精品解析：湖北省十堰市郧阳区2024届高三下学期5月月考数学试题

湖北省十堰市郧阳区2024学年数 学5月月考 试 题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 展开式中的系数为（ ） A. B. 5 C. 15 D. 35 4. 已知是等比数列，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 某单位设置了a，b，c三档工资，已知甲、乙、丙三人工资各不相同，且甲的工资比c档高，乙的工资比b档高，丙领取的不是b档工资，则甲、乙、丙领取的工资档次依次为（ ） A. a，b，c B. b，a，c C. a，c，b D. b，c，a 6. 三棱锥中，平面，．若该三棱锥最长的棱长为9，最短的棱长为3，则该三棱锥的最大体积为（ ） A. B. C. 18 D. 36 7. 在平面直角坐标系中，已知双曲线左、右焦点分别为，，点P在C上，且，，则C的离心率为（ ） A. B. C. 3 D. 2 8. 已知函数的定义域为R，且，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. 偶函数 C. 有最小值 D. 在上单调递增 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某同学投篮两次，第一次命中率为．若第一次命中，则第二次命中率为；若第一次未命中，则第二次命中率为．记为第i次命中，X为命中次数，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆半径为R．若，且，则（ ） A. B. 面积的最大值为 C. D. 边上的高的最大值为 11 已知函数，则（ ） A. 曲线在处的切线斜率为 B. 方程有无数个实数根 C. 曲线上任意一点与坐标原点连线的斜率均小于 D. 在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列满足，若，，则数列的前20项的和为______． 13. 在正四棱柱中，，，M，N分别是，中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为______． 14. 已知抛物线与圆相交于四个不同的点，则r的取值范围为______，四边形面积的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5． （1）根据散点图判断，和哪一个适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）中的判断结果，建立y关于x的回归方程； （3）根据（2）的结果，估计2024年的企业利润． 参考公式及数据； ，， ，，，， 16. 如图，在三棱台中，平面平面，，，． （1）求三棱台的高； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求． 17. 已知函数，其中且． （1）若是偶函数，求a的值； （2）若时，，求a的取值范围． 18. 已知点在椭圆上，到的两焦点的距离之和为． （1）求的方程； （2）过抛物线上一动点，作的两条切线分别交于另外两点． （ⅰ）当为的顶点时，求直线在轴上的截距（结果用含有的式子表示）； （ⅱ）是否存在，使得直线总与相切．若存在，求的值；若不存在，说明理由． 19. 高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域．设，，记，，并规定．记，并规定．定义 （1）若，求和； （2）求； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖北省十堰市郧阳区2024学年数 学5月月考 试 题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，从而求出其共轭复数. 【详解】因为， 所以. 故选：A 2. 若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由同角三角函数和二倍角公式结合特殊角的三角函数计算可得. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 故选：B 3. 展开式中的系数为（ ） A. B. 5 C. 15 D. 35 【答案】A 【解析】 【分析】由分类、分步计数原理结合组合数即可运算求解. 【详解】若要产生这一项，则 当在中取1时，再在中取2个、取4个1， 当在中取时，再在中取3个、取3个1， 所以展开式中的系数为. 故选：A. 4. 已知是等比数列，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，利用条件，得到，再由，得，即可得出结果. 【详解】设等比数列的公比为，因为，所以， 得到，所以，由，得到， 所以， 故选：C. 5. 某单位设置了a，b，c三档工资，已知甲、乙、丙三人工资各不相同，且甲的工资比c档高，乙的工资比b档高，丙领取的不是b档工资，则甲、乙、丙领取的工资档次依次为（ ） A. a，b，c B. b，a，c C. a，c，b D. b，c，a 【答案】B 【解析】 【分析】从“丙领取的不是b档工资，乙的工资比b档高”作为突破口，由逻辑逐层推理即可. 【详解】由丙领取的不是b档工资，乙的工资比b档高， 可得只有甲领取的是b档工资； 又由甲的工资比c档高和乙的工资比b档高推出乙只能领取档工资； 而从甲、乙、丙三人工资各不相同可推出丙只能领取c档工资； 所以甲、乙、丙领取的工资档次依次为b，a，c. 故选：B. 6. 三棱锥中，平面，．若该三棱锥的最长的棱长为9，最短的棱长为3，则该三棱锥的最大体积为（ ） A. B. C. 18 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】由线面垂直得到线线垂直，推出该三棱锥的最长的棱为，故，最短的棱为或，分三种情况，利用锥体体积公式和基本不等式求出体积的最大值，得到答案. 【详解】因为平面，平面， 所以，， 故， 因为，所以，故， 则该三棱锥的最长的棱为，故， 最短的棱为或， 当最短的棱为，即时， 由勾股定理得， 故，故， 当且仅当时，等号成立， 故三棱锥体积为， 当最短的棱为，即时， 设，则，则， 故， 三棱锥体积为， 当且仅当，即时，等号成立， 当最短的棱为，即时， 设，则，则， 故， 三棱锥体积为， 当且仅当，即时，等号成立， 综上，该三棱锥的最大体积为18. 故选：C 7. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在C上，且，，则C的离心率为（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】在中运用双曲线的定义和余弦定理可得，在中运用余弦定理可得，再由离心率公式计算即可． 【详解】如图所示，根据双曲线的定义，，， 在中，由余弦定理得, 即， 又因，所以， 所以，即. 在中，由余弦定理得，， 且, 所以， 化解得， 即， ， ， 所以， 即，则 故离心率. 故选：D. 8. 已知函数的定义域为R，且，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 有最小值 D. 在上单调递增 【答案】C 【解析】 【分析】利用题设结合赋值法可得出，进而结合二次函数性质一一判断各选项，即可得答案. 【详解】由于函数的定义域为R，且， 令，则，得， 时，恒成立，无法确定，A不一定成立； 由于不一定成立，故不一定为偶函数，B不确定； 由于的对称轴为与的位置关系不确定， 故在上不一定单调递增，D也不确定， 由于表示开口向上的抛物线，故函数必有最小值，C正确， 故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用赋值法确定函数，进而结合二次函数性质求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某同学投篮两次，第一次命中率为．若第一次命中，则第二次命中率为；若第一次未命中，则第二次命中率为．记为第i次命中，X为命中次数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用全概率公式及贝叶斯公式可判定A、D选项，利用期望与方差公式可判定B、C选项. 【详解】对于A，易知，故A正确； 对于D，易知，故D正确； 对于B、C，易知可取，则, ，所以， ，故B正确；C错误； 故选：ABD 10. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆半径为R．若，且，则（ ） A. B. 面积的最大值为 C. D. 边上的高的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角求出，再结合三角形面积公式、余弦定理逐项计算判断得解. 【详解】在中，由及正弦定理，得，而， 则，由余弦定理得，而，解得， 对于A，，A正确； 对于B，显然，当且仅当时取等号，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，令边上的高为，则，解得，D正确. 故选：AD 11. 已知函数，则（ ） A. 曲线在处的切线斜率为 B. 方程有无数个实数根 C. 曲线上任意一点与坐标原点连线的斜率均小于 D. 在上单调递减 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据导数的几何意义判断A；结合正弦函数的周期性，数形结合判断B；表示出曲线上任意一点与坐标原点连线的斜率，构造函数，求导，利用导数判断单调性，求解最值判断C；利用导数与函数单调性的关系判断D. 【详解】对于A，，则， 故，A错误； 对于B，由于为周期函数，当时，， 故的图象大致如图示： 结合图象可知，当x增大到一定数值满足后， 大于的数将有无数个满足，B正确； 对于C，设为上任意一点，则， 由于，故， 由于时，，故曲线上任意一点与坐标原点连线的斜率在时才取到正值， 则时，取正值时，，取负值时，显然成立； 设，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减，故， 由于取等号条件和取等号条件不一致， 故，C正确； 对于D，设，则， 故在上单调递减，则，则； 设， ， 故在上单调递减，D正确， 故选：BCD 【点睛】难点点睛：本题综合考查了导数的应用问题，综合性较强，解答的难点在于CD选项的判断，解答时要注意利用数形结合以及构造函数的方法加以解决. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列满足，若，，则数列的前20项的和为______． 【答案】210 【解析】 【分析】数列的奇数项、偶数项都是等差数列，结合等差数列求和公式、分组求和法即可得解. 【详解】数列满足，若，，则， 所以数列的奇数项、偶数项分别构成以1，2为首项，公差均为2的等差数列 所以数列的前20项的和为 . 故答案为：210. 13. 在正四棱柱中，，，M，N分别是，中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】作出辅助线，得到平面截该四棱柱所得截面为五边形，求出各边边长，相加得到答案. 【详解】延长相交于点，连接交于点，连接， 因为正四棱柱中，，，M，N分别是，的中点， 所以，，， 因为∽，，故，， 在上取点，连接，则， 同理可知，所以四边形为平行四边形， 故四点共面， 则平面截该四棱柱所得的截面为五边形， ，， 同理， 故截面周长为. 故答案为： 14. 已知抛物线与圆相交于四个不同的点，则r的取值范围为______，四边形面积的最大值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】联立抛物线与圆的方程利用判别式及根的分布计算可求第一空，由对称性设点坐标，根据坐标含参表示四边形面积，换元结合求导判定单调性与最值即可. 【详解】 联立，由题意知该方程有两个不等正根， 即，所以； 如图所示，由图形的对称性，不妨设， 易知四边形为等腰梯形， 其面积为， 又点在抛物线上则有：， 而， 所以， ， 则， 令，则， 令， 易得时，此时单调递增， 时，此时单调递减，即， 则，时取得等号. 故答案为：；. 【点睛】思路点睛：第一空联立方程利用韦达定理计算即可，注意根的分布；第二空利用对称性设点，利用点坐标表示面积，注意运用点特征及韦达定理消元转化得面积与半径的关系，换元结合求导计算最值即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5． （1）根据散点图判断，和哪一个适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）中的判断结果，建立y关于x的回归方程； （3）根据（2）的结果，估计2024年的企业利润． 参考公式及数据； ，， ，，，， 【答案】（1）适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型 （2） （3）估计2024年的企业利润为93.3亿元 【解析】 【分析】（1）利用散点图的变化趋势，即可得出答案； （2）利用最小二乘法求出即可得解； （3）令即可得解. 【小问1详解】 由散点图的变化趋势，知适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型； 【小问2详解】 由题意得：，， ， ， 所以； 【小问3详解】 令，， 估计2024年的企业利润为99.25亿元． 16. 如图，在三棱台中，平面平面，，，． （1）求三棱台的高； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）作于点O，利用面面垂直的性质得即为三棱台的高，再利用线面垂直的判定定理和性质定理可得答案； （2）以O为原点，在面内，作，以，，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，利用线面角的空间向量求法可得答案． 【小问1详解】 作于点O，因为平面平面， 平面平面，平面，， 所以平面，即为三棱台高， 又因为平面，所以，连接， 因为，，所以， ，平面，所以平面， 又平面，所以，，， 所以，，所以三棱台的高为； 【小问2详解】 以O为原点，在面内，作，以，，所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 设平面的法向量为，则，可取， 设，则， 设直线与平面所成角为，， 化简得，解得，或（舍去，因为，则，所以）， 所以． 17. 已知函数，其中且． （1）若是偶函数，求a的值； （2）若时，，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）且． 【解析】 【分析】（1）由题意，，即可得解； （2）分，且和三种情况讨论，结合基本不等式和导数求解即可. 【小问1详解】 由题意，，即， 解得，或（舍），经检验时，是偶函数， 所以a的值为； 【小问2详解】 当时，，成立； 当且时，，， 又已证，故此时符合题意； 当时，， 因为函数都是增函数， 所以函数在上单调递增，且， 故存在，使得当时，，从而单调递减， 所以，存在，使得，此时不合题意． 综上所述，且． 18. 已知点在椭圆上，到的两焦点的距离之和为． （1）求的方程； （2）过抛物线上一动点，作的两条切线分别交于另外两点． （ⅰ）当为的顶点时，求直线在轴上的截距（结果用含有的式子表示）； （ⅱ）是否存在，使得直线总与相切．若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）存在， 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用椭圆的定义得到，再利用点在上，即可求出结果； （2）（ⅰ）设直线的方程为，联立椭圆方程程，利用，得到，联立抛物线方程，得到，即可求出结果；（ⅱ）根据条件得到必要条件，再代入检验满足题意，从而求出结果. 【小问1详解】 由题意，得． 又在上，得，从而，故E的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）当为的顶点时，， 不妨设在第一象限，直线的方程为， 联立的方程为，可得． 由，得． 联立直线的方程与抛物线的方程，可得， 则点的纵坐标为， 由对称性知， 故直线在轴上的截距为． （ⅱ）要使（2）中的直线与相切，必有，即， 解得或（舍去）． 设，，，则，，． 直线方程为，即． 联立椭圆方程可得 ， 由 可得， 即． 同理可得． 因为直线同时经过点，所以的直线方程为． 联立椭圆方程可得， 于是． 故直线与椭圆相切，因此符合题意． 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问的第（ii）小问，通过条件，得到，从而有，再检验满足题意，即可求解. 19. 高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域．设，，记，，并规定．记，并规定．定义 （1）若，求和； （2）求； （3）证明：． 【答案】（1）， （2），． （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合新定义，分别带入计算即可得； （2）结合新定义，分及进行计算即可得； （3）令，可得，，即可得再分且与进行计算即可得. 【小问1详解】 若，， 而； 【小问2详解】 当时，． 当时，由 ， 可得． 因此，； 【小问3详解】 要证， 只需证 ， 令， 一方面，， 另一方面，， 当且时，由于， 比较两式中的系数可得， 则， 由可知， 当时，由，可知： ， 此时命题也成立． 当时，也成立． 综上所述，． 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义的几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义中； （4）结合数学知识进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$