精品解析：江苏省连云港市东海房山高级中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题

数学试题部分 （本卷满分150分 共4页 考试时间120分钟） 一、单选题（本题共8小题 每小题5分 共40分） 1. 已知集合，，，若，则的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 7 D. 8 2 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，若集合，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 不等式在上恒成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 5. 已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 6 若，则（ ） A. B. C. 2 D. 7. 某一物质在特殊环境下温度变化满足：（为时间，单位为为特殊环境温度，为该物质在特殊环境下的初始温度，为该物质在特殊环境下冷却后的温度），假设一开始该物质初始温度为，特殊环境温度是，则经过，该物质的温度最接近（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 8. 设，若，则实数的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 二、多选题（本题共4小题 每小题5分 满分20分） 9. 对于集合，，我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，，则有，，下列解答正确的是（　　） A. 已知，，则 B. 已知或，，则或 C. 如果，那么 D. 已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则. 10. 设非空集合满足:当时,有,下列命题中,正确的有（ ） A. 若,则 B. 的取值范围为 C. 若,则 D. 11. 下列说法中正确的有（ ） A. 命题，则命题的否定是 B. “”是“”的必要条件 C. 命题“”的是真命题 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 12. 已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 关于x的不等式的解集是 C. D. 关于x的不等式的解集为或 三、填空题（本题共4小题 每小题5分 满分20分） 13. 若集合，实数值为______ 14. 已知集合，或.若，则实数的取值范围是__________． 15. 已知表示不大于的最大整数，，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是______. 16. 当时，的最小值为________． 四、解答题（本题共6小题 第17题10分 第18-22题12分 满分70分） 17. 已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数a的取值集合． 18. 已知集合． （1）若，求实数取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 19. 已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 20. 已知集合，集合，集合，且． （1）求实数a的值组成的集合； （2）若，是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 21. 计算： （1）； （2）不等式的解集为，求实数的值. 22. 第三十三届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，这是体育的盛会，也是商人们角逐的竞技场.某运动装备生产企业为了抢占先机，欲扩大生产规模.已知该企业2023年的固定成本为50万元，每生产（千件）装备，需另投入资金（万元）.经计算与市场评估得，调查发现，当生产20（千件）装备时需另投入的资金万元.每千件装备的市场售价为300万元，从市场调查来看，2023年预计最多能售出100千件. （1）写出2023年利润（万元）关于产量（千件）的函数；（利润销售总额-总成本） （2）求当2023年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学试题部分 （本卷满分150分 共4页 考试时间120分钟） 一、单选题（本题共8小题 每小题5分 共40分） 1. 已知集合，，，若，则的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据B、C两集合相等，则元素相同，然后分类讨论求出参数m，进而求出两个集合，再求集合A、B的交集，然后可求子集的个数. 【详解】由题意得，，又集合， 若，则，此时， 则，故子集个数为； 若，则，此时显然集合不成立，舍去； 若，，同理舍去. 综上得：时，子集个数为4个； 故选：B. 2. 设集合，，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用最小公倍数排除A，B，利用奇数和偶数排除C，求解即可. 【详解】易知集合，， 则中前面的系数应为的最小公倍数，故排除A，B， 对于C，当时，集合为， 而令，可得不为整数，故不含有7， 可得中不含有7，故C错误， 故选：D 3. 已知，，若集合，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由集合相等列出方程，即可求得，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以，解得或 当时，不满足集合元素的互异性， 故，，. 故选：B. 4. 不等式在上恒成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次不等式恒成立求出充要条件，再由充分条件，必要条件的概念求出选项. 【详解】不等式在R上恒成立，即一元二次方程在R上无实数解 ，解得：， 易见B选项是充要条件，不成立； A选项中，可推导，且不可推导，故是的必要不充分条件，A正确； C选项中，不可推导出，C错误； D选项中， 不可推导，D错误， 故选：A. 5. 已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，解不等式即可求出答案. 【详解】因为命题“，使”是假命题， 所以恒成立，所以， 解得， 故实数的取值范围是． 故选：B． 6. 若，则（ ） A B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知表示出，再由换底公式化简可求. 【详解】∵，∴， ∴ . 故选：C． 7. 某一物质在特殊环境下的温度变化满足：（为时间，单位为为特殊环境温度，为该物质在特殊环境下的初始温度，为该物质在特殊环境下冷却后的温度），假设一开始该物质初始温度为，特殊环境温度是，则经过，该物质的温度最接近（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可分别将初始温度，特殊温度及时间代入题中式子得，从而可求解. 【详解】由初始温度，特殊温度，时间代入题中式子得： ，解得分钟，故B项正确. 所以选:B. 8. 设，若，则实数的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由不等式可得，求出右边的最小值，进而可得的最大值． 【详解】因为，若，可得， 设，只需要小于等于右边的最小值即可， 则， 令，可得， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以， 即的最大值为． 故选：A． 二、多选题（本题共4小题 每小题5分 满分20分） 9. 对于集合，，我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，，则有，，下列解答正确的是（　　） A. 已知，，则 B. 已知或，，则或 C. 如果，那么 D. 已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据所给定义一一判断即可. 【详解】对于A：因，，所以，故A错误； 对于B：因为或，，所以或，故B正确； 对于C：若，则中的元素都是中的元素，所以，故C正确； 对于D：即为由的补集与集合的交集，即，故D正确； 故选：BCD 10. 设非空集合满足:当时,有,下列命题中,正确的有（ ） A. 若,则 B. 的取值范围为 C. 若,则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A,当时,,此时,分类讨论判断正误;对于B,由题意得,则,所以判断B的正误;对C,若,,此时,则求出范围判断即可;对于D,因为,则,所以,将转化为求解即可. 【详解】对于A,当时,,此时.若,则,满足题意;若,则,综上,若,则,故A正确; 对于B,因为,则,所以,解得或,故B错误; 对于C,若,,此时,则,解得,综上,故C正确; 对于D,因为,则,所以,所以,故D正确. 故选:ACD. 11. 下列说法中正确的有（ ） A. 命题，则命题否定是 B. “”是“”的必要条件 C. 命题“”的是真命题 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】AD 【解析】 【分析】根据全称命题与特称命题的否定、充分必要条件等逐项判断即可. 【详解】命题的否定是，故A正确； 不能推出，例如，但；也不能推出，例如，而； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误； 当时，，故C错误； 关于x的方程有一正一负根， 所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确. 故选：AD. 12. 已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 关于x的不等式的解集是 C. D. 关于x的不等式的解集为或 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集可确定，可判断A；用一元二次方程根与系数的关系，用表示，，代入不等式，从而判断BCD. 【详解】由关于x的不等式的解集为或， 知和3是方程的两个实根，且，故A正确； 根据根与系数的关系知：， 所以， 选项B：不等式化简为，解得：， 即不等式的解集是，故B正确； 选项C：由于，故，故C不正确； 选项D：不等式化简为：， 解得：或，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题（本题共4小题 每小题5分 满分20分） 13. 若集合，实数的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】由已知中集合，根据集合相等对应元素分别相等，我们可以分若、、，三种情况进行分类讨论，结合集合元素的性质，即可得到答案． 【详解】令,,，,,， ,,，，， 若，则，则,，,,，满足要求； 若，则，而中元素，矛盾； 若，则，则,,，,,，满足要求； 故实数的值为. 故答案为： 14. 已知集合，或.若，则实数的取值范围是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，若，则，分情况讨论，进而求解，得出答案． 【详解】已知集合，或. 若，则， 当，即时，满足条件； 当时，即当时，若，则或， 解得（舍）或， 综上，实数的取值范围是或. 故答案为：或. 15. 已知表示不大于的最大整数，，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出集合，再由充分不必要的定义以及集合之间的包含关系即可求解. 【详解】对于集合，不失一般性我们不妨设， 此时由的定义可知，有， 所以， 若是的充分不必要条件，则 ， 所以的取值范围是. 故答案为：. 16. 当时，的最小值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】构造乘积为定值，应用基本不等式求出最小值即可. 【详解】因为, 则 ， 当时，的最小值为5. 故答案为：5. 四、解答题（本题共6小题 第17题10分 第18-22题12分 满分70分） 17. 已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数a的取值集合． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合A，B，根据集合的交集运算即得答案； （2）由得，分类讨论，根据判别式讨论集合B中元素，判断是否满足题意，确定a的值，即可得答案. 【小问1详解】 由题意得集合，， 故； 【小问2详解】 由得， 由于， 故时，，满足题意； 当时，对于，， 当时，，此时，满足题意； 当时，，，此时，要满足，则， 故实数a的取值集合为. 18. 已知集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用，找到不等式组，求出实数的取值范围即可； （2）在满足的前提下，对分空集和不是空集分类讨论即可. 【小问1详解】 因为，所以解得， 即实数的取值范围是． 【小问2详解】 若，即，此时，满足； 若，即，因为， 所以，或，解得． 综上，实数的取值范围是． 19. 已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】第一问用交集和补集的定义直接求解即可，第二问讨论集合是否为空集，分情况求解即可. 【小问1详解】 当时，， 故 【小问2详解】 ，，当时，，解得 当时，解得，另有解得 综上的范围是 20. 已知集合，集合，集合，且． （1）求实数a的值组成的集合； （2）若，是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，然后根据得到，由此分析集合并求解出的值，则结果可知； （2）先求解出，然后将问题转化为“是C的真子集”，由此列出关于的不等式，则结果可求. 【小问1详解】 因为， 由，知，则或或， 当时，所以， 当时，所以， 当时，所以， 所以的取值集合为． 【小问2详解】 由题意得，，故， 又是的充分不必要条件， 所以是的真子集，于是， 解得：，经检验符合条件， 综上，实数m的取值范围是． 21. 计算： （1）； （2）不等式的解集为，求实数的值. 【答案】（1） （2）实数的值分别为3，2 【解析】 【分析】（1）利用指数幂的运算和对数运算性质化简求值即可； （2）根据解集得为方程的两根，利用韦达定理求解即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为不等式的解集为， 所以为方程的两根且， 由根与系数的关系得，解得，所以实数的值分别为3，2. 22. 第三十三届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，这是体育的盛会，也是商人们角逐的竞技场.某运动装备生产企业为了抢占先机，欲扩大生产规模.已知该企业2023年的固定成本为50万元，每生产（千件）装备，需另投入资金（万元）.经计算与市场评估得，调查发现，当生产20（千件）装备时需另投入的资金万元.每千件装备的市场售价为300万元，从市场调查来看，2023年预计最多能售出100千件. （1）写出2023年利润（万元）关于产量（千件）的函数；（利润销售总额-总成本） （2）求当2023年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）30千件，850万元 【解析】 【分析】（1）先由求得，再由利润销售总额-总成本建立函数模型求解； （2）根据二次函数的性质及基本不等式分别求出分段函数的最值，比较大小即可得结论. 【小问1详解】 由题意知，当时，，所以， 当时，； 当时，， 所以； 【小问2详解】 当时，函数在上是增函数，在上是减函数， 所以当时，有最大值，最大值为850； 当时，由基本不等式得， 当且仅当时取等号，所以当时，有最大值，最大值为755； 因为，所以当年产量为30千件时，该企业的年利润最大，最大年利润为850万元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$