限时规范训练(9) 第2章 第4讲 函数的对称性（word课时作业）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

限时规范训练(九)

A级　基础落实练

1．已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(　　)

A．(－1，2)　　 B．(1，2)

C．(－1，－2)　　 D．(－2，1)

解析：A　函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，又y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(－1，2)．

2．已知函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a等于(　　)

A．1　　 B．2　

C．0　　 D．－2

解析：B　函数y＝2|x|的图象关于y轴对称，

将函数y＝2|x|的图象向右平移2个单位长度可得函数y＝2|x－2|的图象，

所以函数y＝2|x－2|的图象关于直线x＝2对称，故a＝2.

3．已知奇函数f(x)满足f(5)＝1，且f(x－2)的图象关于x＝3对称，则f(2025)等于(　　)

A．－1　　 B．1　

C．0　　 D．3

解析：B　∵函数f(x－2)的图象关于直线x＝3对称，

∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，

∴f(－x)＝f(x＋2)，

∵f(x)为奇函数，

∴f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，

∴f(x＋4)＝f(x)，

∴f(x)是周期为4的周期函数，

∴f(2025)＝f(1)＝f(5)＝1.

4．(多选)(2024·济宁邹城统考)已知函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋3)＋f(x＋1)＝0，且f(x＋1)为偶函数，则(　　)

A．f(2)＝0　　 B．f(x)为偶函数

C．f(x)为周期函数　　 D．f(x＋4)为偶函数

解析：AC　因为f(x＋1)为偶函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，又f(x＋3)＋f(x＋1)＝0，所以f(x＋3)＋f(－x＋1)＝0，令x＝－1，得f(2)＋f(2)＝0，所以f(2)＝0，故A正确；因为f(x＋3)＋f(x＋1)＝0，所以f(x)＝－f(x＋2)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的周期是4，又f(x＋3)＋f(－x＋1)＝0，所以f(x＋4)＝－f(－x)＝f(x)，所以f(x)为奇函数，故B错误，C正确；因为f(x)为奇函数，且f(x)的周期是4，所以(4，0)是f(x)图象的对称中心，f(x＋4)＝－f(－x＋4)，f(x＋4)为奇函数，故D错误．故选AC．

5．(2023·信阳二模)已知函数y＝f(x)对任意实数x都有f(x＋6)＋f(x)＝2f(3)且f(1－x)＋f(x－1)＝0，则f(2022)＝(　　)

A．－3　　 B．0　

C．3　　 D．6

解析：B　因为函数y＝f(x)对任意实数x都有f(1－x)＋f(x－1)＝0，即f(1－x)＝－f(x－1)，即f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝0.由题意知f(x＋6)＋f(x)＝2f(3)，代入x＝－3，得f(3)＋f(－3)＝2f(3)，即f(3)－f(3)＝2f(3)，所以f(3)＝0，则f(x＋6)＋f(x)＝2f(3)＝0，即f(x＋6)＝－f(x)，所以f(x＋12)＝－f(x＋6)＝－[－f(x)]＝f(x)，即12为函数y＝f(x)的周期，所以f(2022)＝f(12×168＋6)＝f(6)＝－f(0)＝0，故选B．

6．已知函数f(x＋2)是R上的偶函数，且f(x)在[2，＋∞)上恒有<0(x1≠x2)，则不等式f(ln x)>f(1)的解集为(　　)

A．(－∞，e)∪(e3，＋∞)

B．(1，e2)

C．(e，e3)

D．(e，＋∞)

解析：C　因为函数f(x＋2)是R上的偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，在[2，＋∞)上恒有<0(x1≠x2)，当x1<x2时，f(x1)>f(x2)，所

以f(x)在[2，＋∞)上单调递减，f(x)在(－∞，2)上单调递增，不等式f(ln x)>f(1)需满足|ln x－2|<|1－2|⇒1<ln x<3，解得e<x<e3.

7．与f(x)＝ex关于直线x＝1对称的函数是________．

解析：f(x)＝ex关于直线x＝1对称的是f(2－x)＝e2－x，即y＝e2－x.

答案：y＝e2－x

8．(2024·江苏七市联考)写出一个同时具有性质①②③的函数f(x)＝________．

①f(x)是定义域为R的奇函数；②f(1＋x)＝f(1－x)；③f(1)＝2.

解析：由①②③可知函数f(x)是对称轴为x＝1，定义域为R的奇函数，且f(1)＝2，可写出满足条件的函数f(x)＝2sinx.

答案：2sin x(答案不唯一)

9．若函数f(x)＝e|x|－满足f(x＋1)>f(3x－1)，则实数x的取值范围为________．

解析：因为f(－x)＝e|－x|－

＝e|x|－＝f(x)，

所以f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)．

易知当x≥0时，f(x)＝ex－为增函数，

所以f(x＋1)>f(3x－1)⇔f(|x＋1|)>f(|3x－1|)，

所以|x＋1|>|3x－1|，

所以(x＋1)2>(3x－1)2，得0<x<1.

答案：(0，1)

10．函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．

(1)若f(x)＝x3－3x2，求此函数图象的对称中心；

(2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条