专题2.5 对数函数的图象及性质（十一大题型）-备战2025年新高考数学一轮复习题型突破精炼（新高考专用）

专题2.5对数函数的图象及性质 题型一 对数的运算 题型七 对数不等式 题型二 换底公式的应用 题型八 求对数（型）函数的值域 题型三 对数（型）函数图象的识别 题型九 根据值域求参数 题型四 对数型函数过定点问题 题型十 恒（能）成立问题 题型五 对数型函数的单调性问题（含求参） 题型十一 反函数 题型六 比较指对幂的大小 知识点1对数与对数运算 1．对数的概念 （1）对数：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. （2）对数式与指数式的互化：. （3）两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lgN；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN. 2．对数的性质 （1）1的对数等于0，即； （2）底数的对数等于1，即； （3）对数恒等式. 3．对数的运算性质 如果，那么：（1）； （2）； （3）. 4．对数的换底公式 对数的换底公式：. 换底公式的变形及推广： （1）；（2）； 题型一 对数的运算 例1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．若，是方程的两个实根，则ab的值等于（    ） A．2 B． C．100 D． 练习1．已知函数则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 练习2．计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 练习3．计算下列各式的值： (1)； (2)． 练习4．设α，β为方程的两个根，求的值． 题型二 换底公式的应用 例3．计算的结果为（    ） A．4 B． C． D． 例4．已知，，（a，b，c，x＞0且a，b，c，x≠1），则等于（    ） A． B． C． D． 练习1．计算下列各式的值： (1)； (2)． 练习2．设方程的两实根是a和b，则等于（    ）． A．1 B．－2 C． D．－4 练习3．（1）设，求的值； （2）已知，且，求的值． 练习4．设，且，求m的值． 知识点2对数函数及其性质 1．对数函数的概念 一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是. 2．对数函数的图象和性质 一般地，对数函数的图象与性质如下表所示： 图象 定义域 值域 性质 过定点，即时， 在上是减函数 在上是增函数 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴； 当时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”． 3．对数函数与指数函数的关系 指数函数且）与对数函数且）互为反函数，其图象关于直线对称. 题型三 对数（型）函数图象的识别 例5．函数（ 且 ）的图像大致为（    ） A． B． C． D． 例6．如图所示，函数图像①②③④⑤⑥⑦⑧中不属于函数：，的是（    ） A．①⑤ B．②⑥ C．③⑦ D．④⑧ 练习1．当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象是（    ）． A．   B．   C．   D．   练习2．已知且，则函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 练习3．若函数，且的图象过点，则函数的大致图象是（    ） A．   B． C．   D．   练习4．（多选）若，则函数与在同一坐标系内的大致图像可能是（    ） A．     B．     C．   D．   题型四 对数型函数过定点问题 例7．函数的图象恒过定点 . 例8．对数函数（且）经过定点P，同时点P又经过函数，则P点坐标为 ， ． 练习1．函数（）的图象经过定点，则点的坐标为 ． 练习2．函数（且）过定点 ． 练习3．函数的图象恒过定点的坐标为 . 练习4．已知曲线（且）过定点，若且，，则的最小值为（    ） A．16 B．10 C．8 D．4 题型五 对数型函数的单调性问题（含求参） 例9．函数的单调递增区间为 ． 例10．已知是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习1．函数的单调递减区间为 . 练习2．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习3．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习4．若函数在内是严格减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型六 比较指对幂的大小 例11．设则的大小关系为 例12．已知，， ，则（    ） A． B． C． D． 练习1．设，则（    ） A． B． C． D． 练习2．设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 练习3．已知，，，则与的大小关系是 ． 练习4．已知，那么，满足的条件是 ． 题型七 对数不等式 例13．不等式的解集为 例14．已知为实数，则“”是“”的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 练习1．函数的定义域为 . 练习2．若函数（且）满足，则不等式的解集为 . 练习3．已知，若，则的取值范围为 ． 练习4．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断奇偶性，并加以证明； (3)若，求实数的取值范围. 题型八 求对数（型）函数的值域 例15．函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 例16．函数的值域是 . 练习1．函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 练习2．函数的值域是 ． 练习3．设且，函数的图像过点． (1)求的值及函数的定义域； (2)求函数在区间上的最大值． 练习4．求函数，的最大值和最小值． 题型九 根据值域求参数 例17．若函数在上的最大值为2，则实数 ． 例18．已知函数的定义域和值域都是，则 . 练习1．已知函数（且），若存在实数，使函数在上的值域恰好为，则的取值范围为 . 练习2．已知函数，． (1)若函数过定点，求函数的定义域； (2)若函数值域为，求的取值范围． 练习3．函数的最大值比最小值大2，求实数的值． 练习4．若函数在上的最大值是2，则的值为（    ）． A． B． C． D． 题型十 恒（能）成立问题 例19．已知函数（且≠1），若对任意.存在使得恒成立，则实数的取值范围为 . 例20．已知函数，其中． (1)若，求函数的定义域； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 练习1．若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是 练习2．已知函数. (1)求函数的最大值，并求出取得最大值时的值； (2)若关于的不等式对于能成立，求正实数的取值范围. 练习3．已知函数为奇函数. (1)解不等式； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 练习4．已知函数为偶函数. (1)求的值； (2)已知函数，若对任意，存在，使方程成立，求实数的取值范围. 题型十一 反函数 例21．已知函数是上奇函数且单调的，其反函数，则 ． 例22．已知函数，且的图象过点是的反函数，则函数（    ） A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数 C．既是偶函数又是减函数 D．既是偶函数又是增函数 练习1．若函数是函数（）的反函数，且的图象经过点，则 ． 练习2．如果直线与直线关于直线对称，那么a、b的值分别是 、 ． 练习3．若与都过点，则与的图像交点的个数为 ． 练习4．求下列函数的反函数： (1)，； (2)，； (3) 一、单选题 1．下列各式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数是函数的反函数，函数的零点为，且（）则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，，，，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．函数（，，），若，则的值为（   ） A．4 B．4或 C．2或 D．2 二、多选题 7．若函数，则下列选项正确的是（    ） A．定义域为 B．值域为 C．图象过定点 D．在定义域上单调递增 8．已知函数，下列说法中正确的是（ ） A．若的定义域为R，则 B．若的值域为R，则或 C．若，则的单调减区间为 D．若在上单调递减，则 三、填空题 9．已知，则用表示为 ． 10．已知函数 （且）， 若有最小值， 则实数a的取值范围是 . 四、解答题 11．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．已知函数且． (1)若，求的值； (2)若在上的最大值与最小值的差为1，求的值． 13．已知函数. (1)若在上单调递减，求的取值范围; (2)若，解不等式. 14．已知函数，函数． (1)求不等式的解集； (2)求函数的值域； (3)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5对数函数的图象及性质 题型一 对数的运算 题型七 对数不等式 题型二 换底公式的应用 题型八 求对数（型）函数的值域 题型三 对数（型）函数图象的识别 题型九 根据值域求参数 题型四 对数型函数过定点问题 题型十 恒（能）成立问题 题型五 对数型函数的单调性问题（含求参） 题型十一 反函数 题型六 比较指对幂的大小 知识点1对数与对数运算 1．对数的概念 （1）对数：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. （2）对数式与指数式的互化：. （3）两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lgN；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN. 2．对数的性质 （1）1的对数等于0，即； （2）底数的对数等于1，即； （3）对数恒等式. 3．对数的运算性质 如果，那么：（1）； （2）； （3）. 4．对数的换底公式 对数的换底公式：. 换底公式的变形及推广： （1）；（2）； 题型一 对数的运算 例1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，，A错； 对于B，，B对； 对于C，，C错； 对于D，对数的真数部分要大于0，D错. 故选：B 例2．若，是方程的两个实根，则ab的值等于（    ） A．2 B． C．100 D． 【答案】C 【详解】因为是方程的两个实根 所以 即 所以 故选：C 练习1．已知函数则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】因为 所以， 又，所以． 故选：C． 练习2．计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)320 (2)6 (3)3 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式 练习3．计算下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． 练习4．设α，β为方程的两个根，求的值． 【答案】 【详解】α，β为方程的两个根， ，， 原式化简为， 得． 题型二 换底公式的应用 例3．计算的结果为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得： . 故选：B. 例4．已知，，（a，b，c，x＞0且a，b，c，x≠1），则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为, 所以 同理可得 所以 故选：D 练习1．计算下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2)13 【详解】（1）原式． （2）方法一：原式 ； 方法二：原式 ． 练习2．设方程的两实根是a和b，则等于（    ）． A．1 B．－2 C． D．－4 【答案】C 【详解】方程可化为，即， 解得或，不妨设， . 故选：C 练习3．（1）设，求的值； （2）已知，且，求的值． 【答案】（1）1；（2） 【详解】（1）因为，则， 则 所以； （2）因为，则，， 可得，，则． 由题意可得，则，且，所以． 练习4．设，且，求m的值． 【答案】或． 【详解】由可得，． 因，①当时，易得，此时等式成立，； ②当时，由可得. 则有，解得． 综上所述：或． 知识点2对数函数及其性质 1．对数函数的概念 一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是. 2．对数函数的图象和性质 一般地，对数函数的图象与性质如下表所示： 图象 定义域 值域 性质 过定点，即时， 在上是减函数 在上是增函数 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴； 当时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”． 3．对数函数与指数函数的关系 指数函数且）与对数函数且）互为反函数，其图象关于直线对称. 题型三 对数（型）函数图象的识别 例5．函数（ 且 ）的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，函数定义域为， 有，函数图像过原点，AD选项不符合，，B选项不符合. 故选：C. 例6．如图所示，函数图像①②③④⑤⑥⑦⑧中不属于函数：，的是（    ） A．①⑤ B．②⑥ C．③⑦ D．④⑧ 【答案】B 【详解】由指数函数的图像性质可知，①②③④为指数函数图像， 且③④为单调递增的指数函数，取可知，③④分别对应， 又①④图像关于轴对称，则①对应，即②不属于； 由对数函数的图像性质可知，⑤⑥⑦⑧为对数函数图像， 其中⑦⑧为单调递减的对数函数， 由“底大图低”可知⑧对应，⑦对应， 且⑤⑧图像关于轴对称，则⑤对应，即⑥不属于； 故选：B 练习1．当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象是（    ）． A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】当时，函数与分别在各自的定义域内单调递减、单调递增， 故可排除BCD， 且函数与图象分别过定点，经检验，A符合题意. 故选：A. 练习2．已知且，则函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】结合与可知，两函数单调性一定相反，排除选项A； 因为恒过定点，恒过定点，排除选项B，D． 故选：C． 练习3．若函数，且的图象过点，则函数的大致图象是（    ） A．   B． C．   D．   【答案】B 【详解】由于函数，且的图象过点， 故， 则， 该函数为偶函数，图象关于y轴对称，且上单调递减，在上单调递增， 只有B中图象符合该函数图象特点， 故选：B 练习4．（多选）若，则函数与在同一坐标系内的大致图像可能是（    ） A．     B．     C．   D．   【答案】BC 【详解】因为， 所以当时，得， 所以在定义域内单调递减，且， 函数的定义域为， 且由简单函数，复合而成， 由复合函数的单调性可知在定义域范围内单调递减， 且当趋近于时，取得无穷小， 故B正确，D错误； 当时，得， 所以在定义域内单调递增，且， 当无穷小时，无限趋近于， 此时在内单调递增， 且当趋近于时，取得无穷大， 故C正确，A错误. 故选：BC. 题型四 对数型函数过定点问题 例7．函数的图象恒过定点 . 【答案】 【详解】令，解得，所以， 故函数的图象恒过定点， 故答案为： 例8．对数函数（且）经过定点P，同时点P又经过函数，则P点坐标为 ， ． 【答案】 2 【详解】令，所以，所以对数函数（且）经过定点， 同时点P又经过函数，所以， 所以． 故答案为：；2 练习1．函数（）的图象经过定点，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】令，得，所以点的坐标为． 故答案为：. 练习2．函数（且）过定点 ． 【答案】 【详解】令且可得， 将代入可得， 故定点为， 故答案为： 练习3．函数的图象恒过定点的坐标为 . 【答案】 【详解】令，得，，∴函数图象过定点． 故答案为：． 练习4．已知曲线（且）过定点，若且，，则的最小值为（    ） A．16 B．10 C．8 D．4 【答案】C 【详解】对于，令，即，则， 即曲线（且）过定点，即， 故，又，， 则， 当且仅当，结合，即时等号成立， 故选：C 题型五 对数型函数的单调性问题（含求参） 例9．函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【详解】由函数可得函数的图像如图所示． 所以函数的单调增区间为． 故答案为： 例10．已知是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在R上是减函数， 所以，解得，即. 故选：D. 练习1．函数的单调递减区间为 . 【答案】 【详解】由得，解得：或， 故函数的定义域是； 令， 则是减函数. 根据复合函数“同增异减”的原则，求的单调递减区间即求在定义域内的单调递增区间， 因为的单调递增区间为， 故函数的单调递减区间为. 故答案为：. 练习2．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于函数，令，解得或， 所以函数的定义域为， 又在上单调递减，在上单调递增， 在定义域上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为函数在上单调递增， 所以，即的取值范围是. 故选：A 练习3．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】易知函数在上单调递增，又函数在上单调递减， 所以且，解得． 即实数a的取值范围为 故选：B 练习4．若函数在内是严格减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在内是严格减函数， 所以，，故. 故选：D. 题型六 比较指对幂的大小 例11．设则的大小关系为 【答案】 【详解】依题意，，，则， 所以的大小关系为. 故答案为： 例12．已知，， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为指数幂函数在上单调递减， 所以，则， ，则， 因为，所以，则. 所以. 故选：D 练习1．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 练习2．设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因函数是减函数，故， 又是增函数，故， 而函数在上是增函数，故， 故得. 故选：A. 练习3．已知，，，则与的大小关系是 ． 【答案】 【详解】， 因为， 所以，，，， 所以，即， 故答案为：. 练习4．已知，那么，满足的条件是 ． 【答案】 【详解】因为，所以，所以. 故答案为：. 题型七 对数不等式 例13．不等式的解集为 【答案】 【详解】因为，且， 若，即， 则，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 例14．已知为实数，则“”是“”的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】A 【详解】由或， 所以由推得出，故充分性成立， 由推不出，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 练习1．函数的定义域为 . 【答案】 【详解】令，则或，解得或， 所以函数的定义域为. 故答案为： 练习2．若函数（且）满足，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】由可得，可知； 即为，可得， 即，所以， 解得，即解集为. 故答案为： 练习3．已知，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由，即有， 即当时，则有，解得， 当时，则有，解得， 即的取值范围为. 故答案为：. 练习4．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断奇偶性，并加以证明； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)偶函数，证明见解析 (3) 【详解】（1）由题意可得且，解得， 所以定义域为 （2）因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数， （3） ，化简得 且， 解得 因此m的取值范围是 题型八 求对数（型）函数的值域 例15．函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 在上单调递增， 在上单调递增， 当时，， 当时，， 在上的值域为， 故选：B． 例16．函数的值域是 . 【答案】 【详解】易知， 又定义域上单调递增， 所以. 故答案为：. 练习1．函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，设， 故， 令，则， 当时，取到最大值， 故y的最大值为，即函数的最大值为， 故选：D 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是结合函数解析式的结构特点，采用两边取对数再结合换元的方法，将原问题转化为求二次函数的最值问题. 练习2．函数的值域是 ． 【答案】 【详解】解：令， 则， 因为， 则，且的对称轴为， 可知， 所以的值域是． 故答案为：． 练习3．设且，函数的图像过点． (1)求的值及函数的定义域； (2)求函数在区间上的最大值． 【答案】(1)2； (2)2 【详解】（1）由函数的图像过点， 得，即，所以，解得或（舍）， 所以， 由，解得， 所以，函数的定义域为． （2）由（1）知， 又，所以当时取得最大值4，且函数在定义域上单调递增， 故函数在区间上的最大值． 练习4．求函数，的最大值和最小值． 【答案】的最大值为0，最小值为． 【详解】解： ． ∵，∴．令， 那么，， 函数为二次函数，开口向上，对称轴为， 则函数在上递减，在上递增． 当时，取得最小值，当或2时，取最大值0． 综上所述，的最大值为0，最小值为． 题型九 根据值域求参数 例17．若函数在上的最大值为2，则实数 ． 【答案】 【详解】令，因为时，，所以； 若，则在上为减函数，所以，此时a无解； 若．则在上为增函数，所以，此时 故． 故答案为： 例18．已知函数的定义域和值域都是，则 . 【答案】或 【详解】当时，易知函数单调递减，由定义域和值域都是， 所以解得所以. 当时，易知函数单调递增，由定义域和值域都是， 所以解得所以. 故答案为：或. 练习1．已知函数（且），若存在实数，使函数在上的值域恰好为，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】当时，在上单调递增，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递减， 故在单调递增， ，， 即有两个解，设，，即有两个不相等的正根， 故，解得. 故答案为：. 练习2．已知函数，． (1)若函数过定点，求函数的定义域； (2)若函数值域为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）因为函数过定点，则当时，，则，即，则， 由，得， 故函数的定义域为． （2）若函数的值域为，则可取到的所有值， 当时，，显然可以取到，故符合题意； 当时，只需，解得，则； 当时，不能取到的所有值，不合题意. 综上，的取值范围为． 练习3．函数的最大值比最小值大2，求实数的值． 【答案】或． 【详解】因为为对数函数的底数，所以且． 当时，函数在定义域内是严格增函数， 所以在上的最小值为，最大值为， 由题意知，即，则，解得； 当时，函数在定义域内是严格减函数， 所以在上的最小值为，最大值为， 由题意知，即，则，解得． 综上，或． 练习4．若函数在上的最大值是2，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则， 故当时，在上取得最小值为， 又因为函数在上的最大值是2， 所以且，即，解得． 故选：C. 题型十 恒（能）成立问题 例19．已知函数（且≠1），若对任意.存在使得恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】根据题意可得只需即可，由题可知为对数底数且 或. 当时，此时在各自定义域内都有意义，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递减，所以，，所以，即，可得； 当时，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以，即，可得. 综上：. 故答案为：. 例20．已知函数，其中． (1)若，求函数的定义域； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 由得， 故或， 得或， 故函数的定义域为； （2）由得， 得， 即， 设， 因，故， 所以当时，恒成立， 即为在上最小值大于0， 函数的对称轴为， 当即时，函数在上单调递增， 此时，得， 即满足题意； 当，即时，函数在对称轴取得最小值， 此时，得， 即满足题意； 故的取值范围为. 练习1．若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是 【答案】 【详解】解：因为不等式对于任意恒成立， 即不等式对于任意恒成立， 因为，所以， 所以不等式对于任意恒成立， 令，， 因为在上单调递减，在上单调递增，所以， 即， 所以， 所以或， 解得或，即； 故答案为： 练习2．已知函数. (1)求函数的最大值，并求出取得最大值时的值； (2)若关于的不等式对于能成立，求正实数的取值范围. 【答案】(1)当时，函数取到最大值为1 (2) 【详解】（1）因为， 令， 可得， 所以当且仅当，即时，函数取到最大值1. （2）由（1）可得：当且仅当，即时，函数取到最大值1， 所以，即，且，解得，即， 故实数的取值范围为. 练习3．已知函数为奇函数. (1)解不等式； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【详解】（1） 解：由的定义域为， 因为为奇函数，可得，解得，所以， 又由不等式，可得，整理得，解得， 所以不等式的解集为. （2） 解：因为，总有，使得成立， 所以函数的值域是函数的值域的子集， 而， 令，所以， 所以，又由在上递增， 所以，所以，解得，所以的取值范围为. 练习4．已知函数为偶函数. (1)求的值； (2)已知函数，若对任意，存在，使方程成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）为偶函数，则，即，解得， 故， ，满足条件. （2）设集合A为的值域，集合B为的值域，则， ，，，， ，，，， 最大值为或，或，，故， ，即在上有解， 在上有解，， 当时，，在上无解，舍去. 当时，得在上有解， 即在有解，得， ，当且仅当时，等号成立. 故，解得， 综上所述：. 题型十一 反函数 例21．已知函数是上奇函数且单调的，其反函数，则 ． 【答案】0 【详解】因为函数是上的奇函数， 所以， 则有， 又是单调函数，其反函数为， 所以. 故答案为：. 例22．已知函数，且的图象过点是的反函数，则函数（    ） A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数 C．既是偶函数又是减函数 D．既是偶函数又是增函数 【答案】B 【详解】因为函数，且的图象过点，所以，解得（负值已舍去）， 所以，又是的反函数，所以， 则，令，解得， 所以的定义域为，令， 则，所以为奇函数， 又在上单调递增，在定义域上单调递增， 所以在上单调递增. 故选：B 练习1．若函数是函数（）的反函数，且的图象经过点，则 ． 【答案】 【详解】由函数是函数（）的反函数，得， 又函数的图象经过点，则，因此， 所以. 故答案为： 练习2．如果直线与直线关于直线对称，那么a、b的值分别是 、 ． 【答案】 －9 【详解】因为直线与直线关于直线对称， 所以函数与互为反函数， 又的反函数为， 所以，． 故答案为：；. 练习3．若与都过点，则与的图像交点的个数为 ． 【答案】3 【详解】解：由过点知过点， 所以过，点， 代入得到方程组， 解得：， 则． 由与的图像关于直线对称知， 与的图像均过点， 又因为两条曲线与交点也是同一点， 故与共有3个交点， 故答案为：3． 练习4．求下列函数的反函数： (1)，； (2)，； (3) 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）， ∵，∴，∴． 由，得，解得， 所以． （2）， ∵，∴， ∴， ∴， 由，得，解得， 所以，； （3）①当时，，则，； ②当时，，则， ∵，∴． 综上. 一、单选题 1．下列各式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，A对； ，B对； ，C错； ，D对. 故选：C 2．在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，是单调递增函数，图象恒过点， 是单调递减函数，图象恒过点； 当时，是单调递减函数，图象恒过点， 是单调递增函数，图象恒过点； 所以满足条件的图象为D. 故选：D. 3．已知函数是函数的反函数，函数的零点为，且（）则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由题意知，，则， 所以函数在上单调递增， 又， 所以，即. 故选：B 4．若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得， 函数在上单调递增，， 令， 而函数在上单调递增，则， 所以函数的值域为. 故选：D 5．已知函数，，，，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，函数，则当时，， 函数在上单调递增，， 由，，使得成立，得， 所以实数的取值范围是. 故选：B 6．函数（，，），若，则的值为（   ） A．4 B．4或 C．2或 D．2 【答案】C 【详解】由题意得，， 令，则， 则函数，即为， 当时，在上单调递增，由可得： ； 当时，在上单调递减，由可得： ； 故的值为2或， 故选：C 二、多选题 7．若函数，则下列选项正确的是（    ） A．定义域为 B．值域为 C．图象过定点 D．在定义域上单调递增 【答案】ABC 【详解】由题意，，则， 所以函数的定义域为，故A正确； 根据对数函数的值域可得函数的值域为，故B正确； 令，则，， 所以函数的图象过定点，故C正确； 当时，函数在定义域上单调递减，故D错误. 故选：ABC. 8．已知函数，下列说法中正确的是（ ） A．若的定义域为R，则 B．若的值域为R，则或 C．若，则的单调减区间为 D．若在上单调递减，则 【答案】BD 【详解】对于A：若的定义域为R，则在R上恒成立，所以，所以，所以A错误； 对于B：若的值域为R，则，所以或，所以B正确： 对于C：若，则，函数的定义域为， 设，函数为增函数，要求的单调减区间， 由复合函数的单调性原理即求函数的减区间， 得函数的单减区间为，所以C错误； 对于D：若在上单调递减，设，函数为增函数， 由复合函数的单调性原理即函数在上为减函数， 即满足在上恒成立且， 所以，解得，所以D正确． 故选：BD. 三、填空题 9．已知，则用表示为 ． 【答案】 【详解】. 故答案为：. 10．已知函数 （且）， 若有最小值， 则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】是减函数，在时最小值是， 若，则是减函数，时，，没有最小值，不合题意， 时，是增函数，因此要使得取得最小值，则，解得， 故答案为：． 四、解答题 11．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0； (2)2； (3)2； (4)4. 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式． （4）原式． 12．已知函数且． (1)若，求的值； (2)若在上的最大值与最小值的差为1，求的值． 【答案】(1) (2)或． 【详解】（1）， ，即， 解得或（舍）． （2）当时，在上单调递增， 则， 由题意得，，解得． 当时，在上单调递减， 则， 由题意得，，解得． 综上，或． 13．已知函数. (1)若在上单调递减，求的取值范围; (2)若，解不等式. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意在上单调递减，所以， 所以由， 解得，所以 ，                  解得，即的取值范围是. （2）依题意， 即，从而有                      解得或，                                         即不等式解集为. 14．已知函数，函数． (1)求不等式的解集； (2)求函数的值域； (3)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由，得 整理得 解得， 的解集为 （2）， ， ， 即的值域为． （3）不等式对任意实数恒成立 ． ， 令，，， 设，， 当时，取得最小值，即， ，即， ，即，解得， 实数的取值范围为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$