1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（第1课时）（题型专练）数学人教A版2019选择性必修第一册

1.4.2 用空间向量研究距离、 夹角问题 （第1课时） 题型一：求点到直线的距离 1．点是直线l上一点，是直线l的一个方向向量，则点到直线l的距离是（    ） A． B． C．2 D． 2．在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到直线的距离为 . 3．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（    ） A．1 B． C． D． 题型二：求点到平面的距离 1．在空间直角坐标系中，，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为 . 2．如图，在长方体 中， ， ，点 是棱 的中点，则点 到平面 的距离为（    ） A． B． C． D． 题型一：求两平行直线间的距离 1．在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点，若过点的直线与直线平行，则直线到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在长方体中，，，分别为下底面和上底面的中心，则直线到直线的距离为 . 题型二：求直线到平面的距离 1．在正方体棱长为2的中，如图所示，E是的中点，则直线与平面BDE的距离是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，在长方体中，，则直线到平面的距离是（    ） A．5 B．8 C． D． 题型三：求两平行平面的距离 1．已知点，，，，则过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离为 ． 2．已知正方体的棱长为4，设M、N、E、F分别是，的中点，求平面AMN与平面EFBD的距离． 题型：距离型探索性问题 12．如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，为棱的中点，为边的中点． (1)求证： 平面； (2)若侧面底面，且，；在棱上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 13．图①是直角梯形，四边形是边长为的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且. (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为?若存在，求出的位置；若不存在，请说明理由. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4.2 用空间向量研究距离、 夹角问题 （第1课时） 题型一：求点到直线的距离 1．点是直线l上一点，是直线l的一个方向向量，则点到直线l的距离是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用点到直线的距离公式计算即可． 【详解】，是直线的一个单位方向向量， 点P到直线l的距离为. 故选：B. 2．在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到直线的距离为 . 【答案】/ 【分析】利用空间向量法求解点线距即可. 【详解】由题意可得，，， 则点A到直线的距离为. 故答案为：. 3．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解点线距即可. 【详解】建立如图空间直角坐标系， 则， ，. 故点到直线的距离. 故选：B 题型二：求点到平面的距离 1．在空间直角坐标系中，，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为 . 【答案】 【分析】根据点到平面距离的向量方法公式，求出方向向量，代入公式求出距离即可. 【详解】因为，所以点到平面的距离. 故答案为：. 2．如图，在长方体 中， ， ，点 是棱 的中点，则点 到平面 的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以D为坐标原点， 分别为x轴，y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】如图， 以D为坐标原点， 分别为x轴，y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系， 则． 从而. 设平面的法向量为， 则，即，得， 令，则， 所以点E到平面的距离为． 故选：A. 题型一：求两平行直线间的距离 1．在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点，若过点的直线与直线平行，则直线到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建系，先由线线平行，将平行直线间的距离转化为点到直线的距离，再由用空间向量法求点线距即可； 【详解】 因为，且，所以所求直线到直线的距离等价于点到直线的距离. 以D为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图， 则，，， ，则方向的单位向量， 那么， 所以F到直线AE的距离， 即直线到直线的距离为， 故选：D． 2．如图，在长方体中，，，分别为下底面和上底面的中心，则直线到直线的距离为 . 【答案】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，先证明两直线平行，然后将两平行直线之间的距离转化为点到直线的距离，然后利用空间向量法可求得点到直线的距离即可得解. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，，，， 所以，所以//， 又，所以直线到直线的距离等价于点到直线的距离 又点到直线的距离为. 所以直线到直线的距离为， 故答案为：. 题型二：求直线到平面的距离 1．在正方体棱长为2的中，如图所示，E是的中点，则直线与平面BDE的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明平面，然后利用向量法求得直线与平面BDE的距离. 【详解】连接交于，连接，由于是的中点，是的中点，所以， 由于平面，平面，所以平面. 建立如图所示空间直角坐标系，正方体的边长为， 则，， 设平面的法向量为， 则，故可设， 所以到平面的距离为. 即直线与平面BDE的距离为. 故选：A 2．如图所示，在长方体中，，则直线到平面的距离是（    ） A．5 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可》 【详解】以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则．设．设平面的法向量为， 由，得 ，∴可取． 又，∴点到平面的距离为, ∥，平面，平面， ∴∥平面， 到平面的距离为． 故选：C 题型三：求两平行平面的距离 1．已知点，，，，则过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离为 ． 【答案】 【分析】求得平面ABC的一个法向量，由求解 【详解】解：因为点，，，， 所以， 设平面ABC的一个法向量为， 则，即， 令，得，则， 所以过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离为， 故答案为： 2．已知正方体的棱长为4，设M、N、E、F分别是，的中点，求平面AMN与平面EFBD的距离． 【答案】 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出平面EFBD的法向量，并证明平面平面EFBD.于是两平面的距离转化为点到平面的距离．利用向量距离公式求出即可. 【详解】以D为坐标原点，以所在直线分别为x轴，y轴，z轴． 则， . 设是平面EFBD的一个法向量， 则，即，解得，所以 ． 又因为， 所以，从而，所以平面， 所以平面平面EFBD，所以两平面的距离即是点A到平面BDEF的距离． 从而两平面间距离为． 题型：距离型探索性问题 12．如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，为棱的中点，为边的中点． (1)求证： 平面； (2)若侧面底面，且，；在棱上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在点， 【分析】（1）取线段的中点，连接，证明为平行四边形，即可证明结论； （2）以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，设，点点坐标用表示出来，根据点到直线距离向量公式解出参数，即可求出结果． 【详解】（1）取线段的中点，连接，在中，分别为的中点． ，且 又底面是菱形，且为的中点， ，且， ，且， 四边形为平行四边形， 又平面平面 平面. （2）在平面内过点作， 又由平面底面,且平面平面,可得平面， 又菱形中，且，所以可得在中有， 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，由且，所以是正三角形，所以， 设 ， ， ，， 即 化简得，故（舍负）. 综上，存在点，. 13．图①是直角梯形，四边形是边长为的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且. (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为?若存在，求出的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点在棱的中点位置 【分析】（1）取的中点，连接，根据题中条件可得由勾股定理逆定理得：，利用线面垂直的判定定理证平面，再利用面面垂直的判定定理证平面平面； （2）建立空间直角坐标系，设，利用空间向量求解的值，即可确定点的位置. 【详解】（1） 取的中点，连接， 因为四边形是边长为的菱形，并且， 所以均为等边三角形，故且， 因为，所以，由勾股定理逆定理得：， 又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； （2） 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，故， 解得：， 故， 设平面的法向量为， 则， 故，即， 令，则，故， 其中 则，解得：， 即点在棱的中点位置时，使得点到平面的距离为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$