限时规范训练(52) 第7章 培优增分 第6讲 几何法求线面角、二面角和距离（word课时作业）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

限时规范训练(五十二) A级　基础落实练 1．(2024·广安统考模拟)已知四棱柱ABCD -A1B1C1D1的底面是正方形，AB＝2，AA1＝2，点B1在底面ABCD的射影为BC中点H，则点C1到平面ABCD的距离为(　　) A．　　 B．　 C．2　　 D．3 解析：B　如图，连接B1H，则B1H⊥平面ABCD，且B1H＝＝， 由题可知B1C1∥BC， 又B1C1⊄平面ABCD，BC⊂平面ABCD， ∴B1C1∥平面ABCD， ∴点C1到平面ABCD的距离与点B1到平面ABCD的距离B1H相等． 2．(2024·银川联考模拟)在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝2，AA1＝5，则A1C与平面ABCD所成角的正切值为(　　) A．　　 B．2　 C．　　 D． 解析：D　在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，∴∠A1CA是A1C与平面ABCD所成的角，连接AC，AC⊂平面ABCD，AA1⊥AC， 又AB＝1，BC＝2，AA1＝5， 所以AC＝＝， 在直角△A1CA中，tan∠A1CA＝＝＝，即A1C与平面ABCD所成角的正切值为. 3．把边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角D -AC -B，则三棱锥D -ABC的外接球的球心到平面BCD的距离为(　　) A．　　 B．　 C．　　 D． 解析：A　由图所示，易知三棱锥D -ABC的外接球球心为AC的中点O，易得OB＝OC＝OD＝1，且OC⊥OB，DO⊥面OBC，计算可得BC＝CD＝BD＝，设球心到平面BCD的距离为d， 则VD -OBC＝VO -BCD⇒×1××1×1＝×d××()2⇒d＝. 4．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．已知在阳马P -ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AB＝AD＝1，则直线PD与平面PAC所成角的正弦值等于(　　) A．　　 B．　 C．　　 D． 解析：A　如图，在正方形ABCD中，连接BD交AC于O，则DO⊥AC，连接PO.因为PA⊥平面ABCD，DO⊂平面ABCD， 所以PA⊥DO，而PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， 所以DO⊥平面PAC， 于是∠DPO是直线PD与平面PAC所成的角． 因为PA＝AD＝1， 由PA⊥底面ABCD易知PA⊥AD， 所以PD＝＝， 易知DO＝DB＝＝， 所以sin∠DPO＝＝， 即直线PD与平面PAC所成角的正弦值为. 5．(2023·石家庄调研)在四棱锥P -ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，AD＝AB，则二面角P -CD -B的大小为(　　) A．30°　　 B．45°　 C．60°　　 D．75° 解析：A　因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD， 所以PA⊥CD， 又AD⊥CD，PA∩AD＝A， PA，AD⊂平面PAD， 所以CD⊥平面PAD， 因为PD⊂平面PAD，则CD⊥PD， 所以二面角P -CD -B的平面角为∠PDA. 在Rt△PAD中，tan∠PDA＝＝， 则∠PDA＝30°. 故二面角P -CD -B的大小为30°. 6．(2024·武威统考模拟)在正四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，E是B1C1的中点，AB＝2，AA1＝，则BE与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　) A．　　 B．　 C．　　 D． 解析：A　依题意，可得如图， 设底面A1B1C1D1的中心为O，易得DD1⊥平面A1B1C1D1，OC1⊂平面A1B1C1D1，所以DD1⊥OC1，又B1D1⊥OC1，B1D1∩DD1＝D1，B1D1，DD1⊂平面BB1D1D， 所以OC1⊥平面BB1D1D，取OB1的中点H，连接EH，则EH∥OC1，所以EH⊥平面BB1D1D， 连接BH，则∠HBE为BE与平面BB1D1D所成的角． 因为AB＝2，AA1＝，所以EH＝OC1＝，BE＝ ＝2， 所以sin∠HBE＝＝. 7．已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为________． 解析：如图，过点P作PO⊥平面ABC于点O，则PO为P到平面ABC的距离．再过点O作OE⊥AC于点E，OF⊥BC于点F， 连接PC，PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC. 所以PE＝PF＝，所以OE＝OF， 所以CO为∠ACB的角平分线， 即∠ACO＝45°. 在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝， 所以CE＝1，所以OE＝1， 所以PO＝＝＝. 答案： 8．直四棱柱ABCD -A1B1C1D1，已知∠ABC＝120°，四边形ABCD是边长为2的菱形，且AA1＝4，E为线段BC上动点，当BE＝________时，A1E与底面ABCD所成角为60°. 解析：如图所示，连接AE， 因为AA1⊥底面ABCD， 所以∠A1EA为A1E与底面ABCD所成的角， 即∠A1EA＝60°. 又AA1＝4， 所以＝tan 60°＝，解得AE＝. 设BE＝m(0≤m≤2)，在△ABE中，AB＝2，∠ABE＝120°，AE＝， 由余弦定理，得()2＝22＋m2－2×2×m×cos 120°， 整理得：3m2＋6m－4＝0，解得m＝－1. 答案：－1 9．如图所示，AB是⊙O的直径，PA⊥平面⊙O，C为圆周上一点，AB＝5 cm，AC＝2 cm，则B到平面PAC的距离为________cm. 解析：由PA⊥平面⊙O，可得PA⊥平面ABC， 因为BC⊂平面ABC， 所以PA⊥BC， 又由AB是⊙O的直径，C为圆周上一点， 可得AC⊥BC， 又PA∩AC＝A且AC，PA⊂平面PAC， 所以BC⊥平面PAC， 所以BC为点B到平面PAC的距离， 在直角△ABC中，AB＝5 cm，AC＝2 cm， 可得BC＝＝(cm)． 答案： 10．如图所示，已知菱形ABCD 和矩形BDEF所在平面互相垂直，AB＝2，∠BAD＝120°，DE＝3. (1)证明：平面ACF⊥平面BDEF； (2)设AD中点为G，求直线FG与底面ABCD所成角的余弦值． 解：(1)证明：∵平面ABCD⊥平面BDEF， 且平面ABCD∩平面BDEF＝BD， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，∵AC⊂平面ABCD， ∴AC⊥平面BDEF， ∵AC⊂平面ACF， ∴平面ACF⊥平面BDEF. (2)如图，连接BG，因为平面ABCD⊥平面BDEF，平面ABCD∩平面BDEF＝BD，且四边形BDEF是矩形， 所以BF⊥BD，又BF⊂平面BDEF， 所以BF⊥底面ABCD，∠FGB即为直线FG与平面ABCD所成角， 在△BAG中，BG2＝22＋12－2×2×1×cos 120°＝5＋2＝7， ∴BG＝，FG＝＝4， 在△BFG中，cos∠FGB＝＝， 故直线FG与底面ABCD所成角的余弦值为. 11．如图，在四棱锥P -ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△PBC为正三角形，M，N分别为PD，BC的中点，PN⊥AB. (1)求三棱锥P -AMN的体积； (2)求二面角M -AN -D的正切值． 解：(1)∵PB＝PC，N为BC中点，∴PN⊥BC， 又PN⊥AB，AB∩BC＝B， AB，BC⊂平面ABCD，∴PN⊥平面ABCD. ∵AB＝BC＝PB＝PC＝2，M为PD的中点， ∴PN＝， ∵VP -AMN＝VD -AMN＝VM -ADN， ∴VP -AMN＝VP -ADN＝VP -ABCD ＝××4×＝. (2)如图，取DN的中点E，连接ME， ∵M，E分别为PD，DN的中点，∴ME∥PN. ∵PN⊥平面ABCD，∴ME⊥平面ABCD. 过E作EQ⊥AN，连接MQ， 又ME⊥AN，EQ∩ME＝E，ME，EQ⊂平面MEQ， ∴AN⊥平面MEQ，∴AN⊥MQ， ∠MQE即为二面角M -AN -D的平面角， ∴tan∠MQE＝， ∵PN＝，∴ME＝， ∵AN＝DN＝，AD＝2， ∴QE＝×＝， ∴tan∠MQE＝， 即该二面角的正切值为. B级　能力提升练 12．(多选)(2024·白山模拟)已知正四面体ABCD，E为CD的中点，则(　　) A．直线AB与CD所成的角为90° B．直线AC与BE所成的角为60° C．直线AB与平面BCD所成角的余弦值为 D．直线BE与平面ACD所成角的余弦值为 解析：AC　对A，连接AE， 因为ABCD为正四面体，则BC＝BD，AC＝AD，因为E为CD的中点， 则BE⊥CD，AE⊥CD，BE∩AE＝E，且AE，BE⊂平面ABE， 所以CD⊥平面ABE，因为AB⊂平面ABE，所以AB⊥CD，故A正确； 对B，取AD的中点F，连接EF，BF，设正四面体ABCD的棱长为2， 则BE＝BF＝，EF＝1， 又E为CD的中点，则EF∥AC， 所以∠BEF为直线AC与直线BE所成的角， cos∠BEF＝＝＝≠，故B错误； 对C，根据正四面体的特点可知顶点A在底面上的投影落在BE上， 所以∠ABE为直线AB与平面BCD所成的角， 所以cos∠ABE＝＝＝，故C正确； 对D，根据正四面体的特点可知点B在平面ACD上的投影落在AE上， 所以∠BEA为直线BE与平面ACD所成的角， 所以cos∠BEA＝＝＝，故D错误． 13．(2023·安庆模拟)一底面半径为1的圆柱，被一个与底面成45°角的平面所截(如图)，O为底面圆的中心，O1为截面的中心，A为截面上距离底面最小的点，A到圆柱底面的距离为1，B为截面图形弧上的一点，且∠AO1B＝60°，则点B到底面的距离是(　　) A．　　 B． C．　　 D． 解析：C　圆柱半径为1，截面与底面所成角为45°，作AM⊥OO1于点M，则∠MAO1＝45°，AO1＝.截面椭圆是以O1为中心，A为长轴端点的椭圆，其长轴长为2，短轴长为2，所以椭圆的方程为＋y2＝1，作BC⊥AO1于点C，因为∠AO1B＝60°，直线O1B的方程为y＝x，所以设B(x，x)，又B(x，x)在椭圆＋y2＝1上，解得：x＝±，所以BO1＝，CO1＝cos 60°＝，过C作CD⊥OO1，则O1D＝CO1＝，OD＝OO1－O1D＝2－＝， 由于BC，CD均平行于底面，故B点到底面的距离是. 14．如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点． (1)证明：△PBC是直角三角形； (2)若PA＝AB＝2，且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值． 解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的一动点．∴BC⊥AC. ∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC， 又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， ∴BC⊥平面PAC， 又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC， ∴△PBC是直角三角形． (2)如图，过点A作AH⊥PC于点H，连接BH， ∵BC⊥平面PAC，AH⊂平面PAC， ∴BC⊥AH， 又PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，∴AH⊥平面PBC， ∴∠ABH是直线AB与平面PBC所成的角，∵PA⊥平面ABC， ∴∠PCA是直线PC与平面ABC所成的角， ∵tan∠PCA＝＝， 又PA＝2，∴AC＝，∴在Rt△PAC中， AH＝＝， ∴在Rt△ABH中， sin∠ABH＝＝＝， 故直线AB与平面PBC所成角的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$