专题2.1命题、定理、定义（四个重难点突破）-2024-2025学年高一数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019必修第一册）

专题2.1命题、定理、定义 一、命题的概念 三、判断命题的真假 二、命题的改写 四、已知命题的真假求参数 知识点1命题 1、命题概念:在数学中，我们把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题。 2、命题的分类: 命题中，判断为真的语句叫作真命题，判断为假的命题叫作假命题。 （1）判断命题真假的依据为常见的公理、定理、推论等; （2）一个命题不是真命题，就是假命题，不能模棱两可; （3）判断含参命题的真假，需要将命题转化为恒成立或存在性语句进行讨论研究。 3、判断一个命题真假的方法: 在数学中，要判断一个命题是假命题，只需要举一个反例即可;而要书名一个命题是真命题，要经过严格的逻辑推理，一般根据已有的知识（如数学中的定义、定理、公式等）判断。 知识点2命题的结构形式 1、命题的一般形式:若，则”，其中叫做命题的条件, 叫做命题的结论。 2、确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若，则”的形式. 知识点3公理、定理、定义 1、公理、公认的真命题称为公理，它不需要证明，可以作为推理的依据而直接使用。 2、定理:已经被证明为真的命题，可以作为推理的依据为直接使用。 3、定义:定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或揭示所研究对象中对象的内涵，定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别 重难点一 命题的概念 1．下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 2．下列语句中，不能成为命题的是（    ） A． B． C．若，则 D．三角形的三条中线交于一点 3．下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 4．判断下列语句是不是命题，并说明理由． (1)是有理数； (2) (3)梯形是不是平面图形呢？ (4)若，则； (5)一个数的算术平方根一定是负数； (6)若与是无理数，则是无理数． 5．判断下列语句是否为命题，并在相应的括号内填入“是”或“否”. （1）正方形是四边形.( ) （2）任意一个三角形的内角和都是.( ) （3）1是自然数吗？( ) 命题的判断方法： 判断一个语句是不是命题,关键看两点:第一,是不是陈述句,第二,是否可以判断真假,这两个条件缺一不可。一般来说,疑问句、祈使句、感叹句均不是命题。 重难点二 命题的改写 6．命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p，则q”的形式为（    ） A．若两个三角形全等，则它们的面积相等 B．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 C．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形不全等 D．若两个三角形不全等，则它们的面积不相等 7．命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是（    ） A．两个平面 B．一条直线 C．垂直 D．两个平面垂直于同一条直线 8．命题“对顶角相等”的条件是 . 9．命题：若，则且，条件p： ，结论q： . 10．把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； (3)已知，为正整数，当时，且． 11．指出下列命题中的条件p和结论q． (1)若，则x，y互为相反数． (2)如果，则． (3)当时，． 将含有大前提的命题改写为“若,则”的形式时,大前提应保持不变,改写后仍作为大前提,不要写在条件中。改写前后命题的真假不发生变化。 重难点三 判断命题的真假 12．（多选）下列命题中为真命题的是（    ） A．存在， B．至少有一个整数，它既不是合数也不是质数 C．存在，是无理数 D．任何实数都有算术平方根 13．对于任意两个集合A与B，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则或 14．下列命题中是真命题的是（    ） A．等边三角形都全等 B．若，则 C．对顶角相等 D．所有偶数都是合数 15．命题“若且，则”是 命题．（填“真”或“假”） 16．在横线上填上一个结论，使命题“已知为实数，若，则 ”是假命题． 17．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3)若则； (4)若平面内两条直线a 和 b均垂直于直线l，则 18．判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由． (1)一个钝角与一个锐角的差是锐角； (2)若是奇数，则是奇数． 由命题的条件通过推理一定可以得出命题的结论,则该命题为真命题; 由命题的条件通过推理不一定能得出命题的结论,则该命题为假命题。 重难点四 已知命题的真假求参数 19．（多选）给出命题“方程有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（　　） A．4 B．2 C．0 D． 20．已知，且“若p，则q”为真命题，则实数的取值范围是 ． 21．已知命题“关于的不等式在上恒成立”为真命题，则实数的取值范围是 ． 22．若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是 ． 23．命题存在实数，使得能成为三角形的三边长.若命题为假命题，则的取值范围是 . 24．若和或都是假命题，则的范围是 25．已知命题p：实数满足或．命题：实数满．若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围． 由命题的真假确定参数的取值范围问题的步骤：第一步,明确题设条件的含义；第二步,将问题转化为不等式恒成立问题；第三步,利用恒成立问题的求解方法求出参数的取值范围。 一、单选题 1．下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．甲､乙､丙､丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测： 甲预测说：我不会获奖，丙获奖； 乙预测说：甲和丁中有一人获奖； 丙预测说：甲的猜测是对的； 丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中． 成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符；已知有两人获奖，则获奖者可能是（    ）． A．甲和丁 B．乙和丙 C．甲和丙 D．乙和丁 3．有下列语句，其中是命题的个数为（    ） （1）数学真有趣 （2）0是自然数 （3） （4） （5）素数都是奇数. A．2 B．3 C．4 D．5 4．对于命题p，q，以下逻辑正确的有（    ） A．如果p真，则q真 B．如果p真，则q真，那么q假，则p假 C．如果p真且q真，则p真 D．如果p真，则p或q真 5．已知是非空数集，如果对任意，，都有，，则称是封闭集.给出两个命题：命题：若非空集合，是封闭集，则是封闭集；命题：若非空集合，是封闭集，且，则是封闭集.则（    ） A．命题真命题真 B．命题真命题假 C．命题假命题真 D．命题假命题假 6．已知不等式x＋3≥0的解集是A，若a∈A是假命题，则a的取值范围是（    ） A．a≥－3 B．a>－3 C．a≤－3 D．a<－3 二、多选题 7．下列命题为真命题的是（    ） A．存在两个偶数，他们的商是奇数 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．所有实数的绝对值都是正数 D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 8．命题：存在实数，使得数据的中位数为．若命题为真命题，则实数的取值集合可以为 A． B． C． D． 三、填空题 9．分析下列语句： ①空集是任何集合的子集． ②任何集合都有真子集吗？ ③一个数不是正数就是负数． ④德国数学家康托是集合论的创始人． ⑤公共场所请戴好口罩！ 其中为假命题的序号是 ，真命题的序号为 ． 10．已知，，，，则命题“若α，则β”是 命题．（填“真”或“假”） 四、解答题 11．下列语句是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？ （1）；               （2）是整数； （3）对所有的； （4）对任意一个是整数． 12．判断下列语句是不是命题，如果是命题，指出是真命题还是假命题． (1)任何负数都大于零； (2)与是全等三角形； (3)； (4)； (5)6是方程的解； (6)方程有实数解． 13．判断下列命题的真假并说明理由： (1)如果一元二次方程满足，那么这个方程有实数根； (2)如果一元二次方程有实数根，那么． 14．已知两个命题：二次函数的图象与轴有两个不同的交点；关于的不等式恒成立．若命题和有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1命题、定理、定义 一、命题的概念 三、判断命题的真假 二、命题的改写 四、已知命题的真假求参数 知识点1命题 1、命题概念:在数学中，我们把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题。 2、命题的分类: 命题中，判断为真的语句叫作真命题，判断为假的命题叫作假命题。 （1）判断命题真假的依据为常见的公理、定理、推论等; （2）一个命题不是真命题，就是假命题，不能模棱两可; （3）判断含参命题的真假，需要将命题转化为恒成立或存在性语句进行讨论研究。 3、判断一个命题真假的方法: 在数学中，要判断一个命题是假命题，只需要举一个反例即可;而要书名一个命题是真命题，要经过严格的逻辑推理，一般根据已有的知识（如数学中的定义、定理、公式等）判断。 知识点2命题的结构形式 1、命题的一般形式:若，则”，其中叫做命题的条件, 叫做命题的结论。 2、确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若，则”的形式. 知识点3公理、定理、定义 1、公理、公认的真命题称为公理，它不需要证明，可以作为推理的依据而直接使用。 2、定理:已经被证明为真的命题，可以作为推理的依据为直接使用。 3、定义:定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或揭示所研究对象中对象的内涵，定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别 重难点一 命题的概念 1．下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】①③是命题；②是祈使句，不是命题；④是疑问句，不是命题. 故选：C. 2．下列语句中，不能成为命题的是（    ） A． B． C．若，则 D．三角形的三条中线交于一点 【答案】B 【详解】由命题是用语言、符号、式子表达，可判断真假的陈述句知：A、C、D均为命题， 对于B，无法判断真假，故不是命题； 故选：B 3．下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 【答案】B 【详解】对于A：命题是陈述句不是疑问句，A错误； 对于B：这是陈述句，同时对事件作出判断，是命题，B正确； 对于C：这是感叹句，不是命题，C错误； 对于D：这是一个数学不等式，没有作出判断，所以D错误， 故选：B 4．判断下列语句是不是命题，并说明理由． (1)是有理数； (2) (3)梯形是不是平面图形呢？ (4)若，则； (5)一个数的算术平方根一定是负数； (6)若与是无理数，则是无理数． 【答案】(1)是命题，理由见解析 (2)不是命题，理由见解析 (3)不是命题，理由见解析 (4)是命题，理由见解析 (5)是命题，理由见解析 (6)是命题，理由见解析 【详解】（1）“是有理数”是陈述句，并且能够判断它是假的，所以它是命题． （2）因为无法判断“”的真假，所以它不是命题． （3）“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题． （4）“若，则”是陈述句， 并且．它是真的，所以它是命题． （5）“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句， 并且能够判断它是假的，所以它是命题． （6）“若与是无理数，则是无理数”是陈述句， 并且能够判断它是假的，所以它是命题． 5．判断下列语句是否为命题，并在相应的括号内填入“是”或“否”. （1）正方形是四边形.( ) （2）任意一个三角形的内角和都是.( ) （3）1是自然数吗？( ) 【答案】 是 是 否 【详解】（1）"正方形是四边形"是陈述句，即为命题； （2）任意一个三角形的内角和都是是陈述句，即为命题； （3）1是自然数吗？不是陈述句，不为命题. 故答案为：是，是，否 命题的判断方法： 判断一个语句是不是命题,关键看两点:第一,是不是陈述句,第二,是否可以判断真假,这两个条件缺一不可。一般来说,疑问句、祈使句、感叹句均不是命题。 重难点二 命题的改写 6．命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p，则q”的形式为（    ） A．若两个三角形全等，则它们的面积相等 B．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 C．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形不全等 D．若两个三角形不全等，则它们的面积不相等 【答案】A 【详解】因为命题“全等三角形的面积相等”的条件是两个三角形全等，结论为这两三角形的面积相等， 所以改写成“若p，则q”的形式为：若两个三角形全等，则它们的面积相等. 故选：A 7．命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是（    ） A．两个平面 B．一条直线 C．垂直 D．两个平面垂直于同一条直线 【答案】D 【详解】把命题改为“若，则”的形式为 “若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行”， 故命题的条件为“两个平面垂直于同一条直线”． 故选：D. 8．命题“对顶角相等”的条件是 . 【答案】两个角是对顶角 【详解】命题“对顶角相等”即“若两个角是对顶角，则这两个角相等”；条件是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等. 故答案为：两个角是对顶角 9．命题：若，则且，条件p： ，结论q： . 【答案】 且 【详解】命题：若，则且， 则条件p：，结论q：且. 故答案为：；且 10．把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； (3)已知，为正整数，当时，且． 【答案】(1)答案见解析，真命题． (2)答案见解析，真命题． (3)答案见解析，假命题． 【详解】（1）若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题． （2）若，则，是真命题． （3）已知、为正整数，若，则且，是假命题． 11．指出下列命题中的条件p和结论q． (1)若，则x，y互为相反数． (2)如果，则． (3)当时，． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【详解】（1），互为相反数． （2），． （3），． 将含有大前提的命题改写为“若,则”的形式时,大前提应保持不变,改写后仍作为大前提,不要写在条件中。改写前后命题的真假不发生变化。 重难点三 判断命题的真假 12．（多选）下列命题中为真命题的是（    ） A．存在， B．至少有一个整数，它既不是合数也不是质数 C．存在，是无理数 D．任何实数都有算术平方根 【答案】ABC 【详解】对于A，当时，成立，故A正确， 对于B，1既不是合数也不是质数，故B正确， 对于C,当，是无理数，故C正确， 对于D,负数没有算术平方根，故D错误， 故选：ABC 13．对于任意两个集合A与B，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则或 【答案】D 【详解】解：对于A项，若，则对，有，则，则A项正确； 对于B项，若，则对，有，则，则B项正确； 对于C项，对，有，对，有， 所以，集合的所有元素相同，即，则C项正确； 对于D项，如，显然，故D项错误， 故选：D 14．下列命题中是真命题的是（    ） A．等边三角形都全等 B．若，则 C．对顶角相等 D．所有偶数都是合数 【答案】C 【详解】A选项，等边三角形的边长不一定相等，故不一定全等，A错误； B选项，若，则或，B错误； C选项，对顶角相等，C正确； D选项，2为偶数，但2为质数，D错误. 故选：C 15．命题“若且，则”是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【详解】由且，可得， 所以命题“若且，则”成立， 故是真命题； 故答案为：真． 16．在横线上填上一个结论，使命题“已知为实数，若，则 ”是假命题． 【答案】且（答案不唯一） 【详解】由，知同号，即且或且， 故答案为：且（答案不唯一） 17．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3)若则； (4)若平面内两条直线a 和 b均垂直于直线l，则 【答案】(1)真命题 (2)假命题 (3)假命题 (4)真命题 【详解】（1）真命题，平行四边形的对角线互相垂直平行四边形是菱形. （2）假命题，例如边长为3，3，4和4，4，2，周长均为10，但三角形不全等. （3）假命题，由方程，解得或， 显然或不能得出，例如. （4）真命题，平面内两条直线和均垂直于直线. 18．判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由． (1)一个钝角与一个锐角的差是锐角； (2)若是奇数，则是奇数． 【答案】(1)假命题，理由见解析 (2)真命题，理由见解析 【详解】（1）假命题．例如一个钝角是160°，一个锐角是20°，它们的差为140°，是钝角，而不是一个锐角． （2）真命题．证明：记均为整数． 令 则均为奇数． 所以． 因为为偶数， 所以为奇数， 即为奇数， 即若为奇数，则是奇数． 由命题的条件通过推理一定可以得出命题的结论,则该命题为真命题; 由命题的条件通过推理不一定能得出命题的结论,则该命题为假命题。 重难点四 已知命题的真假求参数 19．（多选）给出命题“方程有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（　　） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】ABD 【详解】因为方程有实数根，所以，解得或， 故当，，时符合条件. 故选：ABD. 20．已知，且“若p，则q”为真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设分别表示的集合为， 由，得，则， 因为，且“若p，则q”为真命题， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 21．已知命题“关于的不等式在上恒成立”为真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】不等式在上恒成立，则，解得. 故答案为： 22．若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是 ． 【答案】或 【详解】①当时，方程为，只有当时，方程才有实数解； ②当时，方程为一元二次方程，方程有实数解的条件为． 综上可得当或时，方程有实数解． 故答案为：或 23．命题存在实数，使得能成为三角形的三边长.若命题为假命题，则的取值范围是 . 【答案】或 【详解】当命题为真命题时，可得，即. 所以当命题为假命题时，可得或. 故答案为：或 24．若和或都是假命题，则的范围是 【答案】 【详解】若为假命题，则有或 若或是假命题，则 所以的范围是 即的范围是 胡答案为： 25．已知命题p：实数满足或．命题：实数满．若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】∵  命题为真命题， ∴  或 又命题为假命题，∴  或， ∴  或． 所以实数的取值范围为． 由命题的真假确定参数的取值范围问题的步骤：第一步,明确题设条件的含义；第二步,将问题转化为不等式恒成立问题；第三步,利用恒成立问题的求解方法求出参数的取值范围。 一、单选题 1．下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对选项A：若，则，正确； 对选项B：若，则，正确； 对选项C：若，则，正确； 对选项D：当时，恒成立，不能得到，错误； 故选：D 2．甲､乙､丙､丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测： 甲预测说：我不会获奖，丙获奖； 乙预测说：甲和丁中有一人获奖； 丙预测说：甲的猜测是对的； 丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中． 成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符；已知有两人获奖，则获奖者可能是（    ）． A．甲和丁 B．乙和丙 C．甲和丙 D．乙和丁 【答案】C 【详解】由“甲预测说：我不会获奖，丙获奖”，而“丙预测说：甲的猜测是对的”． 所以甲和丙的说法要么同时与结果相符，要么同时与结果不符． 若甲和丙的说法要么同时与结果相符，则丁的说法也对， 这与“四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符已知有两人获奖，”相矛盾，故错误； 若甲和丙的说法与结果不符，则乙､丁的预测成立 所以甲获奖，丁不获奖；丙获奖､乙不获奖或者乙获奖､丙不获奖． 即获奖的两人为甲和丙，或者甲和乙. 故选：C 3．有下列语句，其中是命题的个数为（    ） （1）数学真有趣 （2）0是自然数 （3） （4） （5）素数都是奇数. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】（1）这是一个感叹句，没有办法判断出真假，故不是命题； （2）0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题； （3）因为是正确的，所以是命题，而且是真命题； （4）不能判断是否正确，所以不是命题； （5）2是素数也是偶数，所以是命题，是假命题； 所以（1）､（4）不是命题，其余都是命题.其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是假命题. 故选：B. 4．对于命题p，q，以下逻辑正确的有（    ） A．如果p真，则q真 B．如果p真，则q真，那么q假，则p假 C．如果p真且q真，则p真 D．如果p真，则p或q真 【答案】D 【详解】对A选项，令命题p：正方形是平行四边形，命题q：，命题p为真命题，但命题q为假命题，故A错误； 对B选项，令命题p：正方形是平行四边形，命题q：，满足p真，则q真，所以q假为假命题，则p假也是假命题， 令命题m：“q为假命题”是一个假命题，命题n：“p为假命题”是一个假命题， 那么“若q假，则p假”等价于“若m真，则n真”，参考A选项，可知B错误； 对C选项，若“p真且q真”为假命题，则p可能为假；故C错误； 对D选项，若p真,则p与q的真假分以下两种情况：p真或q真，p真或q假，这两种情况p或q均为真，故D正确， 故选：D. 5．已知是非空数集，如果对任意，，都有，，则称是封闭集.给出两个命题：命题：若非空集合，是封闭集，则是封闭集；命题：若非空集合，是封闭集，且，则是封闭集.则（    ） A．命题真命题真 B．命题真命题假 C．命题假命题真 D．命题假命题假 【答案】C 【详解】对命题：令，则集合是封闭集， 故， 但，故不是封闭集，故命题假； 对于命题：设，则有，又因为集合是封闭集， 所以， 同理可得， 所以， 所以是封闭集，故命题真； 故选：C 6．已知不等式x＋3≥0的解集是A，若a∈A是假命题，则a的取值范围是（    ） A．a≥－3 B．a>－3 C．a≤－3 D．a<－3 【答案】D 【详解】∵x＋3≥0，∴A＝{x|x≥}， 又∵a∈A是假命题，即aA，∴a<. 故选：D 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用、元素与集合的关系，属于基础题. 二、多选题 7．下列命题为真命题的是（    ） A．存在两个偶数，他们的商是奇数 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．所有实数的绝对值都是正数 D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 【答案】ABD 【详解】若，则是奇数，故A是真命题. 对角线相等的平行四边形是矩形，故B是真命题. 0的绝对值是0，不是正数，故C是假命题. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故D是真命题. 故选：ABD. 8．命题：存在实数，使得数据的中位数为．若命题为真命题，则实数的取值集合可以为 A． B． C． D． 【答案】ABCD 【详解】根据中位数定义可知，只需，则中位数必为 选项中的取值集合均满足，均正确 故选： 【点睛】本题考查根据命题真假性求解参数范围的问题，属于基础题. 三、填空题 9．分析下列语句： ①空集是任何集合的子集． ②任何集合都有真子集吗？ ③一个数不是正数就是负数． ④德国数学家康托是集合论的创始人． ⑤公共场所请戴好口罩！ 其中为假命题的序号是 ，真命题的序号为 ． 【答案】 ③ ①④ 【详解】①空集是任何集合的子集，是真命题； ②任何集合都有真子集吗？不是陈述句，不是命题； ③一个数不是正数就是负数，还可以是0，是假命题； ④德国数学家康托是集合论的创始人，是真命题； ⑤公共场所请戴好口罩！不是陈述句，不是命题； 故答案为：③；①④． 10．已知，，，，则命题“若α，则β”是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【详解】，，故命题“若α，则β”是真命题. 故答案为：真. 四、解答题 11．下列语句是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？ （1）；               （2）是整数； （3）对所有的； （4）对任意一个是整数． 【答案】答案见解析 【详解】（1）（2）不是命题，（3）（4）是命题． （3）是在（1）的基础上，用短语“所有”对变量x进行限定，从而变为可以判断真假的命题；（4）是在（2）的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，从而变为可判断真假的命题． 12．判断下列语句是不是命题，如果是命题，指出是真命题还是假命题． (1)任何负数都大于零； (2)与是全等三角形； (3)； (4)； (5)6是方程的解； (6)方程有实数解． 【答案】(1)是命题，且是假命题 (2)不是命题 (3)不是命题 (4)不是命题 (5)是命题，且是真命题 (6)是命题，且是假命题 【详解】（1）任何负数都小于零，故该语句是命题，且是假命题． （2）两个三角形为全等三角形是有条件的，本小题无法判断真假，故不是命题． （3）因为是未知数，无法判断是否大于零，所以不是命题． （4）空集是任何非空集合的真子集，集合是否为非空集合无法判断，故不是命题． （5）6是所给方程的解，故该语句是命题，且是真命题． （6）由于给定方程的判别式， 可知给定方程无实根，故该语句是命题，且为假命题. 13．判断下列命题的真假并说明理由： (1)如果一元二次方程满足，那么这个方程有实数根； (2)如果一元二次方程有实数根，那么． 【答案】(1)真命题，理由见解析 (2)假命题，理由见解析 【详解】（1）真命题．理由：若，则， 故方程有实数根，命题是真命题． （2）假命题．理由：因为当时，显然方程有实数根， 此时不满足，所以命题是假命题． 14．已知两个命题：二次函数的图象与轴有两个不同的交点；关于的不等式恒成立．若命题和有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】或 【详解】解：若命题为真命题，则，解得或， 若命题为真命题，则，即， 若真假，则，可得或， 若假真，则，此时，. 综上所述，或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$