限时规范训练(81) 第10章 培优增分 第9讲 概率与统计的综合问题（word课时作业）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

限时规范训练(八十一) 1．(2024·重庆调研)某校随机抽取100名居家学习的高二学生进行问卷调查，得到学生每天学习时间(单位：h)的频率分布直方图如下．若被抽取的这100名学生中，每天学习时间不低于8 h的有30人． (1)求频率分布直方图中实数a，b的值； (2)每天学习时间在[6.0，6.5)的7名学生中，有4名男生，3名女生，现从中抽取2人进行电话访谈，已知抽取的学生有男生，求抽取的2人恰好为一男一女的概率； (3)依据所抽取的样本，从每天学习时间在[6.0，6.5)和[7.0，7.5)的学生中按比例分层随机抽样抽取8人，再从这8人中选3人进行电话访谈，求抽取的3人中每天学习时间在[6.0，6.5)的人数的分布列和数学期望． 解：(1)由(b＋0.22)×0.5×100＝30，得b＝0.38. ∵0.5×(0.14＋a＋0.42＋0.58＋0.38＋0.22)＝1，∴a＝0.26. (2)从7名学生中抽取2人进行电话访谈的基本事件数为C＝21. 记抽取的学生有男生为事件A，则P(A)＝＝. 记抽取的学生有女生为事件B，则P(AB)＝＝. 则P(B|A)＝＝，即抽取的2人恰好为一男一女的概率为. (3)从每天学习时间在[6.0，6.5)和[ 7.0，7.5)的学生中按比例分层随机抽样抽取8人，抽取的8人中每天学习时间在[6.0，6.5)的人数为×8＝2，抽取的8人中每天学习时间在[7.0，7.5)的人数为×8＝6. 设抽取的3人中每天学习时间在[6.0，6.5)的人数为X，则X＝0，1，2， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， ∴X的分布列为 X 0 1 2 P ∴X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 2．(2024·湖南师大附中模拟)某高中学校开展生涯规划教育，对今年的1200名考生(其中女生540人)进行调查，统计知：有意向报考师范专业的学生有200人(其中女生120人)． (1)完成下面的列联表，并依据小概率值α＝0.001的独立性检验分析判断报考师范专业意向是否与性别有关； 报考意向 报考意向人数 合计 师范专业 非师范专业 男生 女生 合计 (2)对有报考师范专业意向的学生按男女分层随机抽样得到一个容量为10的样本，从样本中任意抽取5人，记抽取到的男生人数为X，求X的分布列与期望值． 附： α 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 χ2＝(其中n＝a＋b＋c＋d)． 解：(1)列联表如下： 报考意向 报考意向人数 合计 师范专业 非师范专业 男生 80 580 660 女生 120 420 540 合计 200 1000 1200 零假设为H0：报考师范专业意向与性别无关， ∵χ2＝≈21.818>10.828， ∴依据小概率值α＝0.001的独立性检验推断H0不成立，即认为报考师范专业意向与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.001. (2)据题意知，样本中男生有4人，女生有6人， 则X的所有可能取值为0，1，2，3，4， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2. 3．(2023·聊城一模)某中学在高一学生选科时，要求每位学生先从物理和历史这两个科目中选定一个科目，再从思想政治、地理、化学、生物这四个科目中任选两个科目．选科工作完成后，为了解该校高一学生的选科情况，随机抽取了部分学生作为样本，对他们的选科情况统计后得到下表： 思想政治 地理 化学 生物 物理类 100 120 200 180 历史类 120 140 60 80 (1)利用上述样本数据填写以下2×2列联表，并依据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析以上两类学生对生物学科的选法是否存在差异； 科类 生物学科选法 合计 选 不选 物理类 历史类 合计 (2)假设该校高一所有学生中有的学生选择了物理类，其余的学生都选择了历史类，且在物理类的学生中其余两科选择的是地理和化学的概率为，而在历史类的学生中其余两科选择的是地理和化学的概率为.若从该校高一所有学生中随机抽取100名学生，用X表示这100名学生中同时选择了地理和化学的人数，求随机变量X的均值E(X)． 附：χ2＝. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解：(1)由已知的统计表可知，在样本中物理类的学生人数为300，历史类的学生人数为200.列联表如下： 科类 生物学科选法 合计 选 不选 物理类 180 120 300 历史类 80 120 200 合计 260 240 500 零假设为H0：两类学生对生物学科的选法没有差异， 根据列联表中数据可得χ2＝＝≈19.231，因为19.231>10.828＝x0.001， 所以根据小概率值α＝0.001的独立性检验可知假设不成立， 故可以认为两类学生对生物学科的选法存在差异，且犯错误的概率不大于0.001. (2)记“学生选择物理类”为事件M，“学生选择历史类”为事件N，“同时选择的是地理和化学”为事件C， 则P(M)＝，P(N)＝1－P(M)＝，P(C|M)＝，P(C|N)＝， 故P(C)＝P(M)P(C|M)＋P(N)P(C|N)＝×＋×＝，由题意可得X～B(100，)，则E(X)＝100×＝16，故随机变量X的均值E(X)＝16. 4．随着生活水平的不断提高，人们越来越注重养生．科学健身有利于降低脂肪含量，健身器材成为人们的新宠．某小区物业决定选购一款健身器材，物业管理员从该品牌的销售网站了解到此款健身器材近五个月的实际销量如表所示： 月份 7月 8月 9月 10月 11月 月份编号t 1 2 3 4 5 销量y(万台) 0.5 0.6 1 1.4 1.7 (1)求出销量y关于月份编号t的经验回归方程，并预测12月份该品牌此款健身器材的销量； (2)该品牌销售商为了促销，采取“摸球定价格”的优惠方式，其规则为：盒子内装有编号为1，2，3的三个完全相同的小球，有放回地摸三次，三次摸到相同编号的享受七折优惠，三次仅有两次摸到相同编号的享受八折优惠，其余均九折优惠．已知此款健身器材一台标价为10 000元，设物业公司购买此款健身器材的价格为X，求X的分布列与均值． 参考公式与数据：对于经验回归方程＝x＋，其中＝，＝－， (ti－)(yi－)＝3.2. 解：(1)依题意知＝×(1＋2＋3＋4＋5)＝3， ＝×(0.5＋0.6＋1＋1.4＋1.7)＝1.04， ＝＝＝0.32， ＝－＝1.04－0.32×3＝0.08， 故销量y关于月份编号t的经验回归方程为 ＝0.32t＋0.08. 令t＝6，则＝0.32×6＋0.08＝2. 故可预测12月份该品牌此款健身器材销量为2万台． (2)有放回地摸球，每次摸到某个编号的概率为， 则三次摸到相同编号的概率为3×()3＝， 仅有两次摸到相同编号的概率为3×3×××＝. 公司购买此款健身器材的价格X的所有可能取值为7000，8000，9000，其分布列为 X 7000 8000 9000 P 故E(X)＝7000×＋8000×＋9000×＝. 5．(2024·北京海淀区期末)H地区农科所统计历年冬小麦亩产量数据，得到如图所示的频率分布直方图，考虑受市场影响，预测该地区明年冬小麦统一收购价格情况如表(该预测价格与冬小麦亩产量互不影响)． 预测明年冬小麦统一收购价格 (单位：元/kg) 2.4 3 概率 0.4 0.6 假设图中同组的每个数据用该组区间的中点值估算，并以频率估计概率． (1)试估计H地区明年冬小麦每亩统一收购总价为1500元的概率； (2)设H地区明年冬小麦每亩统一收购总价为X元，求X的分布列和数学期望； (3)H地区农科所研究发现，若每亩多投入125元的成本进行某项技术改良，则可使冬小麦亩产量平均增加50 kg.从广大种植户的平均收益角度分析，你是否建议农科所推广该项技术改良？并说明理由． 解：(1)由题图可知，亩产量是400 kg的概率约为0.005×50＝0.25，亩产量是450 kg的概率约为0.01×50＝0.5，亩产量是500 kg的概率约为0.005×50＝0.25. 估计H地区明年冬小麦每亩统一收购总价为1500元的概率为0.25×0.6＝0.15. (2)X的所有可能取值为960，1080，1200，1350，1500. P(X＝960)＝0.25×0.4＝0.1， P(X＝1080)＝0.5×0.4＝0.2， P(X＝1200)＝0.25×0.4＋0.25×0.6＝0.1＋0.15＝0.25， P(X＝1350)＝0.5×0.6＝0.3， P(X＝1500)＝0.25×0.6＝0.15. X的分布列为 X 960 1080 1200 1350 1500 P 0.1 0.2 0.25 0.3 0.15 E(X)＝960×0.1＋1080×0.2＋1200×0.25＋1350×0.3＋1500×0.15＝1242. (3)建议农科所推广该项技术改良． 设增产前冬小麦亩产量为ξ kg，增产后冬小麦亩产量为η kg，则η＝ξ＋50. 随机变量X的分布列为 X 2.4ξ 3ξ P 0.4 0.6 所以E(X)＝(2.4×0.4＋3×0.6)ξ. 设增产后冬小麦每亩统一收购总价为Y元， 则随机变量Y的分布列为 Y 2.4(ξ＋50) 3(ξ＋50) P 0.4 0.6 所以E(Y)＝(2.4×0.4＋3×0.6)(ξ＋50)＝(2.4×0.4＋3×0.6)ξ＋50×(2.4×0.4＋3×0.6)＝E(X)＋138. 所以增产后每亩平均会增加收益138元， 又138>125，所以建议农科所推广该项技术改良． 6．(2024·韶关模拟)研究表明，如果温差太大，人们不注意保暖，可能会导致自身受到风寒刺激，增加感冒患病概率，特别是对于儿童以及年老体弱的人群，要多加防范．某中学数学建模社团成员研究了昼夜温差大小与某小学学生患感冒就诊人数多少之间的关系，他们记录了某六天的温差，并到校医室查阅了这六天中每天学生新增感冒就诊的人数，得到数据如下： 日期 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 昼夜温差x (℃) 4 7 8 9 14 12 新增感冒就 诊人数y(位) y1 y2 y3 y4 y5 y6 参考数据：y＝3463，2＝289. (1)已知第一天新增感冒就诊的学生中有4位男生，从第一天新增的感冒就诊的学生中随机抽取2位，其中男生人数记为X，若抽取的2人中至少有一位女生的概率为，求随机变量X的分布列和数学期望； (2)已知两个变量x与y之间的样本相关系数r＝，请用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程＝x＋，据此估计昼夜温差为15 ℃时，该校新增感冒就诊的学生人数. 参考数据： r＝， ＝. 解：(1)因为1－＝，所以＝， 所以y1＝4×3×6＝9×8，解得y1＝9，即第一天新增患感冒而就诊的学生有9位，其中男生4位，女生5位，则随机变量X的可能取值为0，1，2，且X服从超几何分布，其中N＝9，M＝4，n＝2， P＝＝，P＝＝，P＝＝， X的分布列为 X 0 1 2 P X数学期望为E＝0×＋1×＋2×＝. (2)因为xi＝54，所以＝9，所以2＝64， 由于r＝ ＝＝， 所以 ＝8×16，所以＝＝＝2， 因为y＝3463，2 ＝y－2yi＋62＝y－62＝289， 解得＝23，所以＝－＝23－2×9＝5，所以＝2x＋5， 当x＝15时，＝30＋5＝35， 据此估计昼夜温差为15 ℃时，该校新增感冒就诊的学生人数为35. 学科网（北京）股份有限公司 $$