4.2 抛体运动规律及其应用（Word教师用书）-【创新方案】2025年高考物理一轮总复习（江苏专版）

第二讲　抛体运动规律及其应用 |纲举目张||精要回顾|　 [微点判断] (1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动一定是平抛运动。(×) (2)做平抛运动的物体的速度方向时刻在变化，加速度方向也时刻在变化。(×) (3)做平抛运动的物体初速度越大，水平位移越大。(×) (4)做平抛运动的物体，初速度越大，在空中飞行时间越长。(×) (5)从同一高度水平抛出的物体，不计空气阻力时，在空中飞行的时间是相同的。(√) (6)无论平抛运动还是斜抛运动，都是匀变速曲线运动。(√) (7)做平抛运动的物体，在任意相等的时间内速度的变化量是相同的。(√) |关键知能||升维学习|　 逐点清(一)　平抛运动规律及应用(重难点疏通)　　　　　　　　　　　　　　　　 1．飞行时间和水平射程 (1)飞行时间：由t＝ 知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。 (2)水平射程：x＝v0t＝v0 ，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定。 2．速度和位移的变化规律 (1)速度的变化规律 ①任一时刻的速度水平分量均等于初速度v0。 ②任一相等时间间隔Δt内的速度变化量方向均竖直向下，大小Δv＝Δvy＝gΔt。 (2)位移变化规律 ①任一相等时间间隔内，水平位移相同，即Δx＝v0Δt。 ②连续相等的时间间隔Δt内，竖直方向上的位移差不变，即Δy＝g(Δt)2。 [例1]　将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔0.05 s发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示。图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度s1和s2之比为3∶7。重力加速度大小取g＝10 m/s2，忽略空气阻力。求在抛出瞬间小球速度的大小。 [解析]　频闪仪每隔0.05 s发出一次闪光，每相邻两个球之间被删去3个影像，故相邻两球的时间间隔为t＝4T＝0.05×4 s＝0.2 s 设抛出瞬间小球的速度为v0，每相邻两球间在水平方向上位移为x，竖直方向上的位移分别为y1、y2，根据平抛运动位移公式有x＝v0t y1＝gt2＝×10×0.22 m＝0.2 m y2＝g(2t)2－gt2＝×10×(0.42－0.22)m＝0.6 m 令y1＝y，则有y2＝3y1＝3y 已标注的线段s1、s2分别为s1＝ s2＝ ＝ 则有 ∶ ＝3∶7 整理得x＝y 故在抛出瞬间小球的速度大小为 v0＝＝ m/s。 [答案]　 m/s [针对训练] 1．如图所示，刚性圆柱形容器，上端开口，容器内侧高h＝5 m，内径D＝1.6 m，现有一刚性小球(视为质点)从容器上端内边缘沿直径以v0的初速度水平抛出，小球恰好可以击中容器底部中心位置。已知重力加速度g＝10 m/s2，忽略空气阻力，小球与容器内壁碰撞视为弹性碰撞，则小球的初速度v0可能是(　 ) A．2 m/s B．4 m/s C．6 m/s D．8 m/s 解析：选B　根据平抛运动的分析可知，竖直方向有h＝gt2，解得t＝＝1 s，而根据题意，水平方向有D＝v0t(n＝0、1、2…)解得v0＝，因此v0的可能值为0.8 m/s、2.4 m/s、4.0 m/s、5.6 m/s、7.2 m/s、8.8 m/s…。故B正确。 [例2]　如图所示，将a、b两小球以大小为 20 m/s的初速度分别从A、B两点相差 1 s 先后水平相向抛出，a小球从A点抛出后，经过时间t，a、b两小球恰好在空中相遇，且速度方向相互垂直，不计空气阻力，g取10 m/s2，则抛出点A、B间的水平距离是(　 ) A．80 m B．100 m C．200 m D．180 m [解析]　经过t时间两球的速度方向相互垂直，此时b球运动时间为(t－1) s。设a球的速度方向与竖直方向的夹角为θ，根据几何关系可得：tan θ＝＝，解得t＝5 s，故A、B两点的水平距离x＝v0t＋v0(t－1)＝9v0＝180 m，故D正确，A、B、C错误。 [答案]　D [针对训练] 2．(2023·广州模拟)如图，x轴水平， y轴竖直，图中画出了从y轴上沿x轴正方向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的，不计 空气阻力。若a、b、c的飞行时间分别为ta、tb、tc，抛出的初速度分别为va、vb、vc，则(　 ) A．ta＞tb＞tc B．ta＜tb＝tc C．va＞vb＝vc D．va＝vb＞vc 解析：选B　根据h＝gt2，得t＝，因为ha＜hb＝hc可知ta＜tb＝tc，在水平方向上，有x＝v0t，因为ta＜tb＝tc，xa＞xb＞xc，则初速度va＞vb＞vc，故B正确，A、C、D错误。 逐点清(二)　落点有约束条件的平抛运动(迷盲点精研)　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1]　(2023·仪征调研)如图所示，倾角为θ的斜面体固定在水平面上，两个可视为质点的小球甲和乙分别沿水平方向抛出，两球的初速度大小相等，已知甲的抛出点为斜面体的顶点，经过一段时间两球分别落在斜面上的A、B点后不再反弹，落在斜面上的瞬间，小球乙的速度与斜面垂直。忽略空气阻力，重力加速度为g，则下列选项正确的是(　 ) A．甲、乙两球在空中运动的时间之比为tan2θ∶1 B．甲、乙两球下落的高度之比为2tan2θ∶1 C．甲、乙两球的水平位移大小之比为tan θ∶1 D．甲、乙两球落在斜面上瞬间的速度方向与水平方向夹角的正切值之比为2tan2θ∶1 [解析]　由小球甲的运动可知，tan θ＝＝＝，解得t＝，落到斜面上的速度方向与水平方向夹角的正切值为tan α甲＝＝，则tan α甲＝2tan θ；由小球乙的运动可知，tan θ＝＝，解得t′＝，落到斜面上的速度方向与水平方向夹角的正切值为tan α乙＝＝；甲、乙两球在空中运动的时间之比为t∶t′＝2tan2θ∶1，A错误；由h＝gt2可知，甲、乙两球下落的高度之比为h∶h′＝t2∶t′2＝4tan4θ∶1，B错误；由x＝v0t可知，甲、乙两球的水平位移大小之比为x∶x′＝t∶t′＝2tan2θ∶1，C错误；甲、乙两球落在斜面上瞬间的速度方向与水平方向夹角的正切值之比为2tan2θ∶1，D正确。 [答案]　D [规律方法]　落点在斜面上的平抛运动处理思路 图示 方法 基本规律 运动时间 分解速度，构建速度的矢量三角形 水平vx＝v0 竖直vy＝gt 合速度v＝ 由tan θ＝＝得t＝ 分解位移，构建位移的矢量三角形 水平x＝v0t 竖直y＝gt2 合位移x合＝ 由tan θ＝＝ 得t＝ 在运动起点同时分解v0、g 由0＝v1－a1t,0－＝－2a1d，得t＝，d＝ 分解平行于斜面的速度v 由vy＝gt得t＝ [针对训练] 1．如图所示，某同学对着墙壁练习打乒乓球。若球与墙壁上的点A碰撞后沿水平方向弹离，恰好垂直拍面落在球拍的点B上。已知球拍与水平线的夹角θ＝60°，A、B两点间的高度差h＝1 m。忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则球刚要落到球拍上时，速度的大小为(　 ) A．4 m/s B．2 m/s C. m/s D．2 m/s 解析：选A　根据h＝gt2得t＝＝ s，乒乓球打在球拍上时竖直方向的分速度vy＝gt＝2 m/s，因乒乓球垂直打在球拍上，可得vy＝vcos θ，解得v＝＝4 m/s，选项A正确，B、C、D均错误。 [例2]　如图所示为某一通关游戏装置的示意图，竖直面内的半圆弧BCD的直径BD水平且与竖直轨道AB处在同一竖直面内，小孔P和圆心O的连线与水平方向的夹角为37°。安装在轨道AB上的弹射器可上下移动，能水平射出速度大小可调节的弹丸，弹射器的射出口在B点的正上方，如果弹丸能垂直射入圆弧上的小孔P就算通关。某次游戏，弹射器从离B点0.15 m的高度将弹丸射出，正好通关，那么，圆弧半径和弹丸的初速度分别是(不计空气阻力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度取10 m/s2)(　 ) A．2 m,4 m/s B．1.5 m,4 m/s C．2 m,2 m/s D．1.5 m,2 m/s [解析]　 根据几何知识，平抛运动的水平位移为x＝R＋Rcos 37°＝1.8R，竖直位移为y＝h＋Rsin 37°＝0.15 m＋0.6R，又知＝×＝tan 37°，联立解得R＝2 m，又x＝v0t，y＝gt2，解得v0＝4 m/s，故A正确，B、C、D错误。 [答案]　A 落点在圆弧面上的三种常见情境 (1)如图甲所示，小球从半圆弧左边沿平抛，落到半圆内的不同位置。由半径和几何关系制约时间t：h＝gt2，R±＝v0t，联立两方程可求t。　　　 (2)如图乙所示，小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道，此时半径OB垂直于速度方向，圆心角α与速度的偏向角相等。 (3)如图丙所示，小球恰好从圆柱体Q点沿切线飞过，此时半径OQ垂直于速度方向，圆心角θ与速度的偏向角相等。 　 [针对训练] 2.如图所示，在水平放置的半径为R的圆柱体的正上方P点，将一个小球以速度v0沿垂直于圆柱体轴线方向水平抛出，小球飞行一段时间后恰好从圆柱体的Q点沿切线方向飞过，测得该截面的圆心O与Q点的连线与竖直方向的夹角为θ，那么下列小球从P运动到Q所用的时间错误的是(　 ) A．t＝ B．t＝ C．t＝ D．t＝ 解析：选C　 如图所示，小球在水平方向上做匀速运动，水平位移x＝Rsin θ＝v0t，得t＝，A正确；小球到达Q点时竖直方向上的速度vy＝gt＝v0tan θ，得t＝，B正确；小球从圆柱体的Q点沿切线飞过，故小球在Q点的速度方向垂直于半径OQ，在Q点的速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，设小球通过Q点时其竖直位移为y，则y＝tan θ＝Rsin θtan θ，又有y＝gt2，联立解得t＝ ，D正确，C错误。 [例3]　如图所示，在楼梯口，用弹射器向第一级台阶弹射小球。台阶高为H，宽为L，A为竖直踢脚板的最高点，B为水平踏脚板的最右侧点，C是水平踏脚板的中点。弹射器沿水平方向弹射小球，弹射器高度h和小球的初速度v0可调节，小球被弹出前与A的水平距离也为L。某次弹射时，小球恰好没有擦到A而击中B，为了能击中C点，需调整h为h′，调整v0为v0′，下列判断正确的是(　 ) A．h′的最大值为2h B．h′的最小值为2h C．v0′的最大值为v0 D．v0′的最小值为v0 [解析]　小球做平抛运动，有y＝gt2，x＝v0t，可得y＝∝x2，调整前＝2，即h＝H，调整后考虑临界情况，小球恰好没有擦到A而击中C，有＝2，即h′＝H，所以h′＝h，从越高处抛出而击中C点，抛物线越陡，越不容易擦到A点，则h′的最小值为h，故A、B错误；由v0＝x ，且两次平抛从抛出到A点过程，x都为L，所以＝＝，即v0′＝v0，从越高处抛出击中C点所用时间越长，抛出速度越小，则v0′的最大值为v0, 故C正确，D错误。 [答案]　C 平抛运动临界极值问题的分析方法 (1)确定研究对象的运动性质。 (2)根据题意确定临界状态。 (3)确定临界轨迹，画出轨迹示意图。 (4)应用平抛运动的规律，结合临界条件列方程求解。　　 [针对训练] 3．将小球从如图所示的阶梯状平台上以一定的水平初速度v0 水平抛出，所有台阶的高度和宽度均为1.0 m，取g＝10 m/s2，要使小球抛出后落到第三级台阶上，则v0可能为(　 ) A．3 m/s　B．3.5 m/s　C．4 m/s　D．2m/s 解析：选B　小球抛出后越过第二台阶，根据平抛运动的特点水平方向做匀速运动，竖直方向做自由落体运动可知h2＝2L＝g，x2＝v0t2>2L；小球抛出后不会越过第三台阶，有h3＝3L＝g，x3＝v0t3≤3L，解得 m/s＜v0≤m/s，故B正确。 逐点清(三)　斜抛运动(基础点速过) 1．研究方法——运动的合成与分解 (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：匀变速直线运动。 2．基本规律——以斜上抛运动为例 (1)水平方向：v0x＝v0cos θ， F合x＝0； (2)竖直方向：v0y＝v0sin θ， F合y＝mg。 3．解题技巧——抓住“三个对称” 轨迹 对称 斜上抛运动的轨迹关于过最高点的竖直线对称 速度 对称 关于过轨迹最高点的竖直线对称的两点速度大小相等 时间 对称 关于过轨迹最高点的竖直线对称的两点，从其中一点到最高点的上升时间与从最高点下降到对称点的时间相等 [针对训练] 1．如图所示，A、B两篮球从相同高度同时抛出后直接落入篮筐，落入篮筐时的速度方向相同，下列判断正确的是(　 ) A．A比B先落入篮筐 B．A、B运动的最大高度相同 C．A在最高点的速度比B在最高点的速度小 D．A、B上升到某一相同高度时的速度方向相同 解析：选D　若研究两个过程的逆过程，可看作是从篮筐处沿同方向斜向上的斜抛运动，落到同一高度上的A、B两点，则A上升的高度较大，高度决定时间，可知A运动时间较长，即B先落入篮筐中，A、B错误；因为两球抛射角相同，A的射程较远，则A球的水平速度较大，即A在最高点的速度比B在最高点的速度大，C错误；由斜抛运动的对称性可知，当A、B上升到与篮筐相同高度时的速度方向相同，D正确。 2．(2023·湖南高考)如图(a)，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图(b)所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是(　 ) A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度 B．谷粒2在最高点的速度小于v1 C．两谷粒从O到P的运动时间相等 D．两谷粒从O到P的平均速度相等 解析：选B　抛出的两谷粒在空中均仅受重力作用，加速度均为重力加速度，A错误；谷粒2做斜 向上抛运动，谷粒1做平抛运动，均从O点运动到P点，故位移相同，在竖直方向上谷粒2做竖直上抛运动，谷粒1做自由落体运动，竖直方向上位移相同，故谷粒2运动时间较长，C错误；谷粒2做斜抛运动，水平方向上为匀速直线运动，故运动到最高点的速度即为水平方向上的分速度，相同水平位移谷粒2用时较长，故谷粒2在水平方向上的分速度较小，即最高点的速度小于v1，B正确；两谷粒从O点运动到P点的位移相同，谷粒1的运动时间小于谷粒2的运动时间，则谷粒1的平均速度大于谷粒2的平均速度，D错误。 [课时跟踪检测] 1．(2024·连云港模拟)如图所示，在斜面的上方A点，水平向右以初速度v0抛出一个小球，不计空气阻力，若小球击中斜面B点(图中未画出)，且AB距离恰好取最小值，则小球做平抛运动的时间t为(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　若小球击中斜面B点，且AB距离恰好取最小值，则AB垂直斜面，此时有tan θ＝＝，可得t＝。 2．(2024·江苏扬州高三质检)如图所示，滑板爱好者先后两次从坡道A点滑出，均落至B点，第二次的滞空时间比第一次长，则(　 ) A．两次滑出速度方向相同 B．两次腾空最大高度相同 C．第二次滑出速度一定大 D．第二次在最高点速度小 解析：选D　对运动员的运动分析可知，从坡道A点滑出后，在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做竖直上抛运动，根据竖直上抛运动的对称性，即上升时间等于下降时间，由题知第二次的滞空时间比第一次长，所以第二次的下降时间大于第一次，由h＝gt2知，第二次腾空最大高度大于第一次，又因为两次的水平位移相等，所以两次的滑出速度与水平方向的夹角不同，即两次滑出速度方向不相同，故A、B错误；因为第二次的下降时间大于第一次，且两次的水平位移相等，由x＝vxt知，第二次滑出后水平分速度小于第一次，即第二次在最高点速度小，所以第二次滑出速度不一定大，故C错误，D正确。 3．某工厂为了落实有关节能减排政策，水平的排水管道满管径工作，减排前、后，水落点距出水口的水平距离分别为x0、x1，则减排前、后单位时间内的排水量之比(　 ) A. 　　B. C. 　　D. 解析：选A　设排水口到落点的竖直高度为h，水下落的时间为t，减排前、后水排出时的速度分别为v0和v1，则竖直方向：h＝gt2，可得：t＝；水平方向：x0＝v0t，x1＝v1t；设排水管的横截面积为S，则减排前、后单位时间内的排水量分别为：V0＝Sv0t0，V1＝Sv1t0，则：＝＝＝，故A正确，B、C、D错误。 4．(2024·常州模拟)如图所示，甲、乙两人练习配合传球投篮，两人分别以2 m/s、3 m/s的速度同时匀速垂直通过篮球场地中线时，二者相距3 m，甲继续匀速奔跑2 s后从1.7 m的高度将篮球近似水平抛出，乙在1.5 m的高度接住篮球并奔向篮板。不考虑篮球的自转，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则篮球被甲抛出瞬间的速度大小约为(　 ) A．10 m/s B．15 m/s C．18 m/s D．20 m/s 解析：选D　从场地中线开始，甲匀速跑动2 s后，甲、乙两人沿垂直场地中线方向的位移差为(3－2)×2 m＝2 m。甲抛出篮球后，球做平抛运动，乙接到球时，球下落的竖直高度h＝(1.7－1.5)m＝0.2 m，由h＝gt2，可得球运动的时间t＝0.2 s，在球做平抛运动的0.2 s内，乙仍然做匀速运动，此过程篮球的水平位移x＝m≈3.97 m，由x＝v0t，可解得篮球被甲抛出瞬间的速度v0＝19.85 m/s。 5．(2024·连云港质检)如图所示，水平放置的网球发球机正对着竖直墙面发射网球，两次发射的网球分别在墙上留下A、B两点印迹。测得OA＝AB，OP为水平线，若忽略网球在空中受到的阻力，下列说法正确的是(　 ) A．两球发射的初速度vA∶vB＝1∶2 B．两球发射的初速度vA∶vB＝2∶1 C．两球从P点发射到碰到墙面所用的时间tA∶tB＝1∶ D．两球从P点发射到碰到墙面所用的时间tA∶tB＝1∶2 解析：选C　设OA＝AB＝h，忽略空气阻力，则网球做平抛运动，竖直方向上有h＝g，2h＝g，整理可得tA∶tB＝1∶，故C正确，D错误；网球在水平方向上做匀速运动，而且水平位移大小相等，则有x＝vAtA＝vBtB，整理可得vA∶vB＝∶1，故A、B错误。 6．在篮球比赛中，运动员投出的篮球以与水平面成45°的倾角准确落入篮筐，这次跳起投篮时，投球点和篮筐正好在同一水平面上，如图所示，若投球点到篮筐距离为x，不考虑空气阻力，则(　 ) A．篮球进筐时的速度为 B．篮球在最高点的速度为 C．篮球在空中的运动时间为 D．篮球投出后的最高点相对篮筐的竖直高度是 解析：选B　设篮球投出去时的速度为v，则vx＝v，vy＝v，所以运行时间为：t＝＝，根据运动的对称性可得：vy＝＝，解得：v＝，t＝；篮球在最高点时竖直速度为零，此时速度大小等于水平方向速度，即v′＝vx＝，最高点的高度为h＝×2＝，故B正确，A、C、D错误。 7． 如图所示，水平地面上固定有一个斜面，斜面倾角为θ，从斜面顶端向右平抛一个小球(可视为质点)，当初速度为v0时，小球恰好落到斜面底端，平抛的飞行时间为t0，现用不同的初速度v从该斜面顶端向右平抛这个小球，则平抛运动结束时，末速度方向与水平方向夹角的正切值tan α随初速度v变化的图像，以及平抛运动飞行时间t随初速度v变化的图像正确的是(　 ) 解析：选B　当速度v＜v0，小球将落在斜面上，根据落在斜面上的小球的位移方向与水平方向夹角的正切值等于小球落在斜面上末速度方向与水平方向夹角正切值的一半可知，此时末速度方向与水平方向夹角的正切值tan α为定值，由tan α＝＝2tan θ，可得t＝＝，小球落在斜面上时α为定值，则此过程时间与速度v成正比，当速度v＞v0，小球将落到水平面，则有tan α＝＝，由于高度一定，则时间t为定值，则tan α与v成反比，故A、C、D错误，B正确。 8．(2024·太仓调研)如图，正在平直公路行驶的汽车紧急刹车，位于车厢前端、离地高度分别为H＝3.2 m、h＝2.45 m的两件物品，因没有固定而散落到路面，相距L＝1 m。由此估算刹车时的车速最接近(g取10 m/s2)(　 ) A．40 km/h　B．50 km/h　C．70 km/h　D．90 km/h 解析：选A　汽车紧急刹车后物品做平抛运动，平抛初速度等于汽车碰撞瞬间的行驶速度，设为v。对于离地高度为h的物品A，水平方向上有xA＝vt1，竖直方向上有h＝g。对于离地高度为H的物品B，水平方向上有xB＝vt2，竖直方向上有H＝g。根据题图分析可知L＝xB－xA。解得汽车的行驶速度v＝10 m/s＝36 km/h，所以刹车时的车速最接近40 km/h。 9．(2024·江苏南京)图甲是消防车正在机场进行水柱灭火演练的情景，部分水柱的轨迹如图乙所示。水在空中运动，A、B为其运动轨迹上的两点，已知水在A点时的速度大小为vA＝6 m/s，速度方向与竖直方向的夹角为45°，它运动到B点时，速度方向与竖直方向的夹角为37°(sin 37°＝0.6)，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则(　 ) A．图中A点是水在空中运动过程的最高点 B．水在空中运动过程为变加速曲线运动 C．水在B点时的速度大小为8 m/s D．A、B两点间的高度差为0.7 m 解析：选D　图中A点速度方向不是水平的，则图中A点不是水在空中运动过程的最高点，选项A错误；水在空中运动过程中，加速度恒定为g，则水在空中运动，为匀加速曲线运动，选项B错误；水在A、B两点时水平速度相同，则vAsin 45°＝vBsin 37°，解得B点时水的速度大小为vB＝5 m/s，选项C错误；A、B两点间的高度差为h＝＝0.7 m，选项D正确。 10．(2024·江苏模拟预测)某人在河谷边以一定初速度水平抛出一小石块，抛出的小石块可以落在抛出点左侧的任何位置，其简化模型如图所示，下列说法正确的是(　 ) A．初速度越大，小石块落地时间越长 B．初速度越大，小石块落地时间越短 C．以不同的初速度水平抛出，小石块落地速度与水平方向的夹角可能相同 D．初速度越大，小石块落地速度与水平方向的夹角越小 解析：选C　落地时间长短与小石块竖直方向位移有关，由于落点不确定，落地时间长短无法确定，故A、B错误；根据平抛运动速度方向与水平方向的夹角和位移方向与水平方向夹角的规律tan α＝2tan θ，可知当小球落在抛出点所在斜面上时，落地速度与水平方向的夹角相同，与水平初速度无关，故C正确，D错误。 11．(2023·新课标卷)将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？(不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g) 解析：石子做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，则有2gh＝vy2， 可得落到水面上时的竖直速度vy＝， 由题意可知，≤tan θ， 即v0≥，石子抛出速度的最小值为。 答案： 12．抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动。现讨论乒乓球发球问题，设球台长2L、网高h，乒乓球反弹前后的水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力。(设重力加速度为g) (1)若球在球台边缘O点正上方高度h1处，以速度v1水平发出，落在球台上的P1点(如图中实线所示)，求P1点距O点的距离x1； (2)若球从O点正上方某高度处以速度v2水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台上的P2点(如图中虚线所示)，求v2的大小； (3)若球从O点正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P3点，求发球点距O点的高度h3。 解析：(1)根据平抛运动规律得 h1＝g，x1＝v1t1，联立解得x1＝v1 。 (2)根据平抛运动规律得h2＝g，x2＝v2t2 且h2＝h,2x2＝L，联立解得v2＝ 。 (3)球的运动轨迹如图所示，得h3＝g x3＝v3t3且3x3＝2L 设球从恰好越过球网到达到最高点所用的时间为t，水平距离为s，则有：h3－h＝gt2，s＝v3t， 由几何关系得x3＋s＝L；解得h3＝h。 答案：(1)v1　(2) 　(3)h 学科网（北京）股份有限公司 $$