限时规范训练(9) 第2章 第4讲 函数的对称性（word课时作业）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

限时规范训练(九) A级　基础落实练 1．已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(　　) A．(－1，2)　　 B．(1，2) C．(－1，－2)　　 D．(－2，1) 解析：A　函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，又y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(－1，2)． 2．已知函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a等于(　　) A．1　　 B．2　 C．0　　 D．－2 解析：B　函数y＝2|x|的图象关于y轴对称， 将函数y＝2|x|的图象向右平移2个单位长度可得函数y＝2|x－2|的图象， 所以函数y＝2|x－2|的图象关于直线x＝2对称，故a＝2. 3．已知奇函数f(x)满足f(5)＝1，且f(x－2)的图象关于x＝3对称，则f(2025)等于(　　) A．－1　　 B．1　 C．0　　 D．3 解析：B　∵函数f(x－2)的图象关于直线x＝3对称， ∴f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴f(－x)＝f(x＋2)， ∵f(x)为奇函数， ∴f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝f(x)， ∴f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(2025)＝f(1)＝f(5)＝1. 4．(多选)(2024·济宁邹城统考)已知函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋3)＋f(x＋1)＝0，且f(x＋1)为偶函数，则(　　) A．f(2)＝0　　 B．f(x)为偶函数 C．f(x)为周期函数　　 D．f(x＋4)为偶函数 解析：AC　因为f(x＋1)为偶函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，又f(x＋3)＋f(x＋1)＝0，所以f(x＋3)＋f(－x＋1)＝0，令x＝－1，得f(2)＋f(2)＝0，所以f(2)＝0，故A正确；因为f(x＋3)＋f(x＋1)＝0，所以f(x)＝－f(x＋2)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的周期是4，又f(x＋3)＋f(－x＋1)＝0，所以f(x＋4)＝－f(－x)＝f(x)，所以f(x)为奇函数，故B错误，C正确；因为f(x)为奇函数，且f(x)的周期是4，所以(4，0)是f(x)图象的对称中心，f(x＋4)＝－f(－x＋4)，f(x＋4)为奇函数，故D错误．故选AC． 5．(2023·信阳二模)已知函数y＝f(x)对任意实数x都有f(x＋6)＋f(x)＝2f(3)且f(1－x)＋f(x－1)＝0，则f(2022)＝(　　) A．－3　　 B．0　 C．3　　 D．6 解析：B　因为函数y＝f(x)对任意实数x都有f(1－x)＋f(x－1)＝0，即f(1－x)＝－f(x－1)，即f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝0.由题意知f(x＋6)＋f(x)＝2f(3)，代入x＝－3，得f(3)＋f(－3)＝2f(3)，即f(3)－f(3)＝2f(3)，所以f(3)＝0，则f(x＋6)＋f(x)＝2f(3)＝0，即f(x＋6)＝－f(x)，所以f(x＋12)＝－f(x＋6)＝－[－f(x)]＝f(x)，即12为函数y＝f(x)的周期，所以f(2022)＝f(12×168＋6)＝f(6)＝－f(0)＝0，故选B． 6．已知函数f(x＋2)是R上的偶函数，且f(x)在[2，＋∞)上恒有<0(x1≠x2)，则不等式f(ln x)>f(1)的解集为(　　) A．(－∞，e)∪(e3，＋∞) B．(1，e2) C．(e，e3) D．(e，＋∞) 解析：C　因为函数f(x＋2)是R上的偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，在[2，＋∞)上恒有<0(x1≠x2)，当x1<x2时，f(x1)>f(x2)，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递减，f(x)在(－∞，2)上单调递增，不等式f(ln x)>f(1)需满足|ln x－2|<|1－2|⇒1<ln x<3，解得e<x<e3. 7．与f(x)＝ex关于直线x＝1对称的函数是________． 解析：f(x)＝ex关于直线x＝1对称的是f(2－x)＝e2－x，即y＝e2－x. 答案：y＝e2－x 8．(2024·江苏七市联考)写出一个同时具有性质①②③的函数f(x)＝________． ①f(x)是定义域为R的奇函数；②f(1＋x)＝f(1－x)；③f(1)＝2. 解析：由①②③可知函数f(x)是对称轴为x＝1，定义域为R的奇函数，且f(1)＝2，可写出满足条件的函数f(x)＝2sinx. 答案：2sin x(答案不唯一) 9．若函数f(x)＝e|x|－满足f(x＋1)>f(3x－1)，则实数x的取值范围为________． 解析：因为f(－x)＝e|－x|－ ＝e|x|－＝f(x)， 所以f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)． 易知当x≥0时，f(x)＝ex－为增函数， 所以f(x＋1)>f(3x－1)⇔f(|x＋1|)>f(|3x－1|)， 所以|x＋1|>|3x－1|， 所以(x＋1)2>(3x－1)2，得0<x<1. 答案：(0，1) 10．函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数． (1)若f(x)＝x3－3x2，求此函数图象的对称中心； (2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论． 解：(1)设函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心为P(a，b)，g(x)＝f(x＋a)－b， 则g(x)为奇函数，故g(－x)＝－g(x)， 故f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b， 即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b， 即[(－x＋a)3－3(－x＋a)2]＋[(x＋a)3－3(x＋a)2]＝2b. 整理得(3a－3)x2＋a3－3a2－b＝0，故解得 所以函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心为(1，－2)． (2)推论：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数． 11．已知定义域为I＝(－∞，0)∪(0，＋∞)的函数f(x)满足对任意x1，x2∈I都有f(x1x2)＝x1f(x2)＋x2f(x1)． (1)求证：f(x)是奇函数； (2)设g(x)＝，且当x>1时，g(x)<0，求不等式g(x－2)>g(x)的解集． 解：(1)证明：令x1＝x2＝1，得f(1)＝0， 令x1＝x2＝－1，得f(－1)＝－f(1)＝0， 令x1＝x，x2＝－1， 得f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数． (2)∵f(x1x2)＝x1f(x2)＋x2f(x1)， ∴＝＋， ∴g(x1x2)＝g(x1)＋g(x2)， 设x1>x2>0，则>1，所以g()<0. ∵g(x1)＝g(x2·)＝g(x2)＋g()<g(x2)， ∴g(x)在(0，＋∞)上是减函数． ∵g(－x)＝＝＝g(x)， ∴g(x)是偶函数，∴g(|x－2|)>g(|x|)， ∴ ∴不等式g(x－2)>g(x)的解集为{x|1<x<2，或x>2}． B级　能力提升练 12．(2024·唐山模拟)已知函数f(2x＋1)是定义在R上的奇函数，且f(2x＋1)的一个周期为2，则(　　) A．1为f(x)的周期 B．f(x)的图象关于点(，0)对称 C．f(2023)＝0 D．f(x)的图象关于直线x＝2对称 解析：C　对于A，法一：将f(2x＋1)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数f(x＋1)的图象，再将f(x＋1)的图象上的所有点向右平移1个单位长度得到f(x)的图象，因为f(2x＋1)的一个周期为2，所以f(x)的一个周期为4，1不是f(x)的周期，故A错误． 法二：因为f(2x＋1)的一个周期为2，所以f[2(x＋2)＋1]＝f(2x＋1)，即f(2x＋1＋4)＝f(2x＋1)，设t＝2x＋1，则f(t＋4)＝f(t)，所以f(x)的一个周期为4，1不是f(x)的周期，故A错误． 对于B，因为f(2x＋1)是定义在R上的奇函数，所以f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)，设m＝2x，则f(－m＋1)＝－f(m＋1)，所以f(x)的图象关于点(1，0)对称，故B错误． 对于C，因为f(x)的一个周期为4，所以f(2023)＝f(4×506－1)＝f(－1)＝－f(1)，又f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)，令x＝0，得f(1)＝0，所以f(2023)＝0，故C正确． 对于D，f(x)的定义域为R，因为f(－1)＝0，f(x)的一个周期为4，所以f(4k＋3)＝0(k∈Z)，f(x)的图象关于点(1，0)对称，作出一个符合上述条件的图象，如图所示，此时f(x)的图象不关于直线x＝2对称，故D错误，故选C． (一题多解)(特例法)因为y＝为定义域为R的奇函数，周期为2，所以函数f(2x＋1)＝满足条件，令2x＋1＝t， 可得f(t)＝函数y＝f(t)的最小正周期为4，对称中心为(2k＋1，0)，k∈Z，函数y＝f(x)的图象没有对称轴，故A错误，B错误，D错误；因为函数f(2x＋1)是定义在R上的奇函数，所以f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)，取x＝0，可得f(1)＝0，因为f(2x＋1)的一个周期为2，所以f(2x＋4＋1)＝f(2x＋1)，取x＝，可得f(μ＋4)＝f(μ)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(2023)＝f(505×4＋3)＝f(3)＝0，C正确．故选C． 13．(2024·杭州调研)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈R，恒有f(x＋1)＝f(x－1)，当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－1，且a＝f()，b＝f(0.5－3)，c＝f(0.76)，则a，b，c的大小关系为________． 解析：∵f(x)是定义在R上的偶函数，且恒有f(x＋1)＝f(x－1)， ∴f(x)＝f(－x)，f(x＋2)＝f(x)， ∴f(x)的最小正周期为2. 又a＝f()＝f(－)＝f()， b＝f(0.5－3)＝f(8)＝f(0)， 0．76＝0.493<0.53<0.5， 则0<0.76<， ∵f(x)＝2x－1在[0，1]上单调递增， ∴b<c<a. 答案：b<c<a 14．已知函数f(x)＝是奇函数． (1)求a的值，并解关于x的不等式f(x)>； (2)求函数g(x)＝图象的对称中心． 解：(1)对任意的x∈R，2x＋2－x>0， 故函数f(x)的定义域为R， 又因为函数f(x)＝为奇函数，则f(0)＝＝0，解得a＝1， 所以f(x)＝，下面验证函数f(x)＝为奇函数， f(－x)＝＝－f(x)，故函数f(x)＝为奇函数， 由f(x)＝＝＝>，得2·4x>4，即22x＋1>22， 所以2x＋1>2，解得x>， 因此不等式f(x)>的解集为(，＋∞)． (2)g(x)＝＝， 则g(－x)＝， 所以g(x)＋g(－x)＝＝2， 因此函数g(x)＝图象的对称中心为(0，1)． 学科网（北京）股份有限公司 $$