限时规范训练(70) 第9章 第2讲 用样本估计总体（word课时作业）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

限时规范训练(七十) A级　基础落实练 1．以下是某宿舍6名学生某日上午的体温记录：36.3，36.1，36.4，36.7，36.5，36.6(单位：℃)，则该组数据的第80百分位数为(　　) A．36.7　　 B．36.6　 C．36.5　　 D．36.4 解析：B　将6名学生该日上午的体温记录从小到大排列为36.1，36.3，36.4，36.5，36.6，36.7， 因为80%×6＝4.8，所以该组数据的第80百分位数为36.6. 2．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为2，方差为，则另一组数据3x1－2，3x2－2，3x3－2，3x4－2，3x5－2的平均数、方差分别为(　　) A．2，　　 B．2，1 C．4，　　 D．4， 解析：D　因为一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为2，方差为， 所以另一组数据3x1－2，3x2－2，3x3－2，3x4－2，3x5－2的平均数为3×2－2＝4， 方差为32×＝. 3．(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)下列统计量中，能度量样本x1，x2，…，xn的离散程度的是(　　) A．样本x1，x2，…，xn的标准差 B．样本x1，x2，…，xn的中位数 C．样本x1，x2，…，xn的极差 D．样本x1，x2，…，xn的平均数 解析：AC　由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势．故选AC． 4．(多选)成立时间少于10年、估值超过10亿美元且未上市的企业称为独角兽企业.2022年中国新经济独角兽企业分布较广泛、覆盖居民生活的各个方面．如图为2022年中国新经济独角兽企业 TOP100的行业分布图，在中国新经济独角兽企业 TOP100榜单中，京、沪、粤三地的企业数量共同占比达到70%.下列说法正确的是(　　) 2022年中国新经济独角兽企业TOP100行业分布 A随着智能出行与共享经济观念的普及，汽车交通行业备受投资者关注 B．在该 TOP100榜单中独角兽企业数量的中位数是3 C．在中国新经济独角兽企业 TOP100榜单中，京、沪、粤三地的企业超过82家 D．2022年中国新经济独角兽企业 TOP100榜单中，企业服务、汽车交通、先进制造行业的企业数量共同占比超过30% 解析：AD　A选项，由图可知，汽车交通行业在独角兽企业 TOP100榜单中数量较多，故A选项正确； B选项，数据为11，10，10，10，10，9，7，6，4，4，4，4，3，2，2，2，2，则中位数为4，故B选项不正确； C选项，100×70%＝70＜82，故C选项不正确； D选项，企业服务、汽车交通、先进制造行业的企业数量共同占比为×100%＝31%＞30%，故D选项正确． 5．(2024·云南红河州第二次检测)我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了解居民节约用水的意识，随机调查了100户居民某年的月均用水量数据(单位：立方米)，制成如图所示的频率分布直方图，下列说法正确的是(　　) A．该组样本数据的极差是4立方米 B．全市居民用户月均用水量的中位数的估计值是2.25立方米 C．全市居民用户月均用水量的众数的估计值是2立方米 D．可估计全市居民用户中月均用水量超过3立方米的约占15% 解析：D　对于A，由频率分布直方图无法得到这组数据的最大值和最小值，故无法准确判断这组数据的极差，故A错误； 对于B，因为(0.2＋0.3＋0.4)×0.5＝0.45，0.45＋0.5×0.5＝0.7，设中位数为x，由0.45＋0.5×(x－2)＝0.5得x＝2.1，故B错误； 对于C，由频率分布直方图可得全市居民用户月均用水量的众数的估计值为＝2.25，故C错误； 对于D，由频率分布直方图可得月均用水量超过3立方米的频率为(0.1＋0.1＋0.1)×0.5＝0.15，可估计全市居民用户中月均用水量超过3立方米的约占15%，故D正确． 6．(多选)(2024·济南联考)球队统计了某篮球运动员在联赛前9轮比赛中的得分数据(9个数据不全相同)，已知该运动员在第10轮比赛中的得分恰好为前9轮得分的平均数，则该运动员前10轮比赛的得分数据与前9轮比赛的得分数据相比，下列说法正确的是(　　) A．极差一定不变 B．平均数一定不变 C．方差一定变小 D．中位数一定不变 解析：ABC　由题知，极差一定不变，平均数一定不变，故A，B正确； 设前9轮得分的方差为s2，则前10轮得分的方差为s′2＝×(9s2＋0)＝＜s2，所以方差一定变小，故C正确； 当且仅当前9轮得分的平均数等于中位数时，中位数一定不变，故D错误． 7．(2024·沧州模拟)已知某样本数据分别为1，2，3，a，6，若样本平均数＝3，则样本方差s2＝________． 解析：由题设，得＝＝3，可得a＝3，所以s2＝ (xi－)2＝. 答案： 8．某影院记录了观看某部影片的70位观众的年龄，其中年龄位于区间[10，20)内的有10位，位于区间[20，30)内的有20位，位于区间[30，40)内的有25位，位于区间[40，50]内的有15位，则这70位观众年龄的众数的估计值为________． 解析：由于25＞20＞15＞10，故众数位于区间[30，40)内，所以众数的估计值为＝35. 答案：35 9．某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17)，[17，18]，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩的70%分位数约为________秒． 解析：设成绩的70%分位数为x， 因为＝0.55， ＝0.85，所以x∈[16，17)， 所以0.55＋(x－16)×＝0.70， 解得x＝16.5(秒)． 答案：16.5 10．自中国进入工业化进程以来，个人的文化水平往往影响或在某种程度上决定了个人的薪酬高低，文化水平较高的人往往收入较高，将个人的文化水平用数字表示，记“没有接受过系统学习或自学的成年人”为最低分25分，“顶级尖端人才”为最高分95分．为了分析A市居民的受教育程度，从A市居民中随机抽取1000人的文化水平数据X，将样本分成小学[25，35)，初中[35，45)，高中[45，55)，专科[55，65)，本科[65，75)，硕士[75，85)，博士[85，95]七组，整理后得到如图所示的频率分布直方图． (1)求样本数据的众数和中位数(保留一位小数)； (2)请估计该市居民的平均文化水平．(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替) 解：(1)样本数据的众数为＝70.0. X∈[25，65)的频率为0.05＋0.05＋0.15＋0.20＝0.45＜0.50， X∈[25，75)的频率为0.05＋0.05＋0.15＋0.20＋0.30＝0.75＞0.50. 所以中位数在区间[65，75)上，中位数为 65＋10×＝65＋≈66.7. (2)平均文化水平 ＝30×0.05＋40×0.05＋50×0.15＋60×0.20＋70×0.30＋80×0.20＋90×0.05＝64.5. 11．一次数学知识竞赛中，两组学生的成绩如下： 分数 50 60 70 80 90 100 人数 甲组 2 5 10 13 14 6 乙组 4 4 16 2 12 12 经计算，两组的平均分都是80分，请根据所学过的统计知识，进一步判断这次竞赛中哪个组更优秀，并说明理由． 解：从不同的角度分析如下： ①甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数这一角度看，甲组成绩好些． ②s＝×[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172. 同理得s＝256. 因为s＜s，所以甲组的成绩比乙组的成绩稳定． ③甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分，其中甲组成绩在80分以上(含80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(含80分)的有26人，从这一角度看，甲组成绩总体较好． ④从成绩统计表看，甲组成绩大于或等于90分的有20人，乙组成绩大于或等于90分的有24人，所以乙组成绩在高分段的人数多． 同时，乙组满分比甲组多6人，从这一角度看，乙组成绩较好． B级　能力提升练 12．(多选)已知一组数据丢失了一个大于3的数据，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失的数据可能是(　　) A．4　　 B．12　 C．18　　 D．20 解析：AC　设丢失的数据为x，则这七个数据的平均数为，众数是3，若3＜x＜5，则中位数为x，此时＋3＝2x，解得x＝4；若x≥5，则中位数为5，此时＋3＝2×5，解得x＝18.综上所述，丢失的数据可能是4或18. 13．(多选)(2024·泰州模拟)设一组样本的统计数据为：x1，x2，…，xn，其中n∈N*，x1，x2，…，xn∈R.已知该样本的统计数据的平均数为，方差为s2，设函数f(x)＝ (xi－x)2，x∈R，则下列说法正确的是(　　) A．设b∈R，则x1＋b，x2＋b，…，xn＋b的平均数为＋b B．设a∈R，则ax1，ax2，…，axn的方差为as2 C．当x＝时，函数f(x)有最小值ns2 D．f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)＜n2s2 解析：AC　对于A，x1，x2，…，xn的平均数＝(x1＋x2＋…＋xn)，x1＋b，x2＋b，…，xn＋b的平均数为(x1＋b＋x2＋b＋…＋xn＋b)＝(x1＋x2＋…＋xn)＋＝＋b，A正确； 对于B，x1，x2，…，xn的方差s2 ＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，ax1，ax2，…，axn的平均数为(ax1＋ax2＋…＋axn)＝a(x1＋x2＋…＋xn)＝a，方差为 [(ax1－a)2＋(ax2－a)2＋…＋(axn－a)2]＝ a2[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]＝a2s2，B错误； 对于C，f(x)＝ (xi－x)2＝(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2＝x－2nx＋nx2，又s2＝ (xi－)2＝(x－n2)，故x＝ns2＋n2，故f(x)＝x－2nx＋nx2＝nx2－2nx＋n2＋ns2＝n(x－)2＋ns2，故当x＝时，函数f(x)有最小值ns2，C正确； 对于D，由上知f(x1)≥ns2，f(x2)≥ns2，…，f(xn)≥ns2， f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)≥ns2＋ns2＋…＋ns2＝n2s2，D错误．故选AC． 14．中国独有的文书工具，即笔、墨、纸、砚，有文房四宝之名，起源于南北朝时期．其中宣纸是文房四宝的一种，宣纸“始于唐代，产于泾县”，因唐代泾县隶属宣州管辖，故因地得名宣纸．宣纸按质量等级分为正牌(优等品)、副牌(合格品)、废品三等．某公司生产的宣纸为纯手工制作，年产宣纸10 000刀(1刀＝100张)，该公司按照某种质量指标x给宣纸确定等级如表所示： x的范围 (44，48]∪(52，56] (48，52] [0，44]∪(56，60] 质量等级 副牌 正牌 废品 在该公司所生产的宣纸中随机抽取了一刀进行检验，得到概率分布直方图如图所示，已知每张正牌宣纸的利润为15元，副牌宣纸的利润为8元，废品的利润为－20元． (1)试估计该公司的年利润； (2)市场上有一种售价为100万元的机器可以改进宣纸的生产工艺，但这种机器的使用寿命为一年，只能提高宣纸的质量，不能增加宣纸的年产量．据调查这种机器生产的宣纸的质量指标x如表所示： x的范围 (－2，＋2) (－6，＋6) 频率 0.6827 0.9545 其中为质量指标x的平均值，但是由于人们对传统手工工艺的认可，改进后的正牌和副牌宣纸的利润都将下降3元/张，请问该公司是否购买这种机器？请你为公司提出合理建议，并说明理由．(同一组的数据用该组区间的中点值作代表) 解：(1)由频率分布直方图得，一刀宣纸有正牌100×0.1×4＝40(张)，有副牌100×0.05×4×2＝40(张)，有废品100×0.025×4×2＝20(张)， ∴该公司一刀宣纸的利润的估计值为 40×15＋40×8－20×20＝520(元)， ∴估计该公司的年利润为520万元． (2)由频率分布直方图，得 ＝42×0.025×4＋46×0.05×4＋50×0.1×4＋54×0.05×4＋58×0.025×4＝50. 这种机器生产的宣纸的质量指标x如表所示： x的范围 (48，52) (44，56) 频率 0.6827 0.9545 ∴一刀宣纸中正牌的张数估计为 100×0.6827＝68.27， 废品的张数估计为100×(1－0.9545)＝4.55， 副牌的张数为100×(0.9545－0.6827)＝27.18， ∴一刀宣纸的利润为 68.27×12＋27.18×5－4.55×20 ＝864.14(元)， ∴公司改进后该公司的年利润为 864.14－100＝764.14(万元)， ∵764.14＞520，∴建议该公司购买这种机器． 学科网（北京）股份有限公司 $$