第一章空间向量与立体几何章末检测-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

空间向量与立体几何（综合调研卷） （新高考结构19道题） 姓名___________ 班级_________ 试卷共六页 满分150分，考试用时120分钟 1､ 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知动点在所在平面内运动，若对于空间中不在平面上的任意一点，都有，则实数的值为（    ） A．0 B．2 C． D． 2．如图，三棱柱中，分别为中点，过作三棱柱的截面交于，且，则的值为（    ） A． B． C． D．1 3．在四棱锥中，，则这个四棱锥的高h等于（    ） A．1 B．2 C．13 D．26 4．设，向量，，，且，，则等于（    ） A． B． C．3 D．4 5．已知空间中三点，平面的一个法向量为，则以为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C．3 D． 6．在平行六面体中，已知，则（    ） A． B． C． D． 7．已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，正方体的棱长为1，点分别为的中点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行 C．三棱锥的体积为 D．直线BC与平面所成的角为 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．平面α经过三点，，，向量是平面α的法向量，则下列四个选项中正确的是（    ） A．直线AB的一个方向向量为 B．线段AB的长度为3 C．平面α的法向量中 D．向量与向量夹角的余弦值为 10．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 11．在棱长为1的正方体中，、分别为、的中点，点满足，则下列说法正确的是（    ） A．若，则三棱锥外接球的表面积为 B．若，则异面直线与所成角的余弦值为 C．若，则面积的最小值为 D．若存在实数使得，则的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知，分别是平面的法向量，若，则 ． 13．已知空间向量，若，则实数 . 14．如图，在正方体中，，点分别为的中点，则平面截正方体所得截面面积为 ，动点满足，且，则当取得最小值时二面角的余弦值为 .    四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，． (1)证明：平面平面． (2)求二面角的余弦值． 16.（本小题15分） 如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，点为的中点. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使二面角的平面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 17.（本小题15分） 五面体为直三棱柱截去一个三棱锥后得到的几何体，，，为的中点，为线段的中点.点满足上. (1)若，求实数的值； (2)若是线段的中点，求平面与平面夹角的正弦值. 18.（本小题17分） 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 19.（本小题17分） 如图1，直角梯形中，，，，，以为轴将梯形旋转后得到几何体W，如图2，其中，分别为上下底面直径，点P，Q分别在圆弧，上，直线平面. (1)证明：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正切值等于，求P到平面的距离； (3)若平面与平面夹角的余弦值，求． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 空间向量与立体几何（综合调研卷）解析版 （新高考结构19道题） 姓名___________ 班级_________ 满分150分，考试用时120分钟 1､ 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知动点在所在平面内运动，若对于空间中不在平面上的任意一点，都有，则实数的值为（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】因为，动点在所在平面内运动，所以，解得． 故选：B． 2．如图，三棱柱中，分别为中点，过作三棱柱的截面交于，且，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】 如图，延长交于点，连接交于， 连接，则四边形所求截面． 取的中点，连接. ∵， ∴是△APC的中位线， ∴为的中点． 又分别为的中点， ∴，则，即， ∴为上靠近的三等分点，故． 故选：B. 3．在四棱锥中，，则这个四棱锥的高h等于（    ） A．1 B．2 C．13 D．26 【答案】B 【详解】设平面的法向量，则，令，得， 所以这个四棱锥的高. 故选：B 4．设，向量，，，且，，则等于（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【详解】， ， ，， ， ， ，． ， ． 故选：C. 5．已知空间中三点，平面的一个法向量为，则以为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】平面的一个法向量为，则，解得，故.，则， 则. 则平行四边形面积为. 故选：D. 6．在平行六面体中，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在平行六面体中，, 所以. 故选：D. 7．已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，的夹角为，且，得， ， 设与的夹角为，则， 由于，故 故选：A 8．如图所示，正方体的棱长为1，点分别为的中点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行 C．三棱锥的体积为 D．直线BC与平面所成的角为 【答案】B 【详解】A选项：为正方体，所以，直线与直线不垂直，所以直线与直线不垂直，故A错误； 如图建立空间直角坐标系，则， 对于B，设平面的法向量为，则，令，则， 因为，所以，所以， 因为在平面外，所以直线与平面平行，所以B正确， 对于C， ，所以三棱锥的体积为，所以C错误， 对于D，，直线BC与平面所成的角为，，所以D错误， 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．平面α经过三点，，，向量是平面α的法向量，则下列四个选项中正确的是（    ） A．直线AB的一个方向向量为 B．线段AB的长度为3 C．平面α的法向量中 D．向量与向量夹角的余弦值为 【答案】ACD 【详解】因为平面经过三点，，， 则，则，故直线的一个方向向量为，故A正确； 线段的长度为，故B错； 又向量是平面的法向量，， 则，解得，则，故C正确； 又,1,， 则向量与向量夹角的余弦值为，故D正确． 故选：ACD． 10．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由题意可知，， 对于A，，故A正确； 对于B，又因为， 所以， 所以，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：AD． 11．在棱长为1的正方体中，、分别为、的中点，点满足，则下列说法正确的是（    ） A．若，则三棱锥外接球的表面积为 B．若，则异面直线与所成角的余弦值为 C．若，则面积的最小值为 D．若存在实数使得，则的最小值为 【答案】AD 【详解】A：由题意，与重合， 故三棱锥的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同， 故半径，表面积为，故对； B：以为原点建系，，，，，， 由，所以， ，，，故B错； C：由得，在线段上运动，设在底面的投影为，连接， 由于，所以，故， 连接相交于，连接， ，当重合时取等号，故C错；    D：由 得，，，， 由可得， 所以，，， 当时，，故D正确. 故选：AD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知，分别是平面的法向量，若，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以，所以，解得． 故答案为： 13．已知空间向量，若，则实数 . 【答案】/ 【详解】因为，， 因为，所以，解得： 故答案为： 14．如图，在正方体中，，点分别为的中点，则平面截正方体所得截面面积为 ，动点满足，且，则当取得最小值时二面角的余弦值为 .    【答案】 / 【详解】由题意以点为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    第一空：因为分别为的中点，所以， 因为， 所以，所以四边形是平行四边形， 所以， 因为，所以，即四点共面， 所以平面截正方体所得截面为梯形，由对称性可知该梯形是等腰梯形， 因为正方体棱长为4， 所以梯形的上底，下底，梯形的腰长为， 所以梯形的高为， 故所求截面面积为； 第二空：由题意，且， 所以， 在中，当时，， 所以表示经过点且法向量为的平面， 即点在平面上， 由以上分析可知，， 若要取得最小值，只需最小，此时，当然也有， 由题意设，而， 设平面的法向量为， 所以，令，解得， 所以可取， 显然平面的一个法向量可以是， 二面角的余弦值为. 故答案为：18，. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，． (1)证明：平面平面． (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为底面是平行四边形，，所以，． 又，，所以，， 又，平面，所以平面． 设，则，由，得， 解得（负值已舍去），则，． 因为，所以，故， 因为，平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． （2）由（1）可知，，，两两垂直，以为坐标原点， 直线，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，所以，． 设平面的法向量为， 则，令，得． 由图可知，是平面的一个法向量． 设二面角的大小为，易知为锐角，则， 所以二面角的余弦值为． 16.（本小题15分） 如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，点为的中点. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使二面角的平面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）平面平面， 平面平面， 平面平面， 则以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则 . ， 设平面的法向量为，则， 令，解得：， 又，即， 又平面平面； （2）假设在线段上存在点，使二面角的大小为. 设，则. 设平面的一个法向量为， 则， 令，解得：， 又平面的一个法向量为， ， 即，解得：或（舍去）， 此时， 在线段上存在点，使二面角的平面角的大小为， 此时. 17.（本小题15分） 五面体为直三棱柱截去一个三棱锥后得到的几何体，，，为的中点，为线段的中点.点满足上. (1)若，求实数的值； (2)若是线段的中点，求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）以点C为坐标原点，直线CA，CB，分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，， ，， 所以，， 因为，所以， 所以， 因为，则， 解得； （2）因为P是线段AC的中点，所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 则， 取，则有，，即， 显然平面的一个法向量为， 设平面ABC与平面PBF的夹角为， 则， 所以， 即平面ABC与平面PBF夹角的正弦值为. 18.（本小题17分） 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【详解】（1）连结，交于点，连结， 点是的中点，点是的中点， 所以，平面，平面， 所以平面； （2）如图，以向量，，为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，，， 则，， 设平面的法向量， 则，令，，， 所以平面的法向量， 平面的一个法向量为， 设平面和平面的夹角为， 则， 所以平面和平面的夹角的余弦值为； （3），，，， ，，， ， 由（2）知平面的法向量， 设直线与平面的夹角为， 则， 解得或， 又， 则或. 19.（本小题17分） 如图1，直角梯形中，，，，，以为轴将梯形旋转后得到几何体W，如图2，其中，分别为上下底面直径，点P，Q分别在圆弧，上，直线平面. (1)证明：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正切值等于，求P到平面的距离； (3)若平面与平面夹角的余弦值，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）设平面交上底面于，在圆弧上， 因为上下底面平行，故， 又因为平面，平面，平面平面， 所以，所以， 由题意可知，又，平面， 所以平面，所以平面， 又平面，平面平面. （2）由（1）知平面，连接，所以是直线与平面所成角， 所以由题意， 又由题意，， 所以，所以，即在圆弧的中点上， 所以由知点P在圆弧中点上，故, 所以， 因为平面，所以点P到平面的距离即为F到平面的距离， 又圆柱结构性质可知,平面，平面， 所以平面，所以F到平面的距离即为C到平面的距离，设该距离为， 因为， ， 又，所以，即点P到平面的距离为. （3）过作垂直于底面，则由上知， 所以可建立如图所示的分别以为轴的空间直角坐标系， 则，设，且， 所以， 设平面的法向量为，则， 所以即，取可求得， 设平面的法向量为，则， 所以即，取可求得， 设平面与平面的夹角为，则，且， 整理得， 所以即， 即，所以， 所以，所以. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$