函数的单调性课时作业-2025届高三数学一轮复习

课时作业20　函数的单调性【原卷版】 时间：45分钟 一、选择题 1．下列说法中正确的有(　　) ①若x1，x2∈I，当x1<x2时，f(x1)<f(x2)，则y＝f(x)在I上是增函数； ②函数y＝x2在R上是增函数； ③函数y＝－在定义域上是增函数； ④函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．函数y＝的递增区间是(　　) A．(－∞，－2) B．[－5，－2] C．[－2,1] D．[－5,1] 3．若f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，则下列说法中正确的是(　　) A．f(x)>f(0) B．f(x2)>f(0) C．f(3a＋1)<f(3a) D．f(a2＋1)≥f(2a) 4．已知函数y＝ax2＋bx－1在(－∞，0]上是单调函数，则y＝2ax＋b的图象不可能是(　　) 5．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是(　　) A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1] C．(0,1) D．(0,1] 6．若函数f(x)＝在R上为增函数，则实数b的取值范围为(　　) A. B．[1,2] C. D. 7．已知函数f(x)＝，若0<x1<x2<x3，则，，的大小关系是(　　) A.<< B.<< C.<< D.<< 8．已知定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，若f(a2－a)>f(2a－2)，则实数a的取值范围为(　　) A．[－1,2) B．[0,2) C．[0,1) D．[－1,1) 二、填空题 9．已知函数f(x)＝－2x2＋mx＋1在区间[1,4]上是单调函数，则实数m的取值范围是 . 10．若函数f(x)＝是减函数，则实数a的取值范围为 . 三、解答题 11．用定义判断函数f(x)＝(a≠)在(－2，＋∞)上的单调性． 12．画出下列函数的图象，并写出它们的值域和单调区间． (1)y＝|x＋1|； (2)y＝(x＋3)|x－1|. 13．(多选题)已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5，下列关于函数f(x)的单调性说法正确的是(　　) A．函数f(x)在R上不具有单调性 B．当a＝1时，f(x)在(－∞，0)上递减 C．若f(x)的单调递减区间是(－∞，－4]，则a的值为－1 D．若f(x)在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是 14．已知定义在R上的函数f(x)，对∀x1，x2∈R，且x1≠x2，总有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，且函数f(x)的图象经过点A(5，－2)，若f(2m－1)<－2，则m的取值范围是(　　) A．m<3 B．m≤3 C．m>－3 D．m≥－3 15．设f(x)是定义在R上的增函数，且f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为. 16．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f ＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0. (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的单调性； (3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)<－2. 课时作业20　函数的单调性【解析版】 时间：45分钟 一、选择题 1．下列说法中正确的有(　A　) ①若x1，x2∈I，当x1<x2时，f(x1)<f(x2)，则y＝f(x)在I上是增函数； ②函数y＝x2在R上是增函数； ③函数y＝－在定义域上是增函数； ④函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解析：函数单调性的定义中的x1，x2是任意的，强调的是任意，①不对；②y＝x2，当x≥0时是增函数，当x<0时是减函数，从而y＝x2在其整个定义域上不具有单调性；③y＝－在整个定义域内不是单调递增函数．如－3<5，而f(－3)>f(5)；④y＝的单调递减区间不是(－∞，0)∪(0，＋∞)，而是(－∞，0)和(0，＋∞)，注意写法． 2．函数y＝的递增区间是(　B　) A．(－∞，－2) B．[－5，－2] C．[－2,1] D．[－5,1] 解析：由5－4x－x2≥0，得函数的定义域为{x|－5≤x≤1}．∵y＝5－4x－x2＝－(x2＋4x＋4)＋9＝－(x＋2)2＋9，对称轴方程为x＝－2，抛物线开口向下，∴函数的递增区间为[－5，－2]．故选B. 3．若f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，则下列说法中正确的是(　D　) A．f(x)>f(0) B．f(x2)>f(0) C．f(3a＋1)<f(3a) D．f(a2＋1)≥f(2a) 解析：∵a2＋1－2a＝(a－1)2≥0，∴a2＋1≥2a. 当a＝1时，f(a2＋1)＝f(2a)； 当a≠1时，f(a2＋1)>f(2a)．故选D. 4．已知函数y＝ax2＋bx－1在(－∞，0]上是单调函数，则y＝2ax＋b的图象不可能是(　B　) 解析：①当a＝0时，y＝2ax＋b的图象可能是A； ②当a>0时，－≥0⇒b≤0，y＝2ax＋b的图象可能是C；③当a<0时，－≥0⇒b≥0，y＝2ax＋b的图象可能是D. 5．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是(　D　) A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1] C．(0,1) D．(0,1] 解析：f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2， ∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，∴a≤1. ∵g(x)＝在区间[1,2]上为减函数， ∴a>0，∴0<a≤1. 6．若函数f(x)＝在R上为增函数，则实数b的取值范围为(　B　) A. B．[1,2] C. D. 解析：要使此分段函数为R上的增函数，必须使函数g(x)＝(2b－1)x＋b－1在(0，＋∞)上单调递增，函数h(x)＝－x2＋(2－b)x在(－∞，0]上单调递增，且满足h(0)≤g(0)，根据一次函数和二次函数的单调性可得解得1≤b≤2， 即实数b的取值范围是[1,2]． 7．已知函数f(x)＝，若0<x1<x2<x3，则，，的大小关系是(　C　) A.<< B.<< C.<< D.<< 解析：由题意可知0<x1<x2<x3≤2， 而＝＝， ∴在(0,2]上单调递减， ∴>>.故选C. 8．已知定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，若f(a2－a)>f(2a－2)，则实数a的取值范围为(　C　) A．[－1,2) B．[0,2) C．[0,1) D．[－1,1) 解析：定义在[－2,2]上的函数f(x)满足 (x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2， ∴函数f(x)在[－2,2]上单调递增， ∴∴ ∴0≤a<1，故选C. 二、填空题 9．已知函数f(x)＝－2x2＋mx＋1在区间[1,4]上是单调函数，则实数m的取值范围是(－∞，4]∪[16，＋∞)． 解析：二次函数f(x)的图象的对称轴是直线x＝. 因为二次函数在对称轴的两侧的单调性相反， 即∉(1,4)，所以≤1或≥4， 即m≤4或m≥16. 10．若函数f(x)＝是减函数，则实数a的取值范围为[－3，－1]． 解析：由题意可得 解得－3≤a≤－1，则实数a的取值范围是[－3，－1]． 三、解答题 11．用定义判断函数f(x)＝(a≠)在(－2，＋∞)上的单调性． 解：∵函数f(x)＝ ＝＝a＋， 任取x1，x2∈(－2，＋∞)，且x1<x2. 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝－＝. ∵－2<x1<x2， ∴x2－x1>0，(x1＋2)(x2＋2)>0， ∴当1－2a>0，即a<时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，f(x)是减函数； 当1－2a<0，即a>时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，f(x)是增函数， ∴在(－2，＋∞)上，当a<时，f(x)是减函数，a>时，f(x)是增函数． 12．画出下列函数的图象，并写出它们的值域和单调区间． (1)y＝|x＋1|； (2)y＝(x＋3)|x－1|. 解：(1)∵y＝|x＋1|，∴y＝ 其图象如下图所示： 由图象可得函数的值域为[0，＋∞)．(－∞，－1]为函数的单调递减区间；[－1，＋∞)为函数的单调递增区间． (2)f(x)＝ 即f(x)＝ 图象如图所示． 结合图象可知，f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和[1，＋∞)；单调递减区间为[－1,1]．函数的值域是R. 13．(多选题)已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5，下列关于函数f(x)的单调性说法正确的是(　BD　) A．函数f(x)在R上不具有单调性 B．当a＝1时，f(x)在(－∞，0)上递减 C．若f(x)的单调递减区间是(－∞，－4]，则a的值为－1 D．若f(x)在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是 解析：当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在R上是减函数，A错误；当a＝1时，f(x)＝2x2－8x＋5，其单调递减区间是(－∞，2]，因此f(x)在(－∞，0)上递减，B正确；由f(x)的单调递减区间是(－∞，－4]得a的值不存在，C错误；在D中，当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上是减函数；当a≠0时，由 得0<a≤，所以a的取值范围是，D正确． 14．已知定义在R上的函数f(x)，对∀x1，x2∈R，且x1≠x2，总有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，且函数f(x)的图象经过点A(5，－2)，若f(2m－1)<－2，则m的取值范围是(　A　) A．m<3 B．m≤3 C．m>－3 D．m≥－3 解析：因为对∀x1，x2∈R，且x1≠x2，总有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，所以f(x)在R上是增函数．又f(x)的图象经过点A(5，－2)，所以f(5)＝－2.所以f(2m－1)<－2等价于f(2m－1)<f(5)，所以2m－1<5，所以m<3，即m的取值范围是(－∞，3)． 15．设f(x)是定义在R上的增函数，且f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为. 解析：由已知条件可得f(x)＋f(－2)＝f(－2x)， 又f(3)＝1， ∴不等式f(x)＋f(－2)>1可化为f(－2x)>f(3)．∵f(x)是定义在R上的增函数，∴－2x>3， 解得x<－. ∴不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为. 16．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f ＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0. (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的单调性； (3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)<－2. 解：(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0.故f(1)＝0. (2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1， 由于当x>1时，f(x)<0. 所以f<0，即f(x1)－f(x2)<0. 因此f(x1)<f(x2)． 故函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减． (3)由f＝f(x1)－f(x2)得f＝f(9)－f(3)． 而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2. 由于函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减， 且f(|x|)<－2＝f(9)， 所以|x|>9，解得x>9或x<－9. ∴f(|x|)<－2的解集为(－∞，－9)∪(9，＋∞)． 学科网（北京）股份有限公司 $$