第10章 整式的加减知识归纳与题型突破（15类题型清单）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（沪教版2024）

第10章 整式的加减知识归纳与题型突破（15类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点1 代数式及其分类 1. 代数式的定义:用运算符号,如:+、-、×、÷等,将数或表示数的字母连接起来,所得的式子叫做代数式，特别注意，单独的一个数或一个字母边也是代数式。例如:6+2c，2m-n， 2a+36，3(n+2m)，7等都是代数式。 特别说明：代数式中不能含有等号、不等号。 2. 代数式的分类： 特别说明：无理式和分式在以后进行学习。 知识点2 用含有字母的式子表示数的书写规定 (1)数与字母相乘或字母与字母相乘，将乘号省略不写；数与字母相乘时，通常把数写在前面； (2)当因数是1或-1时，“1”常省略不写； (3)带分数与字母相乘时要将带分数化成假分数； (4)除法运算要用分数线表示； (5)若式子后面有单位且式子是和或差的形式,式子应用小括号括起来。 知识点3 列代数式 在解决实际问题时，把问题中有关的数量用代数式表示出来，叫列代数式。列代数式的实质就是把文字语言转化为数学语言。 （1） 认真审题，把问题中表示数量关系的词语正确地转换为对应的运算； （2） 注意题目的语言叙述所表示的运算顺序； （3） 弄清题目中数量关系的运算顺序，正确使用表明运算顺序的括号，分出层次，逐步列出代数式。 特别说明：列代数式时排列几个字母因数时，一般按号字母表的顺序；同一个代数式可以表示不同的意义。 知识点4 求代数式的值 （1） 代数式的值 一般地，用具体数值替代代数式里的字母，按代数式的运算关系计算得出结果， 叫做代数式的值。 （2） 求代数式的一般步骤： 1 代入：用指定的字母的数值代替代数式里的字母，其他的运算符号和原来的数值都不能改 变； 2 计算：按照代数式指明的运算，根据有理数的运算方法进行计算。 （3） 一般地，代数式的值不是固定不变的，它随着代数式中的字母的取值的变化而变化。 （4） 求代数值的方法： ① 直接代入法:用数值代替代数式中的对应字母,然后计算结果 ② 化简求值法:先化简代数式,再代入字母的值,然后进行计算 ③ 整体代入法:当给出代数式中所含几个字母之间的关系,不直接给出字母的值时,一般是把所要求的代数式通过恒等变形,转化成为用已知关系表示的形式,再代入计算。 知识点4整式 1.单项式：像都是数与字母的乘积，这样的代数式叫做单项式，单独一个数或字母也单项式。 2.多项式：几个单项式的和叫做多项式。 一个式子是多项式需要具备两个条件： （1） 式子中含有运算符号“＋”或“－”； （2） 分母中不含有字母。 3.整式 单项式和多项式统称整式。 特别说明： ①单项式是整式； ②多项式是整式； ③多项式是由单项式组成的，但不能说明多项式包括单项式，它们是不同的概念； ④如果一个式子既不是单项式，也不是多项式，那么它一定不是整式。 知识点5 单项式的系数和次数 (1)系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数； (2)次数：单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数； 特别说明： ①单项式的系数包括它包括它前面的符号，且只与数字因素有关，而单项式的次数只与字母的指数有关； ②确定一个单项式的次数时，没有写指数的字母，实际上指数是“1”，计算是不能将其遗漏；不要把系数的指数当成字母的指数一同计算。 知识点6多项式的项和次数 （1）多项式的项：在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项,一个多项式含有几项,就叫几项式. （2）多项式的次数：一个多项式中,次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数 特别说明：单项式与多项式的次数确定方法不一样，二者不能混淆。 知识点7 同类项 1.定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项，叫做同类项，所有的常数项都是同类项. 2.判断同类项的方法 （1）同类项必须满足两个相同：一是所含字母；二是相同字母的指数也相同，两者缺一不 可， （2）是不是同类项与两个“无关”：一是与系数无关；二是与字母所排的顺序无关。如5mn与-nm是同类项。 特别说明： 同类项的对象是单项式，而不是多项式，但可以是多项式中的单项式 知识点8 合并同类项 1.合并同类项：把同类项合并成一项叫做合并同类项. 2.合并同类项的法则：合并同类项时，把系数相加，字母和字母的指数不变。 3.合并同类项的一般步骤： （1）找出同类项，通常在同类项下面做出相同的标记； （2）运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项结合； （3）利用合并同类项法则合并同类项； （4）写出合并同类项的结果。 特别说明：合并同类项法则可以简记成“一相加，两不变”，其中“一相加”是指将同类项系数相加，“两不变”是指字母连同其指数不变。 知识点9 去括号法则 （1）括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变； （2）括号前是“-”号,把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。简言之：括号前“-”变而“+”不变。 2.去括号时的注意事项 (1) 去括号时，要将括号连同它前面的符号一起去掉； (2) 需要变号时，括号里的各项都变号；不需要变号时,括号里的各项都不变号. 特别说明：1.去括号是一种恒等变形，去括号时一定要保证其值不变，也就是“形变而值不变”；2.去括号实质上是乘法分配律，去括号时暨要注意符号，还要注意符号的变化。 知识点10整式的加减 1.整式加减的运算法则 一般地，几个整式相加减,如果有括号就先去括号，再合并同类项。 2.整式化简求值的步骤 一化：利用整式加减的运算法则将整式化简； 二代：把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子； 三算：依据有理数的运算法则进行计算。 特别说明：整式的加减结果要最简：（1）不能有同类项；（2）含有字母的项的系数不能出现带分数，带分数要化为假分数；（3）一般不含括号。 03 题型归纳 题型一　用字母表示数 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）夏明今年a岁了，爸爸比夏明大21岁，则6年后，爸爸比夏明大（ ）岁． A． B．21 C． D．6 【答案】B 【分析】本题题考查的是用字母表示数，熟练掌握用字母表示数及数量关系是解题的关键． 根据夏明今年a岁了，爸爸比夏明大21岁，分别用含有字母的式子表示出爸爸今年的岁数、夏明6年后的岁数、爸爸6年后的岁数，用减法即可计算出爸爸6年后比夏明大的岁数．本题还可以根据“年龄差不变”直接得出答案． 【详解】爸爸今年：岁； 6年后，夏明岁； 爸爸：岁； 爸爸比夏明大： （岁）； 故答案为：B 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）已知每个人做某项工作的效率相同，个人做d天可以完成，若增加人，则完成工作所需的天数为（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用字母表示数，设每个人做某项工作的效率为1，则这项工作总量为，若增加r人，现在总人数是人，用工作总量除以总人数，即可求出完成工作所需的天数． 【详解】解：设每个人做某项工作的效率为1，则这项工作总量为，若增加r人， 则完成工作所需的天数为， 故选：D． 3．（23-24七年级上·河北秦皇岛·开学考试）小明比小强大2岁，比小华小4岁．如果小强y岁．则小华（    ） A．岁 B．岁 C．岁 D．岁 【答案】D 【分析】本题考查了用字母表示数，先表示出小明岁，再表示出小华岁，问题得解． 【详解】解：小强y岁，小明比小强大2岁，则小明岁；小明比小华小4岁，则小华岁． 故选：D 巩固训练 1．（23-24七年级上·全国·课后作业）（是有理数）表示的数是（    ） A．正数 B．负数 C．正数或负数 D．任意有理数 【答案】D 【分析】根据有理数分为正有理数，零和负有理数，计算判断即可． 【详解】∵是有理数， ∴a可以是正有理数，零和负有理数， ∴可以是负有理数，零和正有理数， ∴是有理数， 故选D． 【点睛】本题考查了有理数的分类，相反数的意义，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 2．（23-24七年级上·北京朝阳·期中）一种商品每件盈利为a元，售出60件，共盈利 元（用含a的式子表示） 【答案】 【分析】根据题意列式即可． 【详解】根据题意得，一种商品每件盈利为a元，售出60件，共盈利元． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列代数式，解题的关键是熟练掌握总利润=单件利润×件数． 3．（20-21七年级上·全国·课后作业）求下列图形阴影部分的面积： 【答案】（1）    （2） 【分析】（1）根据图示，用长是4y，宽是3x的长方形的面积减去长是3y，宽是2x的长方形的面积，求出阴影部分的面积是多少即可； （2）根据图示，用边长是x的正方形的面积减去两个半径是的半圆的面积，求出阴影部分的面积是多少即可． 【详解】（1）阴影部分的面积为3x·4y－3y（3x－x）=12xy-6xy=6xy； （2）圆的半径等于， ∴S圆＝π（）2， 故阴影部分的面积为x2－π（）2= 【点睛】此题考查了不规则图形的面积的计算方法，一般都是转化到规则图形中，利用面积公式计算解答． 题型二　代数式的相关概念 1．（23-24七年级上·广东东莞·期中）一个矩形的周长为30，若矩形的一边长用字母x表示，则此矩形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知表示出矩形的另一边长，进而利用矩形面积求法得出答案．此题主要考查了列代数式，根据题意表示出矩形的另一边长是解题关键． 【详解】解：一个矩形的周长为30，矩形的一边长为， 矩形另一边长为：， 故此矩形的面积为：． 故选：A． 2．（22-23六年级上·山东泰安·阶段练习）下列各式中，符合整式书写要求的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用代数式的书写要求分别判断得出答案．此题考查了代数式，解题的关键是掌握代数式的书写要求： （1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写； （2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面； （3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式． 【详解】解：A、不符合代数式的书写要求，应为，故此选项不符合题意； B、不符合代数式的书写要求，应为，故此选项不符合题意； C、不符合代数式的书写要求，应为，故此选项不符合题意； D、符合代数式的书写要求，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）为了调查大家的低碳环保意识，小明在某超市出口统计后发现：一小时内使用自带环保袋的人数比使用超市塑料袋人数的2倍少6．若使用超市塑料袋的人数为，则使用自带环保袋的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，正确理解题意，将语言文字转化为数学符号是解题的关键． 使用超市塑料袋人数的2倍即为，少6人即为减6，据此可解． 【详解】解：由题意，使用超市塑料袋的为x人，则使用自带环保袋的人数为． 故选：B． 巩固训练 1．（21-22六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列单项式书写规范的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查代数式的写法，根据在含有字母的式子中如果出现乘号“”，通常将乘号写作“ ”或省略不写，解题的关键是正确理解代数式的书写要求，数字与字母相乘时，数字写在字母前． 【详解】、应书写成，此选项书写形式不规范，不符合题意； 、，省略不写，此选项书写形式不规范，不符合题意； 、此选项书写形式规范，符合题意； 、应书写成，此选项书写形式不规范，不符合题意； 故选：． 2．（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）如图，点，，，在数轴上的位置如图所示，为原点，，，若点所表示的数为，则点所表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴，代数式的知识，解题的关键是掌握数轴的性质，用代数式表示点，即可． 【详解】∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴点表示的数为：． 故答案为：． 3．（22-23七年级上·广西桂林·期中）列代数式 (1)比与的积小5的数； (2)1减去的差与的积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了列代数式，理解题目提供的运算顺序是列式关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出代数式即可． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）由题意可得， 题型三　用代数式表示数、图形规律 1．（2024·云南楚雄·模拟预测）以下是一组按规律排列的多项式：，…，则第n个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式项式的变化规律，正确理解多项式中各项的系数与次数的规律是解题的关键．根据题目所给多项式，总结出第n个多项式中各项的系数与次数，即可解答． 【详解】解：第1个多项式为， 第2个多项式为， 第3个多项式为， 第4个多项式为， ……， ∴第n个多项式是． 故选：D 2．（23-24八年级下·重庆巴南·阶段练习）下列图形都是由同样大小的桃心按一定的规律组成，其中第①个图形共有5个桃心，第②个图形共有8个桃心，第③个图形共有11个桃心，…，则第⑦个图形中桃心的个数为（    ） A．17 B．20 C．23 D．26 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，解题的关键是找到规律．根据前三个图形可得到第n个图形一共有个桃心，当代入计算即可． 【详解】解：第①个图形一共有个桃心； 第②个图形一共有个桃心； 第③个图形一共有个桃心 …… ∴可知第n个图形一共有个桃心， ∴第⑦个图形一共有个桃心． 故选：C． 3．（23-24九年级下·重庆江津·阶段练习）由同样长度的木棍按一定的规律组成下列图形，其中第①个图形有5根木棍，第②个图形有9根木棍，第③个图形有13根木棍，……，则第⑧个图形木棍的根数是（    ） A．25 B．29 C．33 D．37 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察图形可知第n个图形有根木棍，据此规律求解即可． 【详解】解：第①个图形有根木棍， 第②个图形有根木棍， 第③个图形有根木棍， ……， 以此类推，可知，第n个图形有根木棍， ∴第⑧个图形木棍的根数是， 故选：C． 巩固训练 1．（2023·云南玉溪·一模）观察下列一组数：，，，，，，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：第个数是， 第个数是， 第个数是， ， 第个数是， 故选：． 分别归纳出该组数字分子、分母的规律． 此题考查了数字变化类规律问题的解决能力，关键是能准确归纳出分子、分母的规律． 2．（23-24七年级上·甘肃定西·期末）小明用若干根等长的小木棒设计出如下图形，呈一定的规律性，则第个图形中有小木棒 根． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，计算出前个图形的小木棒数量可得规律第个图形有根小木棒，据此可得答案． 【详解】解：第个图形有根小木棒， 第个图形有根小木棒， 第个图形有根小木棒， 第个图形有根小木棒， ……， 以此类推，可得第个图形有根小木棒， 当时，， ∴第个图形中有小木棒根 故答案为：． 3．（23-24九年级下·安徽六安·期中）如图，用“8字砖”铺设地面，1块地砖有2个正方形，2块地砖拼得5个正方形，3块地砖拼得8个正方形，…，照此规律拼下去． (1)请用含n的代数式表示n块地砖拼得的正方形的个数为_______________个； (2)求当时，拼得的正方形的个数； (3)若m块地砖拼得的正方形的个数是170，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)57 【分析】此题考查了图形规律，解题的关键是根据图形特点，进行规律归纳． （）先从前面几个具体的图形数量发现并得出具有相同规律的代数式，再总结归纳即可； （2）把代入中求解即可 （）根据题意可得，解之即可； 【详解】（1）解：解：由块地砖有个正方形， 块地砖拼得个正方形， 块地砖拼得个正方形， 块地砖拼得个正方形， ， 照此规律拼下去块地砖拼得的正方形的个数为个正方形， 故答案为：； （2）解：当时，，即此时正方形的个数为个； （3）解：由题意可知：， 解得：， ∴m的值为57． 题型四　已知字母的值，求代数式的值 1．（22-23七年级上·甘肃天水·期末）设a是最小的自然数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的整数，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了求代数式的值，绝对值，正数和负数；根据题意先找出最小的自然数是0，最大负整数是，绝对值最小的整数是0，然后再相加即可．解题的关键是找出最小的自然数是0，最大负整数是，绝对值最小的整数是0． 【详解】解：是最小的自然数， ， 又是最大负整数， ， 是绝对值最小的整数， ， ． 故选：B． 2．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）若，互为相反数，的绝对值为，则的值是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】此题重在考查、相反数、绝对值的意义以及有理数的混合运算等知识点．正确计算是解题的关键；根据，互为相反数，可得，的绝对值为，求出的值，代入计算即可求解； 【详解】解：a，b互为相反数 的绝对值为 故选：D 3．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，，且，则的值为（　　） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的绝对值，有理数的减法法则，绝对值的非负性，正确理解绝对值的含义是解题的关键．由绝对值的意义可得，由绝对值的非负性可知，于是可得x，y的值，再计算即可求解． 【详解】解：，， ， 又， 则或， 或， 故选：D． 巩固训练 1．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）如果，那么的值为（    ） A．5 B．1 C．－1 D．－5 【答案】A 【分析】此题考查代数式的值和非负数的性质，根据几个非负数的和为0，则每一个数都为0，求出，代入求值即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A 2．（22-23七年级上·辽宁鞍山·期末）已知，，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，绝对值，根据绝对值的意义和已知条件可得，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24六年级下·全国·假期作业）已知，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值的非负性，代数式求值；根据绝对值的非负性，求得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：由题意得    解得 题型五　已知式子的值，求代数式的值 1．（22-23七年级上·四川达州·期末）已知代数式的值是，那么代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是求代数式的值，由等式的性质求得是解题的关键．由可知，等式两边同时乘得：，然后代入计算即可． 【详解】解：， ． 等式两边同时乘得：． ． 故选B． 2．（23-24八年级上·河南郑州·开学考试）若，则的值为（    ） A．19 B．31 C．27 D．23 【答案】A 【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，根据非负数的性质可得，，整理后再利用完全平方公式展开并整理即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 故选：A． 3．（23-24七年级上·河北唐山·期末）已知，则多项式的值是（    ） A．0 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了求代数式的值；把多项式简单变形，再整体代入即可． 【详解】解：∵ ∴ ； 故选：B． 巩固训练 1．（21-22七年级上·广东韶关·期末）已知，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式求值，进行整体代入是解题关键．利用整体代入即可． 【详解】解：， ． 故选：D． 2．（21-22九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知代数式的值是7，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，将式子变形为，再将代数式的值整体代入求解，即可解题． 【详解】解：， ， 故答案为：． 3．（22-23七年级上·广东湛江·期中）已知a、b互为相反数，且，c、d互为倒数，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查了求代数式的值，相反数和倒数的定义，解题的关键是掌握运算法则，正确求出，，． 由相反数和倒数的定义，得到，，，然后代入计算，即可得到答案． 【详解】解：∵a、b互为相反数，且，c、d互为倒数， ∴，，， ∴ ． 题型六　程序流程图 1．（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）按照如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果可能是（　　） A． B． C． D．12 【答案】B 【分析】本题考查有理数的运算及代数式求值．根据题意列式计算，直至结果小于输出结果即可． 【详解】解：若开始输入的值为， 则，返回继续运算； ，输出结果； 故选：B． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为1的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，把各自的值代入运算程序中计算，使其结果为1即可，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：A、把，输入， ∵， ∴，不符合题意； B、把，输入， ∵， ∴，不符合题意； C、把，输入， ∵， ∴，不符合题意； D、把，输入， ∵， ∴，符合题意． 故选：D 3．（22-23七年级上·江西宜春·期中）按照如图所示的计算机程序计算，若开始输入的x值为4，第一次得到的结果为2，第二次得到的结果为1，…，第2023次得到的结果为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是求代数式的值，规律探究，熟练掌握相关方法，发现输出结果的数字变化规律是解题的关键． 将代入，然后依据程序进行计算，依据计算结果得到其中的规律，然后依据规律求解即可． 【详解】解：当时，第一次输出结果； 第二次输出结果； 第三次输出结果； 第四次输出结果， 由上可知，计算结果按2，1，4三个数依次循环， ． 所以第20次得到的结果为2． 故选：B． 巩固训练 1．（23-24七年级下·安徽池州·期中）如图，一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查流程图与解不等式组，根据流程图得到两次运算结果，列出不等式组求解即可得到答案，看懂流程图，准确列出不等式组是解决问题的关键． 【详解】解：由流程图可知， 第一次运算结果为：； 第二次运算结果为：； 需要经过两次运算才能输出结果， ，解得， 故选：B． 2．（23-24七年级上·山东青岛·开学考试）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入 的值为3125，则第2023次输出的结果为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查流程图问题、数字规律等知识点，总结归纳出从第四次开始奇数次输出为1，偶数次输出为5是解题的关键． 先分别求出第一次输出的结果为625，第二次输出的结果为125，第三次输出的结果为25，第四次输出的结果为5，第五次输出的结果为1，然后计算出第六次输出的结果5，进而发现从第四次开始奇数次输出为1，偶数次输出为5，据此即可解答． 【详解】解： 第一次输出的结果：， 第二次输出的结果：， 第三次输出的结果：， 第四次输出的结果：， 第五次输出的结果：， 第六次输出的结果：， 第七次输出的结果：， 第八次输出的结果：， 第九次输出的结果， 由此得到规律，从第四次开始奇数次输出为1，偶数次输出为5， 所以第2023次输出结果为1． 故答案为：1． 3．（23-24七年级下·福建漳州·期末）如图所示的是一个运算程序： 例如：根据所给的运算程序可知， 当时，，再把代入，得，则输出的值为27． (1)当时，求输出的值； (2)若某数只经过一次运算就能输出结果，求的取值范围． 【答案】(1)31 (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握一元一次不等式组的解法是关键． （1）根据题目所给的运算程序进行计算即可． （2）根据题意列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 再把代入，得， ∴输出的值是31． （2）解：由题意得． 解得． 题型七　单项式的相关概念 1．（22-23六年级上·山东烟台·期末）对代数式，，，，，判断正确的是（    ） A．只有个单项式 B．只有个单项式 C．有个整式 D．有个二次多项式 【答案】A 【分析】本题考查了整式，单项式，多项式的概念，熟练掌握整式，单项式，多项式的概念是解答本题的关键．单项式和多项式统称为整式；数与字母的乘积，这样的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式；次数最高的项的次数，叫做多项式的次数；按照以上概念逐个判断即可． 【详解】解：、、是单项式， 是二次多项式，是三次多项式， 、、、、是整式， 以上代数式中共有个单项式，个二次多项式，个三次多项式，个整式， 故选：A． 2．（23-24七年级上·河南濮阳·期末）下列表格填写完全正确的一列选项是（   ） 单项式（或多项式） 单项式的系数（或多项式最高次项系数） 2 0 次数 0 2 3 2 选项 A B C D A．A B．B C．C D．D 【答案】D 【分析】本题考查了单项式，多项式，熟练掌握单项式，多项式的意义是解题的关键．根据单项式和多项式的意义，即可解答． 【详解】解：A、的系数是2，次数是1，故A不符合题意； B、的系数是，次数是2，故B不符合题意； C、的系数是，次数是2，故C不符合题意； D、中最高次项的系数是，次数是2，故D符合题意； 故选：D． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，…，则第7个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式规律题，找到规律是解题的关键． 根据题意，可得单项式的系数的绝对值为，序数为奇数时，符号为负，序数为偶数时，符号为正，字母为，次数从次开始，据此即可求解． 【详解】解：∵按一定规律排列的单项式：，，，，…， ∴第个单项式为， ∴第7个单项式是． 故选：B 巩固训练 1．（22-23七年级上·河南南阳·期末）下列语句中错误的是（    ） A．数字0也是单项式 B．单项式与的乘积可以表示为 C．是二次三项式 D．把多项式按x的降幂排列是 【答案】B 【分析】本题主要考查单项式、多项式，熟练掌握单项式、多项式的定义是解决本题的关键．直接根据单项式和多项式的概念解答即可． 【详解】解：A．0是单项式，故A不符合题意； B．单项式与的乘积不可以表示为，应为故B符合题意； C．是二次三项式，故C不符合题意； D．把多项式按x的降幂排列是，故D不符合题意． 故选∶B． 2．（23-24七年级上·江西上饶·期中）下列代数式中：a ， ， ， ， 0 ，单项式有 个． 【答案】3 【分析】本题考查单项式的定义“数字和字母的乘积的形式为单项式，单个数字和字母，也是单项式”．熟练掌握单项式的定义，再逐项判断即可解答，这也是解题关键． 【详解】解：单项式有a ，   ， 0 ，共3个． 故答案为：3． 3．（24-25七年级上·全国·假期作业）观察下列关于的单项式：，，，， (1)直接写出第个单项式：___________； (2)第个单项式的系数和次数分别是多少？ (3)系数的绝对值为的单项式的次数是多少？ 【答案】(1) (2)系数是，次数是 (3) 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的单项式，探索出单项式的一般规律是解题的关键． （1）根据所给的式子，直接写出即可； （2）通过观察可得第个单项式为，当时，即可求解； （3）由题意可得，求出，再由（2）的规律求解即可． 【详解】（1）解：第5个单项式为， 故答案为：； （2）解：，，，， 第个单项式为， 第20个单项式为， 第20个单项式的系数是，次数是41； （3）解：系数的绝对值为2023， ∴ ， 次数为． 题型八　多项式的相关概念 1．（21-22六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列四个选项正确的是（      ） A．整式就是多项式 B．是单项式 C．是七次二项式 D．是单项式 【答案】D 【分析】本题考查了单项式、多项式及整式的知识，解答本题的关键是掌握相关的定义． 根据单项式、多项式及整式的定义，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A、整式包括多项式和单项式，故本选项不符合题意； B、是多项式，原说法错误，故本选项不符合题意； C、是四次二项式，原说法错误，故本选项不符合题意； D、是单项式，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（23-24七年级上·河北唐山·期末）如果是三次三项式，则m的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的次数与项数，几次几项式；根据题意，且，即可求得m的值． 【详解】解：由题意，得：，且， 解得：，且， 故； 故选：C． 3．（2024·云南红河·二模）以下是一组按一定规律排列的多项式：，，，，，…，则第n个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式排列中的规律．根据题意，把原来多项式拆成两个单项式，分别找出每组单项式的规律即可． 【详解】解：将排列的多项式：，，，，，…，拆成两组单项式为： ， ， 第个单项式为和， 第个多项式是． 故选：B． 巩固训练 1．（23-24七年级上·河南商丘·期末）下列说法正确的是（    ） A．是单项式 B．的系数是5 C．单项式的次数是4 D．是五次三项式 【答案】C 【分析】本题考查了单项式和多项式的有关概念，根据单项式的定义，单项式的次数与系数的定义，多项式的项和次数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．是多项式，故本选项错误，不符合题意； B．的系数是，故本选项错误，不符合题意； C．单项式的次数是，故本选项正确，符合题意； D．是六次四项式，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）多项式是关于的三次四项式，且二次项系数是，求 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的知识，解题的关键是掌握多项式的定义，根据题意，则，求出，，即可． 【详解】∵是关于的三次四项式，二次项系数是， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·全国·课堂例题）把下列式子分别填在相应的大括号内： ． 单项式：{            …}； 多项式：{            …} 整式：{            …}． 【答案】单项式：；多项式：；整式： 【分析】根据整式的分类，单项式和多项式的定义进行判断即可． 【详解】解：单项式：； 多项式：； 整式：． 【点睛】本题主要考查了整式的分类，解题的关键是熟练掌握单项式和多项式的定义． 题型九　多项式的升幂、降幂排列 1．（23-24七年级上·福建泉州·期末）将多项式按的降幂排列的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的降幂排列，先确定各项中的次数，再排列即可，弄清楚每项中的系数是解此题的关键． 【详解】解：将多项式按的降幂排列的结果为， 故选：D． 2．（23-24七年级上·四川广安·期末）关于多项式，下列说法错误的是（    ） A．次数是7 B．常数项是 C．四次项的系数是5 D．按y的降幂排列为 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的相关概念，熟知多项式的相关概念是解题关键． 分别根据多项式的次数，常数项，单项式的系数，多项式按字母的降幂排列等知识逐项判断即可求解． 【详解】解：多项式的次数是7，故A选项正确，不合题意； 多项式的常数项是，故B选项正确，不合题意； 多项式的四次项的系数是，故C选项错误，符合题意； 多项式按y的降幂排列为，故D选项正确，不合题意． 故选：C． 3．（23-24七年级上·河南商丘·阶段练习）把多项式按的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的降幂排列，先分清多项式的各项，然后按多项式中x的降幂排列即可，解题的关键是掌握多项式的降幂排列的方法，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列，要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号． 【详解】解：多项式的各项为：，，，， 按的降幂排列为：， 故选：B． 巩固训练 1．（23-24七年级上·河南商丘·阶段练习）把多项式按的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的降幂排列，先分清多项式的各项，然后按多项式中x的降幂排列即可，解题的关键是掌握多项式的降幂排列的方法，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列，要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号． 【详解】解：多项式的各项为：，，，， 按的降幂排列为：， 故选：B． 2．（23-24七年级上·上海青浦·期中）把多项式按字母的升幂排列是 ． 【答案】 【分析】本题考查了将多项式按每个字母升幂（降幂）排列． 根据升幂排列的定义，我们把多项式的各项按照x的指数从小到大的顺序排列起来即可． 【详解】把多项式按字母的升幂排列是 故答案为：． 3．（23-24七年级上·吉林松原·期中）已知关于x、y的多项式是六次五项式． (1)m的值是______，该多项式的常数项是______； (2)将此多项式按x的降幂排列． 【答案】(1)4； (2) 【分析】本题主要考查了多项式的次数和项的定义及按降幂排列， （1）根据多项式的次数和多项式的项求m的值和常数项即可； （2）将m值代入多项式并按x降幂排列即可． 【详解】（1）解：∵多项式是六次五项式， ∴，解得，且多项式的常数项是； （2）根据（1）得多项式为， ∴按x的降幂排列为． 题型十　整式的判断 1．（24-25七年级上·上海·假期作业）代数式， ，，，，0.5 中整式的个数（ ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】直接利用整式的定义得出答案． 此题主要考查了整式，正确把握整式的定义是解题关键．整式的定义：单项式和多项式统称为整式． 【详解】解：整式有，， ，0.5共有4个． 故选：B． 2．（23-24六年级下·全国·假期作业）在中，不是整式的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据单项式和多项式统称整式，判断即可． 本题考查了整式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】中，不是整式的是有2个， 故选C． 3．（23-24七年级上·广西柳州·期中）在代数式①；②；③；④2021；⑤；⑥中整式的个数有（    ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】此题主要考查了整式，正确掌握整式的定义是解题关键． 根据单项式和多项式统称为整式，进而得出答案． 【详解】解：是整式的有，，2021，， 共四个， 故选：B 巩固训练 1、（23-24六年级下·全国·假期作业）在中，不是整式的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据单项式和多项式统称整式，判断即可． 本题考查了整式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】中，不是整式的是有2个， 故选C． 2．（23-24七年级上·吉林·期中）下列各式：；；；；；，其中是整式的有 （只填序号）． 【答案】 【分析】本题考查了整式的定义，单项式与多项式统称为整式；直接根据整式的定义即可判断求解，掌握整式的定义是解题的关键． 【详解】解：下列各式：；；；；；，其中是整式的有；；； 故答案为：． 3．（2022七年级上·全国·专题练习）指出下列各式中，哪些是单项式、哪些是多项式、哪些是整式？填在相应的横线上： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩ 单项式：_________________________； 多项式：_________________________； 整式：___________________________． 【答案】②④⑦⑨；①③⑤⑧；①②③④⑤⑦⑧⑨ 【分析】，的分母中含有字母，所以它们既不是单项式，也不是多项式，再根据单项式、多项式和整式的概念来分类． 【详解】解：单项式有：，，，； 多项式有：，，，； 整式有：，，，，，，，． 故答案为：单项式：②④⑦⑨；多项式：①③⑤⑧；整式：①②③④⑤⑦⑧⑨； 【点睛】本题考查了整式的定义，单项式与多项式的识别，掌握单项式、多项式、整式的定义是解题的关键． 题型十一　合并同类项 1．（22-23六年级上·山东东营·期末）如果和是同类项，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类项的定义．根据“字母和字母指数相同的单项式是同类项”，列式计算即可． 【详解】解：∵单项式和是同类项， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：C． 2．（22-23六年级上·山东泰安·期末）已知单项式与单项式是同类项，则的值为（　　） A． B．8 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类项的定义，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数也相同． 根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，列出关于的式子，由此求解即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ， ， 故选：C． 3．（22-23六年级上·山东泰安·阶段练习）下列各项去括号正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查去括号法则，根据去括号法则逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，原去括号错误，故此选项不符合题意； B、，原去括号正确，故此选项符合题意； C、，原去括号错误，故此选项不符合题意； D、，原去括号错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 巩固训练 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列去括号正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号．顺序为先大后小．应用去括号法则逐个计算即可得到结论． 【详解】解：A．，故此选项正确，符合题意； B．，故此选项错误，不符合题意； C．，故此选项错误，不符合题意； D．，故此选项错误，不符合题意． 故选：A． 2．（22-23七年级上·四川雅安·期中）已知单项式与的和是单项式，那么 ， 【答案】 4 3 【分析】本题考查了同类项，如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项，由题意得出单项式与是同类项，从而得出，，计算即可得出答案，熟练掌握同类项的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵单项式与的和是单项式， ∴单项式与是同类项， ∴，， ∴， 故答案为：，． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）合并下列各式的同类项： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了去括号、合并同类项， （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 解题的关键是熟练掌握合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将括号和负号去掉后，括号内每一项的符号要发生改变． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十二　整式加减运算 1．（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）一个整式减去等于，则这个整式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查合并同类项，根据题意列出等式进行同类项合并即可． 【详解】解：根据题意得，， 故选：B． 2．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）把错算成，结果比原来（　　） A．多8 B．少8 C．多12 D．少12 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减，两式相减得结果即可． 【详解】解： ． 结果比多了12． 故选：C． 3．（23-24六年级下·黑龙江大庆·期末）若A，B，C都是关于x的三次多项式，则是关于x的（　　） A．三次多项式 B．六次多项式 C．不高于三次的多项式 D．不高于三次的多项式或单项式 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的加减中的多项式的加减，重点考查的是多项式的加减中的结果的不确定性． 根据多项式的加减运算法则、多项式的次数的定义以及分情况讨论的数学方法逐项判定即可． 【详解】解：A、若A，B，C三项中的最高项即三次项运算后不能抵消，则可能是关于x的三次多项式，但不能确定，故选项错误，不符合题意； B、三个三次多项式相加减，最多是三次多项式，不可能是六次多项式，故选项错误，不符合题意； C、若A，B，C三项中的最高项即三次项运算后能抵消，则结果的次数小于三次，也可能不是多项式，而成为单项式，故此选项错误，不符合题意； D、如若，，，则，而x是一个关于x的单项式，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 巩固训练 1．（22-23九年级上·广东湛江·期中）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减运算，根据合并同类项的方法“字母及字母的指数不变，系数相加（或减）”即可求解，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算正确，符合题意； 故选：D ． 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，熟知整式的加减计算法则是解题的关键．先去括号，然后合并同类项即可． 【详解】解： 故答案为：． 3．（23-24七年级上·江西吉安·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】 本题考查整式的加减运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． （1）根据整式的加减运算法则即可求出答案． （2）根据整式的加减运算法则即可求出答案． 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． 题型十三　整式加减的应用 1．（23-24七年级上·四川南充·期中）计算与的差，结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的加减，掌握去括号、合并同类项法则是解答此题的关键．先根据题意列出式子，再运算即可． 【详解】解：由题意得： ， ， ， 故选：D． 2．（22-23七年级上·山东日照·期末）如图，将边长为m的正方形纸片沿虚线剪成两块正方形和两块长方形，若拿掉边长为n的小正方形后，再把剩下的三块图形拼成一块长方形，则这块长方形周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，根据题意可得拼成的长方形的长为，宽为，据此根据长方形周长计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，拼成的长方形的长为，宽为， ∴新长方形的周长为， 故选：B． 3．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块．除阴影外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，则阴影的较短边和阴影的较短边之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减的应用，由题意得出阴影的较短边长为，阴影的较短边长为，再求和即可得出答案，正确表示出阴影的较短边长和阴影的较短边长是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：阴影的较短边长， 阴影的较短边长， 阴影的较短边和阴影的较短边之和为， 故选：C． 巩固训练 1．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知图②中两块阴影部分的周长和为24，则的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减运算的应用，准确理解题意是解题的关键，设小长方形的长为x，宽为y，由题意得，再表示出两块阴影部分的周长和，即可求解． 【详解】设小长方形的长为x，宽为y，由题意得， 则两块阴影部分的周长和为， ∴， 故选：B． 2．（23-24六年级上·山东烟台·期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如：，则所捂住的多项式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，熟知整式的加减的运算法则是解此题的关键．根据整式的加减法则进行计算即可． 【详解】解：所捂住的多项式是： ， 故答案为：． 3．（22-23七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）小亮房间窗户的窗帘如图（1）所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同）． (1)如图（1），请用代数式表示窗帘的面积：________；用代数式表示窗户能射进阳光的面积：__________；（结果保留） (2)小亮又设计了如图（2）的窗帘（由一个半圆和两个四分之一圆组成，半径相同），请你用代数式表示窗户能射进阳光的面积：________；（结果保留） (3)当米，米时，图（2）中窗户能射进阳光的面积与图（1）中窗户能射进阳光的面积的差为________（取3） 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查列代数式和整式加减的应用，解题的关键是用代数式表示出装饰物的面积． （1）将两个四分之一的圆面积相加即是装饰物的面积，用矩形的面积减去装饰物的面积即是射进阳光的面积； （2）用矩形面积减去一个半圆和两个四分之一圆的面积即为射进阳光的面积； （3）将（2）（1）的结论作差，再将米，米代入，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知：四分之一圆的半径为， ∴装饰物的面积为：， ∴窗户能射进阳光的面积为：； （2）解：由题意知：半圆和四分之一圆的半径为， ∴装饰物的面积为：， ∴图2窗户能射进阳光的面积为： ； （3）解： ， 将代入，可得： 原式， 答：两图中窗户能射进阳光的面积相差． 题型十四　整式的加减中的化简求值 1．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的化简求值，先把变形为，再把所求的整式化简然后利用整体代入求值即可，熟练掌握运算法则及整体代入是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 原式 ， 故选：． 2．（2024·山东济南·二模）已知a是方程 的解，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，将代数式整体代入求解是解题的关键．由题意得，移项得，将化简为，再将代入计算，即得答案． 【详解】是方程 的解， ， ， ． 故选B． 3．（2024·河北石家庄·二模）已知，，则整式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式加减的化简求值，去括号，添括号，利用整体代入的思想求解是解题的关键． 先化简再把、整体代入到所求代数式中进行求解即可． 【详解】解：原式． 故选：B． 巩固训练 1．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）当，时，化简代数式并求值，其结果为（    ） A． B． C．40 D．60 【答案】C 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式进行计算，然后合并同类项，最后将字母的值代入进行计算即可求解． 【详解】解： ； 当，时， 原式 ． 故选：C． 2．（2024·江苏泰州·一模）已知，那么代数式的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了整式的加减－化简求值，先去括号合并同类项，再把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：6． 3．（22-23七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）先化简，再求值：，其中，. 【答案】；0 【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变．先根据整式加减运算法则进行化简，然后再把数据代入求值即可． 【详解】解： ， 把，代入得：原式． 题型十五　整式加减中的无关型问题 1．（22-23七年级上·广东广州·期中）若多项式的值与x的值无关，则m等于（ ） A．0 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确整式加减的计算方法． 先根据多项式的值与x的值无关可得，解题即可得到m的值． 【详解】解： ， ∵多项式的值与x的值无关， ∴， 解得：， 故选C． 2．（23-24六年级下·全国·假期作业）关于代数式，下列说法正确的是（    ） A．无论，取何值，其值都是一个常数 B．取不同值时，其值不同 C．y取不同值时，其值不同 D．以上说法都不正确 【答案】A 【分析】本题考查了整式的运算中无关项的问题，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． 合并同类项后进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴无论，，取何值，其值都是，故A正确； 故选：A． 3．（23-24七年级上·四川南充·期中）多项式与的和中不含有项，则（   ） A． B．3 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，将多项式进行合并后，令含有项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：， ∵两个多项式和中不含有项， ∴， ∴； 故选：D． 巩固训练 1．（23-24七年级上·山东滨州·期末）若关于x的两个多项式与的和不含三次项，则a的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】此题考查了整式的加减，多项式不含某项的含义，一元一次方程的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据和不含三次项，得到三次项的系数为0，求解即可． 【详解】解： ； ∵关于x的两个多项式与的和不含三次项， ∴， 解得：， 故选B 2．（23-24七年级上·四川凉山·期末）多项式与多项式相减后，不含二次项，则常数的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查整式的加减和解一元一次方程，根据题意可知，据此即可求得答案． 【详解】根据题意，得 因为不含二次方项，则 解得 故答案为：． 3．（22-23七年级上·四川雅安·期中）已知多项式与多项式． (1)当，时，计算的值； (2)如果A与的差中不含和y，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减，掌握去括号、合并同类项法则是正确解答的前提． （1）把，代入和，再计算的值； （2）求出，再令含有、的项的系数为0即可． 【详解】（1）解：把，代入和，得 和， ； （2）解： ， 与的差中不含和的项， ，且， ，， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 整式的加减知识归纳与题型突破（15类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点1 代数式及其分类 1. 代数式的定义:用运算符号,如:+、-、×、÷等,将数或表示数的字母连接起来,所得的式子叫做代数式，特别注意，单独的一个数或一个字母边也是代数式。例如:6+2c，2m-n， 2a+36，3(n+2m)，7等都是代数式。 特别说明：代数式中不能含有等号、不等号。 2. 代数式的分类： 特别说明：无理式和分式在以后进行学习。 知识点2 用含有字母的式子表示数的书写规定 (1)数与字母相乘或字母与字母相乘，将乘号省略不写；数与字母相乘时，通常把数写在前面； (2)当因数是1或-1时，“1”常省略不写； (3)带分数与字母相乘时要将带分数化成假分数； (4)除法运算要用分数线表示； (5)若式子后面有单位且式子是和或差的形式,式子应用小括号括起来。 知识点3 列代数式 在解决实际问题时，把问题中有关的数量用代数式表示出来，叫列代数式。列代数式的实质就是把文字语言转化为数学语言。 （1） 认真审题，把问题中表示数量关系的词语正确地转换为对应的运算； （2） 注意题目的语言叙述所表示的运算顺序； （3） 弄清题目中数量关系的运算顺序，正确使用表明运算顺序的括号，分出层次，逐步列出代数式。 特别说明：列代数式时排列几个字母因数时，一般按号字母表的顺序；同一个代数式可以表示不同的意义。 知识点4 求代数式的值 （1） 代数式的值 一般地，用具体数值替代代数式里的字母，按代数式的运算关系计算得出结果， 叫做代数式的值。 （2） 求代数式的一般步骤： 1 代入：用指定的字母的数值代替代数式里的字母，其他的运算符号和原来的数值都不能改 变； 2 计算：按照代数式指明的运算，根据有理数的运算方法进行计算。 （3） 一般地，代数式的值不是固定不变的，它随着代数式中的字母的取值的变化而变化。 （4） 求代数值的方法： ① 直接代入法:用数值代替代数式中的对应字母,然后计算结果 ② 化简求值法:先化简代数式,再代入字母的值,然后进行计算 ③ 整体代入法:当给出代数式中所含几个字母之间的关系,不直接给出字母的值时,一般是把所要求的代数式通过恒等变形,转化成为用已知关系表示的形式,再代入计算。 知识点4整式 1.单项式：像都是数与字母的乘积，这样的代数式叫做单项式，单独一个数或字母也单项式。 2.多项式：几个单项式的和叫做多项式。 一个式子是多项式需要具备两个条件： （1） 式子中含有运算符号“＋”或“－”； （2） 分母中不含有字母。 3.整式 单项式和多项式统称整式。 特别说明： ①单项式是整式； ②多项式是整式； ③多项式是由单项式组成的，但不能说明多项式包括单项式，它们是不同的概念； ④如果一个式子既不是单项式，也不是多项式，那么它一定不是整式。 知识点5 单项式的系数和次数 (1)系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数； (2)次数：单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数； 特别说明： ①单项式的系数包括它包括它前面的符号，且只与数字因素有关，而单项式的次数只与字母的指数有关； ②确定一个单项式的次数时，没有写指数的字母，实际上指数是“1”，计算是不能将其遗漏；不要把系数的指数当成字母的指数一同计算。 知识点6多项式的项和次数 （1）多项式的项：在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项,一个多项式含有几项,就叫几项式. （2）多项式的次数：一个多项式中,次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数 特别说明：单项式与多项式的次数确定方法不一样，二者不能混淆。 知识点7 同类项 1.定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项，叫做同类项，所有的常数项都是同类项. 2.判断同类项的方法 （1）同类项必须满足两个相同：一是所含字母；二是相同字母的指数也相同，两者缺一不 可， （2）是不是同类项与两个“无关”：一是与系数无关；二是与字母所排的顺序无关。如5mn与-nm是同类项。 特别说明： 同类项的对象是单项式，而不是多项式，但可以是多项式中的单项式 知识点8 合并同类项 1.合并同类项：把同类项合并成一项叫做合并同类项. 2.合并同类项的法则：合并同类项时，把系数相加，字母和字母的指数不变。 3.合并同类项的一般步骤： （1）找出同类项，通常在同类项下面做出相同的标记； （2）运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项结合； （3）利用合并同类项法则合并同类项； （4）写出合并同类项的结果。 特别说明：合并同类项法则可以简记成“一相加，两不变”，其中“一相加”是指将同类项系数相加，“两不变”是指字母连同其指数不变。 知识点9 去括号法则 （1）括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变； （2）括号前是“-”号,把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。简言之：括号前“-”变而“+”不变。 2.去括号时的注意事项 (1) 去括号时，要将括号连同它前面的符号一起去掉； (2) 需要变号时，括号里的各项都变号；不需要变号时,括号里的各项都不变号. 特别说明：1.去括号是一种恒等变形，去括号时一定要保证其值不变，也就是“形变而值不变”；2.去括号实质上是乘法分配律，去括号时暨要注意符号，还要注意符号的变化。 知识点10整式的加减 1.整式加减的运算法则 一般地，几个整式相加减,如果有括号就先去括号，再合并同类项。 2.整式化简求值的步骤 一化：利用整式加减的运算法则将整式化简； 二代：把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子； 三算：依据有理数的运算法则进行计算。 特别说明：整式的加减结果要最简：（1）不能有同类项；（2）含有字母的项的系数不能出现带分数，带分数要化为假分数；（3）一般不含括号。 03 题型归纳 题型一　用字母表示数 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）夏明今年a岁了，爸爸比夏明大21岁，则6年后，爸爸比夏明大（ ）岁． A． B．21 C． D．6 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）已知每个人做某项工作的效率相同，个人做d天可以完成，若增加人，则完成工作所需的天数为（ ）． A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·河北秦皇岛·开学考试）小明比小强大2岁，比小华小4岁．如果小强y岁．则小华（    ） A．岁 B．岁 C．岁 D．岁 巩固训练 1．（23-24七年级上·全国·课后作业）（是有理数）表示的数是（    ） A．正数 B．负数 C．正数或负数 D．任意有理数 2．（23-24七年级上·北京朝阳·期中）一种商品每件盈利为a元，售出60件，共盈利 元（用含a的式子表示） 3．（20-21七年级上·全国·课后作业）求下列图形阴影部分的面积： 题型二　代数式的相关概念 1．（23-24七年级上·广东东莞·期中）一个矩形的周长为30，若矩形的一边长用字母x表示，则此矩形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（22-23六年级上·山东泰安·阶段练习）下列各式中，符合整式书写要求的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）为了调查大家的低碳环保意识，小明在某超市出口统计后发现：一小时内使用自带环保袋的人数比使用超市塑料袋人数的2倍少6．若使用超市塑料袋的人数为，则使用自带环保袋的人数为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（21-22六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列单项式书写规范的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）如图，点，，，在数轴上的位置如图所示，为原点，，，若点所表示的数为，则点所表示的数为 ． 3．（22-23七年级上·广西桂林·期中）列代数式 (1)比与的积小5的数； (2)1减去的差与的积． 题型三　用代数式表示数、图形规律 1．（2024·云南楚雄·模拟预测）以下是一组按规律排列的多项式：，…，则第n个多项式是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·重庆巴南·阶段练习）下列图形都是由同样大小的桃心按一定的规律组成，其中第①个图形共有5个桃心，第②个图形共有8个桃心，第③个图形共有11个桃心，…，则第⑦个图形中桃心的个数为（    ） A．17 B．20 C．23 D．26 3．（23-24九年级下·重庆江津·阶段练习）由同样长度的木棍按一定的规律组成下列图形，其中第①个图形有5根木棍，第②个图形有9根木棍，第③个图形有13根木棍，……，则第⑧个图形木棍的根数是（    ） A．25 B．29 C．33 D．37 巩固训练 1．（2023·云南玉溪·一模）观察下列一组数：，，，，，，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第个数是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·甘肃定西·期末）小明用若干根等长的小木棒设计出如下图形，呈一定的规律性，则第个图形中有小木棒 根． 3．（23-24九年级下·安徽六安·期中）如图，用“8字砖”铺设地面，1块地砖有2个正方形，2块地砖拼得5个正方形，3块地砖拼得8个正方形，…，照此规律拼下去． (1)请用含n的代数式表示n块地砖拼得的正方形的个数为_______________个； (2)求当时，拼得的正方形的个数； (3)若m块地砖拼得的正方形的个数是170，求m的值． 题型四　已知字母的值，求代数式的值 1．（22-23七年级上·甘肃天水·期末）设a是最小的自然数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的整数，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D．3 2．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）若，互为相反数，的绝对值为，则的值是（    ） A． B．或 C．或 D． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，，且，则的值为（　　） A． B．或 C．或 D．或 巩固训练 1．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）如果，那么的值为（    ） A．5 B．1 C．－1 D．－5 2．（22-23七年级上·辽宁鞍山·期末）已知，，如果，那么 ． 3．（23-24六年级下·全国·假期作业）已知，求的值． 题型五　已知式子的值，求代数式的值 1．（22-23七年级上·四川达州·期末）已知代数式的值是，那么代数式的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·河南郑州·开学考试）若，则的值为（    ） A．19 B．31 C．27 D．23 3．（23-24七年级上·河北唐山·期末）已知，则多项式的值是（    ） A．0 B．2 C． D．1 巩固训练 1．（21-22七年级上·广东韶关·期末）已知，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 2．（21-22九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知代数式的值是7，则代数式的值是 ． 3．（22-23七年级上·广东湛江·期中）已知a、b互为相反数，且，c、d互为倒数，求的值． 题型六　程序流程图 1．（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）按照如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果可能是（　　） A． B． C． D．12 2．（2024七年级上·全国·专题练习）按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为1的是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．（22-23七年级上·江西宜春·期中）按照如图所示的计算机程序计算，若开始输入的x值为4，第一次得到的结果为2，第二次得到的结果为1，…，第2023次得到的结果为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 巩固训练 1．（23-24七年级下·安徽池州·期中）如图，一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·山东青岛·开学考试）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入 的值为3125，则第2023次输出的结果为 ． 3．（23-24七年级下·福建漳州·期末）如图所示的是一个运算程序： 例如：根据所给的运算程序可知， 当时，，再把代入，得，则输出的值为27． (1)当时，求输出的值； (2)若某数只经过一次运算就能输出结果，求的取值范围． 题型七　单项式的相关概念 1．（22-23六年级上·山东烟台·期末）对代数式，，，，，判断正确的是（    ） A．只有个单项式 B．只有个单项式 C．有个整式 D．有个二次多项式 2．（23-24七年级上·河南濮阳·期末）下列表格填写完全正确的一列选项是（   ） 单项式（或多项式） 单项式的系数（或多项式最高次项系数） 2 0 次数 0 2 3 2 选项 A B C D A．A B．B C．C D．D 3．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，…，则第7个单项式是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（22-23七年级上·河南南阳·期末）下列语句中错误的是（    ） A．数字0也是单项式 B．单项式与的乘积可以表示为 C．是二次三项式 D．把多项式按x的降幂排列是 2．（23-24七年级上·江西上饶·期中）下列代数式中：a ， ， ， ， 0 ，单项式有 个． 3．（24-25七年级上·全国·假期作业）观察下列关于的单项式：，，，， (1)直接写出第个单项式：___________； (2)第个单项式的系数和次数分别是多少？ (3)系数的绝对值为的单项式的次数是多少？ 题型八　多项式的相关概念 1．（21-22六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列四个选项正确的是（      ） A．整式就是多项式 B．是单项式 C．是七次二项式 D．是单项式 2．（23-24七年级上·河北唐山·期末）如果是三次三项式，则m的值为（    ） A． B．2 C． D． 3．（2024·云南红河·二模）以下是一组按一定规律排列的多项式：，，，，，…，则第n个多项式是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24七年级上·河南商丘·期末）下列说法正确的是（    ） A．是单项式 B．的系数是5 C．单项式的次数是4 D．是五次三项式 2．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）多项式是关于的三次四项式，且二次项系数是，求 ． 3．（23-24七年级上·全国·课堂例题）把下列式子分别填在相应的大括号内： ． 单项式：{            …}； 多项式：{            …} 整式：{            …}． 题型九　多项式的升幂、降幂排列 1．（23-24七年级上·福建泉州·期末）将多项式按的降幂排列的结果为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·四川广安·期末）关于多项式，下列说法错误的是（    ） A．次数是7 B．常数项是 C．四次项的系数是5 D．按y的降幂排列为 3．（23-24七年级上·河南商丘·阶段练习）把多项式按的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24七年级上·河南商丘·阶段练习）把多项式按的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·上海青浦·期中）把多项式按字母的升幂排列是 ． 3．（23-24七年级上·吉林松原·期中）已知关于x、y的多项式是六次五项式． (1)m的值是______，该多项式的常数项是______； (2)将此多项式按x的降幂排列． 题型十　整式的判断 1．（24-25七年级上·上海·假期作业）代数式， ，，，，0.5 中整式的个数（ ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（23-24六年级下·全国·假期作业）在中，不是整式的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（23-24七年级上·广西柳州·期中）在代数式①；②；③；④2021；⑤；⑥中整式的个数有（    ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 巩固训练 1、（23-24六年级下·全国·假期作业）在中，不是整式的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（23-24七年级上·吉林·期中）下列各式：；；；；；，其中是整式的有 （只填序号）． 3．（2022七年级上·全国·专题练习）指出下列各式中，哪些是单项式、哪些是多项式、哪些是整式？填在相应的横线上： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩ 单项式：_________________________； 多项式：_________________________； 整式：___________________________． 题型十一　合并同类项 1．（22-23六年级上·山东东营·期末）如果和是同类项，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23六年级上·山东泰安·期末）已知单项式与单项式是同类项，则的值为（　　） A． B．8 C．4 D． 3．（22-23六年级上·山东泰安·阶段练习）下列各项去括号正确的是（　　） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列去括号正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·四川雅安·期中）已知单项式与的和是单项式，那么 ， 3．（2024七年级上·全国·专题练习）合并下列各式的同类项： (1) (2) 题型十二　整式加减运算 1．（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）一个整式减去等于，则这个整式为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）把错算成，结果比原来（　　） A．多8 B．少8 C．多12 D．少12 3．（23-24六年级下·黑龙江大庆·期末）若A，B，C都是关于x的三次多项式，则是关于x的（　　） A．三次多项式 B．六次多项式 C．不高于三次的多项式 D．不高于三次的多项式或单项式 巩固训练 1．（22-23九年级上·广东湛江·期中）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）化简： ． 3．（23-24七年级上·江西吉安·期中）计算： (1)； (2) 题型十三　整式加减的应用 1．（23-24七年级上·四川南充·期中）计算与的差，结果是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·山东日照·期末）如图，将边长为m的正方形纸片沿虚线剪成两块正方形和两块长方形，若拿掉边长为n的小正方形后，再把剩下的三块图形拼成一块长方形，则这块长方形周长为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块．除阴影外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，则阴影的较短边和阴影的较短边之和为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知图②中两块阴影部分的周长和为24，则的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 2．（23-24六年级上·山东烟台·期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如：，则所捂住的多项式为 ． 3．（22-23七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）小亮房间窗户的窗帘如图（1）所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同）． (1)如图（1），请用代数式表示窗帘的面积：________；用代数式表示窗户能射进阳光的面积：__________；（结果保留） (2)小亮又设计了如图（2）的窗帘（由一个半圆和两个四分之一圆组成，半径相同），请你用代数式表示窗户能射进阳光的面积：________；（结果保留） (3)当米，米时，图（2）中窗户能射进阳光的面积与图（1）中窗户能射进阳光的面积的差为________（取3） 题型十四　整式的加减中的化简求值 1．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·山东济南·二模）已知a是方程 的解，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 3．（2024·河北石家庄·二模）已知，，则整式的值为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）当，时，化简代数式并求值，其结果为（    ） A． B． C．40 D．60 2．（2024·江苏泰州·一模）已知，那么代数式的值是 ． 3．（22-23七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）先化简，再求值：，其中，. 题型十五　整式加减中的无关型问题 1．（22-23七年级上·广东广州·期中）若多项式的值与x的值无关，则m等于（ ） A．0 B．3 C． D． 2．（23-24六年级下·全国·假期作业）关于代数式，下列说法正确的是（    ） A．无论，取何值，其值都是一个常数 B．取不同值时，其值不同 C．y取不同值时，其值不同 D．以上说法都不正确 3．（23-24七年级上·四川南充·期中）多项式与的和中不含有项，则（   ） A． B．3 C．1 D． 巩固训练 1．（23-24七年级上·山东滨州·期末）若关于x的两个多项式与的和不含三次项，则a的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 2．（23-24七年级上·四川凉山·期末）多项式与多项式相减后，不含二次项，则常数的值是 ． 3．（22-23七年级上·四川雅安·期中）已知多项式与多项式． (1)当，时，计算的值； (2)如果A与的差中不含和y，求的值 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$