2.1命题、定理、定义（教学课件）数学苏教版2019必修第一册

2.1 命题、定理、定义 第二章 常用逻辑用语 苏教版2019必修第一册·高一 学习目标 教学重点：能把命题改写成“若，则”的形式 教学难点： 会判断命题的真假 理解命题、定理、定义的概念； 会判断命题的真假； 能把命题改写成“若，则”的形式。 课程目标 学科素养 数学抽象：命题、定理、定义概念的理解； 逻辑推理：命题真假的判断； 数学运算：和平面几何、方程、集合、简单不等式有关的计算。 新知引入 这九月的天，真热啊！ 开空调吧，凉快凉快！ 你说，会不会“久旱逢甘霖”呢？ 俗话说“朝霞不出门，晚霞行千里”，早上我看到朝霞了，应该会下雨。 情境1：阅读右图对话后，回答问题： （1）从句子类型分析①、②、③、④分别是什么句?哪一句可以判断真假？ （2）“看到朝霞”和“应该会下雨”是什么逻辑关系？ ①是感叹句，不可以判断真假 ②是祈使句，不可以判断真假 ③是疑问句，不可以判断真假 ④是陈述句，可以判断真假 根据“看到朝霞”可以判断得出“天应该会下雨” 新知引入 情境2：哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一.年月日，哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉；提出：每一个大于的偶数即是两个素数的和. 例如：，，，等. 哥德巴赫猜想是一个迄今为止没有得到正面证明也没有被推翻的命题. 问题：什么是命题？“请将窗子打开”是命题吗？ 可判断真假的陈述句叫作命题 不是，因为不能判断真假. 新知探究 辨析1.判断下列语句是否是命题，并说明理由． (1)是无理数； (2)3≤5； (3)梯形是不是平面图形呢？ (4)一个数的算术平方根一定是负数． 解：(1)“是无理数”是陈述句，并且它是真的，所以它是命题． (2)因为无法判断“3≤5”的真假，所以它不是命题． (3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题． (4)“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题． 新知探究 判断语句是否是命题的策略： (1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题； (2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题． 新知探究 思考1：在数学中，我们将可判断真假的陈述句叫作命题，那么根据命题的定义思考,你觉得命题可分为哪几类呢? 一类是判断为真的命题，即真命题； 另一类是判断为假的命题，即假命题. 追问：你能举例说明什么是真命题、假命题吗？ “是无理数”是真命题；“一个实数不是正数就是负数”是假命题 新知探究 问题1：观察下列是命题吗？若是，请判断真假。 (1) 如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等； (2) 有一个内角是的等腰三角形是正三角形； (3) 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等； (4) 对顶角相等； (5) 若 ，则 ； (6) 若一个三角形是直角三角形，则这个三角形的两个锐角互余. 真 真 真 真 假 假 新知探究 追问1：观察上述命题中的 (1)(3)(5)(6)，这些命题具有怎样的表示形式? (1) 如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等! (3) 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等； (5) 若 ，则 ； (6) 若一个三角形是直角三角形，则这个三角形的两个锐角互余. 都具有“如果 ，那么”或“若 ，则”的形式. 新知探究 追问2：上述命题 (1)(3)(5)(6)中，都具有“如果 ，那么”或“若 ， 则”的形式，其中 ，分别是？ (1) 如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等! (3) 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等； (5) 若 ，则 ； 是“两条平行直线被第三条直线所截”， 是“同位角相等”； 是“两个三角形的面积相等”， 是“这两个三角形全等”； 是“ ”，是“”； 新知探究 命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 命题的真假：判断为真的语句是真命题；判断为假的语句是假命题. 命题的形式：可写成“若，则”“如果，那么”. 其中称为命题的条件, 称为命题的结论. 辨析2：下列“若,则”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3)若，则； (4)若平面内两条直线和均垂直于直线,则. 真 真 假 假 典例精讲 例1.指出下列命题中的条件 和结论： (1) 若 ，则； (2) 若，则 ； (3) 如果二次函数 的图象经过坐标原点，那么； (4) 如果两个三角形的三边分别对应相等,那么这两个三角形全等. 解： (1). (2). (3)二次函数的图象经过坐标原点， . (4)两个三角形的三边分别对应相等， 这两个三角形全等. 典例精讲 将命题改写为“若 ,则”形式的方法及原则： 注意：若命题不是以“若，则”这种形式给出时， 首先要确定这个命题的条件和结论，进而改写成“若，则”的形式. 典例精讲 例2.将下列命题改写成“若 ，则 ”(或“如果 ，那么 ”)的形式： (1)有一个内角是 的等腰三角形是正三角形； (2) 对顶角相等； (3) 平行四边形的对角线互相平分； (4) 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 解： (1)若一个等腰三角形有一个内角是 60°，则这个三角形是正三角形. (2)若两个角是对顶角，则这两个角相等. (3)如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的对角线互相平分. (4)如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形. 典例精讲 例3.判断下列命题的真假： (1) 若，则； (2) 若，则； (3) 全等三角形的面积相等； (4) 面积相等的三角形全等. 解： (1)当时，显然有. 所以，命题为真. (2)当时，＝1，即由，不能推出.所以，命题为假. (3)当两个三角形全等时，这两个三角形的面积一定相等.所以，命题为真. (4)如图 ，直角三角形 与等腰三角形 同底等高， 这两个三角形的面积相等，但这两个三角形不全等.所以，命题为假. 新知探究 定理：有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理. 定义：定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵。 例如：“两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形”. 特点：用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别. 练习巩固 练习1.下列语句是否是命题？若是，判断其真假，并说明理由. (1). (2)或是方程的根. (3)空集是任何非空集合的真子集. (4)指数函数是增函数吗？ 解： (1)不是命题.因为没有给定变量x的值，无法确定其真假. (2)是真命题.代入验证即可. (3)是真命题.由空集的定义和性质不难得出. (4)不是命题.因为是疑问句无法判断真假. 练习巩固 命题真假的判定方法： (1)真命题的判断方法：要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证； (2)假命题的判断方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法． 练习巩固 变式1-1.下列语句是否是命题？若是，判断其真假，并说明理由. (1)若，则方程有实数根. (2)若，则. (3)如果两个三角形相似，则两个三角形全等. (4)若，则且. 解：(1)当时，恒成立，则方程必有实数根，故真命题. (2)当时，任意，则，∴成立，故是真命题. (3)两个三角形相似则三个内角对应相等，但边长是成比例，不相等，故两个三角形不全等，是假命题. (4)若，可以，不满足且，是假命题. 练习巩固 练习2.将下列命题改写成“若，则”的形式. (1)在中，大角对大边. (2)矩形的对角线互相垂直. (3)相等的两个角的正弦值相等. (4)等底等高的两个三角形是全等三角形. 解： (1)在中，若，则. (2)若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线互相垂直. (3)若，则. (4)若两个三角形等底等高，则这两个三角形全等. 练习巩固 变式2.指出下列命题中的条件和结论. (1)若，则互为相反数. (2)如果，则. (3)当时，. 解： (1)p：x＋y＝0；q：x，y互为相反数. (2)p：x∈A，q：x∈A∩B. (3)p：x＝2，q：x2＋x－6＝0. 练习巩固 练习3.已知集合，，若是假命题，求实数的取值范围． 解：若是假命题，则是真命题，即集合有公共元素， 在数轴上表示出两个集合， 得. 小技巧：根据所学知识写出命题为真时参数所满足的条件，再进行求解，或者，求命题为假时参数的取值范围，则为真时参数取值范围是对应的补集 练习巩固 变式3.若命题“关于的方程 有两个不等的实数根”是真命题，求实数的取值范围. 解： 关于的方程有两个不等的实数根， ， 或 ， 即实数的取值范围是 . 小结 命题、定理和定义 定理 定义 命题 感谢聆听 要想获得真理和知识，唯有两件武器，那就是清晰的知觉和严格的演绎。 ——狄尔曼 $$