5.5 一元一次方程的应用（2） 课件 2024--2025学年浙教版七年级数学上册

浙教版数学七年级上册 5.5 一元一次方程的应用（2） 第5章 一元一次方程 知识梳理 教材的地位 和作用 　本节内容是在学生已学习了由实际问题抽象出一元一次方程模型和解一元一次方程的一般步骤的基础上,进一步以探究的形式来讨论如何用一元一次方程解决实际问题.本节中涉及的应用问题主要是等积变形问题中的基本数量关系,相等关系的特征是存在不变量 重点 　掌握等积问题中常见的数量关系及列方程的方法 难点 　在复杂情境和数量关系下列方程解应用题 易错点 　等积变形问题中找不清等量关系 知识梳理 知识点一　面积不变的问题 面积不变的问题,形状不同而面积相等就是列方程的依据.解决此类问题应熟悉常用的面积公式,并能根据题目信息用未知数表示相关图形的面积. 【例1】一个长方形的周长是18 cm,若这个长方形的长减少1 cm,宽增加2 cm,就可以成为一个正方形,则此正方形的边长是 ( A ) A.5 cm　 B.6 cm　 C.7 cm　 D.8 cm 知识梳理 知识点二　体积不变的问题 体积不变的问题,形状不同而体积相等就是列方程的依据.解决此类问题应熟悉常用的体积公式,如长方体、圆柱的体积公式. 【例2】将底面半径为12 cm,高为9 cm的圆柱形铁块锻压成高16 cm的圆柱形零件.若体积不变,设圆柱形零件的底面半径为x cm,则可列出方程为 ( B ) A.144πx=162π×9           B.16πx2=9×122π C.12πx2=16×92π           D.9πx2=16×122π 知识梳理 【例3】如图,现有A,B两个圆柱形容器,B容器的底面积为S cm2,高为18 cm,A容器的底面积是B容器底面积的2倍,A容器内水的高度为10 cm. (1)若把A容器内的水全部倒入B容 器中,则水　　　　溢出(填“会”或 “不会”).  会 知识梳理 (2)若(1)中的水会溢出,则将B容器中倒满水时,求A容器中剩余水的高度;若(1)中的水不会溢出,求此时B容器内水的高度. (2)设A容器中剩余水的高度为x cm. 根据题意,得2Sx+18S=20S,且S>0,解得x=1. 答:A容器中剩余水的高度为1 cm. 知识梳理 (3)在倒水的过程中,当两个容器中水的高度相同时,求此时容器内水的高度. 知识梳理 【例4】实验室里有一个水平放置的正方体容器(如图①),从内部量得它的棱长为15 cm,容器内的水深为4 cm.现往容器内放入如图②所示的长方体实心铁块(铁块一面平放在容器底面),过顶点A的三条棱的长分别为10 cm,10 cm,x cm(x<15). (1)容器内水的体积为　　　　;  (2)当铁块的顶部高出水面1 cm 时,x的值为　　　　　.  900 cm3 12.5或8.2 知识梳理 解：(1)容器内水的体积为15×15×4=900(cm3). (2)①当长方体实心铁块棱长为10 cm和x cm的那一面平放在长方体容器底面时, 则铁块浸在水中的高度为9 cm,此时水位上升了5 cm,铁块浸在水中的体积为10×9x=90x(cm3),∴90x=15×15×5,解得x=12.5; ②当长方体实心铁块棱长为10 cm和10 cm的那一面平放在长方体容器底面时, 同理可得:10×10(x-1)=15×15(x-1-4),解得x=8.2. 综上,答案为12.5或8.2. 知识梳理 【例5】如图①所示,爱心农场的一个长、宽、高分别为12分米、8分米、20分米的长方体鱼池内装有高度为9分米的水.现需要将一长方体基座(足够高)放置在鱼池内.若基座竖直放置在鱼池底部,如图②所示,则池内水面上升3分米. (1)求基座的底面积; (2)在放置过程中,先将基座吊起,使得基座 的底部与水面平齐,如图③所示,然后将基 座以2分米/分的速度下降,设下降的时间为 t分,求当t=2时,池内水面上升的高度; (3)在(2)的条件下,请直接写出下降过程中, 基座的底面把池中水深分成1∶2两部分时 t的值. 知识梳理 解:(1)设基座的底面积为S平方分米. 根据题意,得12×8×3=(9+3)S,解得S=24. 答:基座的底面积为24平方分米. 知识梳理 知识梳理 自主练习 1．如图，在周长为10 m的长方形窗户上钉一块宽为1 m的长方形遮阳布，使透光部分正好是一个正方形，则钉好后透光面积为(　　) A．4 m2 B．9 m2 C．16 m2 D．25 m2 A 自主练习 2．用四个一样的长方形和一个小的正方形(如图)拼成了一个大的正方形．大正方形的面积是100平方米，小正方形的面积是16平方米，则长方形的短边长为(　　) A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 C 自主练习 自主练习 3．一个密封的瓶子里装着一些水(如图所示)，已知瓶子的底面积为10 cm2，根据图中标明的数据，计算可得瓶子的容积是(　　) A．80 cm3 B．70 cm3 C．60 cm3 D．50 cm3 【解析】 设瓶子的容积为V cm3， 依题意得V－10×(7－5)＝10×4， 解得V＝60. C 自主练习 4．如图，根据图中的信息，可得正确的方程是(　　) D 自主练习 5．一个标志性建筑的底面呈长方形，长是宽的2倍，在其四周铺上花岗岩，形成一个宽为3米的长方形框(如图所示).已知铺这个框恰好用了504块边长为0.5米的正方形花岗岩(接缝忽略不计).若设此标志性建筑底面长方形的宽为x米，给出下列方程： ①4×3(2x＋3)＝0.5×0.5×504；②2×3(2x＋6)＋2×3x＝0.5×0.5×504； ③(x＋6)(2x＋6)－2x·x＝0.5×0.5×504， 其中正确的是(　　) A．② B．③ C．②③ D．①②③ C 自主练习 6．如图，小明将一个正方形纸片剪出一个宽为4 cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5 cm的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么这个正方形的边长为 __________． 【解析】 设这个正方形的边长为x cm， 根据题意得4x＝5(x－4)， 解得x＝20， 所以这个正方形的边长为20 cm. 20 cm 自主练习 7．用一根长为12米的铁丝围成一个长方形． (1)若该长方形的长比宽多2米，求此时长方形的长、宽以及面积． (2)若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，求此时正方形的边长，并探究它所围成的面积与(1)中的长方形的面积相比有什么变化？ 解：(1)设此时长方形的宽为x米，则它的长为(x＋2)米， 根据题意得2(x＋x＋2)＝12， 解得x＝2，则长方形的长为x＋2＝4(米)， 自主练习 所围成的长方形面积为2×4＝8(平方米). 答：它所围成的长方形的长为4米，宽为2米，此时所围成的长方形面积为8平方米． (2)设正方形的边长为z米，根据题意，得4z＝12， 解得z＝3， 此时所围成的正方形的面积为3×3＝9(平方米). 答：此时正方形的边长是3米，它所围成的正方形的面积比(1)中长方形的面积大． 自主练习 8．如图，在大长方形ABCD(CD是宽)中放入六个长、宽都相同的小长方形，尺寸如图所示，求小长方形的宽AE.若设AE＝x cm，则对于甲乙分析思路描述正确的是(　　) 甲：我列的方程为6＋2x－x＝14－3x，找小长方形的长作为相等关系； 乙：我列的方程为6＋2x＝x＋(14－3x)，找的是大长方形的宽作为相等关系． A．甲对乙不完全对 B．甲不完全对乙对 C．甲乙都正确 D．甲乙都不对 C 自主练习 【解析】 依题意找小长方形的长作为相等关系得6＋2x－x＝14－3x或找大长方形的宽作为相等关系得6＋2x＝x＋(14－3x). 自主练习 9．根据图中给出的信息，回答下列问题． (1)若在左边水桶中放入一个小球和一个大球，则水桶中的水位高度是 ___________． (2)若在左边水桶中放入10个球，水桶中的水位升高到50 cm，则放入大球的数量是________． 31 cm 4 自主练习 自主练习 10．如图，用直径为200 mm的圆钢锻造一个长、宽、高分别为300 mm，300 mm和90 mm的长方体毛坯底板，应截取多长的圆钢？ 自主练习 11．在衢州市创建全国文明城市期间，要将一块梯形空地(如图1)进行美化，有以下两个步骤： (1)第1步：改成一个宽为24 m的长方形场地，要求面积不变，则应将梯形的上、下底边作怎样的调整？ (2)第2步：在长方形空地上开辟三块正方形的花坛，花坛之间和周边均留有宽度相等的人行通道(如图2)，请求出人行通道的宽度． 自主练习 解：(1)设将上底缩短x m，依题意得 ×(36＋84)×24＝24×(84－x)， 解得x＝24. 答：可将上底减小24 m，下底增加24 m，调整为长60 m，宽24 m的长方形． 自主练习 (2)设人行通道的宽度为y m，依题意得 4y＋3(24－2y)＝60， 解得y＝6. 答：人行通道的宽度为6 m． (3)设此时容器内水的高度为y cm. 根据题意,得2Sy+Sy=20S,且S>0, 解得y=. 答:此时容器内水的高度为 cm. (2)设池内水面上升x分米. 根据题意,得24×(2×2+x)=12×8x, 解得x=. 答:池内水面上升分米. (3)水面上升高度为t(分米),基座底面到池底的距离为(9-2t)分米,基座底面到水面的距离为2t+t=t(分米). 由题意,得9-2t=2×t或9-2t=t, 解得t=或t=. 故t的值为或. 【解析】 ＝10，＝4. 设长方形的短边长为x m，则长方形的长边长为(x＋4)m， 根据题意得x＋4＋x＝10， 解得x＝3， ∴长方形的短边长为3 m． A．π×82x＝π×62×(x＋5) B．π×82x＝π×62×5 C．π×x＝π××(x－5) D．π×x＝π××(x＋5) 【解析】 依题意，得π×x＝π××(x＋5). 【解析】 (1)由已知得，在左边水桶中放入一个小球水桶中的水位高度上升＝2(cm)，放入一个大球水桶中的水位高度上升＝3(cm)， ∴在左边水桶中放入一个小球和一个大球，水桶中的水位高度是26＋2＋3＝31(cm). (2)设放入大球x个，则放入小球(10－x)个， 根据题意得3x＋2(10－x)＝50－26， 解得x＝4， 故放入大球4个． 解：设应截取圆钢x mm，根据题意，得 π×x＝300×300×90， 解得x＝. 答：应截取 mm长的圆钢． $$