精品解析：广东省深圳市深圳技术大学附属中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试题

深圳技术大学附属中学高一上第二次月考数学试卷 命题：刘咏雪 审题：陈长富 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知角的终边经过点，则= A. B. C. D. 2. “且”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（    ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数满足对任意，都有成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 若函数且图象过第一､三､四象限，则参数需满足（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 如果是第一象限的角，则是第四象限的角 B 角与角终边重合 C. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 D. 若是第二象限角，则点在第四象限 11. 若，则下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 12. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数的图象关于y轴对称 D. 函数在上为减函数 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知，，则_____. 14. 已知，则______（结果用a，b表示）. 15. 已知函数若函数仅有一个零点，则实数m的值是______． 16. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是___________. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知集合，集合． （1）当时，求; （2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 18. 已知幂函数在上单调递增． （1）求的解析式； （2）若函数在上有零点，求的取值范围． 19. 已知，，且. （1）求的最大值； （2）若恒成立，求实数m的取值范围. 20. 已知函数是定义域上的奇函数，且． （1）判断并证明函数在上的单调性； （2）令函数，若在上有两个零点，求实数的取值范围． 21. 已知指数函数（且）的图象过点． （1）求函数的解析式； （2）求函数在上值域 22. 已知是定义在上奇函数，且当时，. （1）求函数的解析式； （2）若对任意的，都有不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 深圳技术大学附属中学高一上第二次月考数学试卷 命题：刘咏雪 审题：陈长富 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知角的终边经过点，则= A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以.故选D. 考点：三角函数的概念. 2. “且”是“”的（　　） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数单调性，结合充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当且时，则成立， 当时，且，或且， 所以“且”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接由对数函数、指数函数的单调性、运算性质即可得解. 【详解】由题意，， 所以的大小关系为. 故选：D. 4. 函数的图象大致为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的单调性和奇偶性，即可判断和选择. 【详解】定义域为，且，故为偶函数； 又当时，，其为上的单调增函数； 综上所述，只有D选项满足. 故选：D. 5. 已知，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角三角函数的关系化简计算 【详解】因为， 所以， 故选：D 6. 若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对分类讨论,利用一元二次不等式的解集与判别式的关系即可得出. 【详解】当时，恒成立，则符合题意； 当时，由题意可得，解得 综上，的取值范围是. 故选：B 7. 已知函数满足对任意，都有成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得在上单调递减，即可得到，解得即可. 【详解】对任意，都有成立， 函数在上单调递减， ，解得，故的取值范围是. 故选：A． 8. 已知函数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意构造函数，首先得出的单调性与奇偶性，然后将条件表达式等价转换即可得解. 【详解】令，因为的定义域为关于原点对称，且， 所以是上的奇函数， 注意到幂函数都是上的增函数， 所以是上的增函数， 而， 所以，解得， 综上所述，的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，利用函数单调性与奇偶性解不等式. 二、多项选择题：每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 若函数且的图象过第一､三､四象限，则参数需满足（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】结合函数的图象，则，又由，即可求解. 【详解】当时，函数且的图象不可能同时经过第一､三､四 象限，不满足题意， 当时，要使函数且的图象过第一､三､四象限，则，得. 则，. 故选：BD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 如果是第一象限的角，则是第四象限的角 B. 角与角终边重合 C. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 D. 若是第二象限角，则点在第四象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用象限角的概念判断A；利用终边相同的角的特征判断B；求出扇形所在圆半径，再求出扇形面积判断C；利用三角形函数值的符号法则判断D. 【详解】对于A，是第一象限的角，即，则， 因此是第四象限的角，A正确； 对于B，由于，因此角与角终边重合，B正确； 对于C，由圆心角为的扇形弧长为，得该扇形弧所在圆半径为3，则该扇形面积为，C错误； 对于D，由是第二象限角，得，则点在第四象限，D正确. 故选：ABD 11. 若，则下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】取特值可判断A，D；由不等式的性质可判断B，C. 【详解】对于A，取，但，故A错误； 对于B，若，对不等式两边同时平方则，故B正确； 对于C，若，则，所以，故C正确； 对于D，若，取，则，故D错误. 故选：BC. 12. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数的图象关于y轴对称 D. 函数在上为减函数 【答案】AB 【解析】 【分析】根据指数函数的性质，结合函数奇偶性的定义、单调性的性质逐一判断即可. 【详解】A：因为，所以函数的定义域为，故A正确； B：， 由， 所以函数的值域为，故B正确； C：因为， 所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，不关于y轴对称，故C错误； D：因为函数是增函数，因为，所以函数是减函数， 因此函数是增函数，故D错误. 故选：AB. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数平方关系及的范围求出答案. 【详解】因为，且， 所以， 因为，所以. 故答案为： 14. 已知，则______（结果用a，b表示）. 【答案】 【解析】 【分析】利用换底公式及同底对数加减运算法则即可解题. 【详解】, 故答案为：. 15. 已知函数若函数仅有一个零点，则实数m的值是______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据解析式分析的单调性并画出大致图象，将问题化为与仅有一个交点，数形结合求参数值. 【详解】由函数解析式，在上递减，、上递增，且在处连续， 所以大致图象如下， 由函数仅有一个零点，即与仅有一个交点， 由图知：. 故答案为：0 16. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复合函数同增异减的法则可得在区间 上也是单调递减，且真数大于0，那么得到关于的不等式即， 即可求出的范围. 【详解】令 ，即对称轴 ，且开口朝上， 在区间上单调递减，那么 在区间上也是单调递减， 且 ， 故 即 ，所以实数取值范围是 . 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知集合，集合． （1）当时，求; （2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）解不等式化简集合A，B，再利用并集的定义求解即得. （2）求出集合B，利用充分条件的定义，结合集合的包含关系列式求解即得. 【小问1详解】 由不等式，得，解得，即， 当时，解不等式，得或，即或， 所以. 【小问2详解】 依题意，或，由（1）知， 由“”是“”的充分条件，得，因此，解得， 所以实数a的取值范围. 18. 已知幂函数在上单调递增． （1）求的解析式； （2）若函数在上有零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数定义和单调性可构造方程组求得，从而得到； （2）根据幂函数单调性和零点存在定理可直接构造不等式求得结果. 【小问1详解】 为幂函数，且在上单调递增，，解得：， . 【小问2详解】 由（1）得：，在上连续且单调递增， ，解得：， 即的取值范围为. 19. 已知，，且. （1）求的最大值； （2）若恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用基本不等式得，进而有，注意等号成立条件，即可得最大值； （2）应用基本不等式“1”的代换求左侧的最小值，根据恒成立有，再解一元二次不等式求参数范围. 【小问1详解】 由题设，而，即， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 【小问2详解】 由， 当且仅当时等号成立，故最小值为， 又恒成立，即， 所以. 20. 已知函数是定义域上的奇函数，且． （1）判断并证明函数在上的单调性； （2）令函数，若在上有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）函数在上单调递减，在上单调递增，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由是奇函数，可知，，进而列出关系式，求出，即可得到函数的解析式，然后利用定义法，可判断并证明函数在上的单调性； （2）由函数在上有两个零点，整理得方程在上有两个不相等的实数根，进而可得到，求解即可； 【小问1详解】 ，且是奇函数，， ，解得， ， 检验，由解析式可知，函数的定义域为，关于原点对称， 且， 所以是奇函数，满足要求； 函数在上单调递减，在上单调递增， 证明如下：任取，且， 则， ，且， ，， ∴， ，即， 函数在上单调递减. 同理可证明函数在上单调递增． 小问2详解】 函数在上有两个零点， 即方程在上有两个不相等的实数根， 所以在上有两个不相等的实数根， 则，解得，即实数的取值范围为. 21. 已知指数函数（且）的图象过点． （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的值域 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入即可求解， （2）利用换元法，结合指数函数以及二次函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 因为函数（且）的图象过点，则， 解得，因此，． 【小问2详解】 ，令，因为，则， 令， 当时，函数单调递减，此时，， 当时，函数单调递增，此时，， 故当时，， 又因为，故， 所以，函数在上的值域为． 22. 已知是定义在上的奇函数，且当时，. （1）求函数的解析式； （2）若对任意的，都有不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】由函数为奇函数可得，由此可求a，再根据奇函数的性质求时，的解析式，由此可得函数的解析式；(2)先求函数的单调性，根据单调性化简不等式，由此可求实数的取值范围. 【详解】解：（1）依题可知，解得，所以当时，， 设，则，所以， 又是奇函数，， 即，所以当时，， 综上所述， （2）当时，，所以在上单调递减， 又是上的奇函数，在上单调递减， 从而在上单调递减， 由， 可得， 又在上单调递减， ，即对任意的恒成立， 记，对称轴为，依题意有， ①当，即时，在上单调递增， ，解得，与矛盾，此时无解； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得， 又因为，所以此时； ③当，即时，在上单调递减， ，解得，又因为，所以此时； 综上所述，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$