3.2.1函数的单调性与最值（教学课件）数学湘教版必修第一册

3.2 函数的基本性质 3.2.1 函数的单调性与最值 第3章 函数的概念与性质 问题引入 给定一个函数的解析式或图象，你能不能从中看出这个函数的性质呢？ 函数尽管千变万化，但函数值毕竟是实数，实数变化，无非是变大变小.要问函数的性质，首先在大小上做文章.大，大到什么程度，上面封顶不封顶？小，小到什么程度，下面保底不保底？ 概括来说，对函数性质的研究，我们首先关心的是函数值的变化范围(封顶和保底)和变化趋势(走高和下滑).如图是某报2016年11月刊登的上海证券交易所综合股价指数(简称上证指数)一年多来的走势曲线图. 新知探索 从图可以看到，自2015年6月份以来，上证指数从最高点震荡后总体一路下跌，虽中途偶有攀升，但到2016年2月份震荡下跌，几乎到最低点.随后又回升至3000点，呈现平稳的态势. 从图上观察函数的性质，难免有一些疑问：只靠眼睛观察得到的认识是不是准确的呢？例如，从有界限的图怎能看出函数值是无界限的呢？ 新知探索 从图可以看到，自2015年6月份以来，上证指数从最高点震荡后总体一路下跌，虽中途偶有攀升，但到2016年2月份震荡下跌，几乎到最低点.随后又回升至3000点，呈现平稳的态势. 从图上观察函数的性质，难免有一些疑问：只靠眼睛观察得到的认识是不是准确的呢？例如，从有界限的图怎能看出函数值是无界限的呢？描点连线画图的可靠性如何保证呢？ 新知探索 例如，下图是计算机用描点连线的方法画出的同一个函数的两个图象.虚线是取10个点描出的，实线是取50个点描出的，两者明显不同. 可见，光靠描点作图看图来研究函数的性质还不够.从解析式出发研究函数性质，在数学推理的指导下画图，对函数的性质会了解得更全面、更准确，为此要用更严密的数学语言来描述函数的性质. 新知探索 以下设是函数的定义域，是的一个非空的子集.如不加说明，我们认为是个区间. (1)函数的最大值 如果有，使得不等式对一切成立，就说在处取到最大值，称为的最大值，为的最大值点. 仿照上面，同样可以写出的最小值和最小值点的定义.最大值和最小值统称为最值. (1)函数的最小值 如果有，使得不等式对一切成立，就说在处取到最小值，称为的最小值，为的最小值点. 新知探索 (2)函数的单调性 如果对于上任意两个值，，当时，都有，就称是区间上的增函数，也称在区间上单调递增，如下左图. (2)函数的单调性 如果对于上任意两个值，，当时，都有，就称是区间上的减函数，也称在区间上单调递减，如下左图. 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性，区间叫作的单调区间. 例析 例 1 证明：定义在上的函数是增函数. 证明 设和是任意两个实数，且，则 于是. 由函数单调性的定义可知，函数是上的增函数. 取值 作差定号 判断 新知探索 对于例1的解答过程，假如任取的，满足，怎么判断是增函数还是减函数呢？此时，，，由函数单调性的定义仍可知，是上的增函数. 由此可知，当与同为正数时，是增函数；当与同为负数时，也是增函数.也就是说，只要与同号，就是增函数.同理可知，当与异号时，是减函数. 函数的单调性把自变量的变化方向和函数值的变化方向联系起来，描述了函数的变化过程和趋势，是函数的最重要的特征之一. 新知探索 实际计算中，只要将与相除，根据商是正还是负，就能判别与是同号还是异号，进而判别是增函数还是减函数. 例1中的商，所以是上的增函数. 用定义法判断函数单调性的一般步骤： 取值 作差(作商)定号 判断 例析 例 2 证明函数在区间上递减，在区间上递增，并指出函数在区间上的最值点和最值. 解 (1)设和是区间上任意两个实数，且，则 由，得 于是 所以，函数在区间上递减. 例析 例 2 证明函数在区间上递减，在区间上递增，并指出函数在区间上的最值点和最值. 解 (2)设和是区间上任意两个实数，且. 由，得 于是 所以，函数在区间上递减. 综合(1)(2)可知，函数在区间上处取到最小值，最小值为. 例析 例 3 若关于的函数在区间上递减，求实数的取值范围. 解 因为二次函数的图象的对称轴为直线，且开口向上，所以函数在区间上递减. 又已知该函数在区间上递减，则需满足，即. 故实数的取值范围为. 练习 题型一：判断（证明）函数的单调性 例1.证明函数 在区间上是减函数. 证明： ( 由所以， 又由，得 于是 所以，函数在区间上单调递增. 练习 方法技巧： 用定义法判断（证明）函数的单调性 1.取值； 2.作差(或作商)定号； 3.判断. 练习 变1.(1)(多选)下列四个函数在区间上是增函数的是（ ）. 答案：CD. 变2.试用函数单调性的定义证明： 在上是减函数. （解答思路同例1） 练习 题型二：图象法求函数的单调区间 例2.画出函数 的图象，并指出函数的单调区间. 解：函数图象如图所示： 由图知，函数的增区间为：； 函数的减区间为： 练习 方法技巧： 图象法求函数单调区间的步骤： （1）作图； （2）结论：上升图象对应单调递增区间，下降图象对应单调递减区间. 练习 变2.将例2中的 改为,则如何求解. 解：函数图象如图所示： 由图知，函数的增区间为：； 函数的减区间为： 练习 题型三：函数单调性的应用 例3.函数是R上的增函数且,则（ ）. A. B. C. D. 解：据题意，暂不能得出的正负.现假设： ，则有： ,. 而是R上的增函数 ∴, ∴.故选C. 练习 方法技巧： 函数单调性的应用： 二次函数与函数单调性结合的题目中，要关注二次函数对称轴及其开口方向. 含参问题中，要数形结合来分析参数的取值范围. 练习 变3.已知函数. (1)若上是增函数，求的范围. 解：(1)∵， ∴ 由二次函数的性质知，在上单调递增， 所以有，即 练习 变3.已知函数. (2)若的单调区间是，求的范围. 解：(2)∵， ∴ 由二次函数的性质知，在上单调递增， 若的单调区间是，则有，即 课堂小结&作业 作业： 1.整理复习课上例题； 2.课本P81的练习题； 3.课本P84的习题3.2的题. 小结： 1.函数单调性的定义； 2.函数单调性的判断（定义法、图象法）； 3.单调性的应用. 谢谢学习 Thank you for learning $$