1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（第1课时 距离问题）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4.2 用空间向量研究 距离、夹角问题 第1课时 距离问题 高二上学期 1 1、了解利用空间向量求点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离的基本思想，提升直观想象素养. 2、理解点到直线、点到平面距离的公式及其推导，提升直观想象、逻辑推理素养. 3、体会向量方法在研究几何问题中的作用，提升逻辑推理和数学运算素养. 重点：空间距离的向量表示，用向量方法解决空间距离等度量问题. 难点：建立空间距离与向量之间的关系，并将空间距离等度量问题转化为空间向量问题. 学习目标 思考1：立体几何中有哪些距离问题? 两点间的距离 点到直线的距离 两平行线之间的距离 点到平面的距离 直线到平面的距离 两个平行平面间的距离 两异面直线间的距离 用 垂 直 刻 画 复习回顾 思考2：你能把这些距离问题归类吗？ 点到平面的距离 点到直线的距离 两平行线之间的距离 点到平面的距离 直线到平面的距离 两个平行平面间的距离 点到直线的距离 两点间的距离 两异面直线间的距离 ？ 复习回顾 思考3：如何用空间向量解决这些距离问题呢？ 空间两点间的距离 空间中其它距离 空间向量的模 ? 勾股定理？ 投影向量？ 垂直 复习回顾 探究1：点与点间的距离 ①已知， 所以 4 3 5 ②基底： 新知探究 探究2：点到直线的距离 思考：已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，直线外一点.设，如何利用这些条件求点到直线的距离？ 追问1：与有何关系？ 追问2：. 是在直线上的投影向量， 且 . 追问4：如何求两条平行直线之间的距离？ 点到直线的距离 几何(等面积法) 追问3：若点在直线上的位置发生变化，距离的向量表达式是否改变？ 新知探究 (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的单位方向向量； (3)求所求点与直线上某一点所构成的向量； (4)代入点线距公式求距离. 追问5：在几何图形中，求解距离问题时，已知条件中一般只会给出点和直线，那么具体求法步骤是什么？ 新知探究 解：(1)建系如图，则，，， 取， 则. 所以点到直线的距离为 例题：如图，在棱长为1的正方体中为线段的中点，为线段的中点，求点到直线的距离. 典例精析 探究3：点到平面的距离 α 几何(等体积法) 追问：已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点，过点作平面的垂线，交平面与点，则是直线的方向向量，则点到平面的距离公式为？ 点到平面的距离就是在直线上投影向量的长度. 因此 追问：如何求直线与平面间的距离？ 两个平行平面间的距离？ 点到平面的距离 思考：类比点到直线距离公式的探究过程，你该如何研究点到面的距离公式？ 新知探究 解：建系如图，则，，，，， 则 因为，所以，即平面. 所以点到平面的距离即为直线到平面的距离. 设平面的法向量为， 则，即，取，则， 所以点到平面的距离为，即直线到平面的距离为. 例题：如图，在棱长为1的正方体中为线段的中点，为线段的中点，求直线到平面的距离. 典例精析 用向量法求点面距的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系； (2)求坐标：写出相关点以及相关向量(，内两不共线向量)的坐标； (3)求平面法向量坐标： (4)求距离. α 归纳总结 与用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”类似，我们可以得出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： (1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题； (3)把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论. 归纳总结 练习：已知直三棱柱中，，，，，求点到直线的距离. 解：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以直线的方向向量为， 而，. 所以点到直线的距离. 习题演练 练习：如图，已知正方形的边长为1，平面， 且，分别为的中点. (1)求点到平面的距离；(2)求直线到平面的距离. 解：(1)建系如图，则，，， ∴，，. 设平面的法向量为 则，所以即令则. 所以点到平面的距离. 习题演练 练习：如图，已知正方形的边长为1，平面， 且，分别为的中点. (1)求点到平面的距离；(2)求直线到平面的距离. 解：(2)由于分别为的中点，所以，所以平面， 所以点到平面的距离即为直线到平面的距离. 由于，又由(1)知平面的法向量为. 所以点到平面的距离为. 即直线到平面的距离为. 习题演练 练习：如图所示，已知四棱柱是底面边长为1的正四棱柱.若点到平面的距离为，求正四棱柱的高. 解：设正四棱柱的高为建系如图， 则，，, ∴，， 设平面的法向量为， 则即取得， 所以点到平面的距离为，解得 故正四棱柱的高为2. 习题演练 法二：①在直线，上任意取点，，得到， ②求出与，都垂直的向量， ③套公式得 例题：在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，则异面直线与的距离为_________； 法一：找出其公垂线，求公垂线段的长度. 典例精析 解：建系如图，则，，， ∴， 设，满足即 取得， 所以异面直线. A D C B A1 D1 C1 B1 M N 例题：在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，则异面直线与之间的距离为_________； 典例精析 解：建系如图，则，，， ∴， 设，满足即 取得， 所以异面直线. 练习：在棱长为1的正方体中，求异面直线与之间的距离为_________； A D C B A1 D1 C1 B1 习题演练 1、点到直线的距离： 单位方向向量 两平行直线间的距离点到直线的距离 α 2、点到平面的距离： 直线与平面间的距离(直线与平面平行) 两个平行平面间的距离 点到平面的距离 课堂小结 1、在棱长为1的正方体中，点到平面的距离等于______；直线到平面的距离等于_______；平面到平面的距离等于_______. 2、如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点， (1)求点到直线的距离； (2)求直线到直线的距离； (3)求点到平面的距离； (4)求直线到平面的距离； 3、如图，在棱长为1的正方体中，求平面与平面的距离. 教材练习 作业布置 谢 谢 观 看 ！ 高二上学期 $$