数y=ax（a>1)为例，“y随着x的增大而严格增大”的变化趋势，如何证明？ 1.严格增函数 在证明过程中，刻画“y随着x的增大而严格增大”关键词是什么？关键词的含义又是什么？ 证明 当a>1时，若x2>x1，则x2-x1>0，由幂的基本不等式有 >1. 即>，此时，称指数函数y=ax（a>1）在R上是严格增函数， 即随着x的(严格)增大而(严格)增大. 新知探究 问题1 以指数函数y=ax（a>1)为例，“y随着x的增大而严格增大”的变化趋势，如何证明？ 1.严格增函数 在证明过程中，刻画“y随着x的增大而严格增大”关键词是什么？关键词的含义又是什么？ 证明 当a>1时，若x2>x1，则x2-x1>0，由幂的基本不等式有 >1. 即>，此时，称指数函数y=ax（a>1）在R上是严格增函 数，即随着x的(严格)增大而(严格)增大. x1增大到x2 增大到 新知探究 问题2 类比指数函数y=ax（a>1)的学习，对于定义在D上的函数，设区间I时D的一个子集，如何用符号语言描述“y随着x的增大而严格增大”的变化趋势呢？ 1.严格增函数 x1 x2 f(x1) f(x2) x1<x2时，f(x1)<f(x2). 严格增函数 新知探究 1.严格增函数的定义 定义 对于定义在D上的函数y=f(x)，设区间I是D的一个子集.对于区间I上的任意给定的两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，如果总有 f(x1)<f(x2)， 就称函数y=f(x)在区间I上是严格增函数. x1 x2 f(x1) f(x2) 定义中的“任意”改成“存在”可以吗？ 新知探究 1.严格增函数的定义 定义 对于定义在D上的函数y=f(x)，设区间I是D的一个子集.对于区间I上的任意给定的两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，如果总有 f(x1)<f(x2)， 就称函数y=f(x)在区间I上是严格增函数. 定义中的“任意”改成“存在”可以吗？ -1 2 f(-1) f(2) 举反例 新知探究 2.严格减函数的定义 定义 对于定义在D上的函数y=f(x)，设区间I是D的一个子集.对于区间I上的任意给定的两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，如果总有 f(x1)>f(x2)， 就称函数y=f(x)在区间I上是严格减函数. x1 x2 f(x1) f(x2) 定义中的“任意”改成“存在”可以吗？ 新知探究 3.函数单调性 对于定义在D上的函数y=f(x)，设区间I是D的一个子集.对于区间I上的任意给定的两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，如果总有 f(x1)≤f(x2)， 就称函数y=f(x)在区间I上是增函数. 如果总有 f(x1)≥f(x2)， 就称函数y=f(x)在区间I上是减函数. 如果总有 f(x1)<f(x2)， 就称函数y=f(x)在区间I上是严格增函数. 如果总有 f(x1)>f(x2)， 就称函数y=f(x)在区间I上是严格减函数. “严格增”、“严格减”、“增”、“减”统称为函数的单调性. 问题3 增函数和严格增函数有何差异？ 新知探究 3.函数单调性 对于定义在D上的函数y=f(x)，设区间I是D的一个子集.对于 区间I上的任意给定的两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，如果总有 f(x1)≤f(x2)， 就称函数y=f(x)在区间I上是增函数. 如果总有 f(x1)≥f(x2)， 就称函数y=f(x)在区间I上是减函数. 如果总有 f(x1)<f(x2)， 就称函数y=f(x)在区间I上是严格增函数. 如果总有 f(x1)>f(x2)， 就称函数y=f(x)在区间I上是严格减函数. 是R上的增函数，但不是严格增函数 新知探究 3.函数单调性 对于定义在D上的函数y=f(x)，设区间I是D的一个子集. 对于区间I上的任意给定的两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，如果总有 f(x1)≤f(x2)， 就称函数y=f(x)在区间I上是增函数. 如果总有 f(x1)≥f(x2)， 就称函数y=f(x)在区间I上是减函数. 如果总有 f(x1)<f(x2)， 就称函数y=f(x)在区间I上是严格增函数. 如果总有 f(x1)>f(x2)， 就称函数y=f(x)在区间I上是严格减函数. 是R上的减函数，但不是严格减函数 典例分析 例1 证明函数y=x2-2x在区间(-∞，1]上是严格减函数. 证明 设x₁、x2是区间(-∞,1]上任意给定的两个实数，且x₁<x2, 我们有 f(x₁)=x₁²-2x₁,f(x2)=x2²-2x2. 由于 f(x₁)-f(x2)=(x₁²-2x₁)-(x2²-2x2)=(x₁²-x2²)-2(x₁-x2)=(x₁-x2)(x₁+x2-2), 又x₁-x2<0,且x₁+x2-2<1+1-2=0,故 f(x₁)-f(x2)>0, 即f(x₁)>f(x2). 因此，函数f(x)=x²-2x在区间[-∞,1]上是严格减函数. 典例分析 利用定义判断或证明函数单调性的步骤 新知探究 对于一般的二次函数y=f(x),其中f(x)=ax²+bx+c(a≠0),在第二章中，通过配方法，已得到 f(x)=a(x+)2+ 因此，点(－)被称为该二次函数的图像的顶点，它是相应抛物线的最高点或最低点. 新知探究 函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 单调性 在① ⁠上单调递减， 在② ⁠上单调递增 在③ ⁠上单调递增， 在④ ⁠上单调递减 (－∞，－)　 (－，＋∞)　 (－∞，－)　 (－，＋∞)　 注意　 对于函数 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c ，要使它是二次函数，就必须满足 a ≠0.当题中条 件未说明 a ≠0时，要讨论 a ＝0和 a ≠0两种情况. 典例分析 例2 判断函数y=log2(3x+2)在其定义域上的单调性，并说明理由. 解 设x₁、x2是定义域D={x|3x+2>0}上任意给定的两个实数， 且x₁<x₂,易知0<3x₁+2<3x₂+2. 因为函数y=log₂x在区间(0,+∞)上是严格增函数， 所以log₂(3x₁+2)<log₂(3x₂+2),即f(x₁)<f(x2). 因此，f(x)=log₂(3x+2)在其定义域上是严格增函数. 新知探究 4.单调区间 定义 如果函数y=f(x)在某个区间I上是增(减)函数，那么就称函数y=f(x)在区间I上是单调函数(monotonic function),并称区间I是函数y=f(x)的一个单调区间(monotonic interval). 需要注意的是，函数的单调性是针对包含于定义域中的某个区间而言的.有些函数虽然在整个定义域上不是单调函数，但是在包含于定义域中的某些区间上却可以是单调的. 一般来说，所讨论的单调区间总是指满足这一要求的“最大”的单调区间. 新知探究 注意 (1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开. (2)单调区间D⊆定义域I. (3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大. 典例分析 例3 判断函数f(x)=x²-2x在区间[-2,2]上的单调性，并求出它的单调区间. 解：f(0)=f(2)=0,而f(1)=-1,因此f(x)在区间[-2,2]上既不是严格增函数，也不是严格减函数. 对区间I上任意给定的两个实数x1、x2,总有 f(x₁)-f(x2)==(x1-x2)(x₁+x2-2), 当x1<x2,且x1、x2∈[-2,1]时，总有x1+x2-2<0及x1-x2<0,故f(x1)-f(x2)>0, 从而[-2,1]是f(x)=x²-2x的单调减区间. 类似地，当x1<x2,且x1、x2∈[1,2]时，总有x1+x2-2>0及x1-x2<0,故f(x1)-f(x2)<0,从而[1,2]是f(x)=x²-2x的单调增区间. 典例分析 例4　设y=f(x)是偶函数，它在区间[-2,-1]上是严格减函数，判断它在区间[1,2]上的单调性，并说明理由. 解 设x1、x2是区间[1,2]上任意给定的两个实数，且x1<x2,则 -x1、-x2∈[-2,-1],且-x2<-x1. 因为函数y=f(x)在区间[-2,-1]上是严格减函数，所以f(-x2)>f(-x1). 又因为y=f(x)是偶函数，所以f(x₂)=f(-x2)>f(-x1)=f(x1).. 因此y=f(x)在区间[1,2]上是严格增函数. 证明函数单调性 题型一 题型探究 证明　∀x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1<x2， 因为－1<x1<x2，所以x2－x1>0，x1＋1>0，x2＋1>0， 即f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2). 利用函数单调性求参数 题型二 题型探究 2.若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增， 则实数a的取值范围是______________. (－∞，－4] 解析　f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3 ＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3. 因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]， 由f(x)在(－∞，3]上单调递增知3≤－a－1， 解得a≤－4，即实数a的取值范围为(－∞，－4]. 单调区间 题型三 题型探究 3.求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上单调递增还是单调递减. 其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都单调递增. 单调区间 题型三 题型探究 3.求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上单调递增还是单调递减. 解　当x≥1时，f(x)单调递增，当x<1时，f(x)单调递减， 所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增. 单调区间 题型三 题型探究 3.求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上单调递增还是单调递减. (3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3. 根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0)，[0,1)，[1，＋∞). f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上单调递增，在(－1,0)，[1，＋∞)上单调递减. 单调区间 题型三 题型探究 求函数单调区间的方法 (1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解. (2)利用函数的图象，如本例(3). 提醒：若所求出函数的单调递增区间或单调递减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(3). 函数奇偶性单调性综合 题型四 题型探究 4.已知f(x)是(0,+∞)上的增函数,对一切正数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立,且f(3)=1. (1)求f(1)和f(81)的值; 解　(1)令x=3,y=1,则f(3)=f(3)+f(1)⇒f(1)=0. 令x=y=3,则f(9)=2f(3)=2, 又令x=y=9,则f(81)=2f(9)=4. 故f(1)=0,f(81)=4. 函数奇偶性单调性综合 题型四 题型探究 4.已知f(x)是(0,+∞)上的增函数,对一切正数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立,且f(3)=1. (2)若f(x)+f(x-8)≤2,求x的取值范围. (2)由题意及(1),得f(x)+f(x-8)≤2⇔f(x2-8x)≤f(9) 结合f(x)的单调性及定义域,则⇒8<x≤9, 则x的取值范围是(8,9]. 课堂小结 逻辑推理 逻辑推理 数学抽象 数学建模 函数的单调性 图形语言 “上升”或“下降” 描述性语言 y随着x的（严格）增大而（严格）增大或减小 符号语言 对于区间I上的任意给定的两个自变量的值x1、x2， 当x1<x2时，f(x1)<(≤、>、≥)f(x2). 增函数 严格增函数 减函数 严格减函数 课堂小结 逻辑推理 逻辑推理 数学抽象 直观想象 数学建模 函数的单调性 奇偶性与单调性的关系 单调函数和单调区间 图像 定义 举反例 判断 感谢聆听! 1.利用单调性的定义，证明函数f(x)＝在(－1，＋∞)上单调递减. 则f(x1)－f(x2)＝－＝. 所以>0， 所以f(x)＝在(－1，＋∞)上单调递减. (1)f(x)＝－； 解函数f(x)＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)， (2)f(x)＝ 解　因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝ $