精品解析：广西壮族自治区河池市天峨县2022-2023学年九年级上学期期中数学试题

2022-2023学年广西河池市天峨县九年级（上）期中数学试卷 一、选择题；（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列正方形中由阴影部分组成的图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列事件是必然事件的是（　　） A. 某运动员射击一次击中靶心 B. 抛一枚硬币，正面朝上 C. 3个人分成两组，一定有2个人分在一组 D. 明天一定是晴天 4. 已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是（　　） A. 相切 B. 相离 C. 相交 D. 不能确定 5. 把二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是（　　） A. B. C. D. 6. 淘淘和丽丽是九年级学生，在5月份进行的物理、化学、生物实验技能考试中，考试科目要求三选一，并且采取抽签方式取得，那么他们两人都抽到物理实验的概率是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O成中心对称的图形．若点A的坐标是（1，3），则点M和点N的坐标分别是（ ） A. M（1，﹣3），N（﹣1，﹣3） B. M（﹣1，﹣3），N（﹣1，3） C. M（﹣1，﹣3），N（1，﹣3） D. M（﹣1，3），N（1，﹣3） 8. 某农庄前年玉米亩产量为千克，今年的亩产量为千克．假设从前年到今年平均增长率都为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 已知一个正六边形的边心距为，则它的外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 若，则二次函数的图象的顶点在 （ ） A. 第一象限; B. 第二象限; C. 第三象限; D. 第四象限 11. 如图，是四边形的内切圆．若，则（ ） A. B. C. D. 12. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的A′处，若AO=OB=2，则阴影部分面积为（　　） A. π B. π﹣1 C. +1 D. 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 抛物线的顶点坐标是_________． 14. 点关于原点的对称点的坐标为_______． 15. 如图，已知点A，B，C在上，，，则________． 16. 设是一元二次方程的两个根，则______． 17. 如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是_____cm． 18. 如图，已知的半径为1，圆心的坐标为．点是上的一个动点，则的最大值为_______． 三、解答题（本题共8小题，满分66分） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 如图，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上，A坐标为，请解答下列问题： （1）将沿x轴向右平移4个单位，在图中画出平移后的； （2）作关于原点对称的图形； （3）点的坐标是 ，点的坐标是 ． 21. 对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A，B，C，D四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查． （1）甲组抽到A小区的概率是多少； （2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率． 22. 已知关于x的方程x2＋ax＋a－1＝0. （1）若方程有一个根为1，求a的值及该方程的另一个根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有实数根． 23. 如图所示，是直角三角形，，以为直径的交于点E，点D是边的中点，连接． （1）求证：与相切； （2）若的半径为，，求． 24. 某景区商店销售一种进价为每件元的纪念品．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：，在销售过程中销售单价不低于成本价且不高于元． （1）设商店每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ 25. 如图，将矩形绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形，E点正好落在边上，连接，且交于P． （1）求的度数； （2）若，求的长． 26. 如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，过A点的直线与y轴交于点C，点P为直线L上方的抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）若过点C的直线交线段于点M，且，求直线的解析式； （3）如图2，过P点作轴交直线AC于点E，连接．当为直角三角形时，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年广西河池市天峨县九年级（上）期中数学试卷 一、选择题；（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列正方形中由阴影部分组成的图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误； B、是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项正确； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误； D、是中心对称图形不是轴对称图形，故本选项错误． 故选B． 【考点】1.中心对称图形；2.轴对称图形． 2. 下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义； 根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、当时，不是一元二次方程，故本选项错误； B、符合一元二次方程的定义，故本选项正确； C、x的最高次数为1，不是关于x的一元二次方程，故本选项错误； D、当时，是一元一次方程，故本选项错误． 故选：B． 3. 下列事件是必然事件的是（　　） A. 某运动员射击一次击中靶心 B. 抛一枚硬币，正面朝上 C. 3个人分成两组，一定有2个人分在一组 D. 明天一定是晴天 【答案】C 【解析】 【详解】必然事件是一定发生的事情，它和偶然事件相对．A、B、D都是偶然事件，C是必然事件．故选C 4. 已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是（　　） A. 相切 B. 相离 C. 相交 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，直线与圆的位置关系有三种：当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交；当时，直线与圆相离．只要比较圆心到直线的距离和圆的半径的大小即可．根据直线与圆的位置关系比较圆心到直线的距离和圆的半径的大小即可解答． 【详解】解：∵的半径为，圆心到直线的距离为， ∴点到直线的距离小于圆的半径， ∴直线与的位置关系是相交， 故选C． 5. 把二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的平移，根据二次函数的平移规律即可得到打答案. 【详解】把二次函数的图象向右平移1个单位得到，再向下平移2个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是， 故选：A 6. 淘淘和丽丽是九年级学生，在5月份进行的物理、化学、生物实验技能考试中，考试科目要求三选一，并且采取抽签方式取得，那么他们两人都抽到物理实验的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列表法求概率即可． 【详解】列表如下 物理 化学 生物 物理 （物理，物理） （物理，化学） （物理，生物） 化学 （化学，物理） （化学，化学） （化学，生物） 生物 （生物，物理） （生物，化学） （生物，生物） 总共有9种等可能结果，他们两人都抽到物理实验的结果有1种 ∴两人都抽到物理实验的概率是 故选B 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，掌握列表法求概率是解题的关键．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比． 7. 如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O成中心对称的图形．若点A的坐标是（1，3），则点M和点N的坐标分别是（ ） A. M（1，﹣3），N（﹣1，﹣3） B. M（﹣1，﹣3），N（﹣1，3） C. M（﹣1，﹣3），N（1，﹣3） D. M（﹣1，3），N（1，﹣3） 【答案】C 【解析】 【详解】M点与A点关于原点对称，A点与N点关于x轴对称，由平面直角坐标中对称点的规律知：M点与A点的横、纵坐标都互为相反数，N点与A点的横坐标相同，纵坐标互为相反数．所以M（－1，－3），N（1，－3）． 8. 某农庄前年玉米亩产量为千克，今年的亩产量为千克．假设从前年到今年平均增长率都为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先表示出去年玉米的亩产量为前年玉米的亩产量增长率，再表示今年的亩产量，即可求解． 【详解】解：去年玉米的亩产量为，今年玉米的亩产量在去年玉米的亩产量的基础上增加，为， 则列出的方程是， 故选：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为． 9. 已知一个正六边形的边心距为，则它的外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，设正六边形的中心是O，作OH⊥AB于H，连接OA，在直角△OAH中，∠AOH==30°，根据三角函数即可求得AO，即可得到它的外接圆的面积． 【详解】 解：如图，六边形ABCDEF为正六边形，作OH⊥AB于H，连接OA， ∴OA为正六边形ABCDEF的外接圆的半径，OH为正六边形ABCDEF的边心距， ∴OH=， 在Rt中，∠AOH==30°， ∴cos∠AOH=， ∴OA=2， ∴它的外接圆的面积==4π． 故选C． 【点睛】本题主要考查正多边形和圆的计算问题，常用的思路是转化为直角三角形中边和角的计算，属于常规题． 10. 若，则二次函数的图象的顶点在 （ ） A. 第一象限; B. 第二象限; C. 第三象限; D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】分析：由a=1＞0得到此函数的开口向上，由b＜0，a＞0，得到对称轴x="-" b/2a>0，即对称轴位于y轴的右侧．即可能是位于第一或第四象限；由c=-1＜0得到与y轴的交点为在y轴的负半轴上，可能位于第三或第四象限，由此可以确定二次函数y=x2+bx-1的图象的顶点的位置． 【详解】解：∵a=1＞0， ∴此函数的开口向上， ∵b＜0，a＞0， ∴对称轴x=-b/2a>0 即对称轴位于y轴的右侧， 即可能是位于第一或第四象限； ∵c=-1＜0， ∴与y轴的交点为在y轴的负半轴上， 可能位于第三或第四象限 ∴二次函数y=x2+bx-1的图象的顶点在第四象限． 故选D． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与性质． 11. 如图，是四边形的内切圆．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据内切圆得到四条角平分线，结合四边形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵是四边形的内切圆， ∴，，， ， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 故选：A； 【点睛】本题考查圆内切四边形及四边形的内角和定理，解题的关键是得到． 12. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的A′处，若AO=OB=2，则阴影部分面积为（　　） A. π B. π﹣1 C. +1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】图形的整体面积为S扇形BAA′＋S△A′BC′，空白部分的面积为S扇形BCC′＋S△ABC，S△A′BC′＝S△ABC，则阴影部分面积为两个扇形面积差，求解即可． 【详解】解：因为点O为AB的中点，所以OC＝OA＝OB＝2，BC＝． 由旋转的性质可知，A′B＝AB＝2OB＝4，所以∠AOA′＝60°，∠CBC′＝60°， 阴影部分的面积为： S扇形BAA′＋S△A′BC′－(S扇形BCC′＋S△ABC)， ＝S扇形BAA′－S扇形BCC′， ＝． 故选D． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积，若阴影部分的面积是一个规则的图形或是几个规则图形的和与差，则可用面积公式直接求解，若阴影部分不是规则图形，也不是几个规则图形的和与差，则需要将原图形中的相关部分通过平移，旋转，翻折等方式转化为规则图形后再求． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 抛物线的顶点坐标是_________． 【答案】（1，2） 【解析】 【分析】直接根据顶点公式的特点求顶点坐标即可得答案． 【详解】∵是抛物线的顶点式， ∴顶点坐标为（1，2）． 故答案为：（1，2） 【点睛】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴及最值的方法．解题的关键是熟知顶点式的特点． 14. 点关于原点的对称点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆关于原点对称点的横纵坐标都互为相反数是解题关键．直接利用关于原点对称点的性质得出答案． 【详解】解：点则点关于原点的对称点坐标是：． 故答案为：． 15. 如图，已知点A，B，C在上，，，则________． 【答案】##20度 【解析】 【分析】先根据圆周角定理求出，再根据平行线的性质可证． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，平行线的性质，熟记圆周角定理的含义是解本题的关键． 16. 设是一元二次方程的两个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系，根据题意得到，代入即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是_____cm． 【答案】 【解析】 【分析】先求出扇形弧长，再求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理 即可出圆锥的高． 【详解】圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长为4cm ∴圆锥的底面半径为=2， 故圆锥的高为=4cm 故答案为：4 【点睛】此题主要考查圆的弧长及圆锥的底面半径，解题的关键是熟知圆的相关公式． 18. 如图，已知的半径为1，圆心的坐标为．点是上的一个动点，则的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，以及勾股定理和坐标与图形的关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键．连接并延长交于点，求出，，则是点P到原点的距离的平方，当点P运动到射线上时，即处，点P离原点最远，即最大，此时，即可求出答案． 【详解】解：连接并延长交于点， ∵圆心的坐标为，点的坐标为 ， 是点P到原点的距离的平方 当点P运动到射线上时，即处，点P离原点最远，即最大， 此时 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，满分66分） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握并灵活选择解法是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 ∴ 则或 解得 【小问2详解】 ∴， ∵， ∴ ∴ 20. 如图，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上，A坐标为，请解答下列问题： （1）将沿x轴向右平移4个单位，在图中画出平移后的； （2）作关于原点对称的图形； （3）点的坐标是 ，点的坐标是 ． 【答案】（1） 如图，为所作； （2）如图，为所作； （3），． 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移、中心对称等作图． （1）根据点平移后的坐标规律写出点A、B、C的对应点的坐标，顺次连接即可得到； （2）根据关于原点对称的点的坐标，写出点A、B、C的对应点的坐标，然后描点得到； （3）由（1）可的坐标，由（2）得的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由作图可知：点的坐标是，点的坐标是． 故答案为，． 21. 对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A，B，C，D四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查． （1）甲组抽到A小区的概率是多少； （2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率． 【答案】（1）甲组抽到A小区的概率是；（2）甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率为． 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式求解可得； （2）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得． 【详解】（1）甲组抽到A小区的概率是， 故答案为． （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的结果数为1， ∴甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率为． 【点睛】此题考查列表法与树状图法，解题关键在于根据题意画出树状图. 22. 已知关于x的方程x2＋ax＋a－1＝0. （1）若方程有一个根为1，求a的值及该方程的另一个根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有实数根． 【答案】（1）a＝0，x2＝－1； （2）∵ △=a2－4（a－1）＝a2－4a＋4＝（a－2）2≥0， ∴无论a为何值，此方程都有实数根. 【解析】 【分析】（1）将x=1代入方程x2＋ax＋a－1＝0得到a的值，再根据根与系数的关系求出另一根；（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答． 【详解】（1）因为x＝1是方程x2＋ax＋a－1＝0的解， 所以把x＝1代入方程x2＋ax＋a－1＝0得， 1＋a＋a－1＝0，解得a＝0 ∵ x1＋x2＝－a，∴ 1＋x2＝0，∴ x2＝－1 （2）略 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，熟记“两根之和等于- ，两根之积等于 ”是解题的关键． 23. 如图所示，是直角三角形，，以为直径的交于点E，点D是边的中点，连接． （1）求证：与相切； （2）若的半径为，，求． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 又， ∴，又是的半径， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】此题考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、直角三角形斜边的中线性质等知识． （1）如图连接，由是直径知，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知，再利用，根据等腰三角形的性质知，得到，即得证为切线； （2）由，知，在直角中可利用勾股定理求出，再利用的面积相等求出，然后在直角中利用勾股定理求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，知， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 某景区商店销售一种进价为每件元的纪念品．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：，在销售过程中销售单价不低于成本价且不高于元． （1）设商店每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润，最大利润是元． 【解析】 【分析】此题考查二次函数的性质及其应用，还考查抛物线的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题． （1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=（定价-进价）×销售量，从而列出关系式； （2）首先确定二次函数的顶点式，然后根据函数性质确定最大利润即可． 【小问1详解】 由题意，得： ， ∵在销售过程中销售单价不低于成本价且不高于元． ∴， ∴； 【小问2详解】 由（1）知：， 又∵对称轴为直线， ∴当时，随着x的增大而增大， ∴当时，w有最大值，最大值为， 答：当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润，最大利润是元． 25. 如图，将矩形绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形，E点正好落在边上，连接，且交于P． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质等知识． （1）根据旋转的性质得到，，，根据等腰三角形得到性质和内角和定理即可得到答案； （2）过点E作于点M，过点G作交的延长线于点N，证明四边形是矩形，则，由得到，则，求出，得到，，则，再由勾股定理即可得到答案． 【小问1详解】 ∵将矩形绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形， ∴，，， ∴， ∴ 【小问2详解】 如图，过点E作于点M，过点G作交的延长线于点N，则， ∵四边形是矩形 ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ 26. 如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，过A点的直线与y轴交于点C，点P为直线L上方的抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）若过点C的直线交线段于点M，且，求直线的解析式； （3）如图2，过P点作轴交直线AC于点E，连接．当为直角三角形时，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由直线求出，因为抛物线经过，利用待定系数法解决问题即可． （2）求出点的坐标，利用待定系数法即可解决问题． （3）设，可求，当为直角三角形时，或，分两种情况讨论：①当时，，设与轴交于点，则，即，求得；②当时，点与点重合，则，求得． 【小问1详解】 解：直线，令，则， ， 抛物线经过， ，解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：， ， 抛物线与轴交于，两点， 令，则或3， ，， ， ，， ， ， 直线与轴交于点， ， 设直线的解析式为，则有， 解得， 直线的解析式为． 【小问3详解】 解：设， ，， ， ， ， 当轴时， ， 当为直角三角形时，或， ①如图， 当时，， 设与轴交于点，则， ，即， 解得或（舍， ； ②当时，点与点重合， ， 解得或（舍， ； 综上所述：点坐标为或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的面积，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $