高中数学导数原创命题过程展示

导数原创命题过程展示 (1)命题:原创 已知函数.(1)若,讨论在内的单调性;(2)证明当时,在内有且只有两个零点. (2)试题分析 本题以含参函数为载体,考查导数的运用.涉及到单调性的判断,函数的零点问题.试题分两步,难度依次递增,具有梯度,既能够让不同的考生都有所收获,又能选拔出优秀学生.第一问,先求一阶导数,如果无法解决问题,可以考虑二阶导数.第二问,对区间分类讨论,分成和,分别证明在时只有一个零点,在时只有一个零点.体现导数与三角结合题型常用的化整为零,逐个击破的解题思路,其中伴随对参数的讨论.这是一个难点.本题预估难度是压轴题难度. (3)思维导图 (4)规范解答过程 解析: (1)若,. 当时,,,, . 由得在单调递减,又,所以,在单调递增. (2)当时,,, ,在单调递减,; 若,则,,在单调递增.又, ,所以在内存在唯一的零点. 若,则,又,存在使得,且在单调递增,在单调递减.又,,所以在内存在唯一的零点,在内无零点; 故在时只有一个零点. 当时,,. 若,则,在单调递减.又,,所以存在唯一的,使得. 若,,在单调递增. 又,, 当,则,所以,在单调递减. 又,,所以在无零点. 当,则,此时存在使得,且在单调递减,在单调递增.又,,所以在无零点. 故在时只有一个零点. (备注:对于在无零点的证明,也可以采用以下优化解法: 若,则,,. 所以,故在无零点.) 综上,当时,在内有且只有两个零点. 第(2)问的另解: 由于,所以不是的零点. 令得,. 记,转化为证明直线与的图像有两个交点.如图所示. 当时,,. 令,, 在上单调递减, ,所以,,在上单调递增.当时, ,当时, .故当时, 直线与的图像有一个交点. 当时,,. 令, ,在上单调递减., . 当时,.故当时,直线与的图像有一个交点. 当时,,直线与的图像没有交点. 综上,当直线与的图像有两个交点,即时,在内有且只有两个零点. (5)说明考查目标 ①考查导数的基本运算,运用导数知识解决函数问题的能力. ②如何去绝对值,卡点,隐零点问题如何处理,如何对参数进行分类讨论,找准讨论的点. ③分类讨论思想,转化与化归思想. ④运算求解能力,逻辑思维能力 (6)说明设计思路 设计一道导数压轴试题,检测考生是否具备良好的数学运算素养,逻辑推理素养.试题遵循中国高考评价体系的要求,兼顾基础性,综合性,创新性.既能考查利用导数工具研究函数的基本思想,基本方法,又有较高的区分度,综合性强,融合导数,函数,方程,不等式等知识点于一体.试题带参数,突出对分类讨论思想的考查,同时兼顾创新性,结合三角,对数,绝对值等,能够让人耳目一新,与众不同. (7)记录命题过程 试题第一稿: 必须构造一个函数,含三角,同时又希望能够结合对数,并且带参数与绝对值.如何构造出所需的函数?尝试在GGB软件上构造一个参数,在输入框中输入:,观察函数图像的变化.发现其零点个数随着的变化而变化.考虑到较为常见,故改成,拉动滑动条,当参数变化时,图像如下所示.考虑到方便研究问题,限制,. 图1() 图2() 图3() 图4() 结合上述图像变化,给出了试题第一稿. 第一稿：已知函数.(1)若,讨论在内的单调性;(2)证明当时,在内只有一个零点. 第一稿解析:(1)若,. 当时,,,, .由得在单调递减,又,所以,在单调递增. (2)当时,,. 若,则,在单调递减.又,,所以存在唯一的,使得. 若,,在单调递增. 又,, 当,则,所以,在单调递减. 又,,所以在无零点. 当,则,此时存在使得,且在单调递减,在单调递增.又,,所以在无零点. 综上,当时,在内只有一个零点. 试题第二稿: 对于第一稿,分两问,兼顾基础性与区分度,能够选拔出优秀生.然而第一问,第二问,显得有点突兀,不自然.通过观察图像变化可以发现,当,时,函数总有一个零点,因而可以考查证明函数在上有两个零点.如此一来,试题难度加大,考生需要将分成若干个区间进行讨论,更好地考查学生的分类讨论能力. 第二稿：已知函数.(1)若,讨论在内的单调性;(2)证明当时,在内有且只有两个零点. 第二稿解析:(1)同上. (2)当时,,, ,在单调递减,; 若,则,,在单调递增.又, ,所以在内存在唯一的零点. 若,则,又,存在使得,且在单调递增,在单调递减.又,,所以在内存在唯一的零点,在内无零点; 综上,在内只有一个零点. 当时,同上. 所以,当时,在内有且只有两个零点. 试题第二稿参考答案的改进: 对于上述参考答案中的解法,要证明当时,函数无零点,略显复杂繁琐.观察图形,发现当时,函数的图像在轴下方,能否直接证明?由此得到优化解法. 若,则,,. 所以,故在无零点. 该法直接证明当时,函数,思路自然流畅,运算简洁,大道至简,体现了良好的数学运算素养.如果考生能够在考场上想到这个解法,可以节省大量的时间,让更优秀的考生脱颖而出. 试题定稿: 已知函数.(1)若,讨论在内的单调性;(2)证明当时,在内有且只有两个零点. 参考答案:(1)若,. 当时,,,, .由得在单调递减,又,所以,在单调递增. (2)当时,,, ,在单调递减,; 若,则,,在单调递增.又, ,所以在内存在唯一的零点. 若,则,又,存在使得,且在单调递增,在单调递减.又,,所以在内存在唯一的零点,在内无零点; 当时,,. 若,则,在单调递减.又,,所以存在唯一的,使得. 若,则,,. 所以,故在无零点. 综上,当时,在内有且只有两个零点. 在此基础上,考虑到对于第(2)问的处理,有可能转化成证明两个函数图像的交点个数为两个.因此,还有如下的参考解法. 由于,所以不是的零点. 令得,. 记,转化为证明直线与的图像有两个交点. 当时,,. 令,, 在上单调递减, ,所以,,在上单调递增.当时, ,当时, .故当时, 直线与的图像有一个交点. 当时,,. 令, ,在上单调递减., . 当时,.故当时,直线与的图像有一个交点. 当时,,直线与的图像没有交点. 综上,当直线与的图像有两个交点,即时,在内有且只有两个零点. (8)本班实际测验情况 本题总分12分,第1问4分,第2问8分.班级人数50个,平均分6.31,得分大于等于8分的有20人.第1问主要错误的地方在于没有考虑求二阶导,导致无法判断一阶导数的单调性;第2问主要错误的地方在于无法进行准确的分类讨论,部分同学不懂得将大区间分割成以及进行分类讨论.在讨论的过程中不少同学对于参数的讨论不够准确,导致解题混乱.有些考生为了避免对参数进行分类讨论,采用解法2,但是对以及图象把握不够准确,导致画图有偏差.在后续的教学中,要强化分类讨论思想的运用,引导学生观察式子的结构特征准确找出分类讨论的点.同时要强化图形的运用,借助导数并不能十分准确地画出一个函数的图象,还必须考虑一些特殊情况等等. (9)链接:原创 已知函数,,.(1)当时,讨论的零点个数;(2)若有两个零点,求的取值范围. 解析:(1)当时,,. ,. 在单调递减. 又,所以在单调递增,在单调递减. 由,,可得在只有1个零点. (2) 由(1)可知,当时在只有1个零点.不符合题意. 所以. , 因为所以, 故在单调递减,,. 若,即时,,在单调递增. 又, , 所以在只有1个零点.不符合题意. 若,即时,. 结合,可知存在使得,且在单调递增,在单调递减.则的最大值为. 由于,所以. 取,则,,所以,因此在存在唯一的一个零点. 由于有两个零点,所以在存在唯一的一个零点. 令,得. 故当时,在存在唯一的一个零点. 综上,当时,有两个零点. (10)命题者的体会 ①命题要遵循高考评价体系要求 中国高考评价体系指出,试题考查要具有基础性,综合性,应用性,创新性.要命制出一道好的试题着实不容易.试题要具有基础性,考查基本内容,基本方法,基本思想,让大多数学生能够拿到一定的分数.本题注重基础,考查导数研究函数的基本思路,方法,这些都是对考生最基本的要求.除此以外,试题还要具有综合性,能够将多个知识点融会贯通,一起考查,让优秀的学生脱颖而出,检测出考生是否具良好的数学素养.本题具有一定的综合性,需要考生综合应用函数,导数,方程,不等式等所学知识求解.同时试题又要具有创新性,本题所给函数表达式简洁,不啰嗦,含三角,对数,参数,绝对值,给人以清新自然,耳目一新之感,有别于任何一道导数试题. ②命题要善于借助计算机软件 在命制本题的过程中,借助GGB软件画图观察,当参数变化时函数图像有何变化,从而发现当,时,函数有且只有两个零点.既然从计算机可以验证,那么从理论上肯定也可以证明出来.于是编完题目后,尝试用所学的数学知识求解,一股劲算下去,发现最终可以证明出来,这就说明了编出的题目是不会出现科学性错误的.因此,在编题的过程中要善于借助计算机软件辅助,观察动态图像变化,从而编制出好的试题,最后再从数学的角度加以证明.借助计算机辅助教学,命题是新高考的必然性趋势. ③命题过程中要考虑到学生的想法 命题教师命制试题要站在学生的角度,考虑到学生在解题时可能会出现的思维障碍,难点,以及学生可能给出的解法.考虑思维障碍能够帮助我们调控试题的难度,避免过难或过于简单,考虑学生可能给出的解法能够帮助我们提供参考答案供教师评卷时参阅,避免由于学生的解法与标准答案不一致而被判定错误.对于本题,命题教师设置了两步,难度逐次加深,阶梯式前进,就是考虑到能够让绝大多数考生有所得分,但又能够有所区别.学生的思维障碍在于如何对参数进行分类讨论以及对区间分割,化整为零,各个击破.在证明若时无零点,采用直接证明的方法,而此法正是学生极有可能在考场中给出的方法.同时还提供了采用转化为证明两个图像有两个交点的方法,供评卷教师参考,避免误判. 总之,命题是一项十分艰辛又细致的工作,但是经历了一系列研题的过程,能够提高自身的教育教学能力,能够使得自己对高考评价体系的内容感悟得更加深刻,能够更好地领悟课程标准的内涵. 学科网（北京）股份有限公司 $$