限时规范训练(45) 第6章 培优增分 第6讲 数列的奇偶项与子数列问题（word课时作业）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

限时规范训练(四十五) 1．(2024·南京模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，数列{bn}是等比数列，a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)若cn＝设数列{cn}的前n项和为Tn，求T2n. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q(q≠0)， ∵a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3， ∴解得 ∴an＝2n＋1，bn＝2n－1. (2)由(1)知，Sn＝＝n(n＋2)， ∴cn＝ ∴T2n＝(1－＋－＋…＋－)＋(21＋23＋25＋…＋22n－1) ＝1－＋＝－. 2．(2023·厦门、福州等市质检一)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝(an－1)(an＋3)(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)将数列{an}和数列{2n}中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列{bn}，求{bn}的前50项和． 解：(1)依题意知an＞0. 当n＝1时，4a1＝4S1＝(a1－1)(a1＋3)， 解得a1＝3(舍负)， 当n≥2时，由4Sn＝(an－1)(an＋3)(n∈N*)， 得4Sn－1＝(an－1－1)(an－1＋3)， 作差得4an＝a－a＋2an－2an－1， 所以(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0， 因为an＋an－1＞0，所以an－an－1＝2(n≥2)， 所以数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列， 所以an＝2n＋1. (2)由(1)得，a50＝101， 又26＜101＜27，同时a44＝89＞26，所以b50＝a44， 所以b1＋b2＋…＋b50＝(a1＋a2＋…＋a44)＋(21＋22＋…＋26) ＝＋＝2024＋126＝2150. 所以{bn}的前50项和为2150. 3．数列{an}与{bn}的通项公式分别为an＝4n－1，bn＝3n＋2，它们的公共项由小到大排列组成数列{cn}，求数列{cn}的通项公式． 解：法一：设ak＝bm＝cp，则4k－1＝3m＋2， 所以k＝，因为3，4互质， 所以m＋1必为4的倍数，即m＝4p－1， 所以cp＝bm＝3(4p－1)＋2＝12p－1， 即数列{cn}的通项公式为cn＝12n－1. 法二：由观察可知，两个数列的第一个公共项为11，所以c1＝11. 设ak＝bm＝cp，则4k－1＝3m＋2， 所以ak＋1＝4(k＋1)－1＝4k＋3＝3m＋6 ＝3(m＋)＋2不是数列{bn}中的项， ak＋2＝4(k＋2)－1＝4k＋7＝3m＋10＝3(m＋)＋2不是数列{bn}中的项， ak＋3＝4(k＋3)－1＝4k＋11＝3m＋14＝3(m＋4)＋2是数列{bn}中的项． 所以cp＋1＝ak＋3，则cp＋1－cp＝ak＋3－ak＝3×4＝12， 所以数列{cn}是等差数列，其公差为12，首项为11， 因此，数列{cn}的通项公式为cn＝12n－1. 4．已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an＝3n＋6，bn＝2n＋7.将集合{x|x＝an，n∈N*}∪{x|x＝bn，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，…，cn，…. (1)求三个最小的数，使它们既是数列{an}中的项，又是数列{bn}中的项； (2)数列c1，c2，c3，…，c40中有多少个不是数列{bn}中的项？ (3)求数列{cn}的前4n项和S4n. 解：将数列{an}和{bn}的公共项从小到大排列组成数列{dn}． 设ak＝bm，则3k＋6＝2m＋7， 即m＝，所以k为奇数， 设k＝2n－1，则m＝3n－2，dn＝ak＝3(2n－1)＋6＝6n＋3. (1)三个最小的数依次为9，15，21. (2)由数列c1，c2，c3，…，cn，…的构成可知， dm＝6m＋3与dm＋1＝6m＋9均为数列{cn}中的项， 在dm和dm＋1中还有以下项： 6m＋5，6m＋6，6m＋7， 又c1＝d1＝9， 因此数列{cn}中的项从第1项起，连续的4项中只有第3项是数列{an}中的偶数项，不是数列{bn}中的项，所以数列c1，c2，c3，…，c40中有10个不是数列{bn}中的项． (3)由(2)可知，数列{cn}的前4n项中， 由数列{bn}中的前3n项和数列{an}中的前n项偶数项构成， 因此S4n＝＋＝12n2＋33n. 5．在数列{an}中，an＝ (1)求a1，a2，a3； (2)求数列{an}的前n项和Sn. 解：(1)因为an＝所以a1＝2×1－1＝1，a2＝22＝4，a3＝2×3－1＝5. (2)因为an＝ 所以a1，a3，a5，…是以1为首项，4为公差的等差数列， a2，a4，a6，…是以4为首项，4为公比的等比数列． 当n为奇数时，数列的前n项中有个奇数项，有个偶数项． 所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(a1＋a3＋…＋an－2＋an)＋(a2＋a4＋…＋an－3＋an－1) ＝×1＋×4＋＝＋； 当n为偶数时，数列{an}的前n项中有个奇数项，有个偶数项． 所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(a1＋a3＋…＋an－3＋an－1)＋(a2＋a4＋…＋an－2＋an) ＝×1＋×4＋＝＋. 所以数列{an}的前n项和 Sn＝ 6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝a(a∈R)，an＋1＝n∈N*. (1)若0＜an≤6，求证：0＜an＋1≤6； (2)若a＝5，求S2024； (3)若a＝(m∈N*)，求S4m＋2的值． 解：(1)证明：当an∈(0，3]时，则an＋1＝2an∈(0，6]， 当an∈(3，6]时，则an＋1＝an－3∈(0，3]， 故an＋1∈(0，6]，所以当0＜an≤6时，总有0＜an＋1≤6. (2)当a1＝a＝5时，a2＝a1－3＝2，a3＝2a2＝4，a4＝a3－3＝1，a5＝2a4＝2，a6＝2a5＝4，a7＝a6－3＝1，所以数列{an}为5，2，4，1，2，4，1，2，4，1，…， 所以从第2项起，{an}中的项以3为周期，其和为2＋4＋1＝7， 所以S2024＝5＋7×674＋2＝4725. (3)由m∈N*，可得2m－1≥1，故a＝≤3， 当1＜k≤m，k∈N*时，2k－1a≤＝＜＝3. 故ak＝2k－1a且am＋1＝2ma. 又am＋1＝＞3，所以am＋2＝am＋1－3＝2ma－3＝2m·－3＝a. 故{an}为周期数列，且周期为m＋1， 故S4m＋2＝S4(m＋1)－a4m＋3－a4m＋4 ＝4(a1＋a2＋…＋am＋1)－(2m－1＋2m)a ＝4(1＋2＋…＋2m)a－3×2m－1a ＝4(2m＋1－1)a－3×2m－1a ＝(2m＋3－4－3×2m－1)a＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$