第01讲 生活中的立体图形（3个知识点+5种题型+过关检测）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版2024）

第01讲 生活中的立体图形（3个知识点+5种题型+过关检测） 知识点一：常见的几何体及分类 1. 立体图形 各部分不在同一平面内的几何图形叫立体图形，也叫几何体. 如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球都是常见的几何体. 2. 常见的几何体分为三类 （1）柱体； （2）锥体； （3）球. 知识点二：柱体的相关概念及特征 1. 柱体的相关概念：在柱体中，相邻的两个面的交线叫做邻，相邻的两侧面的交线叫做侧棱. 2. 棱柱的特征 （1） 棱柱所有的侧棱长都相等； （2） 棱柱上，下底面的形状、大小相同，并且都是多边形； （3） 侧面的形状都是平行四边形. 3. 棱柱的分类 （1） 人们通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱...,长方体、正方体都是棱柱. （2） 棱柱分为直棱柱和斜棱柱，直棱柱的侧面都是长方形. 知识点三：图形的构成及其关系 1. 点、线、面、体的概念 体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体也简称体. 面：包围着体的是面，面有平面和曲面两种. 线：面和面相交得到线，线有直线和曲线. 点：线和线相交得到点. 2. 点、线、面、体的关系 点动成线：笔尖可以看作一个点，这个点在纸上运动时，就形成线. 线动成面：汽车的雨刷在挡风玻璃上画出一个扇面. 面动成体：长方形硬纸片绕它的一边所在直线旋转一周，形成一个圆柱. 题型一：常见的几何体及其分类 【例1-1】.（23-24六年级下·全国·假期作业）下列实物对应的立体图形的名称按从左到右的顺序依次是（　　） A．圆柱、圆锥、正方体、长方体 B．圆柱、球、正方体、长方体 C．棱柱、球、正方体、长方体 D．棱柱、圆锥、四棱柱、长方体 【例1-2】．（2023秋•内乡县期末）如图中柱体的个数是　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【例1-3】．（2023秋•三明期末）如图，下列水平放置的几何体中，锥体是　　 A． B． C． D． 【例1-4】（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）指出如图所示的立体图形中的柱体、锥体、球．    柱体：___________________________ 锥体：___________________________ 球体：___________________________（填序号） 【变式1-1】（2024•邹平市校级模拟）观察下列实物模型，其整体形状给我们以圆柱的形象的是　　 A． B． C． D． 【变式1-2】（2023秋•丰满区校级期末）下列几何体中，属于棱柱的是　　 A． B． C． D． 【变式1-3】．（2023秋•仪征市期末）下列四个几何体中，是四棱锥的是　　 A． B． C． D． 【变式1-4】（2024·北京大兴·一模）下面几何体中，是圆锥的为（    ） A． B． C． D． 【变式1-5】（22-23七年级上·吉林·期末）如图，实物的形状对应哪些立体图形？把相应的实物与图形用线连起来．   【变式1-6】（2021七年级上·全国·专题练习）对几何体分类时，首先确定标准，即： （1）从形状方面，按柱体、 、球划分； （2）从面的方面，按组成的面有无 划分； （3）从顶点方面，按有无 划分． 题型二:棱柱及其特征 一．选择题（共1小题） 1．（2023秋•环翠区校级期中）若一个棱柱有 12 个顶点， 则在下列说法中， 正确的是　　 A ． 这个棱柱的底面是六边形 B ． 这个棱柱有 5 个侧面 C ． 这个棱柱有 5 条侧棱 D ． 这个棱柱是一个十二棱柱 二．填空题（共2小题） 2．一个正六棱柱模型，它的上、下底面的形状、大小都相同，底面边长都是，侧棱长，则它的所有侧面的面积之和为　　． 3．观察如图所示的棱柱： （1）这个棱柱的底面是　 　； （2）这个棱柱有　　个侧面，侧面的形状是　　； （3）侧面的个数与底面的边数　　；（填“相等”或“不相等” （4）这个棱柱有 　　个顶点，　　条侧棱，一共有　　条棱； （5）若这个棱柱的底面边长都是，侧棱长是，则该棱柱所有侧面的面积之和为 　　． 三．解答题（共1小题） 4．一个正五棱柱，它的底面边长都是，侧棱长为．回答下列问题： （1）这个正五棱柱一共有多少个面？它们分别为什么形状？哪些面的形状、面积完全相同？ （2）这个正五棱柱的所有侧面的面积之和为多少？ （3）这个正五棱柱一共有多少条棱？它们的长度之和是多少？ 题型三：组合几何体的构成 一、单选题 1．（21-22七年级上·广东深圳·期中）如图，模块①由15个棱长为1的小正方体构成，模块②﹣⑥均由4个棱长为1的小正方体构成．现在从模块②﹣⑥中选出三个模块放到模块①上，与模块①组成一个棱长为3的大正方体．下列四个方案中，符合上述要求的是（    ） A．模块②，④，⑤ B．模块③，④，⑥ C．模块②，③，⑥ D．模块③，⑤，⑥ 二、填空题 2．（22-23七年级上·黑龙江大庆·期中）要拼成一个大正方体，至少还需要 个． 3．（22-23六年级上·山东烟台·期中）如图是由棱长为1厘米的小正方体木块搭成的几何体．至少还需要 个这样的小正方体才能搭成一个正方体． 4．（22-23七年级上·辽宁沈阳·期末）如图所示，①~④是由相同的小立方块搭成的几何体，若组合其中的两个，恰是由6个小立方块搭成的长方体，则应选择 ．（填序号即可） 5．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，加工一个长，宽，高的长方体铁块，选择面积最小的一个面，从该面的正中间打一个直径为的圆孔，一直贯穿到对面做成一个零件．则这个零件的体积是 ．（结果保留）    题型四：图形的构成元素及关系 一、单选题 1．（23-24七年级上·辽宁大连·期末）下列现象能说明“点动成线”的是（    ） A．长方形硬纸片绕它的一边旋转，形成一个圆柱体 B．时钟分针旋转时扫过的痕迹 C．夜晚流星划过天空时留下一道明亮的光线 D．汽车的雨刷在挡风玻璃上画出一个扇面 2．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）“雨是最寻常的，一下就是三两天，可别恼，看，像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着……”，句中，雨“像细丝”说明（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 3．（23-24七年级上·河南许昌·期末）中国扇文化有着深厚的文化底蕴；历来中国有“制扇王国”之称． 如图，打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 4．（23-24七年级上·山东德州·期末）朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了 ，把雨看成 ，说明 （      ） A．点；直线；点动成线 B．点；线；点动成线 C．线；面；线动成面 D．线；面；面动成体 二、填空题 5．（2023七年级上·全国·专题练习）体与体相交成 ，面与面相交成 ，线与线相交成 ．或点动成 ，线动成 ，面动成 ．面可以经过 或 成为体．点、线、面、体组成几何图形． 6．（22-23七年级上·北京顺义·期末）如图，这是顺义区第一座互通式立交桥——燕京桥，如果将顺平路和通顺路看做是两条直线，那么这两条直线的位置关系是 ． ①相交        ②不相交    ③平行        ④在同一平面内        ⑤不在同一平面内 7．（23-24六年级下·全国·假期作业）（1）一张纸对折后，纸上会留下一道折痕，用数学知识可解释为 ； （2）夏夜，天上飞逝的流星形成一道亮光，用数学知识可解释为 ； （3）黑板擦在黑板上擦出一片干净的区域，用数学知识可解释为 ； （4）长方形绕它的一边在的直线旋转，形成一个圆柱，用数学知识可解释为 ． 题型五：曲面几何体的形成方法 一、单选题 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）将如图所示的平面图形绕直线旋转一周，可得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，如果以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，这个圆锥的体积最大是______立方厘米．（    ） A．37.68 B．50.24 C．78.5 D．628 3．（23-24七年级上·四川成都·期末）2023年7月28日，第31届世界大学生夏季运动会开幕式在成都东安湖体育公园举行，东安湖体育公园主场馆以独特的几何造型及现代化的设计引起了人们的关注，东安湖体育公园主场馆形状可以近似看成如图几何体，下列图形绕虚线旋转一周，能形成该几何体的是（  ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·全国·随堂练习）分别以直角梯形（如图所示）的下底和上底为轴，将梯形旋转一周得到A，B两个立体图形．则A，B两个立体图形的体积之比是（    ） A．1：1 B．1：2 C．4：5 D．5：4 二、解答题 5．（23-24七年级下·河北石家庄·开学考试）小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到的两个立体图形．    (1)你同意______的说法． (2)甲、乙两个立体图形的体积比是多少？ 6．（22-23六年级上·山东泰安·期中）如图，在直角三角形中，已知的长是4厘米，的长是3厘米，的长是5厘米．求： (1)以边为轴旋转后得到的几何图形的体积； (2)以边为轴旋转后得到的几何图形的体积． 一．选择题（共8小题） 1．（2024•龙亭区校级一模）如图所示的平面图形绕直线旋转一周，得到的立体图形是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•兖州区期末）汽车的雨刷把玻璃上的雨雪刷干净属于以下哪项几何知识的实际应用　　 A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都正确 3．（2023秋•阳信县期末）有5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（阴影部分），请你在图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形折叠后能成为一个封闭的正方体盒子，你不能选择图中，，，中的　　位置接正方形． A． B． C． D． 4．（2024•西城区开学）有一个高度为18厘米的圆锥容器，将其装满水，倒入另一个高度相同，但底面积是圆锥容器3倍的圆柱形容器，则此时水面高度与容器顶部的距离为　　厘米． A．6 B．12 C．2 D．16 5．（2023秋•广水市期末）如图：是直角三角形的高，将直角三角形按以下方式旋转一周可以得到右侧几何体的是　　 A．绕着旋转 B．绕着旋转 C．绕着旋转 D．绕着旋转 6．（2024•凤凰县开学）如图，封闭玻璃容器里装有液体（单位：，竖放时液体刚好成正方体的形状，横放时液体高　　． A．1.6 B．2 C．6 D．6.4 7．（2024•王益区开学）有一个正方体等分成8个小正方体，拿去其中的一个小正方体后，表面积和原来比（　　） A．减少了 B．增大了 C．没有变化 D．前3种可能性都有 8．（2024•临平区开学）如图，把15个棱长为1厘米的正方体重叠起来拼成一个立体图形，则这个立体图形的表面积为　　平方厘米． A．22 B．23 C．44 D．46 二．填空题（共8小题） 9．（2024•大邑县开学）小红做了一个圆柱和3个圆锥（如图，单位：，圆柱中装有的水，将圆柱中的水倒入第 　　号圆锥中，正好倒满． 10．（2024春•望奎县期末）一个圆锥的底面周长是，高是，体积是 　　，与它等底等高的圆柱的体积是 　　． 11．（2023秋•镇海区期末）已知一个长方体的其中某个面是边长为4的正方形，它所有棱长的和为56，则它的体积为 　　． 12．（2024•新都区校级开学）体积的长方体盒子放在桌面上，所占桌面面积是． 　　（判断对错） 13．（2024•高新区开学）一个棱长的正方体容器中装有一些水，将一个高的长方体铁块竖直着放入水中（铁块底面与容器底面平行），铁块还没有完全浸没时，水就满了（如图）．这个铁块的体积是 　　． 14．（2024•清江浦区校级开学）图中的立体图形是14个棱长为5厘米的立方体组成，则这个立体图形（包括底面）的表面积是 　　． 15．（2024•王益区开学）如图，能看到的正方体有 　　块，看不到的正方体有 　　块． 16．（2024•长安区开学）如果分别从两个体积之和为的正方体木块中挖去最大的圆锥做成两个如图所示的工件模具，那么这两个模具的体积之和为 　　．取 三．解答题（共8小题） 17．（2023秋•衡山县期末）如图，观察下列几何体并回答问题． （1）请观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出棱柱有 　　个面，　　条棱，　　个顶点，棱锥有 　　个面，　　条棱，　　个顶点； （2）所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫做多面体，经过前人们归纳总结发现，多面体的面数，顶点个数以及棱的条数存在着一定的关系，请根据（1）总结出这个关系为 　　． 18．（2023秋•禅城区校级月考）将一个正方体的表面涂上颜色．如图把正方体的棱2等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到8个小正方体，通过观察我们可以发现8个小正方体全是3个面涂有颜色的．如果把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到27个小正方体，通过观察我们可以发现这些小正方体中有8个是3个面涂有颜色的，有12个是2个面涂有颜色的，有6个是1个面涂有颜色的，还有1个各个面都没有涂色． （1）如果把正方体的棱4等分，所得小正方体表面涂色情况如何呢？把正方体的棱等分呢？（请填写下表） 棱等分数 4等分 等分 3面涂色的正方体 　　个 　　个 2面涂色的正方体 　　个 　　个 1面涂色的正方体 　　个 　　个 各个面都无涂色的正方体 　　个 　　个 （2）将棱7等分时，只有1个面涂色的小正方体的个数是 　　，各个面都无涂色的正方体的个数是 　　． 19．（2023秋•樊城区期末）如图是一个长方体储水箱和一个长方体水池的侧面示意图（厚度忽略不计），储水箱中水深，把一高度为的长方体石柱放置于水池中央后水池中水深现将储水箱中的水匀速注入水池，注水时水池水面与石柱上底面持平；继续注水后，储水箱中的水全部注入水池，此时水池中水深．根据上述信息，解答下列问题： （1）注水1秒后储水箱中的水深为 　　； （2）注水多长时间时，储水箱和水池中的水的深度相同？ （3）若石柱的体积为，请直接写出注水前储水箱中水的体积 　　． 20．（2023秋•叶县期中）探究：有一长，宽的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴，旋转，得到一个圆柱，现可按照两种方案进行操作：方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①；方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②． （1）请通过计算说明哪种方案构造的圆柱体积大； （2）若将此长方形绕着它的其中一条边所在的直线为轴旋转，则得到的圆柱体积为多少？ 21．（2023秋•广阳区期末）放置在水平地面上两个无盖（朝上的面）的长方体纸盒，大小、形状如图．小长方体的长、宽、高分别为：、、；大长方体的长、宽、高分别为：、、． （1）做这两个纸盒共需要材料多少平方厘米？ （2）做一个大的纸盒比做一个小的纸盒多多少平方厘米材料？ 22．（2024•西乡塘区校级开学）在一块棱长为6厘米的正方体木板六个面的正中央，各画出一个边长是1厘米的正方形，沿着正方形垂直于对面内向凿穿，这样木料剩下的体积是多少立方厘米？ 23．（2023秋•工业园区期末）如图，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器，并在距离容器底部处用两根相同的管子连接，其中甲、丙两容器的底面积均为，乙容器的底面积为，甲容器中有水．现同时向乙、丙两个容器内匀速注水，直至每个容器都注满水时停止注水，已知每个容器每分钟注水． （1）当甲、乙两个容器中水位的高度第一次相等时，求注水的时间； （2）当甲、乙两个容器中水位的高度相差时，求注水的时间． 24．（2023秋•新泰市期中）如图，加工一个长，宽，高的长方体铁块，选择面积最小的一个面，从该面的正中间打一个直径为的圆孔，一直贯穿到对面就可以做成一个零件． （1）这个零件的体积是多少立方厘米取． （2）为了防止零件生锈，师傅给该零件与空气接触的面都喷上油漆，则喷油漆的面积是多少平方厘米取． 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故选：． 【点评】本题考查认识立体图形，掌握棱柱、棱锥、球的形体特征是正确判断的前提． 【例1-3】．（2023秋•三明期末）如图，下列水平放置的几何体中，锥体是　　 A． B． C． D． 【分析】分别找出从图形的正面看所得到的图形即可． 【解答】解；、该几何体是圆柱，不符合题意； 、该几何体是圆锥，符合题意； 、该几何体是三棱柱，不符合题意； 、该几何体是长方体，不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了几何体的识别，熟知常见的几何体是解题的关键． 【例1-4】（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）指出如图所示的立体图形中的柱体、锥体、球．    柱体：___________________________ 锥体：___________________________ 球体：___________________________（填序号） 【答案】①②⑤⑦⑧；④⑥；③ 【分析】柱体的特点：有两个面互相平行且大小相同，余下的每个相邻两个面的交线互相平行； 锥体的特点：有1个顶点，一个底面，只有1条高； 篮球、足球都是球，球是由一个面所围成的几何体，据此可得答案． 解：柱体为：①②⑤⑦⑧； 锥体为：④⑥； 球体为：③． 故答案为：①②⑤⑦⑧；④⑥；③． 【点拨】本题主要考查了柱体，锥体，球体，熟练掌握柱体，锥体，球体的特点是解题的关键． 【变式1-1】（2024•邹平市校级模拟）观察下列实物模型，其整体形状给我们以圆柱的形象的是　　 A． B． C． D． 【分析】熟悉立体图形的基本概念和特性即可解． 【解答】解：．此物体给我们以圆台的形象，不符合题意； ．此物体给我们以长方体的形象，不符合题意； ．此物体给我们以圆锥的形象，不符合题意； ．此物体给我们以圆柱的形象，符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查认识立体图形，结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内． 【变式1-2】（2023秋•丰满区校级期末）下列几何体中，属于棱柱的是　　 A． B． C． D． 【分析】有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，由此可选出答案． 【解答】解：、圆锥属于锥体，故此选项不合题意； 、圆柱属于柱体，故此选项不合题意； 、棱锥属于锥体，故此选项不合题意； 、长方体属于棱柱，故此选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查棱柱的定义，属于基础题，掌握基本的概念是关键． 【变式1-3】．（2023秋•仪征市期末）下列四个几何体中，是四棱锥的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据四棱锥的形体特征进行判断即可． 【解答】解：四棱锥是底面是四边形的锥体，因此选项中的几何体符合题意， 故选：． 【点评】本题考查认识立体图形，掌握各种几何体的形体特征是正确判断的前提． 【变式1-4】（2024·北京大兴·一模）下面几何体中，是圆锥的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了常见几何体的识别，观察所给几何体，可以直接得出答案． 解：A选项为正方体，不合题意； B选项为球，不符合题意； C选项为五棱锥，不合题意； D选项为圆锥，符合题意． 故选：D． 【变式1-5】（22-23七年级上·吉林·期末）如图，实物的形状对应哪些立体图形？把相应的实物与图形用线连起来．   【分析】根据图形形状逐个连接即可得到答案． 解： 【点拨】本题考查立体图形的判断，解题的关键是熟练掌握基础的立体图形． 【变式1-6】（2021七年级上·全国·专题练习）对几何体分类时，首先确定标准，即： （1）从形状方面，按柱体、 、球划分； （2）从面的方面，按组成的面有无 划分； （3）从顶点方面，按有无 划分． 【答案】 锥体 曲的面 顶点 【分析】根据不同的分类标准的要求即可求解． 解：（1）从形状方面，按柱体、__锥体______、球划分； （2）从面的方面，按组成的面有无____曲的面______划分； （3）从顶点方面，按有无____顶点____划分． 故答案为（1）锥体，（2）曲的面，（3）顶点． 【点拨】本题考查立体图形的不同分类方法，掌握各种分类标准及要求是解题关键． 题型二:棱柱及其特征 一．选择题（共1小题） 1．（2023秋•环翠区校级期中）若一个棱柱有 12 个顶点， 则在下列说法中， 正确的是　　 A ． 这个棱柱的底面是六边形 B ． 这个棱柱有 5 个侧面 C ． 这个棱柱有 5 条侧棱 D ． 这个棱柱是一个十二棱柱 【分析】根据棱柱有 12 个顶点知上下底面各有 6 个顶点， 即这个棱柱的底面是六边形 ． 【解答】解：棱柱有 12 个顶点， 上下底面各有 6 个顶点， 即这个棱柱的底面是六边形， 故选：． 【点评】本题主要考查立体图形， 熟记棱柱的特征， 即棱数与侧棱、 与侧面、 与底面的边数之间的关系， 是解决此类问题的关键 ． 二．填空题（共2小题） 2．一个正六棱柱模型，它的上、下底面的形状、大小都相同，底面边长都是，侧棱长，则它的所有侧面的面积之和为　　． 【分析】根据正六棱柱的侧面展开图可知是6个长为，宽为的长方形，求面积即可． 【解答】解：正六棱柱的侧面展开图是6个长为，宽为的长方形，所以它的侧面展开图的面积为． 故答案为：． 【点评】主要考查了正六棱柱的侧面展开图和面积的求法．解此题要熟悉正六棱柱的展开图． 3．观察如图所示的棱柱： （1）这个棱柱的底面是　三角形　； （2）这个棱柱有　　个侧面，侧面的形状是　　； （3）侧面的个数与底面的边数　　；（填“相等”或“不相等” （4）这个棱柱有 　　个顶点，　　条侧棱，一共有　　条棱； （5）若这个棱柱的底面边长都是，侧棱长是，则该棱柱所有侧面的面积之和为 　　． 【分析】根据棱柱这个几何体的特征即可对于（1）、（2）、（3）、（4）进行求解；根据棱柱的三个侧面相等，结合长方形的面积公式即可计算． 【解答】解：（1）这个棱柱的底面是三角形； （2）这个棱柱有3个侧面，侧面的形状是长方形； （3）侧面的个数与底面的边数相等； （4）这个棱柱有6个顶点，3条侧棱，一共有9条棱； （5）， 则该棱柱所有侧面的面积之和为． 故答案为：（1）三角形；（2）3，长方形；（3）相等；（4）6；3，9；（5）45． 【点评】此题主要考查了棱柱的特征，熟悉掌握棱柱的特征是解此题的关键． 三．解答题（共1小题） 4．一个正五棱柱，它的底面边长都是，侧棱长为．回答下列问题： （1）这个正五棱柱一共有多少个面？它们分别为什么形状？哪些面的形状、面积完全相同？ （2）这个正五棱柱的所有侧面的面积之和为多少？ （3）这个正五棱柱一共有多少条棱？它们的长度之和是多少？ 【分析】（1）根据正棱柱的定义，可解决问题． （2）由正五棱柱的侧面都是相同的长方形，可解决问题． （3）根据正棱柱的总棱数为侧棱和底面棱数之和，可解决问题． 【解答】解：（1）由正棱柱的定义可知， 正五棱柱有2个底面和5个侧面， 所以正五棱柱一共7个面． 两个底面是正五边形，五个侧面是长方形． 两个底面的形状、面积完全相同；五个侧面的形状、面积完全相同． （2）由题知， 正五棱柱的底面边长是，侧棱长， 即侧面长方形的长和宽分别为和， 故所有侧面的面积之和为：． （3）由正棱柱的定义可知， 正五棱柱一共有15条棱． 它们的长度之和为：． 【点评】本题考查棱柱的相关性质，知道正棱柱有条棱，个面是解题的关键． 题型三：组合几何体的构成 一、单选题 1．（21-22七年级上·广东深圳·期中）如图，模块①由15个棱长为1的小正方体构成，模块②﹣⑥均由4个棱长为1的小正方体构成．现在从模块②﹣⑥中选出三个模块放到模块①上，与模块①组成一个棱长为3的大正方体．下列四个方案中，符合上述要求的是（    ） A．模块②，④，⑤ B．模块③，④，⑥ C．模块②，③，⑥ D．模块③，⑤，⑥ 【答案】C 【分析】根据正方体的结构特征进行选择即可． 【详解】解：根据正方体的结构特征，可选择模块⑥放在模块①上的右下角，再将模块③放在模块①上在右上角，最后将模块②放在模块①上在左边，就使得模块①组成一个棱长为3的正方体， 故选：C． 【点睛】本题考查正方体的结构特征，主要培养学生的空间想象能力和动手拼接图形的能力． 二、填空题 2．（22-23七年级上·黑龙江大庆·期中）要拼成一个大正方体，至少还需要 个． 【答案】7 【分析】通过观察图形发现：一共摆了3层，想要拼成大正方体，则每层需要9个小正方体，据此解答即可． 【详解】解：由分析得：要拼成一个大正方体，则每层需要9个小正方体， 图中已经有20个小正方体， 还需要（个） 故答案为：7． 【点睛】此题考查的目的是理解掌握正方体的特征及意义，掌握简单立体图形的拼组方法及应用． 3．（22-23六年级上·山东烟台·期中）如图是由棱长为1厘米的小正方体木块搭成的几何体．至少还需要 个这样的小正方体才能搭成一个正方体． 【答案】 【分析】根据图形，可得搭成后的大正方体的每条棱长至少是由3个小正方体组成的，据此可以得出搭成后的大正方体中的小正方体的个数，再减去图中已有的小正方体的个数，即可得出答案． 【详解】解： （个）， ∴至少还需要个这样的小正方体才能搭成一个正方体． 故答案为： 【点睛】本题考查了几何体的认识，解本题的关键在根据图形确定出搭成后的正方体的最小棱长． 4．（22-23七年级上·辽宁沈阳·期末）如图所示，①~④是由相同的小立方块搭成的几何体，若组合其中的两个，恰是由6个小立方块搭成的长方体，则应选择 ．（填序号即可） 【答案】①④/④① 【分析】根据组合后的几何体是长方体且有6个小正方体构成直接判断即可． 【详解】由题意知，组合后的几何体是长方体且由6个小立方块搭成，所以，应选择①④， 故答案为：①④． 【点睛】本题考查了立体图形的拼搭，根据题意发挥空间想象能力是解题的关键． 5．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，加工一个长，宽，高的长方体铁块，选择面积最小的一个面，从该面的正中间打一个直径为的圆孔，一直贯穿到对面做成一个零件．则这个零件的体积是 ．（结果保留）    【答案】/ 【分析】本题考查长方体体积和圆柱的体积，根据零件的体积长方体体积圆柱体积，列式求解即可，注意圆孔选择面积最小的一个面，即圆柱的高为． 【详解】解：由题知，零件的体积． 故答案为：． 题型四：图形的构成元素及关系 一、单选题 1．（23-24七年级上·辽宁大连·期末）下列现象能说明“点动成线”的是（    ） A．长方形硬纸片绕它的一边旋转，形成一个圆柱体 B．时钟分针旋转时扫过的痕迹 C．夜晚流星划过天空时留下一道明亮的光线 D．汽车的雨刷在挡风玻璃上画出一个扇面 【答案】C 【分析】本题考查点，线，面，体之间的关系．根据点动成线，线动成面，面动成体，逐一进行判断即可． 【详解】解：A是面动成体，不符合题意； B是线动成面，不符合题意； C是点动成线，符合题意； D是线动成面，不符合题意； 故选C． 2．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）“雨是最寻常的，一下就是三两天，可别恼，看，像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着……”，句中，雨“像细丝”说明（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】本题考查了点、线、面、体的关系．根据点动成线，线动成面，面动成体，即可解答． 【详解】解：雨“像细丝”说明了：点动成线． 故选：A． 3．（23-24七年级上·河南许昌·期末）中国扇文化有着深厚的文化底蕴；历来中国有“制扇王国”之称． 如图，打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【答案】B 【分析】本题考查了线、面的关系，根据题意，结合线动成面的数学原理：某一条线在运动过程中留下的运动轨迹会组成一个平面图形，这个平面图形就是一个面，即可得出答案．熟练掌握线动成面的数学原理是解本题的关键． 【详解】解：打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为线动成面， 故选：B． 4．（23-24七年级上·山东德州·期末）朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了 ，把雨看成 ，说明 （      ） A．点；直线；点动成线 B．点；线；点动成线 C．线；面；线动成面 D．线；面；面动成体 【答案】B 【分析】本题考查点动成线，根据点动成线直接判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了点，把雨看成线，说明点动成线， 故选：B． 二、填空题 5．（2023七年级上·全国·专题练习）体与体相交成 ，面与面相交成 ，线与线相交成 ．或点动成 ，线动成 ，面动成 ．面可以经过 或 成为体．点、线、面、体组成几何图形． 【答案】 面 线 点 线 面 体 移动 旋转 【分析】本题考查的知识点是点、线、面、体的概念与关系，解题关键是理解几何图形的形成．几何图形都是由点、线、面组成的，点动成线，线动成面，面动成体，其中面动指移动或旋转；几何体与几何体相交成面，平面与平面相交成线，线和线相交成点，由此可得填空答案． 【详解】体与体相交成 面 ，面与面相交成 线 ，线与线相交成 点 ．或点动成 线 ，线动成 面 ，面动成 体 ．面可以经过 移动 或 旋转 成为体．点、线、面、体组成几何图形． 故答案为：面；线；点；线；面；体；移动；旋转． 6．（22-23七年级上·北京顺义·期末）如图，这是顺义区第一座互通式立交桥——燕京桥，如果将顺平路和通顺路看做是两条直线，那么这两条直线的位置关系是 ． ①相交        ②不相交    ③平行        ④在同一平面内        ⑤不在同一平面内 【答案】⑤不在同一平面内 【分析】根据立体图形中直线的位置关系可知，这两条直线不在同一平面内． 【详解】解：由图可知：这两条直线的位置关系是不在同一平面内， 故答案为：⑤不在同一平面内． 【点睛】本题考查立体图形中直线的位置关系，熟练掌握两直线在同一平面内直线位置关系有平行和相交，不在同一平面内是解题的关键． 7．（23-24六年级下·全国·假期作业）（1）一张纸对折后，纸上会留下一道折痕，用数学知识可解释为 ； （2）夏夜，天上飞逝的流星形成一道亮光，用数学知识可解释为 ； （3）黑板擦在黑板上擦出一片干净的区域，用数学知识可解释为 ； （4）长方形绕它的一边在的直线旋转，形成一个圆柱，用数学知识可解释为 ． 【答案】 面与面相交得到线 点动成线 线动成面 面动成体 【分析】题目考查了点、线、面之间的动态关系，理解生活中的点、线、面关系是解题的关键． 【详解】（1）一张纸对折后，纸上会留下一道折痕，用数学知识可解释为面与面相交得到线； 故答案为：面与面相交得到线 （2）夏夜，天上飞逝的流星形成一道亮光，用数学知识可解释为点动成线； 故答案为：点动成线 （3）黑板擦在黑板上擦出一片干净的区域，用数学知识可解释为线动成面； 故答案为：线动成面 （4）长方形绕它的一边所在的直线旋转，形成一个圆柱，用数学知识可解释为面动成体． 故答案为：面动成体 题型五：曲面几何体的形成方法 一、单选题 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）将如图所示的平面图形绕直线旋转一周，可得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查点、线、面、体，熟练掌握点、线、面、体直角的关系是解题的关键．直角三角形绕一条直角边旋转一周，得到的立体图形是圆锥． 【详解】解：直角三角形绕一条直角边旋转一周，可得到的立体图形是圆锥． 故选：C． 2．（23-24七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，如果以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，这个圆锥的体积最大是______立方厘米．（    ） A．37.68 B．50.24 C．78.5 D．628 【答案】B 【分析】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式；通过观察图形可知，以直角三角形的一条直角边（3厘米）为轴旋转一周，得到圆锥的体积最大；根据圆锥的体积公式：，把数据代入公式解答； 【详解】解： （立方厘米） 答：这个圆锥的体积最大是50.24立方厘米； 故选：B 3．（23-24七年级上·四川成都·期末）2023年7月28日，第31届世界大学生夏季运动会开幕式在成都东安湖体育公园举行，东安湖体育公园主场馆以独特的几何造型及现代化的设计引起了人们的关注，东安湖体育公园主场馆形状可以近似看成如图几何体，下列图形绕虚线旋转一周，能形成该几何体的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面图形的旋转，简单几何体的认识，分别求出得出旋转一周后所形成的几何体即可得出答案． 【详解】解：对于选项A，旋转一周后形成2个圆锥和一个棱柱的组合体，故不符合题意； 对于选项B，旋转一周后形成一个球体，故不符合题意； 对于选项C，旋转后形成一个圆柱体，故符合题意； 对于选项D，旋转后形成一个圆台，符合题意． 故选：D． 4．（24-25七年级上·全国·随堂练习）分别以直角梯形（如图所示）的下底和上底为轴，将梯形旋转一周得到A，B两个立体图形．则A，B两个立体图形的体积之比是（    ） A．1：1 B．1：2 C．4：5 D．5：4 【答案】C 【分析】本题考查圆柱体、圆锥体体积的计算方法，分别求出几何体A，几何体B的体积，再进行判断即可． 【详解】解：几何体A的体积为， 几何体B的体积为， 所以几何体A与几何体B的体积比为． 故选：C． 二、解答题 5．（23-24七年级下·河北石家庄·开学考试）小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到的两个立体图形．    (1)你同意______的说法． (2)甲、乙两个立体图形的体积比是多少？ 【答案】(1)小红 (2) 【分析】（1）由旋转后所得的立体图形的形状可判断； （2）由甲图的体积是圆柱体与圆锥体体积的差，乙图的体积是圆柱体与圆锥体体积的和，先分别求解两个立体图形的体积，再求解比值即可． 【详解】（1）解：两个立体图形的体积不相等； 所以同意小红的说法． （2）解：甲的体积： ， 乙的体积：， ∴； 【点睛】本题考查了圆柱体和圆锥体体积的计算，解答本题的关键是空间想象力及如何确定圆柱和圆锥的高． 6．（22-23六年级上·山东泰安·期中）如图，在直角三角形中，已知的长是4厘米，的长是3厘米，的长是5厘米．求： (1)以边为轴旋转后得到的几何图形的体积； (2)以边为轴旋转后得到的几何图形的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由于以边为轴旋转后得到的几何图形为母线长为，高为，底面圆的半径为的圆锥，则利用圆锥的体积公式可计算出此几何图形的体积； （2）以边为轴旋转后得到的几何图形为两个圆锥，两圆锥的高分别为、，底面圆的半径都是，则利用圆锥的体积公式可计算出两圆锥的体积，从而得到此几何图形的体积． 【详解】（1）解：∵以边为轴旋转后得到的几何图形为母线长为厘米，高为厘米，底面圆的半径为3厘米的圆锥， ∴它的的体积＝； （2）解：如图，∵以边为轴旋转后得到的几何图形为两个圆锥，两圆锥的高分别为，底面圆的半径都是， ∴此图形的体积． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了圆锥的计算． 一．选择题（共8小题） 1．（2024•龙亭区校级一模）如图所示的平面图形绕直线旋转一周，得到的立体图形是　　 A． B． C． D． 【分析】根据平面图形是由矩形和三角形组成，因此它绕着直线旋转一周得到的几何体是由圆柱和圆锥组成而得出答案． 【解答】解：已知的平面图形是由矩形和三角形组成， 这个平面图形绕直线旋转一周得到的几何体是由圆柱体和圆锥体组成． 故选：． 【点评】此题主要考查了平面图形的旋转，圆柱和圆锥的概念，熟练掌握平面图形的旋转，理解圆柱和圆锥的定义是解决问题的关键． 2．（2023秋•兖州区期末）汽车的雨刷把玻璃上的雨雪刷干净属于以下哪项几何知识的实际应用　　 A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都正确 【分析】汽车的雨刷实际上是一条线，挡风玻璃看作一个面，雨刷把玻璃上的雨水刷干净，属于线动成面． 【解答】解：汽车的雨刷把玻璃上的雨雪刷干净，应是线动成面． 故选：． 【点评】此题考查了点、线、面、体，正确理解点、线、面、体的概念是解题的关键． 3．（2023秋•阳信县期末）有5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（阴影部分），请你在图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形折叠后能成为一个封闭的正方体盒子，你不能选择图中，，，中的　　位置接正方形． A． B． C． D． 【分析】结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后能围成正方体即可． 【解答】解：如图所示： 根据立方体的展开图可知，不能选择图中的位置接正方形． 故选：． 【点评】此题主要考查了应用与设计作图．正方体的平面展开图共有11种，应灵活掌握，不能死记硬背． 4．（2024•西城区开学）有一个高度为18厘米的圆锥容器，将其装满水，倒入另一个高度相同，但底面积是圆锥容器3倍的圆柱形容器，则此时水面高度与容器顶部的距离为　　厘米． A．6 B．12 C．2 D．16 【分析】根据水的体积相同列式计算即可． 【解答】解：设圆锥的底面圆半径为，水面的高度为， 则， 解得， 此时水面高度与容器顶部的距离为：． 故选：． 【点评】本题考查了认识立体图形，解题的关键是熟练掌握圆锥和圆柱的体积计算公式． 5．（2023秋•广水市期末）如图：是直角三角形的高，将直角三角形按以下方式旋转一周可以得到右侧几何体的是　　 A．绕着旋转 B．绕着旋转 C．绕着旋转 D．绕着旋转 【分析】根据直角三角形的性质，只有绕斜边旋转一周，才可以得出组合体的圆锥，进而解答即可． 【解答】解：将直角三角形绕斜边所在直线旋转一周得到的几何体是， 故选：． 【点评】本题考查了点、线、面、体，培养学生的空间想象能力及几何体的三视图． 6．（2024•凤凰县开学）如图，封闭玻璃容器里装有液体（单位：，竖放时液体刚好成正方体的形状，横放时液体高　　． A．1.6 B．2 C．6 D．6.4 【分析】根据体积的意义可知，这个容器无论横放还是竖放，容器内水的体积不变，根据正方体的体积公式：，长方体的体积公式，那么，把数据代入公式解答． 【解答】解： （厘米）， 答：横放时液体高6.4厘米． 故选：． 【点评】本题考查的是认识立体图形，解题的关键是灵活运用正方体、长方体的体积公式． 7．（2024•王益区开学）有一个正方体等分成8个小正方体，拿去其中的一个小正方体后，表面积和原来比（　　） A．减少了 B．增大了 C．没有变化 D．前3种可能性都有 【分析】一个正方体等分成8个小正方体，拿去其中一个小正方体后，减少3个面的同时又增加3个面． 【解答】解：一个正方体等分成8个小正方体，拿去其中一个小正方体后，减少3个面的同时又增加3个面，因此表面积不变． 故选：C． 【点评】本题考查的是几何体的表面积，掌握正方体的特征是解题的关键． 8．（2024•临平区开学）如图，把15个棱长为1厘米的正方体重叠起来拼成一个立体图形，则这个立体图形的表面积为　　平方厘米． A．22 B．23 C．44 D．46 【分析】从三视图方面求解． 【解答】解：， 故选：． 【点评】本题考查了几何体份表面积，掌握立体图形的三视图是解题的关键． 二．填空题（共8小题） 9．（2024•大邑县开学）小红做了一个圆柱和3个圆锥（如图，单位：，圆柱中装有的水，将圆柱中的水倒入第 　①　号圆锥中，正好倒满． 【分析】计算圆柱中水的体积以及三个圆锥的体积即可解答． 【解答】解：水的体积：， ①号圆锥的体积：， ②号圆锥的体积：， ③号圆锥的体积：， 将圆柱中的水倒入第①号圆锥中，正好倒满． 故答案为：①． 【点评】本题考查了认识立体图形，解题的关键是熟练掌握圆锥和圆柱的体积计算公式． 10．（2024春•望奎县期末）一个圆锥的底面周长是，高是，体积是 　15.7　，与它等底等高的圆柱的体积是 　　． 【分析】根据圆锥的体积公式：，把数据代入公式即可求出这个圆锥的体积，等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，据此求出圆柱的体积． 【解答】解：（立方厘米）． （立方厘米）， 故答案为：15.7，47.1． 【点评】本题考查认识立体图形，解题的关键是正确运算． 11．（2023秋•镇海区期末）已知一个长方体的其中某个面是边长为4的正方形，它所有棱长的和为56，则它的体积为 　96　． 【分析】根据长方体的其中某个面是边长为4的正方形，得与其相对的面也是正方形，由此得这个长方体由8条棱的长为4，然后个根据长方体共有12条棱，得另外4条棱相等，设长度为，在根据这个长方体的所有棱长的和为56列出方程，由此解出，进而根据长方体的体积公式即可求出它的体积． 【解答】解：长方体的其中某个面是边长为4的正方形， 与这个正方形的面相对的面也是正方形， 这个长方体共有8条棱的长度均为4， 长方体共有12条棱， 这个长方体的另外4条棱相等，设长度为， 又这个长方体的所有棱长的和为56， ， 解得：， 这个长方体的体积为：． 故答案为：96． 【点评】此题主要考查了长方体的特征，长方体的体积公式，熟练掌握长方体的特征，长方体的体积公式是解决问题的关键． 12．（2024•新都区校级开学）体积的长方体盒子放在桌面上，所占桌面面积是． 　　（判断对错） 【分析】根据长方体体积公式：．把体积是的物体放在桌面上，只要高度不是，底面积就不是，判断即可． 【解答】解：把体积的纸盒放在桌面上，由于纸盒可能是正方体，也可能是长方体，所以纸盒所占桌面的面积不一定是． 故答案为：． 【点评】本题考查的是几何体的表面积和认识立体图形，解题的关键是掌握长方体的体积公式． 13．（2024•高新区开学）一个棱长的正方体容器中装有一些水，将一个高的长方体铁块竖直着放入水中（铁块底面与容器底面平行），铁块还没有完全浸没时，水就满了（如图）．这个铁块的体积是 　400　． 【分析】容器的容积是1000立方厘米，水的体积是700立方厘米，铁块被淹没的体积是300立方厘米，被淹没的高度是6厘米，求出铁块的底面积，再计算其体积． 【解答】解：容器的容积：， 水的体积：， 铁块被淹没的体积：， 铁块的底面积：， 铁块的体积：， 故答案为：400． 【点评】本题考查的是立体几何中的浸水问题，注意区分完全淹没与不完全淹没的区别是解题关键． 14．（2024•清江浦区校级开学）图中的立体图形是14个棱长为5厘米的立方体组成，则这个立体图形（包括底面）的表面积是 　1050平方厘米　． 【分析】用1个小正方形的面积乘每个面上正方形的个数，最后加和，即可得出答案． 【解答】解：用透视法观察，上、下两个面的面积相等，每个侧面的面积为6个小正方形面积．底面棱长（厘米），上、下两个面的面积（平方厘米），4个侧面面积（平方厘米）， 总面积（平方厘米）， 答：这个立体图形的表面积是1050平方厘米． 故答案为：1050平方厘米． 【点评】本题考查的是求几何体的表面积，利用透视法，得到相对面的面积相等是解题的关键． 15．（2024•王益区开学）如图，能看到的正方体有 　16　块，看不到的正方体有 　　块． 【分析】看到的正方体个数直接数出来就可以了，看不到的正方体个数用总的正方体个数减去看到的正方体个数即可． 【解答】解：看到的正方体有（块， 总的正方体个数有（块， 看不到的正方体有（块． 故答案为：16，14． 【点评】本题考查的是立体图形，解决本题的关键是利用总的正方体个数减去看到的正方体个数，得到看不到的正方体的个数． 16．（2024•长安区开学）如果分别从两个体积之和为的正方体木块中挖去最大的圆锥做成两个如图所示的工件模具，那么这两个模具的体积之和为 　88.6　．取 【分析】设一个正方体的棱长为，其挖去的最大圆锥的底面半径为，这个正方形的底面积为，这个最大的圆锥的底面积为，因此每个圆锥的底面积与正方形底面积比为，圆锥高等于正方体的高，则每个里面圆锥体积占正方体体积的，两个正方体内的圆锥体积也就占总体积的，用总体积减去里面圆锥的体积也就是模具的体积． 【解答】解：． 故答案为：88.6． 【点评】本题考查的是认识立体图形，解决本题的关键是熟记正方体、圆锥体的体积公式，明确正方体木块削成一个最大的圆锥形木块，这个圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长． 三．解答题（共8小题） 17．（2023秋•衡山县期末）如图，观察下列几何体并回答问题． （1）请观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出棱柱有 　　个面，　　条棱，　　个顶点，棱锥有 　　个面，　　条棱，　　个顶点； （2）所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫做多面体，经过前人们归纳总结发现，多面体的面数，顶点个数以及棱的条数存在着一定的关系，请根据（1）总结出这个关系为 　　． 【分析】（1）观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳即可； （2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，从而得到三者的关系为． 【解答】解：（1）观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出棱柱有个面，条棱，个顶点，棱锥有个面，条棱，个顶点； 故答案为：，，，，，，； （2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数， 如图： 根据上表总结出这个关系为． 故答案为：． 【点评】本题考查几何体的认识；能够通过由特殊到一般的归纳，得到顶点个数、棱数、面数之间满足的关系式是解题的关键． 18．（2023秋•禅城区校级月考）将一个正方体的表面涂上颜色．如图把正方体的棱2等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到8个小正方体，通过观察我们可以发现8个小正方体全是3个面涂有颜色的．如果把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到27个小正方体，通过观察我们可以发现这些小正方体中有8个是3个面涂有颜色的，有12个是2个面涂有颜色的，有6个是1个面涂有颜色的，还有1个各个面都没有涂色． （1）如果把正方体的棱4等分，所得小正方体表面涂色情况如何呢？把正方体的棱等分呢？（请填写下表） 棱等分数 4等分 等分 3面涂色的正方体 　8　个 　　个 2面涂色的正方体 　　个 　　个 1面涂色的正方体 　　个 　　个 各个面都无涂色的正方体 　　个 　　个 （2）将棱7等分时，只有1个面涂色的小正方体的个数是 　　，各个面都无涂色的正方体的个数是 　　． 【分析】（1）根据长方体的分割规律可分别得到4等分时的所得小正方体表面涂色情况，由特殊推广到一般即可得到等分时所得小正方体表面涂色情况； （2）直接把代入（1）中所得的规律中即可． 【解答】解：（1）三面涂色8，8； 二面涂色24，， 一面涂色24，， 各面均不涂色8，； 故答案为：8，8；24，；24，；8，； （2）当时， 只有1个面涂色的小正方体的个数是， 各个面都无涂色的正方体的个数是， 故答案为：150，125． 【点评】主要考查了立体图形的认识和用特殊归纳一般规律的方法．关键是通过正方体的特点来得到有关涂色情况的规律． 19．（2023秋•樊城区期末）如图是一个长方体储水箱和一个长方体水池的侧面示意图（厚度忽略不计），储水箱中水深，把一高度为的长方体石柱放置于水池中央后水池中水深现将储水箱中的水匀速注入水池，注水时水池水面与石柱上底面持平；继续注水后，储水箱中的水全部注入水池，此时水池中水深．根据上述信息，解答下列问题： （1）注水1秒后储水箱中的水深为 　10　； （2）注水多长时间时，储水箱和水池中的水的深度相同？ （3）若石柱的体积为，请直接写出注水前储水箱中水的体积 　　． 【分析】（1）根据题意，求出储水箱每分钟的出水量，然后进行计算即可； （2）先根据题意求出储水箱出水速度和水池注水速度，再设 时深度相同，列方程求解即可； （3）先求得石柱的底面积，再通过列方程求出水池底面积，最后列方程求注水前储水箱中水的体积． 【解答】解：（1）由题意得：储水箱每分钟的出水量为： ， 注水1秒后储水箱中的水深为， 故答案为：10； （2）储水箱出水速度：，水池注水速度：， 设 时深度相同，则： ， 解得：， 答：注水时，储水箱和水池中的水的深度相同； （3）石柱的体积为， 石柱的底面积为：， 依题意，得： ， 解得：， ， 解得：， 注水前储水箱中水的体积， 故答案为：1080． 【点评】本题考查了柱体的底面积、体积计算公式，一元一次方程的应用等，解答本题的关键是理解题意，找准等量关系，建立方程求解． 20．（2023秋•叶县期中）探究：有一长，宽的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴，旋转，得到一个圆柱，现可按照两种方案进行操作：方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①；方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②． （1）请通过计算说明哪种方案构造的圆柱体积大； （2）若将此长方形绕着它的其中一条边所在的直线为轴旋转，则得到的圆柱体积为多少？ 【分析】（1）根据矩形旋转是圆柱，可得几何体，根据圆柱的体积公式，可得答案； （2）根据圆柱的体积公式，可得答案． 【解答】解：（1）方案一：， 方案二：， ， 方案一构造的圆柱的体积大； （2）以较短一条边所在的直线为轴旋转，其体积为：， 以较长一条边所在的直线为轴旋转，其体积为：． 【点评】本题考查了点线面体，掌握矩形旋转得圆柱是关键． 21．（2023秋•广阳区期末）放置在水平地面上两个无盖（朝上的面）的长方体纸盒，大小、形状如图．小长方体的长、宽、高分别为：、、；大长方体的长、宽、高分别为：、、． （1）做这两个纸盒共需要材料多少平方厘米？ （2）做一个大的纸盒比做一个小的纸盒多多少平方厘米材料？ 【分析】（1）根据长方体表面积的计算方法列式计算即可（尤其注意该长方体纸盒是无盖的）； （2）用大长方体的表面积减去小长方体的表面积即可． 【解答】解：（1）小长方体的表面积为：， 大长方体的表面积为：； ； 答：做这两个纸盒共需要材料平方厘米； （2） 答：做一个大的纸盒比做一个小的纸盒多平方厘米材料． 【点评】本题考查认识立体图形，表面积的计算方法，掌握立体图形的形体特征和表面积的计算方法是正确解答的前提． 22．（2024•西乡塘区校级开学）在一块棱长为6厘米的正方体木板六个面的正中央，各画出一个边长是1厘米的正方形，沿着正方形垂直于对面内向凿穿，这样木料剩下的体积是多少立方厘米？ 【分析】根据题干，挖去的是3个底面边长是1厘米，高是6厘米的长方体，所以用正方体的体积减去挖去的3个小长方体的体积；又因为最中间重复相减的是一个棱长是1厘米的小正方体，所以再加上2个棱长1厘米的小正方体的体积即可解答问题． 【解答】解： （立方厘米）， 答：这样木料剩下的体积是200立方厘米． 【点评】本题考查的是立体图形，读懂题意、正确列出算式是解题的关键． 23．（2023秋•工业园区期末）如图，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器，并在距离容器底部处用两根相同的管子连接，其中甲、丙两容器的底面积均为，乙容器的底面积为，甲容器中有水．现同时向乙、丙两个容器内匀速注水，直至每个容器都注满水时停止注水，已知每个容器每分钟注水． （1）当甲、乙两个容器中水位的高度第一次相等时，求注水的时间； （2）当甲、乙两个容器中水位的高度相差时，求注水的时间． 【分析】（1）甲、乙两个容器中水位的高度第一次相等时，即乙容器水位达到甲容器中水的水位； （2）分水还未达到管子连接处、乙水位达到了管子连接处两种情况讨论． 【解答】解：（1）， （分钟）， 答：注水时间为1.2分钟； （2）①当水还未达到管子连接处时， 甲、乙两个容器中水位的高度相差，甲水位高度为， 乙容器可能得水位为或， （分钟）， （分钟）， ， （分钟）， （分钟）， ②当乙水位达到了管子连接处后， 甲、乙两个容器中水位的高度相差， 甲容器此时的水位是， （分钟）， （分钟）， （分钟）， 答：注水时间为0.6分钟、1.65分钟或4.275分钟． 【点评】本题考查了圆柱的容积计算，关键是注意分类讨论． 24．（2023秋•新泰市期中）如图，加工一个长，宽，高的长方体铁块，选择面积最小的一个面，从该面的正中间打一个直径为的圆孔，一直贯穿到对面就可以做成一个零件． （1）这个零件的体积是多少立方厘米取． （2）为了防止零件生锈，师傅给该零件与空气接触的面都喷上油漆，则喷油漆的面积是多少平方厘米取． 【分析】（1）长方体铁块的体积减去圆柱的体积就是这个零件的体积； （2）喷油漆的面积就是这个零件的表面积，即长方体铁块的表面积减去圆柱的两个底面积，再加上圆柱的侧面积． 【解答】解：（1）圆孔的半径是． 根据题意，得， 这个零件的体积是45立方厘米． （2）由题意，得． 喷油漆的面积是118平方厘米． 【点评】本题考查几何体的表面积，学会计算几何体的表面积是本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$