精品解析：贵州省学校卓越联盟发展计划项目2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

参照机密级管理★启用前 贵州省学校卓越联盟发展计划项目2024年上半年期中考试 高一数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考生号､姓名､考点学校､考场号及座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在中，若，则是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出角. 【详解】在中，由正弦定理得， 而，所以或． 故选：C 2. 已知复数，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的运算及模长的计算公式，即可求解. 【详解】由， 所以，则， 故选：A． 3. 若直线不平行于平面，且直线，则下列说法正确的是（ ） A. 内存在与平行的直线 B. 内所有直线都与异面 C. 与有公共交点 D. 内所有直线都与相交 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面的位置关系直接判断得解. 【详解】由直线不平行于平面，且直线，得直线与平面相交，则与有公共交点，C正确； 平面内不存在直线与平行，否则，与已知矛盾，因此内所有直线都与异面或相交，ABD错误. 故选：C 4. 已知向量满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的夹角余弦公式计算求值. 【详解】设与的夹角为，则， 因为，所以． 故选：C． 5. 若一圆柱的侧面展开图是一个面积为的正方形，则该圆柱的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得该圆柱的高，底面半径，进而可得体积. 【详解】设圆柱的底面半径为，高为， 因为圆柱的侧面展开图是一个面积为的正方形，则该圆柱的高， 底面圆的周长为，解得， 所以圆柱的体积． 故选：D． 6. 如图，在中，已知，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理求出，即而求出，结合两角和的正弦公式，即可求得答案. 【详解】在中，由余弦定理：， 所以为锐角，， 所以． 故选：B 7. 已知是边长为6的等边三角形，点分别是上的点，满足，连接交于点，求（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方法一：根据三点共线的结论可得，结合数量积运算即可；方法二：作投影，结合数量积的几何意义运算求解；方法三：建系，可得，结合数量积的坐标运算求解. 【详解】方法一：因为共线， 设， 即， 则，解得， 所以 方法二：过点连接的中点，过点分别做边的垂线，垂足分别是， 易得， 则在边上的投影是， 所以； 方法三：以边的中点为坐标原点，以边为轴建立如图所示直角坐标系， 则， 设， 因为共线可得，解得， 即，可得， 所以. 故选：A. 8. 已知在钝角中，是钝角，，点是边上一点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理可得，结合向量可得，结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，由正弦定理可得， 且，则，可得， 且，则， 又因为，则， 可得， 则， 因为，则， 又因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即的最小值为. 故选：C． 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. ． B. ． C. 在复平面内对应的点位于实轴上，则． D. 在复平面内的点在直线上． 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数的除法得出复数，再结合复数乘法可判断A,根据模长判断B,根据复数的类型求参判断C,化简复数得出对应点即可判断D. 【详解】对于由得． ，故A错； 对于，故正确； 对于C．，因为点在实轴上，所以，故C正确； 对于，对应复平面内的点的坐标为， 且，故D正确． 故选：BCD. 10. 在中，，点是线段的中点，线段交于，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 与的面积之比为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据几何图形，结合向量的线性运算，即可判断AB，根据三点共线表示，再利用基底表示向量，再利用平面向量基本定理的推论，根据系数和为1，即可判断C，根据C的判断，即可判断D. 【详解】对于：根据，又因为点是线段的中点，，故，故A正确； 对于：因为，所以，，故正确； 对于，因为点是线段的中点，所以，设，则， ，又，则， 又因为三点共线，所以，解得，故错误； 对于D：由于，故，故D正确. 故选：ABD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是，的中点，是线段上的动点，则（ ） A. 不存在点，使四点共面 B. 存在点，使平面 C. 三棱锥的体积是定值 D. 经过四点的球的表面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】当与重合时，说明，即可判断A；当为的中点时，证明平面，判断B；结合三棱锥体积公式判断C；利用割补法求得经过四点的球的半径，即可求得球的表面积，判断D. 【详解】对A选项，当与重合时，连接，由于, 则四边形为平行四边形，故，又，故， 从而可得四点共面，A选项错误； 对B选项，当为的中点时，，而四边形为平行四边形， 故，知，平面，平面， 得平面，B选项正确； 对C选项，点到面的距离为2，而，所以是定值，C选项正确； 对D选项，设分别为的中点，则为长宽高分别为2，2，1的长方体， 根据分割补形法知：经过四点的球即为长方体的外接球， 所求球的直径满足：， 经过四点的球的表面积为，D选项错误． 故选：BC． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，且，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据复数运算及复数相等得出参数值，最后计算即可求解. 【详解】由，则， 所以，解得， 所以． 故答案为：2. 13. 贵州中天201大厦是贵阳标志性建筑之一，又名为“芦笙楼”．它是以贵州少数民族芦笙为原型设计，外形造型看上去就像是用很多微型大楼“拼接”起来的一样，而这一部分其实具有相当先进的建筑工艺，采用的是筒式悬挂结构，目前是世界上最高的筒式悬挂建筑．某数学兴趣小组成员为测量中天201大厦的高度，在与楼底位于同一水平面上的两处进行测量，已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为米，则中天201大厦的高度为__________米． 【答案】 【解析】 【分析】设，利用直角三角形边角关系表示，再利用余弦定理建立方程求解即得. 【详解】设，在中，，则， 在中，，则， 在中，由余弦定理得， 即，解得， 所以中天201大厦的高度为米. 故答案为： 14. 在梯形中，，梯形外接圆圆心为，圆上有一个动点，求的取值范围__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据单位向量的概念与数量积的定义，求出，结合在梯形中，，和圆内接四边形对角互补，可得梯形为等腰梯形，且中点为梯形的外接圆圆心，再建立平面直角坐标系进行求解即可. 【详解】 由，得，则， 又在梯形中，，则， 结合圆内接四边形对角互补可得，所以梯形是等腰梯形． 又，取中点，可得，， 即为梯形外接圆圆心， 所以，梯形外接圆以为圆心，2为半径的圆. 以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，如图： 设是角的终边，又因为点在圆上，所以，即 又，， ， 由，则，故． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定梯形外接圆的圆心所在位置，主要考查了圆内接四边形的性质，平面向量的数量积的定义与运算性质，以及角的终边与圆交点的坐标表示，属于较难题. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知复数的共轭复数为在复平面上对应的点在第一象限，且满足， （1）求复数； （2）求复数的模长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，则，结合题意列式求解即可； （2）由（1）可得，进而可得模长. 【小问1详解】 设，则， 由题意可得，解得， 又因为在复平面上对应的点在第一象限，即，所以. 【小问2详解】 由（1）可知，则， 所以. 16. 已知向量是平面内的一组基底，且与的夹角为锐角， （1）求证三点共线． （2）设，若的最小值是，求锐角的值． 【答案】（1） 由， 得，则， 即，又有公共点， 所以三点共线. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算，结合共线向量定理推理即得. （2）利用向量数量积的运算律及数量积的定义化简，再借助二次函数最值求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意， 令，函数是开口向上的二次函数， 则当时，，即， 整理得，则，所以锐角. 17. 如图，在四棱锥中，，底面为矩形，对角线与相交于点，点到平面的距离为为的中点． （1）求证：平面． （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明：如图，连接． 点为的中点，且点为的中点 为的中位线，即． 又平面平面 平面 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行判定定理证明即可； （2）根据线面平行得出三棱锥的高，再结合三棱锥的体积公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 为矩形 又平面平面 点到平面的距离为1，即棱锥的高为1． 又为的中点，且 ． 18. 在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题（其中为的面积）． 问题：在中，角的对边分别为，满足：__________． （1）求角的大小； （2）若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围． 【答案】（1）任选一条件，都有； （2） 【解析】 【分析】（1）选①，由面积公式、向量数量积可得答案；选②，由正弦定理、两角和的正弦展开式可得答案；选③，由正弦定理、余弦定理可得答案； （2）令，在中由正弦定理得求出，再由三角形的面积公式、三角函数的选择可得答案. 【小问1详解】 选①，由已知得：， 所以，， 所以，，， 若，则，， 所以，， 即：； 选②，由正弦定理得：， 所以， ， 所以，，又因为， 所以，， 所以，．， 因为，所以； 选③，由正弦定理得：，即：． 得：． 由余弦定理得：， 又因为，所以； 【小问2详解】 由题可得：，则． 令，在中由正弦定理得： ， 所以，， 所以，． 又因为， 所以，， 所以，． 即：． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题： （1）若是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； （2）的内角所对的边分别为，且，点为的费马点． （i）若，求； （ii）求的最小值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）过作于，结合题意即可求解； （2）（i）根据正弦定理求得，由三角形面积公式及向量数量积即可求解；（ii）设，得出，由勾股定理得出，根据基本不等式求解范围即可． 【小问1详解】 因为为等边三角形，三个内角均小于，故费马点在三角形内，满足，且，如图： 过作于，则，故， 所以该三角形的费马点到各顶点的距离之和为． 【小问2详解】 （i）因为，由正弦定理，且， 所以得， 所以的三个角都小于， 则由费马点定义可知，， 设，， 由得：， 整理得， 则 ． （ii）由（i）知，所以点在内部，且， 设， 所以， 由余弦定理得，， ， ， 由勾股定理得，，即， 所以，即， 而， 当且仅当，即时，等号成立． 设，则，解得或（舍去）， 由， 故，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 参照机密级管理★启用前 贵州省学校卓越联盟发展计划项目2024年上半年期中考试 高一数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考生号､姓名､考点学校､考场号及座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在中，若，则是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 若直线不平行于平面，且直线，则下列说法正确的是（ ） A. 内存在与平行的直线 B. 内所有直线都与异面 C. 与有公共交点 D. 内所有直线都与相交 4. 已知向量满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 若一圆柱的侧面展开图是一个面积为的正方形，则该圆柱的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，已知，则为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是边长为6的等边三角形，点分别是上的点，满足，连接交于点，求（ ） A. B. C. D. 8. 已知在钝角中，是钝角，，点是边上一点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. ． B. ． C. 在复平面内对应的点位于实轴上，则． D. 在复平面内的点在直线上． 10. 在中，，点是线段的中点，线段交于，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 与的面积之比为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是，的中点，是线段上的动点，则（ ） A. 不存在点，使四点共面 B. 存在点，使平面 C. 三棱锥的体积是定值 D. 经过四点的球的表面积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，且，则__________． 13. 贵州中天201大厦是贵阳标志性建筑之一，又名为“芦笙楼”．它是以贵州少数民族芦笙为原型设计，外形造型看上去就像是用很多微型大楼“拼接”起来的一样，而这一部分其实具有相当先进的建筑工艺，采用的是筒式悬挂结构，目前是世界上最高的筒式悬挂建筑．某数学兴趣小组成员为测量中天201大厦的高度，在与楼底位于同一水平面上的两处进行测量，已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为米，则中天201大厦的高度为__________米． 14. 在梯形中，，梯形外接圆圆心为，圆上有一个动点，求的取值范围__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知复数的共轭复数为在复平面上对应的点在第一象限，且满足， （1）求复数； （2）求复数的模长． 16. 已知向量是平面内的一组基底，且与的夹角为锐角， （1）求证三点共线． （2）设，若的最小值是，求锐角的值． 17. 如图，在四棱锥中，，底面为矩形，对角线与相交于点，点到平面的距离为为的中点． （1）求证：平面． （2）求三棱锥的体积． 18. 在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题（其中为的面积）． 问题：在中，角的对边分别为，满足：__________． （1）求角的大小； （2）若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题： （1）若是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； （2）的内角所对的边分别为，且，点为的费马点． （i）若，求； （ii）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $