1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（第1课时）（导学案）数学人教A版2019选择性必修第一册

1.4.2用空间向量研究距离、 夹角问题 第1课时 用空间向量研究距离问题 导学案 （1）向量语言表述空间距离，理解运用向量运算求解空间距离的原理，培养数学抽象、逻辑推理素养. （2）能应用空间向量法解决距离问题，培养数学运算素养. （3）理解空间向量解决立体几何中的问题的“三步曲”. 第一环节 情境引入 这一节课老师为同学们准备了一个“惊喜礼物”，礼物放在讲台上，获得礼物的规则如下： 以墙角为原点，建立如图所示空间直角坐标，只要能求出礼物所在点到黑板上沿直线l、或者到窗户所在面α的距离，就能获得次礼物. 第二环节 合作探究 思考：立体几何中有哪些距离问题？ 思考：我们知道距离问题：两点间的距离是根本，点到直线的距离和点到平面的距离是基础，其他距离问题都可以转化为这两类距离问题，重新归纳以上距离问题. 探究1：给定一条直线l和直线l外一点P，如何利用向量方法求点P到直线l的距离？ 如图，已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P直线l外一点.设（称为参考向量） 思考1：与有何关系？ 思考2：______________. __________________. 思考3：若点A在直线l上的位置发生变化，|PQ|的向量表达式是否改变？ 总结：点到直线的距离公式的向量形式: 如图，给定一条直线l和直线l外一点P，点P到直线l的距离为： 其中，为直线的单位方向向量，. 思考：类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？ 小结：两条平行直线之间的距离转化为 的距离. 方法：求点P到直线l的距离具体求法步骤: (1) ：建立空间直角坐标系； (2) ：求直线的单位方向向量； (3) ：直线上任取一点，求参考向量； (4) ：代入点到直线距离公式： 牛刀小试： 练1：空间内有三点，，，则点到直线的距离为 ． A． B． C．相交但不垂直 D．不能确定 练2：如图所示，在空间直角坐标系中有长方体3，则点到直线的距离为 . 练3：正方体的棱长为4，E、F是、的中点，则直线F到直线的距离是 ．   探究3：类比点到直线距离公式的探究过程，你该如何研究点到面的距离公式？ 已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点，过点作平面的垂线，交平面与点， 总结：点到平面的距离公式的向量形式: 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面的一点. 点到平面的距离为： 方法：用空间向量求点到平面的距离的步骤: 第一步 ：确定平面的法向量; 第二步 ：选择“参考向量”; 第三步 ：确定“参考向量”向法向量的的投影向量; 第四步 ：求投影向量的模长,得到 探究4：如何求平行于平面的直线到平面的距离? 两个平行平面之间的距离呢? 小结：直线与平面之间的距离、两平行平面间的距离转化为 的距离. 思考：点到直线的距离公式和点到平面的距离公式区别在哪里?为什么会有这样的区别? 牛刀小试： 练4：若平面过点且该平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 练5：若两平行平面、分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量为，则两平面间的距离是 ． 练6：如图，正方体的棱长为2，点为的中点． 求到平面的距离． 练7：设正方体的棱长为2，求平面与平面之间的距离． 例4 如图1.4-18，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点． （1）求点到直线的距离； （2）求直线到平面的距离． 方法：（一）空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： （1）__________：建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （2）__________：通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题； （3）__________：把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论． （二）点到直线的距离的求法 (1) __________：在直线上取一点,同时确定直线的单位方向向量; (2) __________：计算直线上点与已知点对应的向量; (3) __________：计算在直线上上的投影向量; (4) __________：由公式求出距离. （三）求点到平面的距离步骤 (1) __________：结合图形的特点，建立恰当的空间直角坐标系； (2) __________：在坐标系中求出到平面内任一点对应的向量； (3) __________：设出平面的法向量，利用向量垂直的条件转化为求解方程组，求出法向量； (4) __________：代入求点到平面的距离公式计算出答案. 题型一：求空间两点间的距离问题 例题 已知长方体中，，点是的中点， 点是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系． （1）写出点的坐标； （2）求线段的长度； （3）设点是线段上的动点，求线段的最小值． 方法总结：计算两点间的距离的两种方法 (1) 向量求模法( 法) 利用，通过向量运算求；或求两点间的距离，一般用求解． (2) 距离公式法( 法) 若，则，此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时． 题型二：求空间点到直线的距离问题（含直线到直线距离） 例题 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点， 为线段的中点． (1) 求点到直线的距离； (2) 求直线到直线的距离； 方法总结：点到直线的距离的求法 (1) _____________：在直线上取一点,同时确定直线的单位方向向量; (2) _____________：计算直线上点与已知点对应的向量; (3) _____________：计算在直线上上的投影向量; (4) _____________：由公式求出距离. 题型三：空间向量法求点到平面的距离（含直线到平面、平面间的距离） 例题1 如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离． 例题2 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点．求直线到平面的距离． 方法总结：向量法求点到平面的距离的常用方法 向量法：设平面的一个法向量为，是内任意点，则点到的距离为. 1．（24-25高二上·广东深圳·期末） 已知，，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东潮州·期末） 正方体的棱长为为的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B．1 C． D． 3．（24-25高二下·江苏宿迁·期中） 在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·湖南邵阳·阶段练习） 在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 5．（22-23高二上·上海虹口·阶段练习） 已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为 ． 1、点到直线的距离公式的向量形式: 给定一条直线l和直线l外一点P，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，则点P到直线l的距离为|PQ|： 其中，为直线的单位方向向量，，则—————————————— 2、两平行直线的距离:两条平行直线之间的距离转化为_____________的距离. 3、点到平面的距离公式的向量形式: 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面的一点. 点到平面的距离为：———————————— 4、直线到平面的距离与两平行平面间的距离: 直线到平面的距离与两平行平面间的距离均可转化为_____________的距离. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4.2用空间向量研究距离、 夹角问题 第1课时 用空间向量研究距离问题 导学案 （1）向量语言表述空间距离，理解运用向量运算求解空间距离的原理，培养数学抽象、逻辑推理素养. （2）能应用空间向量法解决距离问题，培养数学运算素养. （3）理解空间向量解决立体几何中的问题的“三步曲”. 第一环节 情境引入 这一节课老师为同学们准备了一个“惊喜礼物”，礼物放在讲台上，获得礼物的规则如下： 以墙角为原点，建立如图所示空间直角坐标，只要能求出礼物所在点到黑板上沿直线l、或者到窗户所在面α的距离，就能获得次礼物. 第二环节 合作探究 思考：立体几何中有哪些距离问题？ 预设： 思考：我们知道距离问题：两点间的距离是根本，点到直线的距离和点到平面的距离是基础，其他距离问题都可以转化为这两类距离问题，重新归纳以上距离问题. 预设： 探究1：给定一条直线l和直线l外一点P，如何利用向量方法求点P到直线l的距离？ 如图，已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P直线l外一点.设（称为参考向量） 思考1：与有何关系？ 是在直线l上的投影向量，且 思考2：______________. __________________. 预设：， 思考3：若点A在直线l上的位置发生变化，|PQ|的向量表达式是否改变？ 预设：不会发生改变 总结：点到直线的距离公式的向量形式: 如图，给定一条直线l和直线l外一点P，点P到直线l的距离为： 其中，为直线的单位方向向量，. 思考：类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？ 预设：直线的单位方向向量为，直线上的定点，直线上取一点，则进而求得在直线上的投影向量的表达式,进而在中,由勾股定理得点到直线的距离公式 小结：两条平行直线之间的距离转化为点到直线的距离. 方法：求点P到直线l的距离具体求法步骤: (1)建系：建立空间直角坐标系； (2)求单位向量：求直线的单位方向向量； (3)求参考向量：直线上任取一点，求参考向量； (4)求距离：代入点到直线距离公式： 牛刀小试： 练1：空间内有三点，，，则点到直线的距离为 ． A． B． C．相交但不垂直 D．不能确定 解析：由题意，,则与同方向的单位向量为，（求单位向量） 又,（求参考向量） 则点到直线的距离为.（代入点到直线距离公式） 练2：如图所示，在空间直角坐标系中有长方体3，则点到直线的距离为 . 解析：在长方体中，， 依题意，，， 则与同方向的单位向量为 所以点B到直线的距离. 练3：正方体的棱长为4，E、F是、的中点，则直线F到直线的距离是 ．   解析：易知，直线F到直线的距离等价于点到的距离. 如图所示：建立空间直角坐标系，则，，， 则，， 所以与同方向的单位向量为 所以点到的距离 ，即为所所求. 探究3：类比点到直线距离公式的探究过程，你该如何研究点到面的距离公式？ 已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点，过点作平面的垂线，交平面与点， 易知，是直线的方向向量，所求距离即为 点到平面的距离就是在直线上投影向量的长度. 因此 总结：点到平面的距离公式的向量形式: 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面的一点. 点到平面的距离为： 方法：用空间向量求点到平面的距离的步骤: 第一步 求法向量：确定平面的法向量; 第二步 选参考向量：选择“参考向量”; 第三步 求投影向量：确定“参考向量”向法向量的的投影向量; 第四步 代入公式的结果：求投影向量的模长,得到 探究4：如何求平行于平面的直线到平面的距离? 两个平行平面之间的距离呢? 小结：直线与平面之间的距离、两平行平面间的距离转化为点到平面的距离. 思考：点到直线的距离公式和点到平面的距离公式区别在哪里?为什么会有这样的区别? 在点到直线的距离公式中，投影向量垂直于垂线段;在点到平面的距离公式中，投影向量与垂线段重合.这是由给定图形的几何特征所决定的. 牛刀小试： 练4：若平面过点且该平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 解析：，点到平面的距离，故选：A. 练5：若两平行平面、分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量为，则两平面间的距离是 ． 解析：依题意，平行平面间的距离即为点O到平面的距离，而， 所以平行平面、间的距离. 练6：如图，正方体的棱长为2，点为的中点． 求到平面的距离． 解析：以为原点，如图建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令， 所以平面所的法向量为， ∵，∴， ，， ∴平面，                  所以到平面的距离可以转化为点到平面的距离， 由， 所以到平面的距离为. 练7：设正方体的棱长为2，求平面与平面之间的距离． 解析：如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 同理可得，平面的法向量, 因为，所以平面平面， 所以平面内的点到平面的距离即为所求． 所以点到平面的距离 ． 例4 如图1.4-18，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点． （1）求点到直线的距离； （2）求直线到平面的距离． 分析：根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向量和平面的法向量，再利用有关公式，通过坐标运算得出相应的距离． 解析：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图1.4-18所示的空间直角坐标系，则（第一步：建系） ，，，，，， 所以，，， ，，．（第二步：求点和方向向量） （1）取，，则，． （求方向向量单位向量和参考向量） 所以，点到直线的距离为．（代入点到直线距离公式） （2）因为，所以，所以平面．所以点到平面的距离即为直线到平面的距离．（证平行，线面距离转化为点面距离） 设平面的法向量为，则， 所以，即，取，则，． 所以，是平面的一个法向量．（求平面法向量） 又因为，（求参考向量） 所以点到平面的距离为．（代入公式求距离） 即直线到平面的距离． 方法：（一）空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： （1）转化：建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （2）运算：通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题； （3）翻译：把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论． （二）点到直线的距离的求法 (1) 求单位向量：在直线上取一点,同时确定直线的单位方向向量; (2) 求参考向量：计算直线上点与已知点对应的向量; (3) 求投影向量：计算在直线上上的投影向量; (4) 求距离：由公式求出距离. （三）求点到平面的距离步骤 (1) 建系：结合图形的特点，建立恰当的空间直角坐标系； (2) 求参考向量：在坐标系中求出到平面内任一点对应的向量； (3) 求法向量：设出平面的法向量，利用向量垂直的条件转化为求解方程组，求出法向量； (4) 求距离：代入求点到平面的距离公式计算出答案. 题型一：求空间两点间的距离问题 例题 已知长方体中，，点是的中点， 点是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系． （1）写出点的坐标； （2）求线段的长度； （3）设点是线段上的动点，求线段的最小值． 解析：（1）根据图中建立的空间直角坐标系，易知点的坐标分别为 ． （2）由空间两点间的距离公式，可得： ， ． （3）在平面上，依题意可设点的坐标为，其中．则 ． 因为，所以当时，线段取得最小值，为，即．故的最小值为． 方法总结：计算两点间的距离的两种方法 (1) 向量求模法(基底法) 利用，通过向量运算求；或求两点间的距离，一般用求解． (2) 距离公式法(坐标法) 若，则，此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时． 题型二：求空间点到直线的距离问题（含直线到直线距离） 例题 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点， 为线段的中点． (1) 求点到直线的距离； (2) 求直线到直线的距离； 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，． （1），，． 设，， 则，， ∴点到直线的距离为． （2），，，． ∴点到直线的距离即为直线到直线的距离， ，．设， ，，∴直线与的距离为． 方法总结：点到直线的距离的求法 (1)求单位向量：在直线上取一点,同时确定直线的单位方向向量; (2)求参考向量：计算直线上点与已知点对应的向量; (3)求投影向量：计算在直线上上的投影向量; (4)代入公式求距离：由公式求出距离. 题型三：空间向量法求点到平面的距离（含直线到平面、平面间的距离） 例题1 如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离． 证明： （1）因为，为的中点， 所以，且． 连结．因为，， 所以为等腰直角三角形，且，． 由知，．由， ，所以，平面；． （2）如图，以O为原点，建立直角坐标系， 设，，，， ，， ，． 设平面的一个法向量， 则，令，则， 所以，点C到平面的距离为． 例题2 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点．求直线到平面的距离． 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则，， ，，，． 设平面的法向量为， 又，，， 取，则，，， ，平面，平面， 到面的距离即为点到平面的距离． 又平面的单法向量，， ∴直线到平面的距离为． 方法总结：向量法求点到平面的距离的常用方法 向量法：设平面的一个法向量为，是内任意点，则点到的距离为. 1．（24-25高二上·广东深圳·期末） 已知，，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 解析：因为，，，则，， 所以点到直线的距离为：. 2．（24-25高二上·广东潮州·期末） 正方体的棱长为为的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B．1 C． D． 解析：建立空间直角坐标系，如右图， 则，，， 所以，， 所以点到直线的距离. 3．（24-25高二下·江苏宿迁·期中） 在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（    ） A． B． C． D． 解析：建设平面的一个法向量为， 则，令，可得，；所以， 则点到平面的距离为. 故选：D 4．（23-24高二上·湖南邵阳·阶段练习） 在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 解析：如图建立空间直角坐标系，则，， 所以, 设平面的法向量为，则 ，令，则， 因为，平面，平面， 所以平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为 . 故选：D. 5．（22-23高二上·上海虹口·阶段练习） 已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为 ． 解析： 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 可得， 因为，则， 所以，因为平面，平面， 平面，平面， 所以 平面， 平面， 又，平面， 所以平面 平面， 所以平面与平面的距离等于点到平面的距离， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 又因为，所以． 所以平面与平面的距离为． 1、点到直线的距离公式的向量形式: 给定一条直线l和直线l外一点P，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，则点P到直线l的距离为|PQ|： 其中，为直线的单位方向向量，，则—————————————— 答案： 2、两平行直线的距离:两条平行直线之间的距离转化为_____________的距离. 答案： 点到直线 3、点到平面的距离公式的向量形式: 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面的一点. 点到平面的距离为：———————————— 答案： 4、直线到平面的距离与两平行平面间的距离: 直线到平面的距离与两平行平面间的距离均可转化为_____________的距离. 答案： 点到平面 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$