第11讲 一次式（四类知识点+六大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年六年级数学上册同步学与练（沪教版2024）

第11讲 一次式（六大题型） 学习目标 1、知道一次式的有关概念 2. 学会合并一次式的同类项； 3、了解一次式的加减及求值、应用等； 4、掌握数与一次式相乘。 一、一次式 代数式5x-3y+4是5.x、-3y和4的和，我们把5x、-3y、4称作代数式5-3y+4的项. 5. x、-3y只含有一个字母，且字母的指数是1,叫作一次项.不含字母的项叫作常数项，一次项中的数字因数叫作项的数字系数，简称系数.例如，5.x的系数是5,-3y的系数是-3;代数式-x+2y的一次项是一x和2y,一次项的系数分别是一1和2. 【方法规律】x和-x的系数分别是1、一1,而系数 “1”遇常省略不写. 像这样，由一次项与常数项组成，或仅含一次项的代数式叫作一次式. 例-2b、7-、6m+7m、 等都是一次式，但m²、 a-b²、6+3c-c2、-9等都不是一次式. 二、一次式的同类项 一次式5x+3x中的5.x、3x这两项所含字母相同，一次式16S-4S中的16S、-4S这两项所含字母也相同.在一次式中，字母相同的项叫作一次式的同类项，所有常数项都是同类项. 一次式中含字母的同类项可以合并，合并时只要把含字母的同类项的系数相加 一般地，把同类项合并成一项，称为合并同类项.合并一次式的同类项时，把含字母的同类项的系数相加所得的结果作为系数，字母不变；常数项直接相加. 三、一次式的加减 思考：如何计算（2.5x-2）+（3x+8）和（2.5x+8）-（1.5x-3）? 数的运算中的去括号方法在一次式中同样适用，即括号前面是“+”号， 去掉括号后，括号内各项都不变；括号前面是“一”号，去掉括号后，括号内各项都变号. 如下所示，根据去括号方法区我们可以分别求出（2.5x-2）+（3x+8）和（2.5x+8）-（1.5x-3）的结果 【方法规律】几个一次式相加减，通常用括号把每个一次式括起来，再用加减号连接。 四、数与一次式相乘 一般地，数与一次式相乘，就是用这个数去乘一次式的每一项，再把所得的积相加.在含有字母的项与数相乘时，把这个数与项的系数相乘的积作为字母的系数，字母不变.运算时要注意这个数与项的系数相乘的积的符号. 【方法规律】 式子2×(5a-2)中问的乘号可以省略不写、简记为2(5a-2). 【即学即练1】指出一次式5m--8中的一次项、常数项及一次项的系数 【即学即练2】指出并合并一次式7m+4n-3-m-6n+5中的同类项. 【即学即练3】先去括号，再合并同类项： (1)a+2-(9a-3)； (2)—(6m-8)一(-1+2m)。 题型1：一次式的有关概念 【典例1】．指出下列一次式的一次项、常数项和一次项的系数： m、a+b、-2、、3a-b-9 题型2：合并同类项、一次式加减 【典例2】．.先去括号，再合并同类项. (1)(2-6x)+(3x+3); (2)—(5y-10)-(2-2y). 【典例3】 (1)求一次式2x、3-4x、x+1的和； (2)求3m-2n+1减去m+n-2的差。 题型3：一次式加减并求值 【典例4】．当x=时，求一次式3x-1+(3x-6)-(-3x+1)的值. 题型4：一次式加减的实际应用 【典例5】．某汽车企业第一季度销售x万辆新能源汽车，第二季度销售的新能源汽车比第一季度的1.5倍少1万辆，第三季度销售的新能源汽车比第一季度的2倍多6万辆.用一次式表示； (1)该汽车企业第二季度和第三季度一共销售的新能源汽车数量； (2)第三季度比第二季度多销售的新能源汽车数量. 分析 第二季度销售的新能源汽车数量：(1.5x-1)万辆； 第三季度销售的新能源汽车数量(2x+6)万辆。 因此，第二季度和第三垂度一共销售[(1.5x-1)+(2x+6)]万辆； 第三季度比第二季度多销售[(2.x+6)—(1.5x-1)]万辆。 题型5：数与一次式相乘 【典例6】． 计算： (1)6(m-3); (2)-7(n—3m); (3)-x+2(3x-2); (4)3(2x+1)-2(1-x). 题型6：一次式有关的图形问题 【典例7】．如图2-3-2,用一根铁丝围成一个长方形，这个长方形的宽是a cm,它的长是(3a-2)cm.如何用一次式表示这根铁丝的长度? 一、单选题、填空、解答题 1.找出下列代数式中的一次式： a+3、5-2y²、3x、-9、-、x+y-1. 2.合并同类项： (1)3m+6m=_______ (2)2m-6m=______; (3)-2m-6m=_______; (4)5m+6m=______. 3.判断下列各式是否正确，正确的在括号里打“√”,错误的在括号 里打“×”: (1)8-6x=2x; ( ) (2)-2y+2y=-4 ( ) (3)3m+4n=7mn; ( ) (4)4m+6m=16m. ( ) 4.化简下列一次式： (1)7m-2-7n+3m; (2)-5+2m-1 5.(1)求4x-5与2-y+6x的和； (2)求5m减去4n-3m+1的差. 6.先化商，再求值：(2x-y)-(x+y-3),其中x=1，y=-1. 7.计算： (1)-2(m+6）； (2)-3(n—8); (3)(-3x+5)×(-5); (4)(5y-3)×(-3). 8.计算 (1)2(x-3)—5x; (2)(12m-6)+(9-3m), 9.计算： (1)3a+5a-a; (2)2m-(3—m) (3)-6(2a+3a); (4)2(n-3)—(n-2). 10. 三个连续自然数的和是否一定能被3整除?请说明理由. 11. 计算： (1)-5y+2y-1; (2)2(x-y+1); (3)2(m-7)(m+4); (4)(6m-16)+(-9-3m). 12. 三个连续正偶数的和是否一定能被6整除?请说明理由. 13. 乐乐平均每分钟用电脑输入x个文字，现有一篇文稿，乐乐先用5分钟输入了文稿的部分文字.又用3分钟完成文稿的剩余文字输入，乐乐 一共用了8分钟完成整篇文稿的文字输入.如何用一次式表示这篇文稿的总字数? 14. 用16块面积都是S的正方形地砖铺一块正方形的地面，中间4块地砖是蓝色地砖，其他的12 块地砖都是白色地砖，如图2-3-1所示。如何用一次式表示白色地砖总面积? 图2-3-1 15.甲、乙两车相距130 km,同时出发，相向而行，甲车的速度是80 km/h,乙车的速度是50 km/h. (1) 用一次式表示经过th(t<1)后两车的距离； (2) 经过30 min,两车的距离是多少? 16.中国古代窗花图案设计得简约又美观。如图(1),有一种图案是由 1个小正方形和4个形状相同的小长方形拼成的1个正方形窗花.如果 富花内小正方形的边长为a cm,小长方形的长为b cm,那么如图(2), 由4个这样的窗花做成的正方形窗户的周长是多少? （2） 17.如图，求涂色部分的周长 强化训练补 1．下列代数式是一次式的是（　　） A．8 B．4s+3t C．xy D． 2．已知（a﹣1）x3+xb﹣1是关于x的一次式，则a，b的值分别是（　　） A．0，3 B．0，1 C．1，2 D．1，1 3．式子（a﹣1）x3+x（b﹣1）是关于x的一次式，则a、b的值可能为（　　） A．0，1 B．1，2 C．0，3 D．1，1 4．一次式M与﹣2x+3y的和是﹣5x+2y，则M等于（　　） A．﹣7x+5y B．3x+y C．﹣3x﹣y D．7x﹣5y 5．一次式1﹣y+2x的第二项是 　 　，第三项的系数是 　 　． 6．一次式中b的系数是　 　，常数项是　 　． 7．若一次式3a+2b﹣1的值为3，那么一次式6a﹣5+4b＝　 　． 8．已知（n﹣3）xn﹣1+x﹣2是关于x的一次式，约定x0＝1（x≠0），求n的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 2 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 一次式（六大题型） 学习目标 1、知道一次式的有关概念 2. 学会合并一次式的同类项； 3、了解一次式的加减及求值、应用等； 4、掌握数与一次式相乘。 一、一次式 代数式5x-3y+4是5.x、-3y和4的和，我们把5x、-3y、4称作代数式5-3y+4的项. 5. x、-3y只含有一个字母，且字母的指数是1,叫作一次项.不含字母的项叫作常数项，一次项中的数字因数叫作项的数字系数，简称系数.例如，5.x的系数是5,-3y的系数是-3;代数式-x+2y的一次项是一x和2y,一次项的系数分别是一1和2. 【方法规律】x和-x的系数分别是1、一1,而系数 “1”遇常省略不写. 像这样，由一次项与常数项组成，或仅含一次项的代数式叫作一次式. 例-2b、7-、6m+7m、 等都是一次式，但m²、 a-b²、6+3c-c2、-9等都不是一次式. 二、一次式的同类项 一次式5x+3x中的5.x、3x这两项所含字母相同，一次式16S-4S中的16S、-4S这两项所含字母也相同.在一次式中，字母相同的项叫作一次式的同类项，所有常数项都是同类项. 一次式中含字母的同类项可以合并，合并时只要把含字母的同类项的系数相加 一般地，把同类项合并成一项，称为合并同类项.合并一次式的同类项时，把含字母的同类项的系数相加所得的结果作为系数，字母不变；常数项直接相加. 三、一次式的加减 思考：如何计算（2.5x-2）+（3x+8）和（2.5x+8）-（1.5x-3）? 数的运算中的去括号方法在一次式中同样适用，即括号前面是“+”号， 去掉括号后，括号内各项都不变；括号前面是“一”号，去掉括号后，括号内各项都变号. 如下所示，根据去括号方法区我们可以分别求出（2.5x-2）+（3x+8）和（2.5x+8）-（1.5x-3）的结果 【方法规律】几个一次式相加减，通常用括号把每个一次式括起来，再用加减号连接。 四、数与一次式相乘 一般地，数与一次式相乘，就是用这个数去乘一次式的每一项，再把所得的积相加.在含有字母的项与数相乘时，把这个数与项的系数相乘的积作为字母的系数，字母不变.运算时要注意这个数与项的系数相乘的积的符号. 【方法规律】 式子2×(5a-2)中问的乘号可以省略不写、简记为2(5a-2). 【即学即练1】 指出一次式5m--8中的一次项、常数项及一次项的系数 【答案】解：一次式5m--8中的一次项是5m和-，常数项是-8,其中 一次项的系数分别是5、- 【即学即练2】指出并合并一次式7m+4n-3-m-6n+5中的同类项. 【答案】解：一次式7m+4n-3-m-6m+5中，7m和-m是同类项，4n和-6n是同类项，-3和5是同类项 因为7m+4n-3-m-6n+5就是7m、4n、-3、-m、-6n、5的和， 所以根据加法的交换律和结合律，得 7m+4n-3-m-6n+5 =7m-m+4n-6n-3+5(加法交换律) =(7m—m)+(4n-6n)+(-3+5)(加法结合律) =(7-1)m+(4-6)n+2(合并同类项) =6m-2n+2. 【即学即练3】先去括号，再合并同类项： (1)a+2-(9a-3)； (2)—(6m-8)一(-1+2m)。 【答案】 解：(1)a+2—(9a-3) =a+2-9a+3 =-8a+5. （2）—(6m-8)-(-1+2m) = —6m+8+1-2m =—8m+9. 题型1：一次式的有关概念 【典例1】．指出下列一次式的一次项、常数项和一次项的系数： m、a+b、-2、、3a-b-9 【答案】略 题型2：合并同类项、一次式加减 【典例2】．.先去括号，再合并同类项. (1)(2-6x)+(3x+3); (2)—(5y-10)-(2-2y). 【答案】(1)-3x+5;(2)-3y+8 【典例3】 (1)求一次式2x、3-4x、x+1的和； (2)求3m-2n+1减去m+n-2的差。 【答案】(1)2x+(3-4x)+(x+1) =2x+3-4x+x+1 =-x+4 (2)(3m-2n+1)—(m+n-2) =3m-2n+1-m-n+2 =2m—3n+3. 题型3：一次式加减并求值 【典例4】．当x=时，求一次式3x-1+(3x-6)-(-3x+1)的值. 【答案】解：3x-1+(3x-6)-(-3x+1） =3x-1+3x-6+3x-1 =9x-8. 题型4：一次式加减的实际应用 【典例5】．某汽车企业第一季度销售x万辆新能源汽车，第二季度销售的新能源汽车比第一季度的1.5倍少1万辆，第三季度销售的新能源汽车比第一季度的2倍多6万辆.用一次式表示； (1)该汽车企业第二季度和第三季度一共销售的新能源汽车数量； (2)第三季度比第二季度多销售的新能源汽车数量. 分析 第二季度销售的新能源汽车数量：(1.5x-1)万辆； 第三季度销售的新能源汽车数量(2x+6)万辆。 因此，第二季度和第三垂度一共销售[(1.5x-1)+(2x+6)]万辆； 第三季度比第二季度多销售[(2.x+6)—(1.5x-1)]万辆。 【答案】（1）3.5x+5（2）0.5x+7 题型5：数与一次式相乘 【典例6】． 计算： (1)6(m-3); (2)-7(n—3m); (3)-x+2(3x-2); (4)3(2x+1)-2(1-x). 【答案】解(1)6(m-3) =6m+6×(-3) =6m—18. (2)—7(n—3m) =—7n+(-7)×（-3m) =—7n+21m (3)-x+2(3x-2) = -x+6x—4 =5x-4. (4)3(2x+1)-2(1-x) =6x+3-2+2x =8x+1 题型6：一次式有关的图形问题 【典例7】．如图2-3-2,用一根铁丝围成一个长方形，这个长方形的宽是a cm,它的长是(3a-2)cm.如何用一次式表示这根铁丝的长度? 【答案】根据题意，铁丝的长为2×(a+3a-2),即2(4a-2)cm 式子2×(4a-2)中问的乘号可以省略不写、简记为2(4a-2). 根据乘法对加法的分配律与乘法结合律，得 2(4a-2)=2×(4a)+2×(-2)(乘法对加法的分配律) =(2×4)a—4(乘法结合律) =8a-4. 一、单选题、填空、解答题 1.找出下列代数式中的一次式： a+3、5-2y²、3x、-9、-、x+y-1. 【答案】略 2.合并同类项： (1)3m+6m=_______ (2)2m-6m=______; (3)-2m-6m=_______; (4)5m+6m=______. 【答案】9m；-4m；-8m；11m 3.判断下列各式是否正确，正确的在括号里打“√”,错误的在括号 里打“×”: (1)8-6x=2x; ( ) (2)-2y+2y=-4 ( ) (3)3m+4n=7mn; ( ) (4)4m+6m=16m. ( ) 【答案】×；×；×；× 4.化简下列一次式： (1)7m-2-7n+3m; (2)-5+2m-1 【答案】10m-7n-2； 5.(1)求4x-5与2-y+6x的和； (2)求5m减去4n-3m+1的差. 【答案】10x-y-3；8m-4n-1 6.先化商，再求值：(2x-y)-(x+y-3),其中x=1，y=-1. 【答案】6 7.计算： (1)-2(m+6）； (2)-3(n—8); (3)(-3x+5)×(-5); (4)(5y-3)×(-3). 【答案】-2m-12；-3n+24；15x-25；-3y+9 8.计算 (1)2(x-3)—5x; (2)(12m-6)+(9-3m), 【答案】-2m-12；-3n+24；15x-25；-3y+9 9.计算： (1)3a+5a-a; (2)2m-(3—m) (3)-6(2a+3a); (4)2(n-3)—(n-2). 【答案】7a；3m-3；-30a；n-3 10. 三个连续自然数的和是否一定能被3整除?请说明理由. 【答案】略 11. 计算： (1)-5y+2y-1; (2)2(x-y+1); (3)2(m-7)(m+4); (4)(6m-16)+(-9-3m). 【答案】-3y-1；2x-2y+2； -2m+5 12. 三个连续正偶数的和是否一定能被6整除?请说明理由. 【答案】略 13. 乐乐平均每分钟用电脑输入x个文字，现有一篇文稿，乐乐先用5分钟输入了文稿的部分文字.又用3分钟完成文稿的剩余文字输入，乐乐 一共用了8分钟完成整篇文稿的文字输入.如何用一次式表示这篇文稿的总字数? 【答案】解：乐乐先用5分钟输入了5x个文字，再用3分钟输入了3x个文字，完成了剩余文字输入，所以该文稿的总字数可以表示为5x+3x;再考虑到乐乐一共用了8分钟完成文稿输人，所以该文稿的总字数也可以表示为8x. 由此可以得到 5x+3x=8x 即5x+3x=(5+3)x 14. 用16块面积都是S的正方形地砖铺一块正方形的地面，中间4块地砖是蓝色地砖，其他的12 块地砖都是白色地砖，如图2-3-1所示。如何用一次式表示白色地砖总面积? 图2-3-1 【答案】解：由图可以知道，正方形地面总面积是16S,蓝色地砖总面积是4S,白色地砖总面积是12S.白色地砖总面积也等于正方形地面总面积减去蓝色地砖总面积， 图2-3-1 由此可以得到 16S-4S=12S, 即16S-4S=(16-4)S 15.甲、乙两车相距130 km,同时出发，相向而行，甲车的速度是80 km/h,乙车的速度是50 km/h. (1) 用一次式表示经过th(t<1)后两车的距离； (2) 经过30 min,两车的距离是多少? 【答案】解： （1）根据题意，经过t/h(t<1)后两车的距离为 130- (80t+50t) =130-130t(km). 答：经过th(t<1),两车的距离为（130-130t)km （2）因为30min=h,时， 有130-130t=130-130×=65(km). 答：经过30 min,两车的距离是65 km 16.中国古代窗花图案设计得简约又美观。如图(1),有一种图案是由 1个小正方形和4个形状相同的小长方形拼成的1个正方形窗花.如果 富花内小正方形的边长为a cm,小长方形的长为b cm,那么如图(2), 由4个这样的窗花做成的正方形窗户的周长是多少? （2） 【答案】(16b-8a)cm  【分析】本题考查了列代数式以及整式加减的应用，根据图形先得出一个窗花的边长，再得出窗户的边长，即可得出周长  【详解】解：小正方形的边长为acm,小长方形的长为bcm, ∴小长方形的宽为(b-a)cm  ∴由4个这样的窗花做成的正方形窗户的边长为2[b+(b-a)]=4b-2a(cm),  ∴由4个这样的窗花做成的正方形窗户的周长为4(4b-2a)=(16b-8a)cm. 17.如图，求涂色部分的周长 【答案】 略 强化训练 1．下列代数式是一次式的是（　　） A．8 B．4s+3t C．xy D． 【分析】根据单项式的次数是字母指数的和，多项式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数，可得答案． 【解析】解：A、8的次数是0，故A错误； B、次数是1，故B正确； C、次数是2，故C错误； D、是分式，次数是﹣1，故D错误； 故选：B． 2．已知（a﹣1）x3+xb﹣1是关于x的一次式，则a，b的值分别是（　　） A．0，3 B．0，1 C．1，2 D．1，1 【分析】根据代数式的定义进行解题即可． 【解析】解：由题可知，a﹣1＝0，b﹣1＝1， 则a＝1，b＝2， 故选：C． 3．式子（a﹣1）x3+x（b﹣1）是关于x的一次式，则a、b的值可能为（　　） A．0，1 B．1，2 C．0，3 D．1，1 【分析】根据题意得出a﹣1＝0，b﹣1≠0，求出a和b的值，再结合给出的选项即可得出答案． 【解析】解：∵多项式（a﹣1）x3+x（b﹣1）是关于x的一次式， ∴a﹣1＝0，b﹣1≠0， ∴a＝1，b≠1， ∴a、b的值可能为1，2； 故选：B． 4．一次式M与﹣2x+3y的和是﹣5x+2y，则M等于（　　） A．﹣7x+5y B．3x+y C．﹣3x﹣y D．7x﹣5y 【分析】本题考查整式的加减运算，解答时合并同类项即可． 根据已知条件可设此多项式为M建立等式解得即可． 【解析】解：M＝（﹣5x+2y）﹣（﹣2x+3y） ＝﹣5x+2y+2x﹣3y ＝﹣3x﹣y 故选：C． 5．一次式1﹣y+2x的第二项是 　﹣y　，第三项的系数是 　2　． 【分析】根据多项式的项及单项式的系数的定义求解． 【解析】解：一次式1﹣y+2x是1，﹣y，2x这三个单项式的和，所以第二项是﹣y，第三项2x的系数是2． 故答案为﹣y，2． 6．一次式中b的系数是　﹣　，常数项是　1　． 【分析】根据单项式的系数和常数项的定义解答． 【解析】解：一次式中b的系数是﹣，常数项是1． 7．若一次式3a+2b﹣1的值为3，那么一次式6a﹣5+4b＝　3　． 【分析】根据题意列出关系式，所求式子变形后将关系式的值代入计算即可求出值． 【解析】解：∵3a+2b﹣1＝3，即3a+2b＝4， ∴6a﹣5+4b＝2（3a+2b）﹣5＝8﹣5＝3． 故答案为：3 8．已知（n﹣3）xn﹣1+x﹣2是关于x的一次式，约定x0＝1（x≠0），求n的值． 【分析】根据一次式的定义得到n﹣1＝0或n﹣1＝1或n﹣3＝0，易求n的值． 【解析】解：∵（n﹣3）xn﹣1+x﹣2是关于x的一次式，约定x0＝1（x≠0）， ∴n﹣1＝0或n﹣1＝1或n﹣3＝0， 解得n＝1或n＝2或n＝3． 当n＝2时，原式＝﹣x+x﹣2＝﹣2不是关于x的一次式，不合题意， ∴n＝1或3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 2 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$