精品解析：江苏省连云港市赣榆第一中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题

数学试题部分 （本卷满分150分 共4页 考试时间120分钟） 一、单选题（本题共8小题每小题5分共40分） 1. 若集合，，则集合B的真子集个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先用列举法求出集合，在根据真子集公式求解. 【详解】由题意可知，所以集合的真子集个数为个. 故选：C 2. 已知集合，，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由两集合相等列方程求出，再检验集合元素的互异性即可得答案. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 又根据集合互异性，可知，解得舍去， 所以解得， 所以， 故选：A 3. 已知全集，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，，再求， 【详解】因为，且， 所以， 因为，，所以， 所以． 故选：B． 4. 已知，若集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性即可得到结果. 【详解】若，则，所以，故充分性满足； 若，则或，显然必要性不满足； 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 5. 命题p：，的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可得结论. 【详解】由存在量词命题的否定形式可知： 命题p：，的否定为：，. 故选：C 6. 若，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用作差法求解. 【详解】解：A. ， 与1的大小不定，故错误； ，故正确； C. ，故错误； D. ，故错误； 故选：B 7. 若方程的两根为、，则（ ） A. B. C. 35 D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用一元二次方程根的求法，结合对数性质可解. 【详解】，分解因式得到， 则，则. 解得或，所以. 故选：D. 8. 不等式的解集为或，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将不等式化为，即的两个根为，，代入求出，再利用分式不等式的解法即可求解. 【详解】不等式可转化为， 其解集为或， 所以，且方程的两个根为，， 则 或，解得或（舍去）， 即有，即，解得. 所以不等式的解集为. 故选：A. 二、多选题（本题共4小题每小题5分满分20分） 9. 已知，如果实数满足对任意的，都存在，使得，则称为集合的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有（ ） A. ， B. ， C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由开点的定义和元素和集合的关系可求得结果． 【详解】对于，对任意的，存在，使得，故正确； 对于，假设集合，以0为“开点“，则对任意的，存在，， 使得，当时，该式不成立，故错误； 对于，假设集合以0为“开点“，则对任意的，存在， 使得，故正确； 对于，集合，，，当时，， 时，使得不成立，故错误． 故选：． 10. 设，，若，则实数的值可以是（ ） A. 0 B. C. 4 D. 1 【答案】ABD 【解析】 【分析】解方程，写出集合A的所有元素，根据集合A和集合B的关系，分析集合B中的元素的可能情况，解出相应的a. 【详解】，因为，所以，所以或或或， 若，则； 若，则； 若，则； 若，无解． 故选：ABD 11. 已知a，b为正实数，且，，，则（ ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为2 【答案】BD 【解析】 【分析】A.利用基本不等式判断；B.利用基本不等式结合“1”的代换判断；C.利用基本不等式结合“1”的代换判断；D.利用基本不等式判断. 【详解】对于A，因为，则，， 当且仅当时取“＝”，所以ab的最小值为4，A错误； 对于B，由，得，， 当且仅当，时取“＝”，B正确； 对于C，， 当且仅当时，取“＝”，C错误； 对于D，因为，所以， 则，当且仅当时，取“＝”，D正确. 故选：BD. 12. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】取，可判断A；作差法比较数的大小可判断B；利用基本不等式可判断CD. 【详解】对于A选项，若，则，故A选项错误； 对于B选项，， 由于，故，，故， 即，故B选项正确； 对于C选项，∵，∴， ∴， 当且仅当时等号成立，故C选项正确； 对于D选项，因为，，根据基本不等式， ， 当且，即时取得等号， 此时，故D选项正确． 故选：BCD． 三、解答题（本题共6小题第17题10分第18-22题12分满分70分） 13. 已知全集，集合，， （1）分别求和； （2）若，求的取值范围； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1），或 （2）或， （3） 【解析】 【分析】（1）化简两个集合，即可根据交并补的定义求解， （2）将问题转化为，对讨论即可求解， （3）根据交集的定义，列不等式即可求解. 【小问1详解】 由， ， 故， 或，故或 【小问2详解】 由得， 当时，，则满足题意， 当时，则，解得， 综上可得或， 【小问3详解】 由得，解得， 14. 已知集合或，． （1）求，； （2）若集合是集合的真子集，求实数的取值范围． 【答案】（1），或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据集合的运算法则计算即可得； （2）由子集的定义得出不等关系后计算即可得． 【小问1详解】 ， 则， ，或， ∴或； 【小问2详解】 ∵集合是集合的真子集， ∴或，解得或． 15. 已知集合中的元素全为实数，且满足：若，则． （1）若，求出中其他所有元素． （2）0是不是集合中的元素？请你取一个实数，再求出中的元素． 【答案】（1）中其他所有元素为，，2； （2）0不是的元素，当，中的元素是：3，，，． 【解析】 【分析】（1）根据定义直接计算即可得到中其他所有元素； （2）先假设，依定义判断即可；取，根据定义直接计算即可得到中其他所有元素． 【小问1详解】 由题意可知：， 则，，，， 所以中其他所有元素为，，2． 【小问2详解】 假设，则， 而当时，不存在，假设不成立， 所以0不是的元素， 取，则，，，， 所以当，中的元素是：3，，，． 16. 已知集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若将题干中的集合改为，是否有可能使命题：“，都有”为真命题，请说明理由. 【答案】（1） （2）不可能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）直接根据列不等式求解； （2）先得到，再根据包含关系列不等式求解. 【小问1详解】 因为， 所以或或， 解得或或， 所以； 【小问2详解】 若，， 对，都有，则， 所以，该不等式组无解， 故命题：“，都有”为真命题不可能. 17. 已知，. （1）若，，有且只有一个为真命题，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，分析命题，为真时的取值范围，由题意可得命题，为一真一假，由此分类讨论，求出实数的取值范围即可得到答案； （2）是的充分不必要条件，得到关于的不等式组，解不等式可得答案. 【小问1详解】 对于，解得：， 当时，则， 若，，有且只有一个为真命题，则真假，或假真； 当真假时，即，无解； 当假真时，，解得：或， 综上，实数的取值范围为 【小问2详解】 因为是的充分不必要条件，则是的真子集； 则或，解得：或， 综上，实数的取值范围为 18. 已知关于x的不等式的解集为M． （1）若，求不等式的解集； （2）若M中的一个元素是0，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据是不等式解集，得到，再根据两个不等式的关系求解； （2）将不等式转化为 ，再根据M中的一个元素是0，将x=0代入求解. 【小问1详解】 解：因为是不等式的解集， 所以， 不等式，即为， 所以或， 所以不等式的解集是； 【小问2详解】 不等式转化： ， 因为M中的一个元素是0， 所以， 解得 或 ， 所以实数a的取值范围是 . 19. 计算下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用指数幂的性质公式化简求解即可； （2）运用对数运算性质公式求解即可. 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 20. 在乡村振兴的道路上，某地干部在帮扶走访中得知某农户的实际情况后，为他家量身定制了致富计划，政府无息贷款万元给该农户养羊，每万元可创造利润万元.进行技术指导后，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍.现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中. （1）若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围; （2）若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意，求解，又，解出的取值范围. （2）由题意知网店销售的利润，养羊的利润，得到恒成立，化简利用基本不等式求得最值. 【小问1详解】 由题意，得， 整理得，解得，又， 所以，故x的取值范围为. 【小问2详解】 由题意知网店销售的利润为万元， 技术指导后，养羊利润为万元， 则恒成立. 又，则恒成立. 又，当且仅当时，等号成立， ，即的最大值为6.5. 21 已知集合，，函数. （1）求集合A. （2）若：，：，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围. （3）若不等式对x∈R恒成立，求实数a的取值范围 （4）当a∈R时，求关于x的不等式的解集 【答案】（1）； （2）或； （3） （4）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域即得集合. （2）求出集合B，再利用集合的包含关系求出的范围. （3）利用一元二次不等式恒成立，求出a的范围. （4）分段解含参数的一元二次不等式. 【小问1详解】 由，得，解得， 所以. 【小问2详解】 解不等式，得或，即或， 由是的充分不必要条件，得集合为集合的真子集， 则，或， 解得或， 所以实数的取值范围是或. 【小问3详解】 不等式， 依题意，对x∈R恒成立，当时，恒成立，因此， 当时，，解得， 所以实数a的取值范围是. 【小问4详解】 不等式，即， 当时，； 当时，，解得； 当时，，解得或； 当时，， 当时，，，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 22. 设为正整数，集合．对于集合中的任意元素和，记． （1）当时，若，，求和的值； （2）当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素，当相同时，是奇数；当不同时，是偶数．求集合中元素个数的最大值； （3）给定不小于的，从集合中任取个两两互不相同的元素．证明：存在，使得． 【答案】（1）2，1； （2）最大值为4个； （3）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）直接根据定义计算； （2）注意到1的个数的奇偶性，根据定义反证证明； （3）设，，，，则且，对从集合中任取个两两互不相同的元素，分两种情况讨论，第一种若存在两个不同元素同时属于一个；第二种若任意两个不同元素都不同时属于一个，由第二种情况推出矛盾即可． 【小问1详解】 因为， 所以， ． 【小问2详解】 设， 令其中() 则，， ，则， 当，且()时， 由题意知，是奇数，(不同)是偶数，等价于是奇数，(不同)是偶数． 若是奇数时，则中等于1的个数为1或3， 所以， 且． 将上述集合中的元素分成如下四组： 经检验，每组中两个元素，均有， 所以每组中两个元素不可能同时是集合中的元素． 所以集合中元素的个数不超过4个． 当且时，或，所以 又集合满足条件． 所以集合中元素个数最大值为4个． 【小问3详解】 设， ， ， 则且， 从集合中任取个两两互不相同的元素， 若存在两个不同元素同时属于一个，则， 记， 所以，存在，使得； 若任意两个不同元素都不同时属于一个， 则至多取个两两互不相同的元素，与已知取个两两互不相同的元素矛盾． 综上，存在，使得． 【点睛】本题主要考查集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系．综合性较强，难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题部分 （本卷满分150分 共4页 考试时间120分钟） 一、单选题（本题共8小题每小题5分共40分） 1. 若集合，，则集合B的真子集个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 已知集合，，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 已知全集，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，若集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 命题p：，的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 若，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 若方程两根为、，则（ ） A. B. C. 35 D. 8. 不等式的解集为或，则的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共4小题每小题5分满分20分） 9. 已知，如果实数满足对任意的，都存在，使得，则称为集合的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有（ ） A ， B. ， C. D. 10. 设，，若，则实数的值可以是（ ） A. 0 B. C. 4 D. 1 11. 已知a，b为正实数，且，，，则（ ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为2 12. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 三、解答题（本题共6小题第17题10分第18-22题12分满分70分） 13. 已知全集，集合，， （1）分别求和； （2）若，求的取值范围； （3）若，求的取值范围. 14. 已知集合或，． （1）求，； （2）若集合是集合的真子集，求实数的取值范围． 15. 已知集合中的元素全为实数，且满足：若，则． （1）若，求出中其他所有元素． （2）0是不是集合中的元素？请你取一个实数，再求出中的元素． 16. 已知集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若将题干中的集合改为，是否有可能使命题：“，都有”为真命题，请说明理由. 17 已知，. （1）若，，有且只有一个为真命题，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 18. 已知关于x的不等式的解集为M． （1）若，求不等式的解集； （2）若M中的一个元素是0，求实数a的取值范围． 19. 计算下列各式的值： （1）； （2）． 20. 在乡村振兴的道路上，某地干部在帮扶走访中得知某农户的实际情况后，为他家量身定制了致富计划，政府无息贷款万元给该农户养羊，每万元可创造利润万元.进行技术指导后，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍.现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中. （1）若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围; （2）若网店销售利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值. 21. 已知集合，，函数. （1）求集合A. （2）若：，：，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围. （3）若不等式对x∈R恒成立，求实数a的取值范围 （4）当a∈R时，求关于x的不等式的解集 22. 设为正整数，集合．对于集合中的任意元素和，记． （1）当时，若，，求和的值； （2）当时，设是子集，且满足：对于中的任意元素，当相同时，是奇数；当不同时，是偶数．求集合中元素个数的最大值； （3）给定不小于的，从集合中任取个两两互不相同的元素．证明：存在，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $