精品解析：河南省洛阳市第一高级中学2024-2025学年高二上学期开学摸底考试数学试题

洛阳一高2024—2025学年高二（上）开学摸底考 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚； 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效； 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知定义在R上的函数满足，，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 2. 已知函数满足：，，则下列说法正确的有（ ） A. 是周期函数 B. C. D. 图象的一个对称中心为 3. 已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 4. 若一枚质地均匀的骰子连续抛两次，则点数之和不小于8的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 在某城市正东方向200km处有一台风中心，它正向西北方向移动，移动速度的大小为20km/h，距离台风中心 150km. 以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约几小时后该城市所在地开始受到影响.(参考数据： （ ） A. 2 B. 4.5 C. 9.5 D. 10 7. 若函数在内恰好存在8个，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若某圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球表面积为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分. 9. 已知，集合，若存在，使得集合恰有五个元素，则的可能取值为（ ） A. B. C. 3 D. 10. 如图，直线与半径为1的圆相切于点，射线绕着点逆时针方向旋转到，在旋转过程中射线交圆于点，设，且恒满足，射线扫过圆内部（阴影部分）的面积为，则下列正确的是（ ） A. B. 的单调递增区间为 C. 点为的对称中心 D. 在瞬时变化率最大 11. 已知函数，则（ ） A. 在上的最大值为 B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 在上单调递减 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数，存在使得，则实数的值为_________. 13. 2023年11月，国家自然资源部公布了四川省9座名山的高度数据，其中最高的是贡嘎山，它的高度数据为7508.9米，三角高程测量法是测量山体高度的方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，三点在同一水平面上的投影，满足，．由点测得点的仰角为，由点测得A点的仰角为，则的高度为_______． 14. 已知三个复数，，，且，，，所对应的向量，满足；则的最大值为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）当时，求在上的最值； （2）设函数，若存在最小值，求实数a的值． 16. 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． （1）当漏诊率％时，求临界值c和误诊率； （2）设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值． 17. 在中，内角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）点是上的一点，，且，求周长的最小值. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面平面，，，，点E，F分别为棱PD，BC的中点，点G在线段AF上． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）设直线与平面，平面，平面所成的角分别为，，，求的最大值． 19. 设函数. （1）设，在处取得最大值，求； （2）关于x的方程在区间上恰有12个不同的实数解，求实数k的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 洛阳一高2024—2025学年高二（上）开学摸底考 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚； 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效； 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知定义在R上的函数满足，，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由结合题意，利用单调性的定义法判断在上是增函数，利用赋值法得，从而原不等式等价，利用单调递增化为，解一元二次不等式即可得解. 【详解】任取，且，因为， 所以， 因为时，，所以， 所以，即， 所以在上是增函数. 令，所以，令，所以， 不等式等价于， 所以即，因为在上是增函数， 所以，解得或. 故选：B 2. 已知函数满足：，，则下列说法正确的有（ ） A. 是周期函数 B. C. D. 图象的一个对称中心为 【答案】A 【解析】 【分析】先证明得到A正确；再给出作为反例说明B，C，D错误. 【详解】对于A，由于，故. 从而，这就得到，所以，即. 所以是周期函数，故A正确； 对于B，C，D，取，则满足条件，但，，同时由于，，从而关于的对称点并不在函数图象上，故B，C，D错误； 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对条件进行适当的代数变形. 3. 已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到函数的单调性，结合特殊点的函数值，利用零点存在性定理得到，，，得到答案. 【详解】由题意得在R上单调递增， 在上单调递增， 又，，故， ，，故， ，故， 故. 故选：B 4. 若一枚质地均匀的骰子连续抛两次，则点数之和不小于8的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列举出点数之和不小于8的情况数，结合两次点数共有36种情况，求出概率. 【详解】一枚质地均匀的骰子连续抛两次，两次点数共有36种情况， 其中点数之和为8的情况如下：， 点数之和为9的情况如下：， 点数之和为10的情况如下：， 点数之和为11的情况如下：， 点数之和为12的情况如下：， 故点数之和不小于8的情况共有种， 则点数之和不小于8的概率为. 故选：C 5. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】变形给定等式，结合和角的正弦公式化简即得. 【详解】在中，由，得， 整理得，而， 解得，而，所以. 故选：B 6. 在某城市正东方向200km处有一台风中心，它正向西北方向移动，移动速度的大小为20km/h，距离台风中心 150km. 以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约几小时后该城市所在地开始受到影响.(参考数据： （ ） A. 2 B. 4.5 C. 9.5 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意画出示意图，利用余弦定理即可求解. 【详解】 如图，当台风中心向西北方向移动到达点时，的距离恰好150km，此时该城市所在地开始受到影响， 设小时后该城市所在地开始受到影响, 台风中心移动速度的大小为20km/h，所以km，由题意知，km, 又台风中心向西北方向移动，所以, 由余弦定理可得， 解得或（舍）， 则开始受到影响在之后. 故选：B. 7. 若函数在内恰好存在8个，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简函数式为，题意说明，得，由正弦函数图象与直线的交点个数得的范围． 【详解】由题意可得： ， 由可得， 因为，，则， 由题意可得，解得， 所以的取值范围为． 故选：D． 【点睛】易错点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解． 8. 若某圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球表面积为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过圆锥的旋转轴作轴截面，由题意可求得轴截面内切圆的半径为1，进而求出圆锥的底面半径和高，代入圆锥体积公式，可得答案． 【详解】 如图，由题意知内切圆和外接圆同圆心，即的内心与外心重合，则为正三角形， 因为内切球表面积为，设内切圆的半径为，则，所以内切圆的半径为1， 所以的边长为， 所以圆锥的底面半径为，又高为， 故圆锥体积， 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分. 9. 已知，集合，若存在，使得集合恰有五个元素，则的可能取值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，有五组解，所以，即可得解. 【详解】函数， 则, 所以，或， 因为，所以， 因为使得集合恰有五个元素， 则，，， ，或， 所以，解得. 故选：AB 10. 如图，直线与半径为1的圆相切于点，射线绕着点逆时针方向旋转到，在旋转过程中射线交圆于点，设，且恒满足，射线扫过圆内部（阴影部分）的面积为，则下列正确的是（ ） A. B. 的单调递增区间为 C. 点为的对称中心 D. 在瞬时变化率最大 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角形面积公式和扇形面积公式，结合导数的性质、函数的对称性逐一判断即可. 【详解】A：，所以本选项正确； B：因为，故的单增区间为，因此本选项错误； C：因为， 所以点为的对称中心，因此本选项正确； D：因为，故在瞬时变化率最大，因此本选项正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：根据扇形面积和三角形面积公式很到函数的解析式，结合导数的几何意义和性质是解题的关键. 11. 已知函数，则（ ） A. 在上的最大值为 B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 在上单调递减 【答案】BD 【解析】 【分析】降幂公式以及辅助角公式求出的解析式，结合三角函数的图象与性质再逐一分析所给命题的真假. 【详解】 , 对于A，，所以，所以，则在上的值域为，函数的最大值为，故A错误； 对于B，设，则，所以为偶函数，故B正确； 对于C，设，则，所以不是奇函数，故C错误； 对于D，，，令，设，则时，单调递减，所以原函数在上单调递减，故D正确； 故选：BD 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数，存在使得，则实数的值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】先求得的值域为，根据的范围之间的关系分类讨论即可求解. 【详解】由余弦函数的性质，可得，所以的值域为， 当时，，，显然不成立； 同理，当时，不成立； 所以，存在使得，先满足，即， 当时，，， 所以， 所以集合与集合的交集不为空集， 即或，亦即，所以， 所以实数的值为. 故答案为：. 13. 2023年11月，国家自然资源部公布了四川省9座名山的高度数据，其中最高的是贡嘎山，它的高度数据为7508.9米，三角高程测量法是测量山体高度的方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，三点在同一水平面上的投影，满足，．由点测得点的仰角为，由点测得A点的仰角为，则的高度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】在中，利用正弦定理求，，再根据直角三角形结合相应角度运算求解. 【详解】因为， ， 分别过做，垂足分别为， 在中，则， 由正弦定理， 可得，， 在，， 则， 在中，， 则， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：1.对于特殊角三角函数值常借助于三角恒等变换求解； 2.高度测量问题，要注意利用相应的角度和高度，通过做辅助线转化运算. 14. 已知三个复数，，，且，，，所对应的向量，满足；则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意设，，，即可表示出，再由复数的模、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得. 【详解】设复数，，在复平面内对应的点分别为，，， 因为且，所对应的向量，满足，即， 不妨令，，则，， 又，设，即 则， 所以 ， 所以当时取得最大值，即. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）当时，求在上的最值； （2）设函数，若存在最小值，求实数a的值． 【答案】（1）最小值为，最大值为0 （2）6 【解析】 【分析】（1）利用换元法，将函数转化为二次函数求在给定区间内的最值； （2）利用换元法，分类讨论二次函数在给定区间内的单调性和最值. 【小问1详解】 当时，, 设，则，开口向上，对称轴， 所以函数在单调递减，单调递增， 所以 所以在上的最小值为，最大值为0. 【小问2详解】 , 设，当且仅当，即时取得等号， 所以，对称轴， 当，即时，在单调递增， 则，解得，不满足题意； 当，即时，在单调递减，单调递增， 所以，解得或（舍去）， 综上，实数a的值为6. 16. 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． （1）当漏诊率％时，求临界值c和误诊率； （2）设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值． 【答案】（1），； （2），最小值为． 【解析】 【分析】（1）根据题意由第一个图可先求出，再根据第二个图求出的矩形面积即可解出； （2）根据题意确定分段点，即可得出的解析式，再根据分段函数的最值求法即可解出． 【小问1详解】 依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为，所以， 所以，解得：， ． 【小问2详解】 当时， ； 当时， , 故， 所以在区间的最小值为． 17. 在中，内角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）点是上的一点，，且，求周长的最小值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式及正弦定理化简计算可得角B; （2）应用正弦定理，再结合周长化简得出周长结合函数的单调性求出最小值即可. 【小问1详解】 由二倍角公式得， 故由正弦定理得，而， 故， 则； 【小问2详解】 设，设，则， 在中，，即 在中，，即 周长. 令，则 . 即周长最小值为. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面平面，，，，点E，F分别为棱PD，BC的中点，点G在线段AF上． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）设直线与平面，平面，平面所成的角分别为，，，求的最大值． 【答案】（1） 连接，取的中点，连接，因为底面为菱形，且， 所以、为等边三角形，所以，又平面平面，平面平面， 平面，所以平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，取的中点，连接，根据面面垂直的性质得到平面，即可得到，再由，即可得证； （2）利用等体积法求出点到平面的距离； （3）连接，，取的中点，连接，确定直线与平面，平面，平面所成的角，再根据锐角三角函数得到，设，，利用换元法求出函数的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，所以，， 又，，，所以， 所以， 又，所以， 设点到平面的距离为，则，即， 解得，即点到平面的距离. 【小问3详解】 连接，，则且， 又平面，所以平面，则为直线与平面所成的角，即，所以， 取的中点，连接，则且， 又为中点，所以，又，所以， 由平面，平面，所以，， 又，平面，所以平面，则平面， 又，平面，所以平面， 连接，，则为直线与平面所成的角，即， 所以， 为直线与平面所成的角，即， 所以， 所以， 又，设，， 所以， 所以， 令，则， 所以 ， 因为，所以， 所以当时取得最大值，且最大值为， 所以. 19. 设函数. （1）设，在处取得最大值，求； （2）关于x的方程在区间上恰有12个不同的实数解，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由可得函数关于直线对称，又当时，，其中，，进而存在满足题意，利用诱导公式及二倍角余弦公式可得，由对称性可知还存在，同理可得，从而即可得答案； （2）由，可得函数为周期函数，进而根据周期性和对称性可将原问题转化为关于的方程在区间上恰有个不同的实数解，然后根据三角函数的图象与性质可得，解不等式即可得答案. 【小问1详解】 解：因为， 所以函数关于直线对称， 因为当时，，其中，， 所以存在，使得为函数在区间上的最大值，由对称性可知也为在区间上的最大值， 所以， 所以，， ， 由对称性可知还存在，使得为函数在区间上的最大值， 所以，， 综上，； 【小问2详解】 解：因为， 所以函数为周期函数，周期为， 所以原问题等价于关于的方程在区间上恰有个不同的实数解， 又由对称性可知关于的方程在区间上恰有个不同的实数解， 当时，，，， 所以， 因为，所以， 因为，所以，解得， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $