广东省江门市鹤山市碧桂园学校2023-2024学年八年级下学期月考数学试卷（3月份）

2023-2024学年广东省江门市鹤山市碧桂园学校八年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如果有意义，则a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 2.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是(    ) A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 3.下列二次根式中属于最简二次根式的是(    ) A. B. C. D. 4.若最简二次根式与可以合并，则a的值为(    ) A. B. C. 1 D. 5.平行四边形不一定具备的性质是(    ) A. 对角互补 B. 对边相等 C. 对角相等 D. 对角线互相平分 6.如果，，那么m和n的关系是(    ) A. 互为相反数 B. 互为倒数 C. 相等 D. 互为负倒数 7.等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为(    ) A. B. C. D. 3 8.如图所示，点C表示的数为2，，以O为圆心，OB为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是(    ) A. B. C. D. 9.如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是(    ) A. 9 B. 10 C. D. 10.如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是(    ) A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.在平行四边形ABCD中，，则______. 12.命题“邻补角互补”的逆命题是______，是______命题“真”或“假” 13.有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了______米． 14.如图，从一个大正方形中可以裁去面积为和的两个小正方形，则阴影部分的周长为______ 15.如图，在中，，，P是内的一点，且，，，作等腰直角，连接EP，EB，下列说法正确的有______. ①≌；②；③是直角三角形；④ 三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题10分 计算： ； 17.本小题7分 如图，，，BD平分，求证： 18.本小题7分 计算： 19.本小题9分 实数a在数轴上的位置如图，化简 20.本小题9分 已知，，求下列各式的值 ， 21.本小题9分 如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端A距地面的垂直高度为8米，梯子的顶端下滑2米后到达E点，底端也水平滑动2米吗？试说明理由. 22.本小题12分 已知，在长方形ABCD中，，，点E，F分别是边AB，BC上的点，连接DE，DF， 如图①，当时，试说明是直角三角形； 如图②，若点E是边AB的中点，DE平分，求BF的长． 23.本小题12分 定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”. 若，，求出a，b的“如意数” 如果，，求a，b的“如意数”c，并证明“如意数” 已知，且a，b的“如意数”，求b的值. 24.本小题15分 我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． 如图1，已知格点小正方形的顶点：、、，若M为格点，请直接画出所有以OA、OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB； 如图2，将绕顶点B按顺时针方向旋转，得到，连结AD、DC，，求证：，即四边形ABCD是勾股四边形； 如图3，在四边形ABCD中，为等边三角形，，，，求AC长． 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：有意义， ，即 故选 根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，列出不等式，解此不等式即可． 本题主要考查了二次根式的意义和性质： 概念：式子叫二次根式； 性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 2.【答案】C  【解析】解：A、，不能构成直角三角形，故不符合题意； B、，不能构成直角三角形，故不符合题意； C、，能构成直角三角形，故符合题意； D、，不能构成直角三角形，故不符合题意． 故选： 本题可对四个选项分别进行计算，看是否满足勾股定理的逆定理，若满足则为答案． 本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 3.【答案】C  【解析】解：A、，二次根式的被开方数中含有没开的尽方的数，故A选项错误； B、，二次根式的被开方数中含有没开的尽方的数，故B选项错误； C、符合最简二次根式的定义，故C选项正确； D、的被开方数中含有分母，故D选项错误； 故选： 判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数或因式的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察． 本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意： 在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式； 在二次根式的被开方数中的每一个因式或因数，如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式． 4.【答案】C  【解析】解：与都是最简二次根式，且可以合并， 与是最简的同类二次根式， ， 解得 故选： 根据题意可知若最简二次根式与是同类二次根式，即被开方数相同，由此建立方程求解即可． 本题主要考查最简二次根式和同类二次根式的知识，解题的关键是理解最简二次根式的概念． 5.【答案】A  【解析】解：根据平行四边形的性质可知：B、C、D均是平行四边形的性质，唯有A是平行四边形不一定具备的性质． 故选： 平行四边形性质：①平行四边形的两组对边分别相等；②平行四边形的两组对角分别相等；③平行四边形的对角线互相平分．将四个选项与之对照，可知只有A不符合，故选 此题主要考查对平行四边形的性质的掌握，熟记各个性质是解题的关键． 6.【答案】B  【解析】解：， ， 和n互为倒数， 故选 计算m和n的积与和，即可求得． 本题考查了二次根式的加法和乘法运算，掌握运算法则是解题的关键． 7.【答案】C  【解析】解：作， 是等边三角形，， ， 在直角中， ， ； 故选： 如图，作，则CD是等边底边AB上的高，根据等腰三角形的三线合一，可得，所以，在直角中，利用勾股定理，可求出CD的长，代入面积计算公式，解答出即可； 本题主要考查了等边三角形的性质及勾股定理的应用，根据题意，画出图形可利于解答，体现了数形结合思想． 8.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键． 首先利用勾股定理得出BO的长，再利用A点的位置得出答案． 【解答】 解：点C表示的数为2，，以O为圆心，OB为半径画弧，交数轴于点A， ， 则A表示的数为 故选： 9.【答案】B  【解析】解：如图，； 如图， ，故选 将长方体展开，得到两种不同的方案，利用勾股定理分别求出AB的长，最短者即为所求． 此题考查了立体图形的侧面展开图，利用勾股定理求出斜边的长是解题的关键，而两点之间线段最短是解题的依据． 10.【答案】A  【解析】解：设，则，由折叠的性质知， 而，在中，由勾股定理可知，即， 整理得，所以 故选 根据折叠的性质，只要求出DN就可以求出NE，在直角中，若设，则，，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出CN的长． 折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，通常用勾股定理解决折叠问题． 11.【答案】  【解析】解：四边形ABCD是平行四边形， ，， ， ， ， 故答案为： 根据平行四边形的性质计算即可． 本题考查平行四边形的性质，熟记平行四边形对角线相等和邻补角互补是解题的关键． 12.【答案】互补的角为邻补角；假  【解析】解：命题“邻补角互补”的逆命题是互补的角为邻补角，此逆命题是假命题． 故答案为互补的角为邻补角，假． 交换原命题的题设与结论部分即可得到原命题的逆命题，然后根据邻补角的定义判断逆命题的真假． 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题． 13.【答案】  【解析】解：两棵树的高度差为，间距EC为5m， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离 故答案为： 根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解． 14.【答案】  【解析】解：从一个大正方形中裁去面积为 和 的两个小正方形， 则两个小正方形的边长分别是， 阴影部分的周长为 故答案为： 根据已知部分面积求得相应正方形的边长，从而得到阴影部分的周长． 本题考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题的关键． 15.【答案】①③④  【解析】解：在①中， ， ， 由，，， 得≌； 故①正确． 在③中， ， ， ≌， ， ， 又， ， ， 故③正确． 在②中， ≌， ， ， 在中，， ， 故②不正确． 在④中， ， 故④正确． 故答案为：①③④． 在①中，由，得，故≌；故①正确．在③中，由≌，得，由勾股定理逆定理得，故③正确．在②中，由≌，得，在中，，故，故②不正确．在④中，，故④正确． 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，掌握手拉手模型是解题关键． 16.【答案】解： ；   【解析】先化简，然后合并同类二次根式即可； 根据乘法分配律计算，然后化简即可． 本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 17.【答案】证明：， 又平分， ， ， ，， 四边形ADCE为平行四边形， ，   【解析】由平行线和角平分线的定义以及等腰三角形的判定推知；然后根据平行四边形的判定证得四边形ADCE为平行四边形，平行四边形ADCE的对边 本题考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定．注意“等量代换”在本题中的应用． 18.【答案】解：   【解析】先算乘方，乘法，再算加减即可． 本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 19.【答案】解：由数轴可得出：，   【解析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质进行开平方得出是解题关键．首先利用数轴得出a的取值范围，进而去绝对值以及开平方即可． 20.【答案】解：当，时， ；   【解析】将x、y的值代入计算可得； 将x、y的值代入，计算可得． 本题主要考查代数式的求值，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 21.【答案】解：由题意可知，，，， 在 中，由勾股定理得：， 当 B滑到 D时，，； 在 中，， 答：梯子的顶端下滑 2米后，底端将水平滑动 2米．  【解析】根据题意画出图形，根据题意两次运用勾股定理即可解答． 本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 22.【答案】证明；， ， 四边形ABCD是长方形， ，，， 在中，， 在中，， 在中，， ， 是直角三角形，且； 解：作于H， 则 平分， ， 在和中，， ≌， ，， ， 在和中，， ， 设，则，， ， 在中，， ， ， 即  【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；证明三角形全等是解题的关键． 在中，，在中，，在中，，得出，即可得出结论； 作于H，则，证明≌，得出，，得出，证明，得出设，则，，得出，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 23.【答案】解：； ，， ， ， ， ； ，a，b的“如意数”， ， ， 即：  【解析】根据题目中所给的运算规则可得“如意数”c； 根据题目中所给的运算规则计算出“如意数”c后，把所得的式子化为完全平方式的形式即可判定“如意数”c的大小； 先有理化可得，根据题目中所给的运算规则可得，问题即可得解． 本题考查的是新定义运算，分母有理化，整式的加减，根据题意理解“如意数”的运算法则是解题的关键． 24.【答案】解：如图， 连接CE，如图2， 绕顶点B按顺时针方向旋转，得到， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 四边形ABCD是勾股四边形． 如图3，将绕顶点B按逆时针方向旋转，使点C与点D重合，得到， ，，， 是等边三角形， ， 为直角三角形， ， 即， 即  【解析】利用勾股定理计算画出即可； 先利用旋转的性质得到，，，则可判断是等边三角形，所以，，再证明，利用勾股定理得到，从而得到，然后根据题中定义可判断四边形ABCD是勾股四边形． 将绕顶点B按逆时针方向旋转，使点C与点D重合，得到，证明为直角三角形，得出，即，可求出答案． 此题是四边形综合题，考查了新定义“勾股四边形”，勾股定理，直角三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质和直角三角形的性质是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$