限时规范训练(10) 第2章 第5讲 二次函数与幂函数（word课时作业）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

限时规范训练(十) A级　基础落实练 1．(2023·邯郸质检)已知幂函数f(x)满足＝4，则f()的值为(　　) A．2　　 B．　 C．－　　 D．－2 解析：B　设f(x)＝xα，则＝＝3α＝4，所以f()＝()α＝.故选B． 2．(2024·六安一中段考)已知幂函数y＝(m2－3m＋3)xm＋1是奇函数，则实数m的值为(　　) A．1　　 B．2　 C．3　　 D．4 解析：B　由题意m2－3m＋3＝1，∴m＝1或m＝2.当m＝1时，y＝x2不是奇函数，排除；当m＝2时，y＝x3是奇函数，满足题意．故选B． 3．(2024·保定检测)已知a＝2，b＝3，c＝25，则(　　) A．b＜a＜c　　 B．a＜b＜c C．b＜c＜a　　 D．c＜a＜b 解析：A　由题意得b＝3＜4＝2＝a， a＝2＝4＜4＜5＝25＝c， 所以b＜a＜c. 4．已知函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a，若对于区间[－1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，0]　　　　 B．[0，3] C．(－∞，0]∪[3，＋∞)　　　　 D．[3，＋∞) 解析：C　二次函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a图象的对称轴为直线x＝a－1， ∵对于任意x1，x2∈[－1，2]且x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)， 即f(x)在区间[－1，2]上是单调函数， ∴a－1≤－1或a－1≥2， ∴a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为(－∞，0]∪[3，＋∞)． 5．(多选)(2024·河南名校联考改编)已知幂函数f(x)的图象过点(，)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1＜x2)是函数f(x)图象上任意不同的两点，则下列结论中不正确的是(　　) A．x1f(x1)＞x2f(x2) B．x1f(x2)＜x2f(x1) C．＞ D．＜ 解析：ABC　设幂函数f(x)＝xα，因为f(x)的图象过点(，)，所以()α＝，即2－α＝＝2－，解得α＝，所以f(x)＝x. 因为函数f(x)＝x在定义域[0，＋∞)内单调递增，所以当0＜x1＜x2时，0＜f(x1)＜f(x2)，所以x1f(x1)＜x2f(x2)，选项A，C错误．因为函数f(x)的图象是下凸的，所以当0＜x1＜x2时，＜，所以x2f(x1)＜x1f(x2)，选项B错误，选项D正确．故选ABC． 6．(多选)在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax2＋x＋1和函数g(x)＝ax＋1的图象可能是(　　) 解析：ABD　若a＝0，则f(x)＝x＋1，g(x)＝1，A正确； 若a＜0，则f(x)的图象开口向下，过点(0，1)， 对称轴为x＝－＞0，g(x)的图象过点(0，1)和(－，0)，且－＜－，B正确； 若0＜a＜，则f(x)的图象开口向上，与x轴有两个交点，过点(0，1)，对称轴为x＝－＜0，g(x)的图象过点(0，1)和(－，0)， 且－＞－，C不正确； 若a＞，则f(x)的图象开口向上，与x轴没有交点，过点(0，1)，对称轴为x＝－＜0， g(x)的图象过点(0，1)和(－，0)， 且－＞－，D正确． 7．若f(x)＝x，则不等式f(x)＞f(8x－16)的解集是________． 解析：因为f(x)＝x在定义域[0，＋∞)内为增函数，且f(x)＞f(8x－16)， 所以即2≤x＜， 所以不等式的解集为. 答案： 8．已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象经过点(1，13)，且函数y＝f(x－)是偶函数，则函数f(x)的解析式为________． 解析：∵y＝f(x－)是偶函数，有f(x－)＝f(－x－)，∴f(x)关于x＝－对称，即－＝－，故b＝1，又图象经过点(1，13)， ∴f(1)＝13，可得c＝11. 故f(x)＝x2＋x＋11. 答案：f(x)＝x2＋x＋11 9．(2024·人大附中质检)已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[1，＋∞)，则＋的最小值为________． 解析：因为二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[1，＋∞)，则a＞0， 所以f(x)min＝＝＝1， 即ac－1＝a，可得a＝＞0，则c＞1， 所以＋＝c＋－1≥2－1＝3， 当且仅当c＝2时，等号成立， 因此＋的最小值为3. 答案：3 10．已知幂函数f(x)＝(2m2－m－2)x4m2－2(m∈R)为偶函数． (1)求f(x)的解析式； (2)若函数g(x)＝f(x)－2(a－1)x＋1在区间[0，4]上的最大值为9，求实数a的值． 解：(1)由幂函数可知2m2－m－2＝1， 解得m＝－1或m＝， 当m＝－1时，f(x)＝x2，函数为偶函数，符合题意； 当m＝时，f(x)＝x7，函数为奇函数，不符合题意， 故f(x)的解析式为f(x)＝x2. (2)由(1)得，g(x)＝f(x)－2(a－1)x＋1＝x2－2(a－1)x＋1. 函数的对称轴为x＝a－1，开口向上，f(0)＝1，f(4)＝17－8(a－1)， 由题意得，在区间[0，4]上，f(x)max＝f(4)＝17－8(a－1)＝9，解得a＝2，经检验a＝2符合题意，所以实数a的值为2. 11．已知a∈R，函数f(x)＝x2－2ax＋5. (1)若a＞1，且函数f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值； (2)若不等式x|f(x)－x2|≤1对x∈恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)因为f(x)＝x2－2ax＋5的图象的对称轴为x＝a(a＞1)， 所以f(x)在[1，a]上为减函数， 所以f(x)的值域为[f(a)，f(1)]． 又已知值域为[1，a]， 所以解得a＝2. (2)由x|f(x)－x2|≤1，得－＋≤a≤＋(*)．令＝t，t∈[2，3]，则(*)可化为－t2＋t≤a≤t2＋t.记g(t)＝－t2＋t＝－(t－)2＋，则g(t)max＝g()＝，所以a≥；记h(t)＝t2＋t＝(t＋)2－，则h(t)min＝h(2)＝7，所以a≤7，综上所述，≤a≤7. 所以实数a的取值范围是. B级　能力提升练 12．已知幂函数y＝xa与y＝xb的部分图象如图所示，直线x＝m2，x＝m(0＜m＜1)与y＝xa，y＝xb的图象分别交于A，B，C，D四点，且|AB|＝|CD|，则ma＋mb等于(　　) A．　　 B．1　 C．　　 D．2 解析：B　由题意，|AB|＝|(m2)a－(m2)b|，|CD|＝|ma－mb|，根据图象可知b＞1＞a＞0，当0＜m＜1时，(m2)a＞(m2)b，ma＞mb，因为|AB|＝|CD|，所以m2a－m2b＝(ma＋mb)·(ma－mb)＝ma－mb，因为ma－mb＞0，所以ma＋mb＝1. 13．设关于x的方程x2－2mx＋2－m＝0(m∈R)的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为________． 解析：由题意有且Δ＝4m2－4(2－m)≥0， 解得m≤－2或m≥1， α2＋β2＋5＝(α＋β)2－2αβ＋5＝4m2＋2m＋1， 令f(m)＝4m2＋2m＋1， 而f(m)图象的对称轴为m＝－， 且m≤－2或m≥1， 所以f(m)min＝f(1)＝7. 答案：7 14．已知函数f(x)＝kx2＋(3＋k)x＋3，其中k为常数． (1)若f(2)＝3，求函数f(x)的表达式； (2)在(1)的条件下，设函数g(x)＝f(x)－mx，若g(x)在区间[－2，2]上是单调函数，求实数m的取值范围； (3)是否存在k使得函数f(x)在[－1，4]上的最大值是4？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)∵f(2)＝4k＋2(3＋k)＋3＝3，解得k＝－1，∴f(x)＝－x2＋2x＋3. (2)由(1)可得g(x)＝－x2＋2x＋3－mx＝－x2＋(2－m)x＋3，其对称轴方程为x0＝， 若g(x)在[－2，2]上为增函数，则x0≥2，解得m≤－2，若g(x)在[－2，2]上为减函数，则x0≤－2，解得m≥6. 综上可知，m的取值范围为{m|m≤－2，或m≥6}． (3)当k＝0时，函数f(x)＝3x＋3在[－1，4]上的最大值是15，不满足条件； 当k≠0时，假设存在满足条件的k，则f(x)的最大值只可能在－1，4，x0处取得， 其中对称轴x0＝－， ①若f(x)max＝f(－1)＝4，则有k－3－k＋3＝4，k的值不存在； ②若f(x)max＝f(4)＝4，则16k＋12＋4k＋3＝4，解得k＝－，此时，对称轴x0＝∈[－1，4]，则最大值应在x0处取得，与条件矛盾，舍去； ③若f(x)max＝f(x0)＝4，则k＜0，且＝4， 化简得k2＋10k＋9＝0，解得k＝－1或k＝－9，满足k＜0且x0＝－∈[－1，4]， 综上可知，当k＝－1或k＝－9时，函数f(x)在[－1，4]上的最大值是4. 学科网（北京）股份有限公司 $$