限时规范训练(77) 第10章 第5讲 古典概型、概率的基本性质（word课时作业）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

限时规范训练(七十七) A级　基础落实练 1．(多选)下列试验是古典概型的是(　　) A．在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率 B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球为白球的概率 C．向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率 D．老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做典型发言，甲被选中的概率 解析：BD　A中，在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率，不符合等可能性； B中，从中任取一球的事件有限，且任取一球为白球或黑球的概率是等可能的； C中，向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率，不符合有限性； D中，老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人的事件有限，甲、乙、丙被选中的概率是等可能的． 2．(2024·益阳期末)2022年10月12日“天宫课堂”首次在问天实验舱中授课，航天员老师们演示和讲解的多种实验，极大地激发了学生的学习兴趣．在一次模仿操作实验中，学生们从标号分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9种不同的种子中随机抽取2种种子进行实验，则抽到的2种不同的种子的标号之和恰为10的概率为(　　) A．　　 B．　 C．　　 D． 解析：A　从标号分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9种不同的种子中随机抽取2种种子的所有结果有C＝36(种)，而标号之和恰为10的结果有{1，9}，{2，8}，{3，7}，{4，6}，共4种，所以所求的概率P＝＝.故选A． 3．(2024·重庆一诊)某人有1990年北京亚运会吉祥物“盼盼”，2008年北京奥运会吉祥物“贝贝”“晶晶”“欢欢”“迎迎”“妮妮”，2010年广州亚运会吉祥物“阿祥”“阿和”“阿如”“阿意”“乐羊羊”，2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”，2022年杭州亚运会吉祥物“琮琮”“莲莲”“宸宸”．若他从这15个吉祥物中随机取出2个，这2个吉祥物都是来自在北京举办的运动会的概率是(　　) A．　　 B．　 C．　　 D． 解析：B　15个吉祥物中，来自北京举办的运动会的有7个，若此人从这15个吉祥物中随机取出2个，则这2个吉祥物都是来自在北京举办的运动会的概率为＝.故选B． 4．(2024·东莞期末)甲、乙、丙、丁四人在足球训练中进行传球训练，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙、丙、丁中的任何一个人，以此类推，则经过3次传球后乙恰好接到1次球的概率为(　　) A．　　 B．　 C．　　 D． 解析：C　按接球人分类：①不含甲，三人时，乙丙丁，乙丁丙，丙乙丁，丙丁乙，丁乙丙，丁丙乙，共6种；两人时，乙丙乙，丙乙丙，乙丁乙，丁乙丁，丁丙丁，丙丁丙，共6种；②含甲，乙甲乙，丙甲丙，丁甲丁，乙丙甲，乙甲丙，乙丁甲，乙甲丁，丙乙甲，丙甲乙，丁乙甲，丁甲乙，丙丁甲，丙甲丁，丁甲丙，丁丙甲，共15种，故共计27种．其中乙恰好接到1次球的情况有16种，所以所求概率为，故选C． 5．(2023·张家口期末)已知a是1，3，3，5，7，8，10，11的上四分位数，在1，3，3，5，7，8，10，11中随机取两个数，这两个数都小于a的概率为(　　) A．　　 B．　 C．　　 D． 解析：C　上四分位数即第75百分位数，因为8×75%＝6，所以a＝＝9. 8个数中有6个数小于9，所以随机取两个数，这两个数都小于a的概率为＝.故选C． 6．(2024·河南普通高中第四次测评)某学校在课后服务时间开展了绘画、书法、围棋、舞蹈、武术五项兴趣拓展活动．若小明计划从这五项活动中选择三项，则书法、舞蹈这两项活动至多有一项被选中的概率为(　　) A．0.9　　 B．0.7　 C．0.6　　 D．0.3 解析：B　“书法、舞蹈这两项活动至多有一项被选中”的对立事件是“书法、舞蹈这两项活动都被选中”，故所求概率为1－＝＝0.7，故选B． 7．(2024·海南四校大联考)从不包含大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A＝“抽到红心”，事件B＝“抽到方片”，且P(A)＝P(B)＝，记事件C＝“抽到黑花色”，则P(C)＝________． 解析：记事件D＝“抽到红花色”，因为D＝A∪B，且A，B不会同时发生，所以A，B是互斥事件，则P(D)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝.又因为C，D互斥，且C∪D是必然事件，所以C，D互为对立事件，所以P(C)＝1－P(D)＝. 答案： 8．(2024·八省八校联考)某学校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了丰富多彩的兴趣拓展活动．现有甲、乙、丙、丁四人，乒乓球、篮球、足球、羽毛球、网球五项活动，由于受个人精力和时间限制，每人只能等可能的从中选择一项活动，则四人中恰有两人参加同一活动的概率为________． 解析：根据题意，每个人有5种选择，四人共54种选法，其中恰有两人参加同一种活动， 有CCA种选法，故四人中恰有两人参加同一种活动的概率为＝. 答案： 9．(2024·沈阳检测)某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占，则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是________． 解析：依题意，设甲、乙两班的人数分别为5n，3n，则甲班中女生人数为5n×＝3n， 乙班中女生人数为3n×＝n， 则该社区居民遇到一位民意调查的同学是女生的概率是＝. 答案： 10．某班为了提高学生学习英语的兴趣，在班内举行英语写、说、唱综合能力比赛，比赛分为预赛和决赛2个阶段，预赛为笔试，决赛为说英语、唱英语歌曲，将所有参加笔试的同学成绩(得分为整数，满分100分)进行统计，得到频率分布直方图(如图)，其中后三个矩形高度之比依次为4∶2∶1，落在[80，90)内的有12人． (1)求此班级的人数； (2)按规定预赛成绩不低于90分的选手参加决赛，已知甲、乙两位选手已经取得决赛资格，参加决赛的选手按抽签方式决定出场顺序．求甲不排在第一位，乙不排在最后一位的概率． 解：(1)因为落在区间[80，90)内的频率是(1－0.16)×＝0.24， 所以此班级的人数为＝50. (2)由(1)知，参加决赛的选手共有6人， 设“甲不排在第一位，乙不排在最后一位”为事件A，则P(A)＝＝， 所以甲不排在第一位，乙不排在最后一位的概率为. 11．某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队． (1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率； (2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率． 解：(1)由题意，参加集训的男生、女生各有6名． 参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝. 因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝. (2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A，“参赛女生有2人”为事件B，“参赛女生有3人”为事件C. 则P(B)＝＝，P(C)＝＝. 由互斥事件的概率加法公式，得 P(A)＝P(B)＋P(C)＝＋＝， 故所求事件的概率为. B级　能力提升练 12．(2024·厦门外国语学校期末)某中学体育节中，羽毛球单打12强中有3个种子选手，将这12人任意分成3个组(每组4个人)，则3个种子选手恰好被分在同一组的概率为(　　) A．　　 B．　 C．　　 D． 解析：A　由已知条件得，将12人任意分成3组(每组4个人)，不同的分组方法有种，3个种子选手分在同一组的方法有种，故3个种子选手恰好被分在同一组的概率为＝，故选A． 13．(多选)(2024·武汉质检)为弘扬文明、和谐的社区文化氛围，更好地服务社区群众，某社区组织开展了“党员先锋”“邻里互助”两个公益服务项目，其中某个星期内两个项目的参与人数(单位：人)记录如下： 日期 星期 一 星期 二 星期 三 星期 四 星期 五 星期 六 星期 日 党员先锋 24 27 26 25 37 76 72 邻里互助 11 13 11 11 127 132 143 对于该星期内的公益服务情况，下列说法正确的有(　　) A．“党员先锋”项目参与人数的极差为52，中位数为25 B．“邻里互助”项目参与人数的众数为11，平均数为64 C．用频率估计概率，“党员先锋”项目连续3天参与人数均不低于25的概率为 D．用频率估计概率，“邻里互助”项目连续2天参与人数均不低于该项目参与人数的平均数的概率为 解析：BD　对于A，将“党员先锋”项目该星期内的参与人数从小到大排列，即24，25，26，27，37，72，76，则“党员先锋”项目参与人数的极差为76－24＝52，中位数为27，故A错误； 对于B，“邻里互助”项目参与人数的众数为11，平均数为×(11＋13＋11＋11＋127＋132＋143)＝64，故B正确； 对于C，在该星期内任意抽取连续的3天，易知共有5种情况，其中“党员先锋”项目连续3天参与人数均不低于25的情况有(星期二、星期三、星期四)，(星期三、星期四、星期五)，(星期四、星期五、星期六)，(星期五、星期六、星期日)，共4种情况，故所求概率为，故C错误； 对于D，由B可知，“邻里互助”项目参与人数的平均数为64，在该星期内任意抽取连续的2天，易知共有6种情况，其中“邻里互助”项目连续2天参与人数均不低于64的情况有(星期五、星期六)，(星期六、星期日)，共2种情况， 故所求概率为＝，故D正确． 14．为了了解某种新型药物对治疗某种疾病的疗效，某机构日前联合医院，进行了小规模的调查，结果显示，相当多的受访者担心使用新药后会有副作用．为了了解使用该种新型药品后是否会引起疲乏症状，该机构随机抽取了某地患有这种疾病的275人进行调查，得到统计数据如表： 新药 疲乏症状 合计 无疲乏症状 有疲乏症状 未使用新药 150 25 t 使用新药 x y 100 合计 225 m 275 (1)求2×2列联表中的数据x，y，m，t的值，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，判断有疲乏症状与是否使用该新药有关？ (2)从使用该新药的100人中按是否有疲乏症状，采用分层随机抽样的方法抽出4人，再从这4人中随机抽取2人做进一步调查，求这2人中恰有1人有疲乏症状的概率． 附：χ2＝， n＝a＋b＋c＋d. α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解：(1)由数表知，x＝225－150＝75，y＝100－75＝25，m＝275－225＝50，t＝150＋25＝175， 所以x＝75，y＝25，m＝50，t＝175， 零假设H0：有疲乏症状与是否使用该新药无关， 根据列联表中的数据，经计算得到 χ2＝＝ ≈4.911＞3.841＝x0.05. 根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为有疲乏症状与是否使用新药有关． (2)从使用新药的100人中用分层随机抽样抽取4人的抽样比为＝，则抽取有疲乏症状的人数为×25＝1，无疲乏症状的有3人， 记2人中恰有1人有疲乏症状的事件为M，于是得P(M)＝＝， 所以这2人中恰有1人有疲乏症状的概率是. 学科网（北京）股份有限公司 $$